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高二数学圆锥曲线的参数方程


二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程

x y 由例4我们得到了椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ? x ? a cos? 的一个参数方程为 (?为参数) ? ? y ? b sin ? 这是中心在原点 O,焦点在x轴上的椭圆 的参数方程。

2

2

2、已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3 cos2 ? ? 0, (?为参数),那么圆心的轨迹的普 通 方程为__________ __________ ?

解:方程x ? y ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3 cos ? ? 0
2 2 2

可以化为( x ? 2 cos? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1
2 2

? x ? 2 cos? 所以圆心的参数方程为 (?为参数) ? ? y ? sin ? 2 x 2 化为普通方程是 ? y ? 1 4

? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

x y 例1、在椭圆 ? ? 1上求一点 M, 9 4 使点 M到直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 的距离最小, 并求出最小距离 .

2

2

? x ? 3 cos? 解:因为椭圆的参数方 程为? (?为参数) ? y ? 2 sin ? 所以可设点M (3 cos? ,2 sin ? ) 由点到直线的距离公式 ,得到点M到直线的距离 d? 3 cos? ? 4 sin ? ? 10 5

3 4 5(cos? ? ? sin ? ? ) ? 10 1 5 5 ? ? 5 cos(? ? ? 0 ) ? 10 5 5

3 4 其中?0满足 cos? 0 ? , sin ?0 ? 5 5 由三角函数性质知,当 ?-?0=0时,d取最小值 5 9 8 此时3 cos? ? 3 cos? 0 ? ,2 sin ? ? 2 sin ?0 ? 5 5 9 8 所以,当点M位于( , )时,点M与直线 5 5 x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取最小值 5。

x2 y2 ? ? 1有一内接矩形ABCD, 例2、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D

解 : 设A ?10cos ? ,8sin ? ?
AD ? 20cos ? , AB ? 16sin ? S ? 20 ?16sin ? cos ? ? 160sin 2?
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
A1

B2

A

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

? ?1 练习2: 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆 弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x2 9

y2 4

解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos? ,2sin? ) S?ABC 面积一定, 需求 S?ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
x 线AB的方程为 3 ? y 2

? 1 ? 2x ? 3y ? 6 ? 0 ?
6 13

d?

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | 22 ? 32

2 sin( ? ??) 4

所以当? =

?

4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)

时, d 有最大值, 面积最大

思考: 与简单的线性规划问题 进行类比,你能在实数 x2 y2 x, y满足 ? ? 1 的前提下,求出z ? x ? 2 y的 25 16 最大值和最小值吗?由 此可以提出哪些类似的 问题?

设M (5 cos? ,4 sin ? )是椭圆上的一点,则 z ? 5 cos? ? 8 sin ? ? 89 cos(? ? ? 0 ) ? cos(? ? ? 0 ) ? [?1,1] ? z ? [? 89, 89]

练习、设P( x, y)是椭圆2 x ? 3 y ? 12上的
2 2

一个动点,求 x ? 2 y的取值范围。

x y 解:椭圆的方程可化为 ? ? 1, 6 4 它的一个参数方程为 ? x ? 6 cos? (?为参数, 0 ? ? ? 2? ) ? ? y ? 2 sin ? ? x ? 2 y ? 6 cos? ? 4 sin ? ? 22 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? [?1,1] ? x ? 2 y ? [? 22, 22]

2

2

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值

练习3

最 大 值6 2 , 最 小 值 ? 6 2 .
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .

A. 圆

B. 椭圆

设中点M (x, y)

C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ

D. 线段

x y ? ??? 2 4 9

2

2

小节:
椭圆的参数方程的形式

椭圆参数方程中参数的意义

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动了什么按钮,只听有石门被打开的声音,随后就被人推了进去,蒙着眼睛的布条也随之掉落。初月被室内的强光晃了眼,等她再睁开眼的时候, 看见室内数十排架子,各处机关运行,一张小纸条从一处运到另一处被整理归类再到摆放都是自动进行。另一边陈列的都是各式各样的兵器,刀 枪剑戟,鞭斧钩杈,在最深处的墙上订着一副十字架,架上还留有斑斑血迹,让人害怕。“萧公子,带我来这里干什么?”“初月姑娘,在下真 的是小看你了。”“萧公子,初月不知你在说什么?”萧煜痕强行掰过来初月的脸,捏着她的下巴,恶狠狠的说。“事到如今就不必装傻了,我虽 不知道你的目的所为何,但是我萧煜痕的地盘被你看见了,你就休想要活着走出去了。”“你,这又不是我自愿看见的,倒是萧公子带我来此处 参观,难不成这还是我碍着你什么了?”“你倒是牙尖嘴利,真当我不敢对你做什么吗?纪雪芙真是太小看我萧煜痕了,你以为你做了什么我不 知道吗?派你来试探我的底细,甚至还有可能打我灵芝草的主意,休想。”“你,卑鄙。”“哼,人在江湖走怎么能不用点特殊手段呢?我本来 不想做这么绝,但我告诉你,落在我萧煜痕手里,你就休想觉得自己轻易能从这里出去,我倒是佩服你一个女子临危不乱的魄力,只是你家60估 计会被你这个蠢笨的奴婢连累了吧。”“你什么意思?”“你说,我要是拿你去换你家60,你家60会如何?”“你,休要动我家60,我既然落在你 手里就没想着或者出去,要头一颗,要命一条。”“好,很好。”萧煜痕顿了顿又说:“来人。”突然‘咻咻咻’的从空中飞下来了四个黑衣人, 为首的似乎叫——飞廉。“请主子吩咐。”“给我好好招呼她,留着气,别给弄死了。” “是。”另一边,城主府。“60,60不好了,刚才我去 天香楼后面街头,等了两个时辰都不见初月姐姐出来,你说是不是出什么事情了?”“不要慌,一定不能自乱阵脚。”“可是。”“这萧煜痕一 向诡计多端,我虽与他交往不深,但也看得出他并非有勇无谋之人,他若是明白初月对于我们的意义必然不会轻易动手,只怕是要吃点苦 头。”“那初月姐姐不还是很危险?” “萧煜痕的目标是我,不是初月,所以他一定会想办法让我上钩,但我上钩是小事,但是哥哥的身体却是 不能再拖了,一定要想办法得到灵芝草。”“是,60。”这时门外小厮匆匆赶来,进到内院通报求见。“60,门外有人让一个小乞丐送来一封书 信,说是务必要请60亲启,奴才见事关重大,不得不先来面见60。”“你做的很好,下去吧。”纪雪芙打发了家丁,这才拆开信封,惊得连忙退 了几步,退到桌子边的椅子上跌坐,木月见状准备上前搀扶,未果,问出了声。“60,这是怎么了?”“初


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