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直线与直线的位置关系


直线与直线的位置关系
一、平面内两条直线的位置关系有三种 、 与

1.当直线不平行坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定

直线

条件 关系 平行

l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2

l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0


A1B2 ? A2 B1 ? 0 (斜率) 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距) A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 A1B2 ? A2 B1 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 0

重合

相交 (垂直)

2.当直线平行于坐标轴时,可结合图形判定其位置关系. 二、点到直线的距离、直线与直线的距离 1、点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d

?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



2、两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d

?

C1 ? C2 A2 ? B 2



3、两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式是



4、两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点坐标公式是 三、两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数. 四、五种常用的直线系方程. ① 过两直线 l1 和 l2 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+ ? (A2x+B2y+C2)=0(不含 l2). ② 与直线 y=kx+b 平行的直线系方程为 y=kx+m (m≠b). ③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为 y-y0=k(x-x0)及 x=x0. ④ 与 Ax+By+C=0 平行的直线系方程设为 Ax+By+m=0 ⑤ 与 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程设为 Bx-Ay+C1=0
1

(m≠C). (AB≠0).

练习:
1.已知直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 和四个命题:
① ③

l1 // l2 ?
2 2

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2
2



② ④

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 A2 ? B2 ? C2 ? l2 过定点.

A1 ? B1 ? C1 ? 0 ? l1 和圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切;

其中正确的命题的个数是 . 2个 2. 已知直线 l1:ax+3y-1=0 与直线 l2:2x+(a-1)y+1=0 垂直,则实数 a=________. 3 3 解:由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0,解得 a= . 答案 5 5 3. 两平行线 x+y-1=0 与 2x+2y=3 间的距离为 4、求过点 A(1,?4) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程. 5、直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 , 当a? 时, l1 ∥ l 2 ;当 a ? 时, l1 ? l 2 ;当 a ? 时, l1 与 l 2 相交;当 a ? 时, l1 与 l 2 重合.

2 4
2 x ? 3 y ? 10 ? 0 .

6、若直线 x ? 3 y ? 7 ? 0 和 kx ? y ? 2 ? 0 与 x 轴、 y 轴正方向所围成的四边形有外接圆,则 k 为______. 7、若直线 l1

: y ? kx ? k ? 2 与 l 2 : y ? ?2 x ? 4 的交点在第一象限,则 k 取值范围是

8、求点 P(-2,-1)关于直线 x+2y-2=0 对称的点.

解:(1)设对称点 Q 坐标为(x,y),则

9.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 1 1 解:由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直,所以 kl=- =- =1. kPQ 4-2 1-3

答案:x-y+1=0

又直线 l 经过 PQ 的中点(2,3),所以直线 l 的方程为 y-3=x-2,即 x-y +1=0. 10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则 m+n= 解:由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y=2x-3, 3+n 7+m = 2× -3, ? 2 ? 2 它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 =- , ? ?m-7 2 34 5

?m=5, 解得? 31 ?n= 5 .

3

34 故 m+n= . 5

2

c+2 2 13 11.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 ,则 的值为________. 13 a 3 -2 -1 c 解:由题意得, = ≠ ,∴a=-4 且 c≠-2,则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 6 a c 2

?c+1? c+2 2 13 ?2 ? 由两平行线间的距离,得 = ,解得 c=2 或 c=-6,所以 =± 1. 13 a 13
12、已知 l 的倾斜角为

答案 ± 1

13.直线 l 经过点 P?1, 2? 且与两点 A?2, 3? 、 B?4, ? 5? 的距离相等,则 l 的方程是 答案: 3x ? 2 y ? 7 ? 0 和 4 x ? y ? 6 ? 0
14、 已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3),其中 a≠0 若△OAB 为直角三角形,则 a 与 b 的关系是 1 答案:b=a3 或 b-a3- =0 a 解:根据直角三角形的直角的位置求解. 若以 O 为直角顶点,则 B 在 x 轴上,则 a 必为 0,此时 O,B 重合,不符合题意; π 若∠A= ,则 b=a3 2 a3-b π 1 若∠B= ,根据斜率关系可知 a2· =-1,所以 a (a3-b)=-1,即 b-a3- =0. 2 a a 1 所以 b = a3 或 b-a3- =0 a 15、已知 5x+12y=60,则 x 2 ? y 2 的最小值是
60 13

3? ,且与点 ( ?1,?2) 的距离为 3 2 ,则 l 的方程为 4

解: x 2 ? y 2 表示直线 l :5x+12y=60 上的动点到原点的距离,其最小值即原点到直线 l 的距离 16.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠ B、∠C 所对边的边长, 则直线 xsin A+ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是________. 17、 一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射,则反射光线所在的直线方程为________. 解:取直线 2x-y+2=0 上一点 A(0,2),设点 A(0,2)关于直线 x+y-5=0 对称的点为 B(a,b), b+2 + -5=0, ?a 2 2 则? b-2 ? a =1,
?a=3 ? 解得? ?b=5, ? ?2x-y+2=0, ?x=1, ? ? ∴B(3,5).由? 解得? ?x+y-5=0, ?y=4. ? ?

∴直线 2x-y+2=0 与直线 x+y-5=0 的交点为 P(1,4),∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4)的直线 4-5 上,其直线方程为 y-4= ×(x-1),整理得 x-2y+7=0. 【答案】 x-2y+7=0 1-3 18、已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : x ? y ? 6 ? 0 截得的线段之长为 5,求直线 l 的方程. 19.已知直线 l 过点 P(2,3),且被两条平行直线 l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0 截得的线段长为 d. (1) 求 d 的最小值; (2) 当直线 l 与 x 轴平行,试求 d 的值. 解:(1) 因为 3×2+4×3-7>0,3×2+4×3+8>0,所以点 P 在两条平行直线 l1,l2 外. 过 P 点作直线 l,使 l⊥l1,则 l⊥l2,设垂足分别为 G,H,则|GH|就是所求的 d 的最小值. 由两平行线间的距离公式,得 d 的最小值为|GH|=
3

|8-?-7?| =3. 32+42

(2) 当直线 l 与 x 轴平行时,l 的方程为 y=3,设直线 l 与直线 l1,l2 分别交于点 A(x1,3),B(x2,3), 则 3x1+12-7=0,3x2+12+8=0,所以 3(x1-x2)=15,即 x1-x2=5,所以 d=|AB|=|x1-x2|=5. 20.已知直线 l1:x-y+3=0,直线 l:x-y-1=0.若直线 l1 关于直线 l 的对称直线为 l2,求直线 l2 的方程. 解法一:因为 l1∥l,所以 l2∥l,设直线 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1). 直线 l1,l2 关于直线 l 对称,所以 l1 与 l,l2 与 l 间的距离相等. |3-?-1?| |m-?-1?| 由两平行直线间的距离公式得 = ,解得 m=-5 或 m=3(舍去). 2 2 所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0. 法二:由题意知 l1∥l2,设直线 l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1).在直线 l1 上取点 M(0,3), 3 ×1=-1, ?b- a 设点 M 关于直线 l 的对称点为 M′(a,b),于是有? a+0 b+3 ? 2 - 2 -1=0, 即 M′(4,-1).把点 M′(4,-1)代入 l2 的方程,得 m=-5, 所以直线 l2 的方程为 x-y-5=0. 21. 已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l∶4x+3y-2=0,求一点 P 使|PA|=|PB|,且点 P 到 l 的距离等于 2. 解 : 为使|PA|=|PB|,点 P 必定在线段 AB 的垂直平分线上,又点 P 到直线 l 的距离为 2, 所以点 P 又在距离 l 为 2 的平行于 l 的直线上,求这两条直线的交点即得点 P. 设点 P 的坐标为 P(a,b),∵A(4,-3),B(2,-1)
? ?a=4, 解得? ?b=-1, ?

而点 P(a,b)在直线 x-y-5=0 上,故 a-b-5=0



又已知点 P 到 l 的距离为 2 解 ①,②组成的方程组



作业
1、直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直,则 m ? 2.已知直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx-y=0 平行,则实数 m 的取值为________. m -1 1 解:因为直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx-y=0 平行,所以 = ≠0,解得 m=- . 1 2 2 3.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为 x-2y+4=0 1 答案 - 2

解:由题意可设所求直线方程为:x-2y+m=0,将 A(2,3)代入上式得 2-2×3+m=0, 即 m=4,所以所求直线方程为 x-2y+4=0. 4、点 A(2,?3) 关于点 M (4,1) 的对称点是 5、直线 y ? 2 x ? 1 关于点 (2,?1) 对称的直线方程是 ,点 A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点是
,直线 4

.
.

y ? 2 x ? 1 关于直线 x ? 1 ? 0 对称的直线方程是

6. 已知点 A(4,1),B(0,4),试在直线 l:3x-y-1=0 上找一点 P,使|PA|-|PB|的绝对值最大, 并求出这个最大值.
? y? ? 4 1 ? x? ? 3 ? 解: 如图所示,设 B 关于 l 的对称点为 B′(x′,y′),由 ? x? ? 0 ? y? ? 4 ?3? ?1 ? 0 ? ?? ? 2 ? ? 2 ?

解得 B′(3,3),直线 AB′的方程为 由?

y ?1 x ? 4 即 2x+y-9=0. ? 3 ?1 3 ? 4

?2 x ? y ? 9 ? 0 ?x ? 2 , 解得? ,故所求 P 点坐标为(2,5) ?3x ? y ? 1 ? 0 ?y ? 5

此时||PA|-|PB||=||PA|-|PB′||=|AB′|= (4 ? 2) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 为所求.? 7、直线 l1 的方程为 y ? ?2 x ? 1 ,直线 l 2 与直线 l1 关于直线 y ? x 对称,则直线 l 2 的方程是: 8.已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解:(1) ∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)· 1=0,即 a2-a-b=0. ① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0 ② 由①②得 a=2,b=2. a a (2) ∵l1∥l2,∴ =1-a,∴b= . b 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为:

4?a-1? a (a-1)x+y+ =0, (a-1)x+y+ =0, 又原点到 l1 与 l2 的距离相等. a 1-a a-1 a 2 ∴4| |=| |,∴a=2 或 a= , a 3 1-a 2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3

9.已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,O 为原点,是否存在使△ABO 面积 最小的直线 l?若存在,求出;若不存在,请说明理由.

? 1 ? 解:存在.理由如下.设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 A?2- ,0?,B(0,1-2k), ?
k

?

⊿AOB 的面积 S= (1-2k)?2- ?= ?4+?-4k?+?- ??≥ (4+4)=4. 2 ? k? 2? ? k?? 2
1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=- 时,等号成立, k 2 1 故直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2

1

?

1?

1?

? 1?? 1

5


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