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第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷


第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、选择题.本题共 5 小题,每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项 是正确的, 有的小题有多项是正确的. 把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号 内.全部选对的得 7 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分. 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池,彼

此相距较远.用导线将 E 的正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电后,去掉导线.这时已知 a 带的电荷量大于 c 带 的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始状态出发,进行以下两次 连接:第一次用一根导线将 a、c 相连,用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、 d 相连,用另一根导线将 b、c 相连,每次连接后都随即移去导线.下面哪种说法是正确的? A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降 [ ] 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电 源两端,如图所示.已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的 摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相 同数目的自由电子(载流子) .当电流达到稳恒时,若 a、 b 内存在电场, 则该电场可视为均匀电场.下面结论中正确的是 A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 [ ] 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手 指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖 直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有 A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2 C.V1=V2>V0 D.V1>V0,V2>V0 [ ] 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在 白板上.石墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为 μ.突然,使白板以恒定的速度 v0 做匀速 直线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运 动.在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不 计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量)
ht

2 v0 A. 2? g

B. 0t v

1 2 v C. 0t ? ? gt 2

2 v0 D. ?g

[

]

5.如图 1 所示,一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过电 键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开 的,在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路,在图 2 中给出了六种电压 V 随时间 t 变化 的图线 a、b、c、d、e、f,现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上 1、2、3、 4 四点中某两点间的电压随时间 t 的变化,下面四个选项中正确的是

A.a、b、f B.a、e、f C.b、d、e D.c、d、e [ ] 二、 填空题和作图题. 把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方. 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程. 6. (8 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目 得分 阅卷 复核 标,这严重影响了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列 雷达” 它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序 , 排列成的天线阵, 小天线发出 相干的电磁波,其初相位可通过电子计算机调节,从 而可改变空间干涉极强的方位,这就起了快速扫描搜 索空中各个方向目标的作用.对下面的简单模型的研 究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极 强方位的影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为 λ 的相干电磁波.Ox 轴通过 a、b 的中点且垂直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相位 差为 O 时,将在与 x 轴成 θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发出 的电磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ,结果,原来相干极强的方向将从 θ 变为 θ' ,则 θ-θ'等于 7. 分)He 一 Ne 激光器产生的波长为 6.33×10-7m 的谱线是 Ne (8 得分 阅卷 复核 原子从激发态能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的;波长为 3.39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能 级 E1 向能级较低的激发态能级(用 E3 表示)跃迁时发生的.已知 普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1.24×10-6m·eV.由此可知 Ne 的激发态能级 E3 与 E2 的 能最差为 eV.
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8. 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s.已 (8 知位于坐标原点(x=0)处的质元的振动图线如图 1 所示.试在图 2 中画出,t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于一个波长) .

9. 分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截面) (8 .AB 为池中 水面的直径,MN 为水池底面的直径,O 为圆形池底的圆心.已知 ON 为 11.4m , AM、BN为斜 坡,池中水深 5.00m,水的折 射率为 4 / 3.水的透明度极好,不考虑水的吸收.图 中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是蓝色的,水面是 平的.在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中, 他的眼睛位于 O 处,仰视水面的最大范围的直径为 AB. (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是 三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不 能得分.有数值计算的.答案中必须明确写出数值和单位. 10. (19 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验 得分 阅卷 复核 结果的影响. (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃 砖放置在铺平的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出 两条直线, 在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离. 如果由于操作中的误 差, 使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离, 问这样测得的折射率与 实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简要论证 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动, 而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期,仍用 单摆的周期公式求出重力加速度,问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比, 哪个大?试定量比较. 得分
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11. (18 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略 不计.带有按钮开关 K1,按下按钮,电流表与电路接通,有电流通 过电流表, 电流表显出一定的读数)阻值己知为 R 的固定电阻一个, , 阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ε 和内阻 r 待

测) ,单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干. 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ε 和内阻 r,又能测量待测电阻的 阻值 Rx(注意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据) .具 体要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量 ε、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ε、r 和 Rx 的表达式.

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12. (18 分)一静止的原子核 A 发生 α 衰变后变成原子核 B,已知 原子核 A、原子核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA、mB,和 mα,光速 为c (不考虑质量与速度有关的相对论效应) 求衰变后原子核 B 和 , α 粒子的动能.

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13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造 出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内(二 维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一 样飞行,不受杂质原子射散的影响.这种特点可望有

新的应用价值.图 l 所示为四端十字形.二维电子气半导体,当电流从 l 端进人时,通过控 制磁场的作用,可使电流从 2, 3,或 4 端流出.对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在 上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中, a、b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横 截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、3、4,在这些狭缝和四个圆柱所包 围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里.以 B 表示磁感应强 度的大小.一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相 切的方向由缝 1 射人磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间 极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受摩擦力作用.试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出.

14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨,导轨中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0.导轨 的两条轨道间的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道上滑 动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨 的电阻均不计.初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向 垂直于桌面, 磁感应强度的大小为 B. 现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间 t , PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进人磁场区 域) .求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感. 得分
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15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性 得分
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细杆连结,活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的,M1 是导热的,M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一定质量的气体封闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质 量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右侧为大气,大气的压强 P0 是恒定的. K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初始时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积.现通过 K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热,让气体重新达到平 衡态,这时,活塞未被气缸壁挡住.加热后与加热前比, L1 和 L2 中气体的压强是增大了、 减小了还是未变?要求进行定量论证.

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16. (20 分)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动,在某处和一个质量为 m2=m1/9 的太空碎片发生迎 头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动.碰 撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和

卫星轨道在同一平面内.已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引 力势能之和 E ? ?G

Mm , 式中 G 是引力常量, 是地球的质量, 为椭圆轨道的半长轴. M a 设 2a

地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体 与地球相碰处的纬度是多少?

第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
一、选择题. (共 35 分) 答案: 1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多 项是正确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分. 6.答案与评分标准:

?? (8 分) 2? d

7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:

评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代表 玻璃砖的两个透明面,根据题意,实线间的距离大于虚线间的距离, 如图所示.根据实线位置定出的折射角为 γ,按实际的玻璃砖两透 明面的位置即虚线定出的折射角为 γ' ,由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆 球的质量,F 表示摆线对摆球的拉力,T 表示摆球作题图所示运动 的周期.有

2? F s i n ? m l s ?n ( ? i T

2

)

(l) (2)

F cos ? ? mg
由(l)(2)式得 、

T ? 2?

l cos ? g T ? ? 2? l g

(3)

而单摆的周期公式为

即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在水 平面内作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出的重 力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有

? ? I1R ? I1r
? ? I2r ? I2
RRx R ? Rx

(1)

(2)

? ? ? ? ? I3 R ? ? ? I 3 ? Rx ? RRx ? r ? ? R?R ? x ? ?
解以上三式得

(3)

??

( I 2 ? I 3 ) I1 R I 2 ? I1 ( I1 ? I 3 ) R I 2 ? I1 I3 R I 2 ? I3

(4)

r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测 电流,都得 0 分.

第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有

? ? I1 ( R ? Rx ? r )

(1) (2) (3)

? ? I2 (R ? r)
? ? I3 ( Rx ? r )
解以上三式得

??

I1 I 3 R I 3 ? I1 I1I 2 ? I1I3 ? I 2 I 3 R I 2 ( I3 ? I1 ) I 3 ( I 2 ? I1 ) R I 2 ( I 3 ? I1 )

(4)

r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有

mA c 2 ?

1 1 2 2 m? v? ? mB vB ? m? c 2 ? mB c 2 2 2

(2)

解(l)(2)二式得 、

m? 1 2 mB vB ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB mB 1 2 m? v? ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB
评分标准:本题 18 分.

(3)

(4)

(1)式 4 分, (2)式 8 分, 、 (3)(4)各 3 分. 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和缝 3.粒子从缝 1 进 人磁场, 在洛仑兹力作用下作圆周运动, 圆轨道在原点与 x 轴相切, 故其圆心必在 y 轴上. 若 以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱面相碰于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin450 (2) y=R-R cos450 (3) 由(l)(2)(3)式得 r=3R 、 、 (4) 由洛仑兹力和牛顿定律有

v2 q v B? m0 0 r mv0 3qR

(5)

由(4)(5)式得 、

B?

(6)

评分标准:本题 18 分. (1)(2)(3)式各 4 分, 、 、 、 、 (4)(5)(6)式各 2 分. 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆 圆心的连线与缝 3 的交点. 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的 从 表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、d 两圆圆 心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点.由于粒子在 磁场中做圆运动过 A 点,因此这个轨道的圆心必在过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上;同时这个轨道经过 C 点,所以轨道的圆心也一定在 AC 的 垂直平分线 DE 上. 这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心, 就是轨 AE 道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则

有 由图可知

?AHC∽?EDA AC r? AD HC

(1)

HC ? R ?

2 R 2 2 R 2

(2)

AH ? 2 R ?

(3)

AC ? AH 2 ?HC 2
A D?
由以上各式得 r=3R

(4) (5) (6)

1 AC 2

由洛仑兹力和牛顿定律有

v2 q v B? m0 0 r mv0 3qR

(7)

得到

B?

(8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, 、 (4)(5)式各 1 分, 、 、 (2)(3) 、 (6)(7)(8)式各 1 分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其 大小 FB=BIl,方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大 小为 Fμ,方向向左.根据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加 的动能,即有

WF ? WFB ? W

F?

?

1 2 mv 2

(1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的 功,WFμ 为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx (2) 因安培力的大小是变化的, 安培力对杆做的功用初等数学无法计算, 但杆克服安培力做 的功等于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 WFμ=-Fμx (4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a (5) 2 而 a=2x0/t (6) 由(4)(5)(6)三式得 、 、

WF? ? ?2m0

x0 x t2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流

I0 ?
由(8)(9)式得 、

?
R

(9)

v?

I0 R Bl

(10)

由(l)(2)(3)(7)(10)各式得 、 、 、 、

ER ? ( F ? 2m0

x0 1 I 2 R2 )x ? m 02 2 t2 2 Bl

(11)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分. 15.参考解答: 解法一

用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中气 体处在平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度 相等) ,由理想气体状态方程有 p1V1=n1RT (1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态 时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知 S2=2S1 (4) 由(3)(4)式得 、 p1+p2=2p0 (5) 由(l)(2)(5)三式得 、 、

n1 p0V2 n2 p1 ? n V1 ? 1 V2 n2 2

(6)

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的 压强.加热前 L1 中气体的压强则为

n1 p0V20 n2 p10 ? n V10 ? 1 V20 n2 2

(7)

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两 活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是 向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一 定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6)(7)(9)(10)四式得 、 、 、

n1 p0 (V10 ? V20 )?V n2 p1 ? p10 ? n n [V10 ? ?V ? 1 (V20 ? ?V )](V10 ? 1 V20 ) n2 n2 2

(11)

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦不变;若加热前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若 加热前 V10>V20, 则 p1> p10,即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分.

得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、V2 分别表示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气体 的温度是相等的,设为 T0,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两 个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 (2) 由(l)(2)两式得 、 p1-p10=- (p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有

p1V1 T ? p10V10 T0
对 L :中的气体有

(4)

p2V2 T ? p20V20 T0
由(4)(5)两式得 、

(5)

p1V1 pV ? 2 2 p10V10 p20V20
(6)式可改写成

(6)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ? p20 V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 20 ) p10 V10 p20 V20

(7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3)(8)式代入(7)式得 、

(8)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ?p V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 1 10 )(1 ? 1 10 ) p10 V10 p20 V20

(9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的 体积,则加热后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分, 最后结论得 6 分. 16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运动的速度, 以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有

G

Mm1 v2 ? m1 1 ( R ? h) 2 R?h

(1)

式中 G 是引力常量.由(l)式得

v1 ?

GM ? R?h

R GM R?h R

(2)

以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等 于卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

Mm2 Mm2 1 2 m2 v2 ? G ? ?G 2 R?h 2a
式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(3)

v2 ?

2GM GM 2R R GM ? ? ? R?h a R?h a R

(4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

v?

m1v 1? m v 2 m1 ? m2

2

(6)

由(2)(4)(6)三式并代人有关数据得 、 、

GM v?0.7520 R

(7)

结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R, 则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量

?G

M (m1 ? m 2) 1 M (m 1 m )2 ? ? (m1 ? m2 )v 2 ? G 2a? 2 R?h

(8)

代人有关数据得 a '=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极, 如图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方 程

r?

p 1 ? e cos ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有

e?

rm a x? r 2a?

min

(? 0 . 3 6 3 5 )

(13)

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有

(14) (15)



p 1 ? e c o? s p?R cos ? ? eR R?

(16) (17)

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2)(3)或(4)(5)或(6)式各 2 分, 、 、 (8)式 3 分, (10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11)(12)(13)(14)或(15)(16)或(17)式各 l 分, 、 、 、 、 (19) 0 0 式 2 分(答案在 141 到 142 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点 和远地点并由远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 a ? 2 b? 2
离 rmax=R+h 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax-a'(=1912km) 而

(20)

式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心的距 (21) (22) (23)

b? ? a?2 ? c2

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将 (24)(25)式代入轨道方程(20)式,经整理得 、
2 ? ? R2 ( b 2? a 2) c o ? ? s 2 ?2 2c R c o s ? a2 ? 2 ? a2? R ? b b ??

0 (27)

引人以下符号并代人有关数据得
1 ? ? ( ? ? R2 ( b 2 ? a 2) ? ? 1 4 8 4 1 10 m ) ? k

? ? 2b?2 c R ? 5 8 4 ? 1110 m ) ( 6 k
ht

? ? ? R 5 ? ? b?2 c2 ? a 2 b 2? a 2 ( 2? 4 6 5 ? 1 01 1k m)
代入(27)式得

? c o 2 ? ? ? c o s? ?? 0 s ?
解得

(28)

cos ? ?

?? ? ?2 ? ? ? 4 2?

(29)

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) θ=141.320 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20)(21)(22)(23)或(24)(27)式各 l 分, 、 、 、 、 (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 1 分.

第 26 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、填空(问答)题(每题 5 分,共 25 分) 1.有人设想了一种静电场:电场的方向都垂直于纸面并指向纸里, 电场强度的大小自左向右逐渐增大,如图所示。这种分布的静电场是否 可能存在?试述理由。

2.海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆,近日点到太阳中心的距离为 0.914 天文单 位(1 天文单位等于地日间的平均距离) ,则其近日点速率的上限与地球公转(轨道可视为 圆周)速率之比约为(保留 2 位有效数字) 。 ; 另一方面, 即使穿绝缘性能良好的电 工鞋操作,测电笔仍会发亮,原因是 。 4.在图示的复杂网络中,所有 电源的电动势均为 E0,所有电阻器 的电阻值均为 R0,所有电容器的电 容均为 C0,则图示电容器 A 极板上 的电荷量为 。 A 5.如图,给静止在水平粗糙地 面上的木块一初速度,使之开始运 动。一学生利用角动量定理来考察 此木块以后的运动过程: “把参考点设于如图所示的地面 上一点 O,此时摩擦力 f 的力矩为 0,从而地面木块的角 动量将守恒,这样木块将不减速而作匀速运动。 ”请指出 上述推理的错误,并给出正确的解释: 。 二、 (20 分)图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完 全相同的轻质细桌腿 1、2、3、4 支撑于桌角 A、B、C、 D 处,桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力 后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点 O 至角 A 的连 C 2 3 B O F P D 4 A O f v 3.用测电笔接触市电相线,即使赤脚站在地上也不会触电,原因是

OP ? c ,求 线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F,令 OA
桌面对桌腿 1 的压力 F1。 三、 (15 分)

1

1. 一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体系, 置于光滑水平桌面上,

弹簧的另一端与固定墙面相连,小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 作匀速运动的参考系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由。

。 2.若不考虑太阳和其他星体的作用,则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月 球都看作是质量均匀分布的球体,它们的质量分别为 M 和 m,月心-地心间的距离为 R,万 有引力恒量为 G。学生甲以地心为参考系,利用牛顿第二定律和万有引力定律,得到月球相

M ;学生乙以月心为参考系,同样利用牛顿第二定律 R2 m 和万有引力定律,得到地球相对于月心参考系的加速度为 a e ? G 2 。这二位学生求出的 R
对于地心参考系的加速度为 a m ? G 地-月间的相对加速度明显矛盾,请指出其中的错误,并分别以地心参考系(以地心速度作 平动的参考系)和月心参考系(以月心速度作平动的参考系)求出正确结果。 四、 (20 分)火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度 T1、压强 p1 的炽热高压气体在 燃烧室内源源不断生成,并通过管道由狭窄的喷气口排入气压 p2 的环境。假设燃气可视为 理想气体, 其摩尔质量为 μ, 每摩尔燃气的内能为 u=cVT V 是常量, 为燃气的绝对温度) (c T 。 在快速流动过程中, 对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体, 可以认为它与周围 没有热交换,但其内部则达到平衡状态,且有均匀的压强 p、温度 T 和密度 ρ,它们的数值 随着流动而不断变化,并满足绝热方程 pV
cV ? R cV

,式中 R 为普适气体常量,求 ? C (恒量)

喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。 五、 (20 分)内半径为 R 的直立圆柱器皿内盛水银,绕圆柱轴线匀速旋转(水银不溢, 皿底不露) ,稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点,纵坐标轴 z 与 圆柱器皿的轴线重合,横坐标轴 r 与 z 轴垂直,则液面的方程为 z ?

?2
2g

r 2 ,式中 ω 为旋转

角速度,g 为重力加速度(当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜) 。 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处,保持位置不变,然后使容器停转,待液面 静止后,发现与稳定旋转时相比,看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳 定旋转水银面最低点的距离。 六、 (20 分)两惯性系 S′与 S 初始时刻完全重合,前者相对后者沿 z 轴正向以速度 v 高 速运动。作为光源的自由质点静止于 S′系中,以恒定功率 P 向四周辐射(各向同性)光子。 在 S 系中观察,辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应) 。 1.在 S 系中观察,S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以 x 轴为轴线的圆锥内。 求该圆锥的半顶角 α。已知相对论速度变换关系为

ux ?

u? ? v x 1 ? u? v / c 2 x

式中 ux 与 ux′分别为 S 与 S′系中测得的速度 x 分量,c 为光速。 2.求 S 系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量。

七、 (20 分) 1.设想光子能量为 E 的单色光垂直入射到质量为 M、以速度 V 沿光入射方向运动的理 想反射镜(无吸收)上,试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量 E′。可取以下 近似:

E V ?? ?? 1 ,其中 c 为光速。 2 c Mc

2.若在上述问题中单色光的强度为 Φ, 试求反射光的强度 Φ′ (可以近似认为光子撞击 镜子后,镜子的速度仍为 V) 。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积 的光子的能量。 八、 (20 分)惰性气体分子为单原子分子,在自由原子情形下,其电子电荷分布是球对 称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近,则彼此能因静电作用产生极化(正负 电荷中心不重合) ,从而导致有相互作用力,这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一 种简化模型来研究此问题。 当负电中心与原子核不重合时, 若以 x 表示负电中心相对正电荷 (原子 核)的位移,当 x 为正时,负电中心在正电荷的右侧,当 x 为负时,负电中 心在正电荷的左侧,如图 1 所示。这时,原子核的正电荷对荷外负电荷的 负电荷的质量全部集中在负电中心,此原子可用一弹簧振子来模拟。 今有两个相同的惰性气 体原子,它们的原子核固定, 相距为 R,原子核正电荷的电 荷量为 q,核外负电荷的质量 为 m。因原子间的静电相互作 用,负电中心相对各自原子核 x1 x2 - R 图2 + 图1 x -

作用力 f 相当于一个劲度系数为 k 的弹簧的弹性力,即 f=-kx,力的方向指向原子核,核外







的位移分别为 x1 和 x2,且|x1|和|x2|都远小于 R,如图 2 所示。此时每个原子的负电荷除受到 自己核的正电荷作用外,还受到另一原子的正、负电荷的作用。 众所周知,孤立谐振子的能量 E=mv2/2+kx2/2 是守恒的,式中 v 为质量 m 的振子运动的 速度, 为振子相对平衡位置的位移。 x 量子力学证明, 在绝对零度时, 谐振子的能量为 hω/2, 称为零点振动能, ? ? h / 2? ,h 为普朗克常量,? ?

k / m 为振子的固有角频率。试计算

在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量, 与两个相 距足够远的(可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的)惰性气体原子的能量差,并从结 果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。 可利用当|x|<<1 时的近似式(1+x)1/2≈1+x/2-x2/8, (1+x)-1≈1-x+x2。

第 26 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
参考解答与评分标准
一、填空(问答)题.每小题 5 分,共 25 分.按各小题的答案和评分标准评分. 1. 答案与评分标淮: 这种分布的静电场不可能存在.因为静电场是保守场,电荷沿任意闭合路径一周电场力 做的功等于 0, 但在这种电场中, 电荷可以沿某一闭合路径移动一周而电场力做功不为 0. (5 分) 2.答案与评分标淮: 1.5. 分) (5 3.答案与评分标淮: 测电笔内阻很大, 通过与之串联的人体上的电流 (或加在人体上的电压) 在安全范围内; (2 分) 市电为交流电,而电工鞋相当于一电容器,串联在电路中仍允许交流电通过. 分) (3 4.答案与评分标淮: (5 2E0 C0 . 分) 5.答案与评分标淮: 该学生未考虑竖直方向木块所受的支持力和重力的力矩.仅根据摩擦力的力矩为零便推 出木块的角动量应守恒,这样推理本身就不正确.事实上,此时支持力合力的作用线在重力 作用线的右侧,支持力与重力的合力矩不为 0,木块的角动量不守恒,与木块作减速运动不 矛盾. 分) (5 错误!未找到引用源。 二、 参考解答: 设桌面对四条腿的作用力皆为压力,分别为 F 、 F2 、 F3 、 F4 .因轻质刚性的桌面处 1 在平衡状态,可推得

F1 ? F2 ? F3 ? F4 ? F .
误!未找到引用源。 由于对称性,



F2 ? F4 .
考察对桌面对角线 BD 的力矩,由力矩平衡条件可得

错误!未找到引用源。

F3 ? cF ? F1 .

错误!未找到引用源。

根据题意, 0 ? c ? 1 ,c=0 对应于力 F 的作用点在 O 点,c=1 对应于 F 作用点在 A 点.

设桌腿的劲度系数为 k , 在力 F 的作用下,腿 1 的形变为 F1 k ,腿 2 和 4 的形变均为

F2 k , 腿 3 的 形 变 为 F3 k . 依 题 意 , 桌 面 上 四 个 角 在 同 一 平 面 上 , 因 此 满 足
1 ? F1 F3 ? F2 , 即 ? ? ?? 2? k k? k

F1 ? F3 ? 2F2 .
由(1)、(2)、(3)、(4)式,可得

错误!未找到引用源。

2c ? 1 F, 4 1 ? 2c F3 ? F, 4 F1 ?
当c ?

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

1 时, F3 ? 0 . F3 ? 0 ,表示腿 3 无形变; F3 ? 0 ,表示腿 3 受到桌面的作用力为拉 2

力,这是不可能的,故应视 F3 ? 0 .此时(2)式(3)式仍成立.由(3)式,可得

F1 ? cF .
综合以上讨论得

(7)

F1 ?

2c ? 1 F, 4

0?c?

1 . 2

(8) (9)

F1 ? cF ,
评分标准:本题 20 分.

1 ? c ?1 . 2

(1)式 1 分,(2)式 1 分,(3)式 2 分,(4)式 7 分,得到由(8)式表示的结果得 4 分,得到由 (9)式表示的结果得 5 分. 错误!未找到引用源。 三、 参考解答: 1.否.原因是墙壁对于该体系而言是外界,墙壁对弹簧有作用力,在运动参考系里此力 的作用点有位移,因而要对体系做功,从而会改变这一体系的机械能. 2.因地球受月球的引力作用,月球受地球的引力作用,它们相对惯性系都有加速度,故 它们都不是惯性参考系.相对非惯性参考系,牛顿第二定律不成立.如果要在非惯性参考系 中应用牛顿第二定律,必须引入相应的惯性力;而这两位学生又都未引入惯性力,所以他们 得到的结果原则上都是错误的. 以地心为参考系来求月球的加速度.地心系是非惯性系,设地球相对惯性系的加速度的
? 大小为 ae ,则由万有引力定律和牛顿第二定律有

G

Mm ? ? Mae , R2

错误!未找到引用源。

加速度的方向指向月球.相对地心参考系,月球受到惯性力作用,其大小

? ? fm ? mae ,

错误!未找到引用源。

方向指向地球,与月球受到的万有引力的方向相同.若月球相对地心系的加速度为 am ,则 有

G
由(1)、(2)、(3)三式,得

Mm ? ? f m ? mam . R2

错误!未找到引用源。

am ? G
加速度的方向指向地球.

M ?m , R2

错误!未找到引用源。

以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系,设月球相对惯性系的加速度
? 的大小为 am ,则由万有引力定律和牛顿第二定律有

G

Mm ? ? mam , 2 R
? ? f M ? Mam ,

错误!未找到引用源。

加速度的方向指向地球.相对月心参考系,地球受到惯性力作用,惯性力的大小 错误!未找到引用源。

方向指向月球,与地球受到的万有引力的方向相同.若地球相对月心系的加速度为 ae ,则 有

G
由(5)、(6)、(7)三式得

Mm ? f e? ? Mae . 2 R

错误!未找到引用源。

ae ? G

M ?m , R2

错误!未找到引用源。

加速度的方向指向月球. (4)式与(8)式表明, 地球相对月心系的加速度 ae 与月球相对地心系 的加速度 am 大小相等(方向相反),与运动的相对性一致. 评分标准:本题 15 分. 第 1 小问 5 分. 第 2 小问 10 分.指出不正确并说明理由,占 2 分;(1)至(8)式,每式 1 分. 错误!未找到引用源。 四、 参考解答: 于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面 A1 与 A 2 ,它们的面积分别为 S1 和 S 2 ,由题意,
p1 A1 B1 p2 A2 B2 ?V1 ?V2

S1 ?? S 2 ,以其间管道内的气体为研究对象,如图所示.设经过很短时间 ?t ,这部分气体

流至截面 B1 与 B2 之间, A1B1 间、 A 2 B2 间的微小体积分别为 ?V1 、 ?V2 ,两处气体密度 为 ?1 、 ?2 ,流速为 v1 、 v 2 .气流达到稳恒时,内部一切物理量分布只依赖于位置,与时 间无关.由此可知,尽管 B1A 2 间气体更换,但总的质量与能量不变. 先按绝热近似求喷气口的气体温度 T2 .质量守恒给出

?1?V1 ? ?2?V2 ,

错误!未找到引用源。

即 A 2 B2 气体可视为由 A1B1 气体绝热移动所得.事实上,因气流稳恒, A1B1 气体流出喷口 时将再现 A 2 B2 气体状态.对质量 ?m ? ?1?V1 ? ?2 ?V2 的气体,利用理想气体的状态方程

p?V ?
和绝热过程方程

?m

?

RT

错误!未找到引用源。

p1 ? ?V1 ?
可得

cV ? R cV

? p2 ? ?V2 ?
R cV ? R

cV ? R cV



错误!未找到引用源。

?p ? T2 ? ? 2 ? ? p1 ?

T1 .

错误!未找到引用源。

再通过能量守恒求气体的喷射速率 v 2 .由(1)式及 ?V ? Sv ?t ,可得

?1 S1 v1 ? ? 2 S 2 v2 ,

错误!未找到引用源。

? S S ? p ?c 再利用(1)、(3)式,知 v1 ? 2 2 v 2 ? 2 ? 2 ? ?1 S1 S1 ? p1 ? ? ?

V

cV ?R

v 2 ,因 S 2 ?? S1 , p2 ?? p1 ,故
错误!未找到引用源。

v 1 ?? v 2 .

整个体系经 ?t 时间的总能量 (包括宏观流动机械能与微观热运动内能) 增量 ? E 为 A 2 B2 部 分与 A1B1 部分的能量差.由于重力势能变化可忽略,在理想气体近似下并考虑到(6)式,有

?E ?

1 ?m 2 ?mv 2 ? cV ?T2 ? T1 ? . 2 ?

错误!未找到引用源。

体系移动过程中,外界做的总功为

W ? p1?V1 ? p2?V2 .
根据能量守恒定律,绝热过程满足

错误!未找到引用源。

?E ? W ,

R ? ? cV ?R 2?cV ? R ?T1 ? ? p 2 ? ?, 1? ? ? ? ? p1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

错误!未找到引用源。

v2 ?
其中利用了(2)、(4)两式. 评分标准:本题 20 分.

错误!未找到引用源。

(2)式 1 分,(3)式 2 分,(4)式 3 分,(6)式 1 分,(7)式 6 分,(8)式 4 分,(9)式 1 分,(10) 式 2 分. 错误!未找到引用源。 五、 参考解答: 旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦,此抛物凹面镜的焦距为

f ?
由(1)式,旋转抛物面方程可表示为

g . 2? 2

错误!未找到引用源。

r2 . z? 4f
抛物液面最低点以上的水银,在半径 R 、高

错误!未找到引用源。

停转后液面水平静止. 由液体不可压缩性, 知液面上升. 以下求抛物液面最低点上升的高度.

R 2 4 f 的圆柱形中占据体积为 M 的部分, 即附图中
左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体;其余体积

V

M

?

为 V 的部分无水银.体 M 在高度 z 处的水平截面为圆环,利用抛物面方程,得 z 处圆环面 积

S M ? z ? ? π ? R 2 ? r 2 ? ? π ? R 2 ? 4 fz ? .

错误!未找到引用源。

将体 V 倒置,得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体 ? ,相应抛物面方程变为

R2 ? r 2 , z? 4f
其高度 z 处的水平截面为圆面,面积为

错误!未找到引用源。

S? ? z ? ? πr 2 ? π ? R 2 ? 4 fz ? ? S M ? z ? . 错误!未找到引用源。
由此可知

1 2 R2 , M ? ? ? V ? πR 2 4f
即停转后抛物液面最低点上升

错误!未找到引用源。

h?

M R2 . ? πR 2 8 f

错误!未找到引用源。

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜,抛物镜的焦点就是球面镜的焦 点,故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反 射而成,而先后看到的像的大小、正倒无变化,这就要求两像对眼睛所张的视角相同.设眼 长为 y 0 .凹面镜成像时,物距 u 即所求距离,像距 v 与像长 y 分别为

v?

fu , u- f

错误!未找到引用源。

y??

v f y0 ? y0 . u f ?u

错误!未找到引用源。

平面镜成像时,由于抛物液面最低点上升,物距为

u? ? u ? h ? u ?
像距 v? 与像长 y? 分别为

R2 , 8f

错误!未找到引用源。

v? ? -u? , v? y? ? ? y0 ? y0 . u?
两像视角相同要求

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

y y? ? , u ? v u? - v?


错误!未找到引用源。

1 1 , ? 2 2u ? u f 2u ? R 2 4 f
此处利用了(8)—(12)诸式.由(14)式可解得所求距离

错误!未找到引用源。

u?
评分标准:本题 20 分.

R . 2

错误!未找到引用源。

(1)式 1 分,(7)式 4 分,(8)、(9)式各 2 分,(10) 、(11)、 (12)式各 1 分,(13)式 6 分,(15) 式 2 分. 错误!未找到引用源。 六、 参考解答: 1.先求两惯性系中光子速度方向的变换关系.根据光速不变原理,两系中光速的大小 都是 c .以 ? 和 ? ? 分别表示光子速度方向在 S 和 S? 系中与 x 和 x? 轴的夹角,则光速的 x 分 量为

ux ? c cos ? , u? ? c cos ? ? . x
再利用相对论速度变换关系,得

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

cos? ?

cos ? ? ? v c . 1 ? vcos? ? c

错误!未找到引用源。

S? 系中光源各向同性辐射,表明有一半辐射分布于 0 ? ? ? ? π 2 的方向角范围内,S 系
中,此范围对应 0 ? ? ? ? .由上式求得

v 2 c ? arccos v . ? ? arccos v ? c 1 ? cos c 2 cos ?
可以看出,光源的速度 v 越大,圆锥的顶角越小.

?

错误!未找到引用源。

2. S ? 系中,质点静止,在 ? t ? 时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少,即

P?t? ? ?m0c2 ,

错误!未找到引用源。

式中 ?m0 为 ? t ? 时间内质点减少的质量. S 系中,质点以速度 v 匀速运动,由于辐射,其动 质量减少 ? m ,故动量与能量亦减少.转化为光子的总动量为 ?p ? ?mv ,即

?p ?
转化为光子的总能量为 ?E ? ?mc ,即
2

?m0 v 1 - v2 c2



错误!未找到引用源。

?E ?

?m 0 c 2 1? v2 c2



错误!未找到引用源。

S? 系中光源静止,测得的辐射时间 ?t? 为本征时,在 S 系中膨胀为

?t ?

?t ? 1 ? v2 c2



错误!未找到引用源。

由以上各式可得在 S 系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为

?p vP ? , ?t c 2 ?E ?P. ?t
评分标准:本题 20 分. 第 1 小问 7 分.(3)式 4 分,(4)式 3 分.

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

第 2 小问 13 分.(5)、 (6) 、(7)式各 2 分,(8)式 3 分,(9) 、(10) 式各 2 分.

错误!未找到引用源。 七、 参考解答: 1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为

E c ? MV ? ? E? c ? MV ? ,

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

E ? MV 2 2 ? E? ? MV ?2 2 .
其中 V ? 为碰撞后反射镜的速度.从上两式消去 V ? ,得

E ? E? ?
源。

4E 1?V c ?

?1 ? V c ?
E? ? E

2

? 4 E Mc 2

?

2E .错误! 未找到引用 1?V c

1?V c 1?V c



误!未找到引用源。 当

V 1 ?? 1 时, ? 1 ? V c ,可得 c 1?V c

E ? ? E?1? 2V c ? .
2.考察时刻 t 位于垂直于光传播方向的截面 A 左侧的长为光 在 1s 时间内所传播的距离 c?1s、 底面积为单位面积柱体内的光子, 如图 1 所示.经过 1s 时间,它们全部通过所考察的截面.若单位 体积中的光子数为 n ,根据光强的定义,入射光的强度

错误!未找到引用源。 A S1 图1 A V S1 S2 S2 S1 a S1 图2 N N’ S2

Φ ? ncE

(6)

若 A 处固定一反射镜,则柱体的底面 S2 处的光子 在时刻 t 到达位于 A 处的反射镜便立即被反射, 以光速 c 向左移动;当柱体的底面 S1 在 t+1s 到达 A 处被反射 镜反射时, 这柱体的底面 S2 已到达 A 左边距离 A 为 c?1s 处,所有反射光的光子仍分布在长为 c?1s、截面积为 单位面积的柱体内, 所以反射光的强度与入射光的强度 相等. 如果反射镜不固定,而是以恒定的速度 V 向右移 动,则在时刻 t+1s 柱体的底面 S1 到达 A 处时,反射镜 S2 c?t?

已移到 A 右边距离为 V?1s 的 N 处,这时底面 S2 移到 A 左侧离 A 的距离为 c?1s 处,如图 2 中 a 所示.设再经过时间 ?t ,S1 与镜面相遇,但这时镜面己来到 N ? 处,因为在 ?t 时间内, 镜面又移过了一段距离 V?t ,即在时刻 t ? 1s ? ?t ,底面 S1 才到达反射镜被反射.亦即原在 S1 处的光子须多行进 cΔt 的距离才能被反射.因此

c?t ? ?1s ? ?t ?V



?t ?

V c ?V

(7)

而这时, 底面 S2 又向左移了一段距离 c?t . 这样反射光的光子将分布在长为 c ? 1s ? 2c?t 的 柱体内.因反射不改变光子总数,设 n ? 为反射光单位体积中的光子数,有

cV ? c ?V ? nc ? n?? c ? 2 ? ? n?c c ?V ? c ?V ?
故有

n? ? n
根据光强度的定义,反射光的强度

c ?V . c ?V

(8)

? ? ? n?cE ? .
由(4)、(8)、(9)各式得

(9)

? c ?V ? ?? ?? ? ? . ? c ?V ?
2

(10)

注意到 V ?? c 有

? ? ? ? ?1 ?
评分标准:本题 20 分.

? ?

4V c

? ?. ?

(11)

第 1 小问 9 分. (1)、(2)式各 2 分,(4)或(5)式 5 分. 第 2 小问 11 分.(8)式 5 分,(9)式 3 分,(10) 或(11)式 3 分. 错误!未找到引用源。 八、 参考解答: 两个相距 R 的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分:每个原子的负电中心振 动的动能, 每个原子的负电中心因受各自原子核 “弹性力” 作用的弹性势能, 一个原子的正、 负电荷与另一原子的正、 负电荷的静电相互作用能.以 v1 和 v2 分别表示两个原子的负电中心 振动速度, x1 和 x2 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移,则体系的能量

E?
误!未找到引用源。 式中 U 为静电相互作用能

1 2 1 2 1 2 1 2 mv1 ? mv2 ? kx1 ? kx2 ? U , 2 2 2 2



?1 1 1 1 U ? kC q 2 ? ? ? ? ? R R ? x1 ? x2 R ? x1 R ? x2

? ?, ?

(2)

? x ?x ? ? x ? kC 为 静 电 力 常 量 . 因 R ? x1 ? x2 ? R ?1 ? 1 2 ? , R ? x1 ? R ?1 ? 1 ? , R ? R? ? ? ? x ? R ? x2 ? R ?1 ? 2 ? ,利用 ?1 ? x ??1 ? 1 ? x ? x 2 ,可将(2)式化为 R? ?
U ??
因此体系总能量可近似表为

2kC q 2 x1 x2 , R3

(3)

1 1 1 2 1 2 2k q 2 x x E ? mv 2 ? kx12 ? mv2 ? kx2 ? C 3 1 2 . 1 2 2 2 2 R
注意到 a ? b
2 2

(4)

? a ? b? ? ? a ? b? ?
2

2

2

和 2ab ?

? a ? b? ? ? a ? b?
2

2

2

,可将(4)式改写为

E?
式中,

1 1? 2k q 2 ? 1 1? 2k q 2 ? 2 2 mu12 ? ? k ? C3 ? y12 ? mu 2 ? ? k ? C3 ? y2 . 2 2? R ? 2 2? R ?

(5)

u1 ? ?v1 ? v2 ? u2 ? ?v1 ? v2 ?

2, 2,

(6) (7) (8) (9)

y1 ? ? x1 ? x2 ? y2 ? ? x1 ? x2 ?

2, 2.

(5)式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和,而这两个振子的固有角频率分别为

?1 ?

k ? 2kCq 2 R3 , m

(10)

k ? 2kCq 2 R3 . ?2 ? m
在绝对零度,零点能为

(11)

E0 ?

1 ? ??1 ? ?2 ? , 2

(12)

两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为 E10 和 E20 ,有

E10 ? E20 ?
式中

1 ??0 , 2

(13)

?0 ?

k m

(14)

为孤立振子的固有角频率. 由此得绝对零度时, 所考察的两个惰性气体原子组成的体系的能 量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为

?E ? E0 ? ? E10 ? E20 ? .
利用 ?1 ? x ?
12

(15)

? 1 ? x 2 ? x 2 8 ,可得

?E ? ?

2 ? kC q 4 . 2 k 3 2m1 2 R 6

(16)

?E ? 0 ,表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引.
评分标准:本题 20 分. (1)式 1 分,(2)式 3 分,(4)式 3 分,(10)、(11)式各 4 分, (12)式 2 分, (16)式 2 分, 末句说明占 1 分.


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