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数列分组求和法


分组求和法 典题导入 [例 1] (2011· 山东高考)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某

一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. [自主解答] (1)当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3,故 an=2· 3n 1.


(2)因为 bn=an+(-1)nln an=2· 3n 1+(-1)nln(2· 3n 1)=2· 3n 1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-
- - -

1)nnln 3, 所以 S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n 1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln 2-ln 3)


1-32n +[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln 3=2× +nln 3=32n+nln 3-1. 1-3 由题悟法 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an=bn± cn, 且{bn}, {cn}为等差或等比数列, 可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
? ?bn,n为奇数, (2)通项公式为 an=? 的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数 ?cn,n为偶数 ?

列,可采用分组求和法求和. 以题试法 1.(2013· 威海模拟)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数), 且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. 解:(1)由 x1=3,得 2p+q=3,又因为 x4=24p+4q, x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4,得 3+25p+5q=25p+8q, 解得 p=1,q=1.

n?n+1? + (2)由(1),知 xn=2n+n,所以 Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n 1-2+ . 2

1 1 1 1 2.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…的前 n 项和 Sn 为( 2 4 8 16 A.n2+1- C.n2+1- 1 2
n-1

). 1 2n 1 2n-1

B.n2+2- D.n2+2-

1 2n

1 解析 由题意知已知数列的通项为 an=2n-1+ n, 2

则 Sn=

n? 1+2n-1?
2

1? 1? ?1- n? 2? 2? 1 + =n2+1- n. 1 2 1- 2

答案 C
3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

?a +2d=5, 由题意,得? 15×14 15a + d=225, 2 ?
1 1

?a1=1, 解得? ?d=2,

∴an=2n-1.

1 (2)∵bn=2an+2n= ·4n+2n, 2 ∴Tn=b1+b2+…+bn 1 = (4+42+…+4n)+2(1+2+…+n) 2 4n+1-4 2 2 = +n2+n= ·4n+n2+n- . 6 3 3
4.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解析 (1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,即

q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2.
所以{an}的通项为 an=2·2n-1=2n(n∈N*) 1-2n? n? n-1? (2)Sn= +n×1+ ×2=2n+1+n2-2. 1-2 2 1 1 1 1 1 1 1+ ?+?1+ + ?+…+?1+2+4+…+ n-1?. 5.求和 Sn=1+? 2 ? ? 2? ? 2 4? ? 2?
解 和式中第 k 项为 1?k 1-? ?2? 1 1- 2 1 1- k?. =2? ? 2?

1 1 1 ak=1+ + +…+ k-1= 2 4 2

? 1? ? 1 ? ? 1 ?? ∴Sn=2? ??1-2?+?1-22?+…+?1-2n??
1 1 1 =2[(1+1+…+1 ? -( + 2+…+ n)] 个 2 2 2 n 1? 1? 1- n 2? 2? 1 =2 n- 1 =2n-1+2n-2. 1- 2

? ? ?

? ? ?

6.数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, a2=2, an+2-an=1+(-1)n (n∈N*), 则 S100=________.
答案 2 600 解析 由 an+2-an=1+(-1)n 知 a2k+2-a2k=2, a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=…=a2n-1=1,数列{a2k}是等差数列,a2k=2k. ∴S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100) ?100+2?×50 =50+(2+4+6+…+100)=50+ =2 600. 2 n· 2n+1 3 9 25 65 7.求和:(1)Sn=2+4+ 8 +16+…+ 2n ; 1?2 ? 2 1 ?2 ? n 1 ?2 (2)Sn=? ?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? . n· 2n+1 1 解 (1)由于 an= =n+ n, 2n 2 1? ? 1? ? 1? ? 1? ∴Sn=? ?1+21?+?2+22?+?3+23?+…+?n+2n? 1 1 1 1? =(1+2+3+…+n)+? ?2+22+23+…+2n? 1 1? 1- n? n?n+1? 2? 2 ? n?n+1? 1 = + = - n+1. 2 1 2 2 1- 2 (2)当 x=± 1 时,Sn=4n.当 x≠± 1 时, 1?2 ? 2 1 ?2 1 2 n ? ? Sn=?x+x ? +?x +x2? +…+?x +xn? ? 1 1 1? 2 4 ? ? ? ? 2n =? ?x +2+x2?+?x +2+x4?+…+?x +2+x2n?

1 1 1? =(x2+x4+…+x2n)+2n+? ?x2+x4+…+x2n? x2?x2n-1? x 2?1-x 2n? + +2n - x2-1 1-x 2 + ?x2n-1??x2n 2+1? = +2n. x2n?x2-1?
- -



4n ?x=± 1?, ? ? 2n 2n+2 ∴Sn=??x -1??x +1? +2n ?x≠± 1?. 2n 2 ? ? x ?x -1? 8.已知数列{an}中,a1=-60, an+1=an+3,则这个数列前 30 项的绝对值的和是________. 答案 765 解析 由题意知{an}是等差数列,an=-60+3(n-1)=3n-63,令 an≥0,解得 n≥21. ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30| =-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30) ?-60+90-63?×30 =S30-2S20= -(-60+60-63)×20=765. 2 9.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=________. 答案 66 解析 当 n=1 时,a1=S1=-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-5. ?-1 ?n=1? ? ∴an=? . ?2n-5 ?n≥2? ? 5 令 2n-5≤0,得 n≤ , 2 ∴当 n≤2 时,an<0,当 n≥3 时,an>0, ∴|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=66. 10.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

A.200 答案 B 解析

B.-200

C.400

D.-400

S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)

+…+(99-100)]=4×(-50)=-200. 11.(2012· 课标全国)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为________. 答案 1 830 解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9 =a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1, a60=119-a1, ∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10 +26+42+…+234 15×?10+234? = =1 830. 2 12.已知数列 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…这个数列的特点是从第二项起,每一项都

等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 013 项之和 S2 013 等于 A.1 答案 C 解析 由已知得 an=an-1+an+1 (n≥2),∴an+1=an-an-1. B.2 010 C.4 018 D.0

(

)

故数列的前 8 项依次为 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009.由此可知数 列为周期数列,周期为 6,且 S6=0.∵2 013=6×335+3,∴S2 013=S3=4 018. 13.设 f ( x ) ?

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求 2 ? 2
x

f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ... ? f (5) ? f (6) 的值为
A. 3 2 B. 2 C. 2 2 D.

2 2

解:由于 f ( x ) ? f (1 ? x ) ?

2 1 ,则原式 ? {[ f (?5) ? f (6)] ? [ f (?4) ? f (5)] 2 2
2 2

? ? ? [ f (6) ? f (?5)]} ? 1 ?12 ? 2 ? 3 2 ,选 A
14.数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 满足:a1 ? 1 ,3tSn ? (2t ? 3) S n ?1 ? 3t , 其中 t ? 0 ,n ? N ? 且 n ? 2 (Ⅰ)求证:数列 {a n } 是等比数列; (Ⅱ)设数列 {a n } 的公比为 f (t ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn ? f ( 式. (Ⅲ)记 Tn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? b4 b5 ? ? ? b2 n ?1b2 n ? b2 n b2 n?1 , 求证: Tn ? ? 解(Ⅰ)当 n ? 2 时, 3tS n ? (2t ? 3) S n ?1 ? 3t ① , 3tS n ?1 ? (2t ? 3) S n ? 3t ② ②—①得: 3tan ?1 ? (2t ? 3)a n ? 0

1 )(n ? 2), 求 bn 的通项 bn ?1

20 . 9

?

an ?1 2t ? 3 ? (n ? 2 ) an 3t

又 a1 ? 1,3t (a1 ? a2 ) ? (2t ? 3)a1 ? 3t ,解得: a 2 ?

2t ? 3 , 3t

?

a a2 a3 2t ? 3 ? ? ? ? n ?1 ? a1 a2 an 3t
2t ? 3 的等比数列。 3t

?{a n } 是首项为 1,公比为

?3 3b ? 2 2 , (Ⅱ) f (t ) ? 2t ? 3 , b ? bn ?1 ? n ?1 ? bn ?1 ? n 3 3t 3 3 bn ?1

2

? bn ? bn ?1 ?

2 2 2 1 , 则 bn ? 1 ? (n ? 1) ? ? n ? 3 3 3 3

(Ⅲ) Tn ? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ? ? b2 n (b2 n?1 ? b2 n ?1 )

5 4n ? 1 n( ? ) 4 4 2n(4n ? 6) 4 3 ? ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) ? ? ? 3 ?? ? ? (2n 2 ? 3n) 3 3 2 9 9 4?5 20 当n ? 2时,2n 2 ? 3n为增,? Tn ? ? ?? 9 9
15. 100 2 ? 99 2 ? 98 2 ? 97 2 ? ? ? 22 ? 12 的值是 A.2525 B.5050 C.10100 D.20200

解:原式 ? (100 ? 99) ? (98 ? 97) ? ? ? (2 ? 1) ? 5050 ,选 B 16.等差数列{an}的公差不为零,a4=7,a1,a2,a5 成等比数列,数列{Tn}满足条件 Tn=a2 +a4+a8+…+ a 2n ,则 Tn=________. 解析:设{an}的公差为 d≠0,由 a1,a2,a5 成等比数列,得 a2 2=a1a5, 即(7-2d)2=(7-3d)(7+d) ∴d=2 或 d=0(舍去). ∴an=7+(n-4)×2=2n-1. 又 a 2n =2· 2n-1=2n 1-1,
+ +

∴Tn=(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n 1-1) =(22+23+…+2n 1)-n=2n 2-n-4.
+ +


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