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两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案


个性化学案

两角和与差的正弦、余弦、正切公式
适用学科 适用区域 知识点
数学 北京

适用年级 课时时长 (分钟)

高一 120

1.理解两角和与差的余弦、 正弦和正切公式体会三角恒等变换特点的过程; 2.掌握两角和与差的余弦、 正弦和正切公式的应用及 a sin ? ?

b cos ? 类型 的变换。

学习目标 学习重点 学习难点

理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法, 体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

学习过程
一、复习预习
(1)大家首先回顾一下两角差的余弦公式: cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? . (2) sin ? ? cos ? 基本公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

二、知识讲解
问题:由两角差的余弦公式,怎样得到两角差的正弦公式呢? 探究 1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .

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sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ?? ?? ? ? sin ? cos ? ?? ? ? cos? sin ? ?? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
探究 2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生 动手)

tan ?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

探究 3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

探究 4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢? (分式分子、分母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

5、将 S (? ? ? ) 、C(? ? ? ) 、T(? ? ? ) 称为和角公式,S (? ?? ) 、C(? ?? ) 、T(? ? ? ) 称为差角公式。

三、例题精析
【例题 1】 【题干】 已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角, 求 sin ? 【答案】-7 【解析】因为 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? ?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?

3 5

? 3? ? 5?

2

4 , 5

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5 ?
于是有: sin ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

个性化学案

? 3 ? ?1 ? ? tan ? ? tan 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ? ?7 ? 3? 4 ? ? ? 1 ? tan ? tan 1? ? ? ? 4 ? 4?
【例题 2】 【题干】 (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ; (2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ; (3)

1 ? tan15 . 1 ? tan15

【答案】0.5;0; 3 【解析】 (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ? sin 72 ? 42 (2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ? cos 20 ? 70

?

? ? sin 30

?

1 ; 2

?

? ? cos90

?0;

(3) 【例题 3】

1 ? tan15 tan 45 ? tan15 ? ? tan ? 45 ? 15 ? ? tan 60 ? 3 . 1 ? tan15 1 ? tan 45 tan15

【题干】化简 2 cos x ? 6 sin x 【答案】
?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? ? 2 cos x ? 2 sin x ? ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 sin ?30 ? x ? ? ?

【解析】 此题与我们所学的两角和与差正弦、 余弦和正切公式不相象, 我们能否发现规律呢?

?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? cos x ? sin x ? ?2 ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 sin ?30 ? x ? 2 ? ?

四、课堂运用
【基础】已知:函数 f ( x) ? 2 sin x ? 2 3 cos x,

x?R

(1) 求 f ( x) 的最值。 (2)求 f ( x) 的周期、单调性。

n ? (cos A, sin A) , 【巩固】 已知 A、 B、 C 为△ABC 的三內角, 向量 m ? (?1, 3) , 且 m ? n ? 1,
(1) 求角 A。 (2)若

?

?

?

?

1 ? 2 sin B ? cos B ? ?3 ,求 tanC 的值。 cos 2 B ? sin 2 B

个性化学案

【拔高】在△ABC 中, sin A sin B ? cos A cos B ,则△ABC 为( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形

D.等腰三角形

课后作业
【基础】 (1) cos 15 ?

(2) cos 80 ? cos 20 ? ? sin 80 ? sin 20 ?

(3) cos 130 ? cos 10 ? ? sin 130 ? sin 10 ?

(4)求cos75°cos105°+sin75°sin105°

(5)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB. (6) cos 91? cos 29 ? ? sin 91? sin 29 ? 【拔高】

1.已知 sinθ =

,且θ 为第二象限角,求 cos(θ -

)的值.

2.已知 sin(30°+α )=

,60°<α <150°,求 cosα .

3. 化简 cos(36°+α )cos(α -54°)+sin(36°+α )sin(α -54°).

4.已知 sin ? ?

3 2 ? ? ? 3? ,? ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? ? ? ? , 5 3 2 ?2 ? ?

? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? ?


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