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福建省武平县第一中学2016届高三上学期数学(理)试题(10月14日)


高三数学(理科)试题(20151014) 班级: 姓名: 座号: 得分:

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A. y=x-1 与 y= (x-1) C. y=4lg x 与 y=2lg x
2 2

) x-1 x-1

B. y= x-1与 y=

x D. y=lg x-2 与 y=lg 100

x2 y 2 ? ? 1}, B ? {( x, y )|y ? 3x } ,则 A∩B 的子集的个数是( ) 2. 设集合 A ? {( x, y )| 4 16
A.1 3.不等式组 ? B.2 C.3 D.4

? x ? y ? 1, 的解集为 D,有下面四个命题: ( ) ? x ? 2 y ? 4,

p1 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? ?2 , p3 : ?(x, y) ? D, x ? 2 y ? 3
A. p2 , p3 B. p1 , p3
2x x

p2 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? 2 , p4 : ?(x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1,其中真命题的是
C. p1 , p2 D. p1 , p4 )

4.已知 f(x)=3 ﹣(k+1)3 +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣∞,2 C. (﹣1,2 ﹣1) ﹣1) D. (﹣2 ﹣1,2 ﹣1) 与 BE 交 于

5. 如 图 , 在 △ ABC 中 , AD=2DB , AE=3EC , CD ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B ? , a A? C, b ? A F ?则 , x a( 为( ,y b ) )x y A. ( , )

F , 设

1 1 4 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( , )

3 3 7 7

D. ( ,

2 9 ) 5 20

?x2 ? 2, x ?[0, 1), f ( x ) 6 .已知定义在 R 上的函数 满足: f ( x) ? ? 且 f ( x ? 2) ? f ( x) , 2 2 ? x , x ? [ ? 1 , 0 ), ?

g ( x) ?

2x ? 5 ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间上的所有实根之和为( ) x?2
B.-6 C. -5 D.-4

A. -7

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 7.已知 ?an ?是等差数列, a 4 ? 15 , S 5 ? 55 ,则过点 P (3 , a3 ) ,Q( 4 , a 4 )的直 线的斜率为_________. 8.在区间 ? 0, 9? 内任取两个数,则这两个数的平方和也在 ?0, 9? 内的概率为 9.已知定义在 (??,??) 上的函数 y ? f ( x ) ,当 x ? (??,??) 时不等式 .

f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立,若 a ? 30.3 ? f (30.3 ) , b ? 0.33 ? f (0.33 ) ,

c ? (log0.3 3) ? f (log0.3 3) ,则 a , b , c 的大小关系是
10.给出下列三个结论: ①命题“? x∈R,x -x>0”的否定是“? x∈R,x -x<0”; ②函数 f(x)=x-sinx(x∈R)有 3 个零点;
2 2



③对于任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f ′(x)<0,g′(x)<0, 则 x<0 时,f ′(x)<g′(x); ④设随机变量 ? ~ N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? p ,则 P ( ?1 ? ? ? 0) ?

1 ? p. 2

其中正确结论的序号是_____________.(填写所有正确结论的序号) 三、解答题:(本大题有 5 小题,共 50 分.) 11. 设 a、b∈R,且 a≠2,若奇函数 f(x)=lg (1)求 a 的值;

1 ? ax 在区间(-b,b)上有定义. 1 ? 2x

(2)求 b 的取值范围;?

(3)判断函数 f(x)在区间(-b,b)上的单调性,并说明理由.?

12.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (1)求 a3 ; (2)令 bn ? an?1 ? an ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列;

(3)求数列 ?an ? 的通项公式.

x 2 13.已知函数 f(x)=xln x,g(x)= x- .

e

e

(1)求函数 f(x)在区间上的最小值; (2)证明:对任意 m,n∈(0,+∞),都有 f(m)≥g(n)成立.

14 . 设 函 数 f ?x? ? a?x ? 1? ln?x ? 1? ? bx , 其 中 x ? ?1 , 曲 线 y ? f ?x ? 过 点
2

?e ? 1, e

2

? e ? 1 ,且在点 ?0,0? 处的切线方程为 y ? 0 .
]

?

(Ⅰ)求 a , b 的值;

(Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, f ?x? ? x 2 ; (Ⅲ)若当 x ? 0 时, f ?x? ? mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

15.选考题:从以下 2 题中选择 1 题做答,每题 10 分,若 2 题全做,则按第 1 题给分. (A)(选修 4—4 参数方程与极坐标) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐

π? ? 标方程分别为 ρ =4sin θ ,ρ cos?θ - ?=2 4? ? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

2.

x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 y= t +1 ? ? 2 (t∈R 为参数),求 a,b 的值. (B)(选修 4—5 不等式证明选讲) 已知函数 f ( x) ?

3

x2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 8x ? 16 .

(Ⅰ)求 f ( x) ? f (4) 的解集; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? k ( x ? 3) , k ? R ,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 都成立,求实数 k 的 取值范围.

高三数学(理科)试题参考答案及评分标准 10.14

1-6 DDCBBA

7-10

4,

? ??? ? 3 ???? 3 ???? ??? 4 4 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 2 ??? ? ???? ???? 同理向量 AF 还可以表示为 AF ? AC ? CF ? AC ? ? CD ? ? AB ? (1 ? ? ) AC ,对应相等 3 ??? ? ??? ? ???? 1 1 2 可得 ? ? , 所以 AF ? AB ? AC 。 3 2 3
5. B AF ? AB ? BF ? AB ? ? BE ? AB ? ? ( AC ? AB ) ? (1 ? ? ) AB ? ? AC , 6.A 记 f ? x ? ? 2 ? f1 ? x ? , g ? x ? ? 2 ? g1 ? x ? ,则方程 f ? x ? ? g ? x? 在区间 ? ?5,1? 上的根

???? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? ,c>b>a,③④ 36

与方程 f1 ? x ? ? g1 ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的根相同. 令 x ? 2 ? t , 则 有 x ? t ? 2 , 当 x ?? ?5 , 1 ? 时 , t ???3 , 3 ? , 方 程 f1 ? x ? ? g1 ? x ? , 即

1 f1 ?t ? 2? ? g1 ?t ? 2? , g1 ? t ? 2 ? ? ,在同一坐标系下画出函数 y ? f1 ? t ? 2? , t ???3,3? 的 t 1 图象与 g1 ? t ? 2 ? ? , t ???3,3? 的图象,结合图象不难得知,它们的图象共有三个不同的交 t
点,设这些交点的横坐标自左向右依次为 t1 、 t 2 、 t3 ,则有 t1 ? t3 ? 0 , t2 ? ?1 ,

? x1 ? 2? ? ? x2 ? 2? ? ? x3 ? 2? ? t1 ? t2 ? t3 ? ?1, x1 ? x2 ? x3 ? ?7 ,因此方程 f ? x? ? g ? x? 在
区间 ? ?5,1? 上的根的和等于 ?7 . 10.答案:③④ 对于②,由 y=x 与 y=sinx 的图像可知,函数 f(x)=x-sinx(x∈R)有 1 个零 点,②不正确;对于③,由题设知 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,又奇函数在对称区间上的单 调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反,∴x<0 时,f′(x)<0,g′(x)>0.∴f′(x)<g′ (x),③正确. 11. 解:(1)f(-x)=-f(x),即 lg 即

1 ? ax 1 ? ax ? ? lg ,? 1 ? 2x 1 ? 2x

1 ? ax 1 ? 2 x 2 2 2 ? , 整 理 得 : 1 - a x =1 - 4x ,?∴a=±2.? 又 a≠2, 故 a= - 2.? 1 ? 2 x 1 ? ax 1 1 1 1 ? 2x (2)f(x)=lg 的 定 义 域 是 ( - , ) , ∴0<b≤ .? 2 2 2 1 ? 2x

(3)f(x)= lg

1 ? 2x ? (1 ? 2 x) ? 2 2 ? lg ? lg( ?1 ? ). 1 ? 2x 1 ? 2x 1 ? 2x

∴函数在定义域内是单调递减的. 12.解: (1)∵ a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).

? a3 ? 3a2 ? 2a1 ? 7
(2)证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

???????2 分

? an? 2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ), ? a1 ? 1, a2 ? 3, ? an? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an?1 ? an ??????6分
??????7 分

??bn ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
(3)由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
13.解:(1)由 f(x)=xln x,可得 f′(x)=ln x+1. 1 当 x∈(0, )时,f′(x)<0,f(x)单调递减; e 1 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. e

??????10 分

所以函数 f(x)在区间上单调递增,又 f(1)=0,所以函数 f(x)在区间上的最小值为 0. 1 (2)证明:由(1)可知 f(x)=xln x(x∈(0,+∞))在 x= 时取得最小值, e 1 1 1 又 f( )=- ,所以 f(m)≥- . e e e

x 2 1-x 由 g(x)= x- ,可得 g′(x)= x . e e e

所以当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当 x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单 调递减. 1 1 所以函数 g(x)(x>0)在 x=1 处取得最大值, 又 g(1)=- , 所以 g(n)≤- . e e 因为 f(m)≥

1 - ≥g(n),所以对任意 m,n∈(0,+∞),都有 f(m)≥g(n)成立. e 14.【解析】 (本小题 12 分) (Ⅰ) f ' ?x? ? 2a?x ? 1?ln?x ? 1? ? a?x ? 1? ? b ,

? f ' ?0? ? a ? b ? 0 , f ?e ? 1? ? ae2 ? b?e ? 1? ? a e 2 ? e ? 1 ? e 2 ? e ? 1 ,
? a ? 1 , b ? ?1
(Ⅱ) f ?x? ? ?x ? 1? ln?x ? 1? ? x ,设 g ?x? ? ?x ? 1? ln?x ? 1? ? x ? x 2 , ?x ? 0? ,
2 2

?

?

则 g ' ?x? ? 2?x ? 1?ln?x ? 1? ? x ,?g ' ?x?? ? 2 ln?x ? 1? ? 1 ? 0 , ? g ' ?x ? 在 ?0,??? 上单调
'

递增,? g ' ?x? ? g ' ?0? ? 0 ,? g ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增,

? g ?x ? ? g ?0? ? 0 .? f ( x) ? x2 .
(Ⅲ)设 h?x? ? ?x ? 1? ln?x ? 1? ? x ? mx2 ,?h? ? x ? ? 2 ? x ?1? ln ? x ?1? ? x ? 2mx ,
2

由(Ⅱ)中知





? h ' ?x? ? 3x ? 2mx ,
①当 3 - 2m ? 0 ,即 m ?

3 时, h ' ?x ? ? 0 ,? h?x ? 在 ?0,??? 单调递增, 2

? h?x ? ? h?0? ? 0 ,成立.
②当 3 ? 2m ? 0 ,即 m ?

3 时, h ' ?x? ? 2?x ? 1?ln?x ? 1? ? ?1 ? 2m?x , 2
2 m -3 2

h" ?x ? ? 2 ln?x ? 1? ? 3 ? 2m ,令 h" ?x ? ? 0 ,得 x0 ? e
' '

?1 ? 0 ,

当 x ? ?0, x0 ? 时, h ?x? ? h ?0? ? 0 ,? h?x ? 在 ?0, x0 ? 上单调递减,

? h?x ? ? h?0? ? 0 ,不成立.
综上, m ?

3 . 2
2 2

15.(A) (选修 4—4 参数方程与极坐标) 解:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.

?x +(y-2) =4, ? ?x1=0,? ?x2=2, ? ? 解? 得? ?x+y-4=0 ?y1=4,? ?y2=2. ? ?

2

2

? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为?4, ?,?2 2? ? ?
(注:极坐标系下点的表示不唯一)

π 2, ? ?. 4?

??????5 分

(2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3), 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. b ab 由参数方程可得 y= x- +1, 2 2 b ? ?2=1, 所以? 解得 a=-1,b=2 ab ?- 2 +1=2, ?

??????10 分

(B) f ( x) ? x2 ? 6x ? 9 ? x2 ? 8x ? 16 ? ( x ? 3)2 ? ( x ? 4)2 ?| x ? 3| ? | x ? 4 | , ∴ f ( x) ≥ f (4) ,即 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ≥ 9 , (2 分)

? x ≤ ?4, ??4 ? x ? 3, ? x ≥ 3, ∴? ① 或? ② 或? ③ ? x ? 3 ? x ? 4 ≥ 9, ?3 ? x ? x ? 4 ≥ 9 ?3 ? x ? x ? 4 ≥ 9

解得不等式①: x ≤ ?5 ;②:无解;③: x ≥ 4 , 所以 f ( x) ≥ f (4) 的解集为 {x | x ≤ ?5 或 x ≥ 4} . (5 分)

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) 即 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | 的图象恒在 g ( x) ? k ( x ? 3) 图象的上方, (6 分)
??2 x ? 1, x ≤ ?4, ? 可以作出 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ?7, ? 4 ? x ? 3, 的图象, ?2 x ? 1, x ≥ 3 ?

而 g ( x) ? k ( x ? 3) 图象为恒过定点 P (3, 0) ,且斜率 k 变化的一条直线, 作出函数 y ? f ( x), y ? g ( x) 图象如图 3, (8 分)

其中 k PB ? 2, A(?4, 7) ,∴ k PA ? ?1 , 由图可知,要使得 f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方, 实数 k 的取值范围应该为 ?1 ? k ≤ 2 . (10 分)


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