当前位置:首页 >> 研究生入学考试 >>

第6讲 离散型随机变量的均值与方差1


第6讲
【2013 年高考会这样考】

离散型随机变量的均值与方差

1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题. 【复习指导】 均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征, 是高考在考查概率时考查的 重点,复习时,要掌握期望与方差的计算公式,并能运用其性质解题.

基础梳理 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P
(1)均值 称E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn为随机变量X的均值 或 数 学 期 ,它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .


x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

(2)方差 称D(X)= ?[ xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变
i=1 n

量X与其均值E(X)的平均 偏离程度 ,其算术平方根 D?X? 为随 机变量X的标准差.

两个防范 在记忆 D(aX+b)=a2D(X)时要注意:D(aX+b)≠aD(X)+b,D(aX+b)≠aD(X). 三种分布 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p);

(3)若 X 服从超几何分布, M 则 E(X)=n N . 六条性质 (1)E(C)=C(C 为常数) (2)E(aX+b)=aE(X)+b(a、b 为常数) (3)E(X1+X2)=EX1+EX2 (4)如果 X1,X2 相互独立,则 E(X1· 2)=E(X1)E(X2) X (5)D(X)=E(X2)-(E(X))2 (6)D(aX+b)=a2· D(X) 双基自测 1.(2010· 山东)样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差为( A. 6 5 6 B.5 ). C. 2 D.2

解析 由题意知 a+0+1+2+3=5×1,解得,a=-1. ?-1-1?2+?0-1?2+?1-1?2+?2-1?2+?3-1?2 s2 = 5 =2. 答案 D 2.已知 X 的分布列为 X P 设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为( 7 A.3 B.4 -1 1 2 ). C.-1 D.1 0 1 3 1 1 6

1 1 1 解析 E(X)=-2+6=-3, 2 7 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-3+3=3. 答案 A

3.(2010· 湖北)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9

解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6.① 又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4.② 由①②联立解得 x=0.2,y=0.4. 答案 A 4.设随机变量 X~B(n,p),且 E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( A.n=8,p=0.2 C.n=5,p=0.32 B.n=4,p=0.4 D.n=7,p=0.45 ).

解析 ∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6, ?n=8, D(X)=np(1-p)=1.28,∴? ?p=0.2. 答案 A 5.(2010· 上海)随机变量 ξ 的概率分布列由下表给出: ξ P 7 0.3 8 0.35 9 0.2 10 0.15

该随机变量 ξ 的均值是________. 解析 由分布列可知 E(ξ)=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2. 答案 8.2

考向一

离散型随机变量的均值和方差

【例 1】?A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1、 A2、A3,B 队队员是 B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负 概率如下: 对阵队员 A 队队员胜的概 A 队队员负的概

率 A1 和 B1 A2 和 B2 A3 和 B3 2 3 2 5 2 5

率 1 3 3 5 3 5

现按表中对阵方式出场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分 别为 X,Y (1)求 X,Y 的分布列;(2)求 E(X),E(Y). [审题视点] 首先理解 X,Y 的取值对应的事件的意义,再求 X,Y 取每个值的概 率,列成分布列的形式,最后根据期望的定义求期望. 解 (1)X,Y 的可能取值分别为 3,2,1,0. 2 2 2 8 P(X=3)=3×5×5=75, 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(X=2)=3×5×5+3×5×5+3×5×5=75, 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(X=1)=3×5×5+3×5×5+3×5×5=5, 1 3 3 3 P(X=0)=3×5×5=25; 根据题意 X+Y=3,所以 8 28 P(Y=0)=P(X=3)=75,P(Y=1)=P(X=2)=75, 2 3 P(Y=2)=P(X=1)=5,P(Y=3)=P(X=0)=25. X 的分布列为

X P

0 3 25

1 2 5

2 28 75

3 8 75

Y 的分布列为 Y 3 2 1 0

P

3 25

2 5

28 78

8 75

8 28 2 3 22 (2)E(X)=3×75+2×75+1×5+0×25=15; 23 因为 X+Y=3,所以 E(Y)=3-E(X)=15. (1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列,然 后利用公式计算. (2)由 X 的期望、方差求 aX+b 的期望、方差是常考题之一,常根据期望和方差 的性质求解. 【训练 1】 (2011· 四川)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越 多, 某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两 小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相 互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率 1 1 1 1 分别为4,2;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为2,4;两人租车时间 都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ). 1 1 解 (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为4,4. 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A,则 1 1 1 1 1 1 5 P(A)=4×2+2×4+4×4=16. 5 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为16. (2)ξ 可能取的值有 0,2,4,6,8. 1 1 1 P(ξ=0)=4×2=8; 1 1 1 1 5 P(ξ=2)=4×4+2×2=16; 1 1 1 1 1 1 5 P(ξ=4)=2×4+4×2+4×4=16;

1 1 1 1 3 P(ξ=6)=2×4+4×4=16; 1 1 1 P(ξ=8)=4×4=16. 甲、乙两人所付的租车费用之和 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16

1 5 5 3 1 7 所以 E(ξ)=0×8+2×16+4×16+6×16+8×16=2. 考向二 均值与方差性质的应用

1 【例 2】?设随机变量 X 具有分布 P(X=k)=5,k=1,2,3,4,5,求 E(X+2)2,D(2X -1), D?X-1?. [审题视点] 利用期望与方差的性质求解. 1 1 1 1 1 15 解 ∵E(X)=1×5+2×5+3×5+4×5+5×5= 5 =3. 1 1 1 1 1 E(X2)=1×5+22×5+32×5+42×5+52×5=11. 1 1 1 1 1 1 D(X)=(1-3)2×5+(2-3)2×5+(3-3)2×5+(4-3)2×5+(5-3)2×5=5(4+1+ 0+1+4)=2. ∴E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27. D(2X-1)=4D(X)=8, D?X-1?= D?X?= 2. 若 X 是随机变量,则 η=f(X)一般仍是随机变量,在求 η 的期望和方差 时,熟练应用期望和方差的性质,可以避免再求 η 的分布列带来的繁琐运算. 【训练 2】 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的 有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求 X 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值. 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4

P

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

1 1 1 3 1 ∴E(X)=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5. 1 1 1 3 D(X) = (0 - 1.5)2× 2 + (1 - 1.5)2× 20 + (2 - 1.5)2× 10 + (3 - 1.5)2× 20 + (4 - 1 1.5)2×5=2.75. (2)由 D(η)=a2D(X),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(η)=aE(X)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ?a=2, ?a=-2, ∴? 或? 即为所求. ?b=-2, ?b=4, 考向三 均值与方差的实际应用

【例 3】?(2011· 福建)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产 品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: X1 P 5 0.4 6 a 7 b 8 0.1

且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值; (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的 等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学 期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可 购买性?说明理由.

注:(1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. [审题视点] (1)利用分布列的性质 P1+P2+P3+P4=1 及 E(X1)=6 求 a,b 值. (2)先求 X2 的分布列,再求 E(X2),(3)利用提示信息判断. 解 (1)因为 E(X1)=6,所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即 6a+7b=3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5. ?6a+7b=3.2, ?a=0.3, 由? 解得? ?a+b=0.5, ?b=0.2. (2)由已知得,样本的频率分布表如下: X2 f 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概 率分布列如下: X2 P 所以 E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 6 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6, 价格为 6 元/件, 所以其性价比为6= 1. 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 4.8 4 =1.2. 据此,乙厂的产品更具可购买性. 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题,正确理解随机变 量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率,本题第(1)问中充分 利用了分布列的性质 p1+p2+?+pn+?=1. 【训练 3】 某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

道:一年后可能获利 10%,可能损失 10%,可能 1 1 1 不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为2,4,4;如果投资乙项目,一年后可 能获利 20%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为 α 和 β(α+β=1). (1)如果把 10 万元投资甲项目, X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金), 用 求 X 的概率分布及 E(X); (2)若把 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求 α 的取值范围. 解 (1)依题意,X 的可能取值为 1,0,-1, X 的分布列为 X P 1 1 1 E(X)=2-4=4. (2)设 Y 表示 10 万元投资乙项目的收益,则 Y 的分布列为: Y P 2 α -2 β 1 1 2 0 1 4 -1 1 4

1 E(Y)=2α-2β=4α-2,依题意要求 4α-2≥4, 9 ∴16≤α≤1.

规范解答 23——离散型随机变量的均值与方差的计算 【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征,是高考概率 考查的重要知识点,常与排列组合、导数等知识相结合,对考查生的数学应用能 力、数学表达能力、创新能力都进行了考查. 【解决方案】 (1)掌握好期望与方差的性质.(2)记住或理解一些特殊分布的均值 与方差,如两点分布、二项分布等.(3)注意运算技巧,随机变量的均值与方差 计算比较复杂, 在运算时要注意一些运算技巧,如把问题归结为二项分布的期望 与方差,运用期望与方差的性质简化运算,运算时注意一些项的合并.

【示例】?(本小题满分 12 分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸,甲机 2 1 投弹一次命中目标的概率为3, 乙机投弹一次命中目标的概率为2,两机投弹互不 影响,每机各投弹两次,两次投弹之间互不影响. (1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标,求目标被摧毁的概率; (2)记目标被命中的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 对于第(1)问,甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型,根据至少两 次命中分类求解, 或使用间接法求解,注意运用相互独立事件同时发生的概率乘 法公式;对于第(2)问,根据题意,随机变量 ξ=0,1,2,3,4,根据独立重复试验概 型及事件之间的相互关系, 计算其概率即可求出分布列,根据数学期望的计算公 式求解数学期望. [解答示范] 设 Ak 表示甲机命中目标 k 次,k=0,1,2,Bl 表示乙机命中目标 l 次, l=0,1,2,则 Ak,Bl 独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ?2? ?1? ?1? ?1? P(Ak)=Ck ?3?k?3?2-k,P(Bl)=Cl2?2?l?2?2-l. 2 ? ?? ? ? ?? ? 1 4 4 据此算得 P(A0)=9,P(A1)=9,P(A2)=9. 1 1 1 P(B0)=4,P(B1)=2,P(B2)=4.(2 分) (1)所求概率为 1-P(A0B0+A0B1+A1B0)= 7 29 ?1 1 1 1 4 1? 1-?9×4+9×2+9×4?=1-36=36.(4 分) ? ? (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且 1 1 1 P(ξ=0)=P(A0B0)=P(A0)· 0)=9×4=36, P(B 1 1 4 1 1 P(ξ=1)=P(A0B1)+P(A1B0)=9×2+9×4=6, 1 1 4 1 4 1 13 P(ξ=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=9×4+9×2+9×4=36,(8 分) 4 1 4 1 1 P(ξ=3)=P(A1B2)+P(A2B1)=9×4+9×2=3, 4 1 1 P(ξ=4)=P(A2B2)=9×4=9.(10 分)

综上知,ξ 的分布列如下: ξ P 0 1 36 1 1 6 2 13 36 3 1 3 4 1 9

1 1 13 1 1 7 从而 ξ 的期望为 E(ξ)=0×36+1×6+2×36+3×3+4×9=3.(12 分) 概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量 的分布以及均值等问题, 并且都是以概率计算为前提的,在复习时要切实把握好 概率计算方法. 若本题第(2)问是单纯求随机变量 ξ 的数学期望, 则可以直接根据 二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答:令 ξ1,ξ2 分别表示甲、乙两机 2? 1? 2 4 1 ? ? 命中的次数,则 ξ1~B?2,3?,ξ2~B?2,2?,故有 E(ξ1)=2×3=3,E(ξ2)=2×2= ? ? ? ? 7 1,而知 E(ξ)=E(ξ1)+E(ξ2)=3. 【试一试】 (2011· 北京)(本小题共 13 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同 学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总 棵数 Y 的分布列和数学期望. 1 (注:方差 s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均数) 解 (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为: x = 8+8+9+10 35 =4; 4

1 35 35 35 35 11 方差为:s2=4×[(8- 4 )2+(8- 4 )2+(9- 4 )2+(10- 4 )2]=16. (2)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的 植树棵数是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种 可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y=

17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”,所以该事 2 1 1 件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)=16=8.同理可得 P(Y=18)=4;P(Y=19) 1 1 1 =4;P(Y=20)=4;P(Y=21)=8.所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 1 8 18 1 4 19 1 4 20 1 4 21 1 8

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y= 1 1 1 1 1 21)=17×8+18×4+19×4+20×4+21×8=19. [尝试解答] 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知, f(x)在[-2,2]

上递增, f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 又 故函数 f(x)以 8 为周期, f(- 25)=f(-1), f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80)=f(0), f(-25)<f(80)<f(11). 故 故 选 D. 答案 D


相关文章:
《创新设计高考总复习》配套学案:离散型随机变量的均值与方差_...
第6讲 [最新考纲] 离散型随机变量的均值与方差 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些...
知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(提高)
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量...第6页 共 15 页 ? =3 时,取 1 白球 1 红球,∴ P(? ? 3) ? 1 ...
...12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
§ 12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X=ai)=pi(i=1,2,?). (1)均值 EX...
...一轮讲义:12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分...
§ 12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P (1)均值 称 E(X)=x1p1+x2p2+?+...
...变量及分布列第6课时 离散型随机变量的均值与方差
2014年高考数学总复习教案:第十一章 计数原理、随机变量及分布列第6课时 离散型随机变量的均值与方差_高考_高中教育_教育专区。一折网 第十一章 计数原理、随机...
2014高考数学第一轮复习_离散型随机变量的均值与方差[1]
离散型随机变量的均值与方差【2014 年高考会这样考】 1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题. 【...
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布_数学_高中教育_教育专区。§ 12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.离散型随机变量的均值与方差 若...
变量及分布列第6课时 离散型随机变量的均值与方差
第十一章 计数原理、随机变量及分布列第 6 课时机变量的均值与方差 离散型随 考情分析 离散型随机变量的分布列、期望、方差和概 率的计算问题结合在一起进行考...
第十一章概率与统计11.6离散型随机变量的均值与方差、...
11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考纲要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量 的均值、方差,并能解决一些...
第二章 5节 离散型随机变量的均值与方差 (1)
第二章 5节 离散型随机变量的均值与方差 (1)_数学_高中教育_教育专区。离散型随机变量的均值与方差(1)教学目标 (1)通过实例,理解取有限值的离散型随机变量...
更多相关标签: