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正弦定理余弦定理综合应用


正弦定理与余弦定理
一、知识梳理
1.内角和定理:在 ? ABC 中, A ? B ? C ? ? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C

面积公式:

S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 在三角形中大边对大角,反之亦然.

2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? ? 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

形式二:

?a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

形式三: a : b : c ? sin A : sin B : sin C

sin A ?
形式四:

a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍.. 形式一: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 cc ao s B c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C (解三角形

的重要工具)

cos A ?
形式二:

b2 ? c2 ? a 2 2bc

cos B?

a 2 ? c 2? b 2 a 2 ? b 2? c 2 cos C? 2ac 2ab

二、方法归纳
a b c ? ? (1)已知两角 A、B 与一边 a ,由 A+B+C=π 及 sin A sin B sin C ,可求出角 C,再求 b 、 c .
(2)已知两边 b 、 c 与其夹角 A,由 a = b + c -2 b c cosA,求出 a ,再由余弦定理,求出角 B、C.
2 2 2

(3)已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角 A、B、C.

a b ? (4)已知两边 a 、 b 及其中一边的对角 A,由正弦定理 sin A sin B ,求出另一边 b 的对角 B,由
a c a b ? ? C=π -(A+B),求出 c ,再由 sin A sin C 求出 C,而通过 sin A sin B 求 B 时,可能出一解,两解
或无解的情况

a = b sinA 有一解

b > a > b sinA 有两解

a ≥ b 有一解

a > b 有一解

三、例题
例 1、在 ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ① B=60°,b2=ac; ② b2tanA=a2tanB; ③ sinC=

sin A ? sin B cos A ? cos B

例 2、在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB=

1 .(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 3

C 的对边, a, b, c 分别为内角 A , [例 3] 在 △ ABC 中, 且 2a sin A ? ? 2b ? c ? sin B ? ? 2c ? b ? sin C . B,

(1)求 A 的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值.

[例 4] 已知 △ ABC 的内角 A , B 及其对边 a , b .满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C .

[例 5] 如图,已知 △ ABC 是边长为 1 的正三角形,M 、 N 分别是边 AB 、 AC 上的点,线段 MN 经 过 △ ABC 的中心 G ,设 ?MGA ? ? (

?
3

?? ?

2? ) 3
A

(1)试将 △ AGM 、 △ AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 ? 的函数; (2)求 y ?

1 1 + 2 的最大值与最小值. 2 S1 S2
M B D G

N

C

2

[例 6] 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H (单位 m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度
h ? 4m ,仰角 ?ABE ? ?

, ?ADE ? ?

(1) 该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值, tan ? ? 1.24 , tan ? ? 11.20 ,请据此算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位 m) ,使 ? 与 ? 之 差较大,可以提高测量精度,若电视塔实际高度为 125m ,试问 d 为多少时, a ? ? 最大?
E C D βB α d A

【例 7】 (2009 全国卷Ⅰ理) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、b 、c , 已知 a ? c ? 2b ,
2 2

且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b

巩固习题
一 选择题 1. 在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 ?ABC 一定是( A、等腰三角形 B、直角三角形
0

)

C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形
2

2. 在 ?ABC 中, A ? 60 ,且最大边长和最小边长是方程 x ? 7 x ? 11 ? 0 的两个根,则第三边 的长为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

3.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间的相距( A.a (km) ) B. 3 a(km) C. 2 a(km)
3

D.2a (km)

4.若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ΔABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形





5. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠ A=100° 二 填空题 6. 在 Rt △ABC 中,C= B.a=1,b= 2 ,∠ A=30° C.b=c=1, ∠ B=45°





?
2

,则 sin A sin B 的最大值是_______________.

7.

若 ?ABC 中, tan A ? , cos B ?

1 2

3 10 ,则角 C 的大小是__________ 10

8. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 2, b ? 3 , cos C = _______________. 9. A 为 ΔABC 的一个内角,且 sinA+cosA=

1 ,则其外接圆的半径为 3

7 , 则 ΔABC 是______三角形. 12

10.在 ΔABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为 12π,则外接圆的半径为_____. 三 解答题

11. 在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,BC=

20 3 ,求角 C。 3

12.在 △ ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c ,若 sin A ?

1 3 , sin B ? ,求 a : b : c 2 2

13.在 △ ABC 中 a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,若 2sin A(cos B ? cos C) ? 3(sin B ? sin C) , (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 61, b ? c ? 9 ,求 b 和 c 的值。

4

14、在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

15. 在△ABC 中,已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断△ABC 的形状。
2

16. 如图,A ,B 是海面上位于东西方向相聚 5 3 ? 3 海里的两个观测点, 现位于 A 点北偏东 45 ? ,
B 点北偏西 60 ? 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60 ? 且与点 B 相距 20 3 海里的
C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船达到 D 点需要多长时间?
北 A 60? D 45? 60? 北 B

?

?

C

17. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。

18. 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

5


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