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2015-2016学年高二上学期数学开学测试题分类之解答题汇总


一套 17. (1)已知直线 l 过点 M ( ?2, 3) 且与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求直线 l 的方程. ( 2)已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且平行于直线

x ? 3 y ? 1 ? 0 .求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积;
【答案

】 (1) 3x ? y ? 9 ? 0 ; (2) 【解析】 (1) 由题意可设所求直线 l 的方程为 3x ? y ? m ? 0 ,由于直线 l 过点 M ( ?2,3) ,代入解 得m ? 9 , 故直线 l 的方程为 3x ? y ? 9 ? 0 。

32 . 3

(2)由 ?

?3 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 解得 ? ,则点 P( ?2, 2) ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2

又因为所求直线 l 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行,可设 l 为 x ? 3 y ? C ? 0 (C ? ?1) 将点 P( ?2, 2) 代入得 C ? 8 ,故直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 8 ? 0

8 ,令 y ? 0 得直线 l 在 x 轴上的截距为 ?8 , 3 1 8 32 所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S ? ? ? 8 ? . 2 3 3
令 x ? 0 得直线 l 在 y 轴上的截距为 【难度】一般 18.已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是 ?A ? 60 ? 的菱形,又 PD ? 底面ABCD ,且 PD=CD, 点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点.

(Ⅰ)证明:DN//平面 PMB; (Ⅱ)证明:平面 PMB ? 平面 PAD;

【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:取 PB 中点 Q,连结 MQ、NQ, 因为 M、N 分别是棱 AD、PC 中点, 所以 QN//BC//MD,且 QN=MD,于是 DN//MQ.

? ? MQ ? 平面PMB ? ? DN // 平面PMB DN ? 平面PMB ? ? DN // MQ
(Ⅱ)

PD ? 平面ABCD ? ? ? PD ? MB MB ? 平面ABCD ?

又因为底面 ABCD 是 ?A ? 60 ? 的菱形,且 M 为 AD 中点, 所以 MB ? AD .又 所以 MB ? 平面PAD

MB ? 平面PAD ? ? ? 平面PMB ? 平面PAD. MB ? 平面PMB ?
【难度】较难 19. ?ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ,若 B ? 60? , a ? ( 3 ? 1)c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知 ?ABC 的面积为 12 ? 4 3 ,求函数 f ( x) ? cos2 x ? a sin x 的最大值. 【答案】 (Ⅰ) A ? 【解析】 (1)因为 B ? 60? ,所以 A ? C ? 120? , C ? 120? ? A 因为 a ? ( 3 ? 1)c ,由正弦定理可得: sin A ? ( 3 ? 1) sin C

?
4

(Ⅱ) 4 2 ? 1

sin A ? ( 3 ? 1) sin(
? ( 3 ? 1)(
所以, A ?

2? 2? 2? ? A) ? ( 3 ? 1)(sin cos A ? cos sin A) 3 3 3

?

3 1 cos A ? sin A) ,整理可得: tan A ? 1 2 2

4



2 (2)由 S?ABC ? 1 a sin B ? 12 ? 4 3, 得 a ? 4 2

2 3 ?1

从而 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 x ? 4 2 sin x = ?2(sin x ? 2)2 ? 5 当 sin x ? 1 时,函数 f ( x) 取得最大值 4 2 ? 1。 【难度】一般 20.已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn , an , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? 4 ? 2n n ? N ? ,设 cn ?

1 成等差数列, 2

?

?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn an
1 2
n ?1

【答案】 (1) an ? 2 【解析】 (1)S n ? 2a n ?

n?2

(2) Tn ? 4n ? ( )

1 1 ,当 n=1 时,a1 ? 。a2 ? 1 当 n ? 2 时,S n ?S n?1? an ? 2an ? 2an?1 2 2

1 an ? 2an?1 。∴数列 ?an ? 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列, 2
∴ an ?

1 n ?1 ? 2 ? 2n ? 2 2

?n ? N ?
?

?1? (2)解:由题意可得: cn ? ? 4 ? 2n ? ? ? ? ?2?

n?2

Tn ? c1 ? c2 ? ?? cn
?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ? 2 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? ? ? ?? ? 4 ? 2n ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
0 1 2 3 ?1 0 1 2 n ?2

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2n ? ? ? ? 2 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
错位相减得

n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?? ? ?2? ? ? ? 2 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?

?1

0

1

2

n?2

?1? ? ? 4 ? 2n ? ? ? ? ? 2?

n ?1

?1? 1? ? ? 2 ? 4 ? ? ?2 ? ? ? ? 1 1? 2
1 Tn ? 4n ? ( ) n ?1 2
【难度】较难 二套

n ?1

?1? ? ? 4 ? 2n ? ? ? ? ?2?

n ?1

?1? ? 2n ? ? ? ?2?

n ?1

17.在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 (1)求∠A; (2)若 a ? 3 ,求 b 2 ? c 2 的取值范围. 【答案】 (1) 【解析】 (1)由余弦定理有 cos A ?
?0 ? A ? ? ,? A ?
b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

? (2) 3 ? b 2 ? c 2 ? 6 3

?
3

5分

(2)方法一:? a ? 3 且 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 , ? b 2 ? c 2 ? bc ? 3
? 0 ? bc ? b2 ? c 2 ,? b 2 ? c 2 ? 6 , (当且仅当 b ? c ? 2

3 时取等号)

?3 ? b2 ? c 2 ? 6
方法二、由正弦定理
b ? 2sin B, c ? 2sin C

b c a 3 ? ? ? ?2 sin B sin C sin A sin ? 3

7分

?b2 ? c2 ? 4sin B sin C ? 3 ? 4sin B sin( B ? ) ? 3 ? 2sin 2 B ? 2 3 sin B cos B ? 3 3

?

? = 3 sin 2B ? cos 2B ? 4 ? 2sin(2B ? ) ? 4
6

因为 0 ? B ?

2? ? ? 7? ,所以 ? ? 2B ? ? 3 6 6 6 6

1 ? 所以 ? ? sin(2B ? ) ? 1 即? 3 ? b 2 ? c 2 ? 6 . 2

【难度】一般 18.已知直线 l 的方程为 2 x ? ?k ? 3?y ? 2k ? 6 ? 0?k ? 3? ,

(1)若直线 l 的斜率是 ?1;求 k 的值; (2)若直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0 ;求 k 的值; (3)求证:直线 l 恒过定点。 【答案】 (1) k ? 5 (2) k ? 1 (3)详见解析 【解析】 (1)? k ? 3 ,所以 y ?

2 2k ? 6 x? 3?k 3?k

?

2 ? ?1, k ? 5 3?k 6 ? 2k ;当 y=0 时,x=k-3 3?k

(2)当 x=0 时, y ?

?

6 ? 2k ? k ? 3 ? 0 , k 2 ? 4k ? 3 ? 0 3?k

k=1 或 k=3(舍) k=1 (3) 2 x ? ?k ? 3?y ? 2k ? 6 ? 0?k ? 3? 可整理为 (2 x ? 3 y ? 6) ? k ( y ? 2) ? 0 ,它表示过 ?

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点(0,2)的直线 ?y ? 2 ? 0

系,所以 2 x ? ?k ? 3?y ? 2k ? 6 ? 0?k ? 3? 过定点(0,2) 【难度】较易 19.数列{ an }的前 n 项和为 Sn , an 是 Sn 和 1的等差中项,等差数列{ bn }满足 b1 ? S4 ? 0 ,

b9 ? a1 .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Wn (bn ? 16) ? bn ? 18 ?
1 1 ? 2 4n ? 2

【答案】 (1) an ? 2n?1 (2) 【解析】

? S n ? 2a n ? 1 (1)∵ a n 是S n 和1的等差中项,
当 n ? 2时,a n ? S n ? S n ?1 ? (2a n ? 1) ? (2a n ?1 ? 1) ? 2a n ? 2a n ?1 ,

? an ? 2an ?1,
当 n ? 1时,a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,? a1 ? 1

∴ an ? 0(n ? N ? ), ?

an ?2 an ?1

?数列?an?是以a1 ? 1为首项, 2为公比的等比数列, ?an ? 2n?1
Sn ? a1 ? a2 ???? an ? 2n ? 1
设 ?bn ? 的公差为 d , b1 ? ?S4 ? ?15, b9 ? ?15 ? 8d ? 1 ? d ? 2

?bn ? ?15 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 17
(2) c n ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? Wn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? 1 . ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 4n ? 2

【难度】一般 20.已知 ABCD 是矩形,AD=4,AB=2,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点,PA⊥平面 ABCD. P

G A E· B F C D

(1)求证:PF⊥FD; (2)设点 G 在 PA 上,且 EG//平面 PFD,试确定点 G 的位置. 【答案】 (1)详见解析 (2)G 为 AP 的四等分点 【解析】 (1)证明:在矩形 ABCD 中 ∵F 是 BC 的中点,∴ AF ? DF ? 2 2 ,AD=4 有 AF ? DF
2 2

? AD 2

∴AF⊥DF 又∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥DF ∵PA∩FA=A ∴DF⊥平面 PAF ∴DF⊥PF

(2)过点 E 作 EH∥DF,交 AD 于点 H,∴ AH ? ∵EH ? 平面 PDF ∴EH∥平面 PDF 又∵EG∥平面 PDF,又 GE∩HE=E ∴平面 EHG∥平面 PDF ∴GH∥平面 PDF 又∵平面 ADP∩平面 PDF=PD ∴GH∥PD

1 AD ,连接 GH, 4

1 AD 4 1 ∴ AG ? AP 4
∵ AH ? ∴G 为 AP 的四等分点(靠近 A 点) 【难度】较难 三套 17.已知直线 l :

x y ? ?1 m 4?m

(1)若直线 l 的斜率等于 2,求实数 m 的值; (2)若直线 l 分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,O 是坐标原点,求△AOB 面积的最 大值及此时直线的方程. 【答案】 (1)-4; (2)x+y-4=0 【解析】 (1)直线 l 过点(m,0),(0,4-m),则 k ?

4?m ? 2 ,则 m=-4 ?m
2

m ? 4 ? m? ? ? m ? 2? ? 4 (2)由 m>0,4-m<0,得 0<m<4,,则 S ? ? 2 2
则 m=2 时,S 有最大值 2,直线 l 的方程为 x+y-2=0 【难度】较易

S 18. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 点 ? n,
图象上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

n

?n ?

? Ν* ? 均在二次函数 f ? x ? ? 3x2 ? 2x 的

3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Τ n an an ?1
3n 6n ? 1
2

【答案】 (1) an ? 6n ? 5 (2) Tn ? 【解析】

? (1)? 点 ? n, S n ? n ? ? 均在二次函数 f ? x ? ? 3x ? 2x 的图象上, (1)

?

?

? Sn ? 3n2 ? 2n .
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 2n ? ?3 ? n ? 1? ? 2 ? n ? 1?? ? 6n ? 5 ;
2 2

?

?

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3?12 ? 2 ?1 ? 1 ,满足上式.

? 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 6n ? 5 .
(2)? an ? 6n ? 5 ,

? bn ?

3 3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? . an an?1 ? 6n ? 5?? 6n ? 1? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?
(10 分)

? ?n ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn

1? 1? 1?1 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 7 ? 2 ? 7 13 ? 2 ? 13 19 ? 2 ? 6n ? 5 6 n ? 1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 7 7 13 13 19 6n ? 5 6n ? 1 ?
1? 1 ? ? ?1 ? ? 2 ? 6n ? 1 ?
? 3n . 6n ? 1

【难度】较难

19.在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 (1)求∠A; (2)若 a ? 3 ,求 b 2 ? c 2 的取值范围. 【答案】 (1) 【解析】 (1)由余弦定理有 cos A ?
?0 ? A ? ? ,? A ?
b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

? (2) 3 ? b 2 ? c 2 ? 6 3

?
3

5分

(2)方法一:? a ? 3 且 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 , ? b 2 ? c 2 ? bc ? 3
? 0 ? bc ? b2 ? c 2 ,? b 2 ? c 2 ? 6 , (当且仅当 b ? c ? 2

3 时取等号)

?3 ? b2 ? c 2 ? 6
方法二、由正弦定理
b ? 2sin B, c ? 2sin C

b c a 3 ? ? ? ?2 sin B sin C sin A sin ? 3

7分

?b2 ? c2 ? 4sin B sin C ? 3 ? 4sin B sin( B ? ) ? 3 ? 2sin 2 B ? 2 3 sin B cos B ? 3 3

?

? = 3 sin 2B ? cos 2B ? 4 ? 2sin(2B ? ) ? 4
6

因为 0 ? B ?

2? ? ? 7? ,所以 ? ? 2B ? ? 3 6 6 6 6

1 ? 所以 ? ? sin(2B ? ) ? 1 即? 3 ? b 2 ? c 2 ? 6 . 2

【难度】一般 20 .如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE ,

BC ? 2, CD ? 2, AB ? AC .
A

B

E

C

D

(1)求证: BE ? 面 ABC ; (2)设 ?ABC 为等边三角形,求直线 CE 与平面 ABE 所成角的大小. 【答案】 (1)详见解析(2) 【解析】 (1)∵底面 BCDE 为矩形 ∴ BE ? BC . ∵侧面 ABC ? 底面 BCDE ,交线为 BC , BE ? 平面 ABCD. . ∴ BE ? 面 ABC . 备注:也可以取 BC 的中点去证明。 (2)解:由(1)可知 BE ? 面 ABC 。 ∵ BE ? 平面 ABE . ∴平面 ABE ? 底面 ABC ,且交线为 AB 。 取 AB 的中 H ,连接 EH . ∵ ?ABC 为等边三角形 ∴ CH ? AB, CH ? 平面 ABE .

? 4

∴ ?CEH 是直线 CE 与平面 ABE 所成角. 在矩形 BCDE 中, CE ? 6 . 在正 ?ABC 中, CH ? 3. ∴ sin ?CEH ?

? CH 3 2 ? ? . ∴ ?CEH ? . 4 CE 2 6
? . 4

∴求直线 CE 与平面 ABE 所成角的大小为

H

【难度】较难 四套 17. 已知数列 {an } 是各项均为正数的等差数列, 其中 a1 ? 1 , 且 a2、a a ? 2 成等比数列; 4 、6 数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? bn ? 1 . (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)如果 cn ? anbn ,设数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 n ,使得 Tn ? Sn 成立, 若存在,求出 n 的最小值,若不存在,说明理由. 【答案】 (1) an ? n , bn ? 【解析】 (1)设数列 {an } 的公差为 d ,依条件有 a42 ? a2 (a6 ? 2) , 即 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 5d ? 2) ,解得 d ? ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ? n .

1 ; (2)存在; 2 . 3n

1 (舍)或 d ? 1 , 2

1 (1 ? bn ) , 2 1 当 n ? 1 时, 2S1 ? b1 ? 1 ,解得 b1 ? , 3 1 1 1 1 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? S n ?1 ? (1 ? bn ) ? (1 ? bn ?1 ) ? ? bn ? bn ?1 , 2 2 2 2
由 2Sn ? bn ? 1 ,得 S n ?

所以 bn ?

1 bn ?1 , 3
1 1 ,公比为 的等比数列, 3 3

所以数列 {bn } 是首项为 故 bn ?

1 . 7分 3n

(2)由(1)知, cn ? an bn ? 所以 Tn ? 1?

n , 3n

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3? 3 ? ? ? n ? n ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ② 3 3 3 3 3 3 3 1 n 1 3 2n ? 3 1 ? n. 得 Tn ? ? ? n ? ? n ? ? 4 4 3 2 3 4 4 3 1 1 (1 ? n ) 3 ?1? 1 . 又 Sn ? 3 1 2 2 ? 3n 1? 3 1 2n ? 1 1 ? n , 所以 Tn ? S n ? ? 4 4 3
当 n ? 1 时, T1 ? S1 , 当 n ? 2 时,

1 2n ? 1 1 ? ? n ? 0 ,所以 Tn ? Sn , 4 4 3
15 分

故所求的正整数 n 存在,其最小值是 2. 【难度】较难

18.如图,直线 l 过点 P ? 0,1? ,夹在两已知直线 l1 : 2 x ? y ? 8 ? 0 和 l2 : x ? 3 y ? 10 ? 0 之 间的线段 AB 恰被点 P 平分.

l1
x A O

y

l2
x B x

P

D (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)设点 D ? 0, m? ,且 AD ? l1 ,求: ? ABD 的面积. 【答案】 (Ⅰ) x ? 4 y ? 4 ? 0 ; (Ⅱ) S? ABD ? 28 .

【解析】 (Ⅰ)? 点 B 在直线 l1 上,可设 B(a,8 ? 2a) ,又 P ? 0,1 ? 是 AB 的中点, ? A(?a, 2a ? 6)

? 点 A 在直线 l2 上,??a ? 3(2a ? 6) ? 10 ? 0 解得: a ? 4 ,即 B(4, 0)
故直线 l 的方程是 x ? 4 y ? 4 ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?4, 2) ,又 AD / /l1 ,则 k AD ? 点 A 到直线 l1 的距离 d ?

2?m ? ?2,? m ? ?6 ?4 ? 0

14 5 2 2 , | AD |? (?4 ? 0) ? (2 ? 6) ? 4 5 , 5

? S?ABD ?

1 1 14 | AD | ?d ? ? 4 5 ? ? 28. 2 2 5

【难度】较易 19 . 已 知 在 ??? C 中 ,

a , b , c 分别是角 ? , ? , C 的对边,且满足
C . 2

4 cos C ? cos 2C ? 4 cos C cos 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若点 D 为边 ? C 的中点,求 ??? C 面积的最大值. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 (Ⅰ)由 4 cos C ? cos 2C ? 4 cos C cos 解得 cos C ?
2

? ; (Ⅱ) 2 3 . 3

? 1 ,由 0 ? C ? ? ,所以 C ? 3 2

C 2 得 4cosC ? 2cos C ?1 ? 2cosC ?1 ? cosC? 2

(Ⅱ)在 ??DC 中, ?D2 ? ?C2 ? CD2 ? 2?C ? CDcos C 即 4 ? b2 ? ?

? a ? ab ? ? 2 ?2?

2

9分

?2

a 2b2 ab ab ,所以 ab ? 8 ,当且仅当 a ? 4 , b ? 2 时取等号 ? ? 4 2 2
1 3 ab sin C ? ab ,其最大值为 2 3 2 4

此时 S???C ?

【难度】一般 20.如图,已知 ?? ? 平面 ??C , ?? //CD , ?? ? ?C ? 4 , CD ? 2 , ???C 为等边 三角形.

(Ⅰ)求证:平面 ??? ? 平面 ?D? ; (Ⅱ)求 ?? 与平面 CD? 所成角的正弦值. 【答案】 (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ)

6 . 4

【解析】 (Ⅰ)取 ?? 的中点 F ,连接 ?F , DF ,先证 ? F ? DF ,再证 ?F ? 面 ?D? ,进而可证 平面 ??? ? 平面 ?D? ; (Ⅱ)补全成正三棱柱 ??? ? ??C ,取 ?? 中点 ? ,连接 ?? , ?? ,先找出 ?? 与平面 CD? 所成的角,再在直角三角形中计算出 ?? 与平面 CD? 所成 角的正弦值. 试题解析: (Ⅰ)取 ?? 的中点 F ,连接 ?F , DF

由 ?? ? ?? ? 4 ,知 ?F ? ?? 计算可得 ?F ? 2 2 , ?D ? D? ? ?D ? 2 5 , DF ? 2 3 ,则 ? F ? DF 则 ?F ? 面 ?D? 又 ?F ? 面 ??? ?平面 ??? ? 平面 ?D? (Ⅱ)如图,补全成正三棱柱 ??? ? ??C ,取 ?? 中点 ? ,连接 ?? , ??

???? 为正三角形,则 ?? ? ??

又 CD ? 平面 ??? ,则 ?? ? CD 所以 ?? ? 平面 CD? ,则 ???? 即为 ?? 与平面 CD? 所成的角 在 ???? 中, ?? ? ?? , ?? ? 2 3 , ?? ? 4 2 13 分

sin ???? ?
【难度】一般

6 ?? 6 ,即 ?? 与平面 CD? 所成角的正弦值为 ? 4 ?? 4

五套 17.第(1)小题 5 分,第(2)题 8 分 (1)已知直线 l 过点 M ( ?2, 3) 且与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求直线 l 的方程. ( 2)已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且平行于直线

x ? 3 y ? 1 ? 0 .求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积;
【答案】 (1) 3x ? y ? 9 ? 0 ; (2) 【解析】 (1) 由题意可设所求直线 l 的方程为 3x ? y ? m ? 0 ,由于直线 l 过点 M ( ?2,3) ,代入解 得m ? 9 , 故直线 l 的方程为 3x ? y ? 9 ? 0 .

32 . 3

(2)由 ?

?3 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 解得 ? ,则点 P( ?2, 2) ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2

又因为所求直线 l 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行,可设 l 为 x ? 3 y ? C ? 0 (C ? ?1) 将点 P( ?2, 2) 代入得 C ? 8 ,故直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 8 ? 0

8 ,令 y ? 0 得直线 l 在 x 轴上的截距为 ?8 , 所以直 3 1 8 32 线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S ? ? ? 8 ? . 2 3 3
令 x ? 0 得直线 l 在 y 轴上的截距为 【难度】较易 18 . 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? , AP ? BP ? AB ,

PC ? AC .

P

D A B

C (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求点 C 到平面 APB 的距离. 【答案】 (Ⅰ)见解析 【解析】 (Ⅱ)

2 3 3

(Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . ? AP ? BP ,? PD ? AB .? AC ? BC , ? CD ? AB .? PD ? CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .

? PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD , ? 平面 APB ? 平面 PCD . 过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H . ? 平面 APB ? 平面 PCD ? PD , ? CH ? 平面 APB . ? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB ? AC ? A , ? PC ? 平面 ABC . ? CD ? 平面 ABC , ? PC ? CD .在 Rt△PCD 中, CD ?
1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2

? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 . CH ?
2 3 . 3

PC ? CD 2 3 . ? PD 3

点 C 到平面 APB 的距离为 【难度】一般

19 . 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 是 a 、

b 、 c ,向量

m ? (a ? b, c), n ? (a ? c, a ? b) ,且 m 与 n 共线.
(Ⅰ)求角 B 的大小;
2 (Ⅱ)设 y ? 2 sin C ? cos

【答案】 (Ⅰ) B ? 【解析】

?
3

A ? 3C ,求 y 的最大值及此时角 C 的大小. 2

; (Ⅱ) ymax ? 2 ,此时 C ?

?

3



(Ⅰ)因 m 与 n 共线, 所以 (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ? 0 , 即 b2 ? a 2 ? c 2 ? ac , 故 cos B ?

1 , 2

而 0 ? B ? ? ,所以 B ?

?
3



2? ?C , 3 A ? 3C ? ? 2 ? 1 ? cos 2C ? cos( ? 2C ) ? sin( 2C ? ) ? 1 所以 y ? 2 sin C ? cos 2 3 6 2? ? 故 ymax ? 2 ,此时因 0 ? C ? ,所以 C ? . 3 3
(Ⅱ)因 A ? ? ? B ? C ? 【难度】一般 20.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N * . (Ⅰ)证明:数列 ?
n

? an ? ? 是等差数列; ?n?

(Ⅱ)设 bn ? 3 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 【答案】 (Ⅰ)详见解析 (Ⅱ) Sn ?

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 4

【解析】 (Ⅰ)由已知可得 差的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得

an ?1 an a a a ?a ? ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 .所以 ? n ? 是以 1 ? 1 为首项,1 为公 1 n ?1 n n ?1 n ?n?

an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n . n

所以 Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ?? n ? 3n ,①

3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ?? n ? 3n?1 ,②
①-②得

?2Sn ? 31 ? 32 ? ? ? 3n ? n ? 3n ?1 ?
(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 4

3 ? (1 ? 3n ) (1 ? 2n) ? 3n ?1 ? 3 ? n ? 3n ?1 ? 1? 3 2

所以 Sn ?

【难度】较难 六 17.已知直线 l 的方程为 2 x ? ?k ? 3?y ? 2k ? 6 ? 0?k ? 3? , (1)若直线 l 的斜率是 ?1;求 k 的值; (2)若直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0 ;求 k 的值; (3)求证:直线 l 恒过定点。 【答案】 (1) k ? 5 (2) k ? 1 (3)详见解析 【解析】 (1)? k ? 3 ,所以 y ?

2 2k ? 6 x? 3?k 3?k
5分

?

2 ? ?1, k ? 5 3?k

(2)当 x=0 时, y ?

6 ? 2k ;当 y=0 时,x=k-3 3?k

?

6 ? 2k ? k ? 3 ? 0 , k 2 ? 4k ? 3 ? 0 3?k

k=1 或 k=3(舍) k=1 (3) 2 x ? ?k ? 3?y ? 2k ? 6 ? 0?k ? 3? 可整理为 (2 x ? 3 y ? 6) ? k ( y ? 2) ? 0 ,它表示过 ?

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点(0,2)的直线 ?y ? 2 ? 0

系,所以 2 x ? ?k ? 3?y ? 2k ? 6 ? 0?k ? 3? 过定点(0,2) 【难度】较易

?ABC 是边长为 4 的等边三角形, 18. 平面 ABC ? ?ABD 是等腰直角三角形,AD ? BD , 平面 ABD,且 EC ? 平面 ABC,EC=2.

(Ⅰ)证明:DE//平面 ABC; (Ⅱ)证明: AD ? BE . 【答案】 (1)证明详见解析; (2)证明详见解析. 【解析】 (Ⅰ)取 AB 的中点 O ,连结 DO 、 CO ,

∵ ?ABD 是等腰直角三角形, AD ? BD ,? DO ? AB ,

1 AB ? 2 , 又∵平面 ABD ? 平面 ABC , 2 平面 ABD ? 平面 ABC ? AB ,? DO ? 平面 ABC , 由已知得 EC ? 平面 ABC , ? DO // EC ,又 EC ? 2 ? DO , ? 四边形 DOCE 为平行四边形, ? DE // OC , 而 DE ? 平面 ABC , OC ? 平面 ABC , ? DE // 平面 ABC . (Ⅱ)∵ O 为 AB 的中点, ?ABC 为等边三角形, ? OC ? AB , 又∵平面 ABD ? 平面 ABC , 平面 ABD ? 平面 ABC ? AB ? OC ? 平面 ABD ,而 AD ? 平面 ABD , ? OC ? AD ,又∵ DE / / OC , ? DE ? AD ,而 BD ? AD , DE ? BD ? D , DO ?

? AD ? 平面 BDE ,又 BE ? 平面 BDE , ? AD ? BE .
【难度】一般

19.在 ?ABC 中,已知 sin ?

1 ?? ? 11 ? A ? ? , cos ?? ? B ? ? ? . 2 ?2 ? 14

(Ⅰ)求 sinA 与角 B 的值; (Ⅱ)若角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c,且a ? 5,求b, c 的值. 【解析】 (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为 0, ∴

a?2 =a-2,即 a+1=1. a ?1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0.综上,l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴?

? ?? ? a ? 1? ? 0 ? ?? ? a ? 1? ? 0 或? ? ? ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0

∴a≤-1. 综上可知 a 的取值范围是(-∞,-1]. 【难度】一般 18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点.

(1)求证:PA∥平面 BDE; (2)求证:平面 BDE⊥平面 PBC. 【答案】证明见解析. 【解析】 (1)连接 AC,设 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE.

∵在△PCA 中,OE 是△PCA 的中位线,∴PA∥OE. 又 PA 不在平面 BDE 内,∴PA∥平面 BDE. (2)∵PD⊥底面 ABCD。∴CB⊥PD. 又 BC⊥DC, PD ? DC ? D, ∴BC⊥平面 PDC. DE ? 平面PDC ,∴DE⊥BC 在△PDC 中,PD=DC,E 是 PC 的中点,∴DE⊥PC. PC ? BC ? C , 因此有 DE⊥平面 PBC. ∵DE ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 PBC. 【难度】一般 19 .设△ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,设 S 为△ABC 的面积,满足

S?

3 2 (a ? c 2 ? b 2 ) . 4

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? 3 ,设 A ? x , y ? ( 3-1 )a ? 2c ,求函数 y ? f ( x) 的解析式和最大值. 【答案】 (Ⅰ)

? 2? ?? ? ; (Ⅱ) y ? 2 6 sin ? x ? ? ( 0 ? x ? ) ,2 6 . 3 3 4? ?

【解析】 (Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得

1 3 ac sin B ? ? 2ac cos B 2 4
∴ tan B ? 3 ,又 B ? (0,? ) 所以 B ?

?
?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B ? 由正弦定理,

?
?

,△ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,又 A ? ?,C ? ? 得 ? ? A ?

?? . ?

a?

b sin A ? sin B

? sin

?
?

sin x ? ? sin x ,

c?

b ?? sin C ? ? sin( ? x ) sin B ?

所以 y ? ( ? -? )a ? ?c

?( 2 3-1 ) sin x ? 4sin(

2? ? x) 3

? 2 3 sin x ? 2 3 cos x

? 2 6 sin( x ?
当x?

?
4

)(0 ? x ?

2? ) 3

?
?

?

?
?

,即 x ?

?
?

时, y 取得最大值 ? ?

【难度】一般 20.设数列{an}是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,已知它的前 10 项和为 110 ,且 a1,a2, a4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)若 bn ? (n ? 1) an ,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn. ? bn ?

【答案】 (1) an ? 2n (2)Tn ? 【解析】

n 2(n ? 1)

(1)设数列{an}的前 n 项和为 S n , ∵S10 = 110,∴ 10a1 ?
9 则 a1 ? d ? 11 .① 2 10 ? 9 d ? 110 . 2

∵a1,a2,a4 成等比数列, ∴ a22 ? a1a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) .∴ a1d ? d 2 . ∵d ? 0,∴a1 = d.②
? a ? 2, 由①,②解得 ? 1 ,∴ an ? 2n . ? d ? 2.

(2)∵ bn ? (n ? 1) an = 2n(n ? 1) , ∴
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

∴ Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 2 2 3 n n ?1 ? ?

?

n . 2(n ? 1)

【难度】较难 九 17.已知直线 l:x+2y-2=0,试求: (1)点 P(-2,-1)关于直线 l 的对称点坐标; (2)直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; (3)直线 l 关于点(1,1)对称的直线方程. 【答案】 (1) ?

? 2 19 ? (2)l2 的方程为 7x-y-14=0; (3)x+2y-4=0 , ?; ?5 5 ?

【解析】 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0) , 则线段 PP′的中点 M 在对称轴 l 上,且 PP′⊥l.

? y0+1 ? 1 ? 2 ? x0= , ?- ?=-1, ? ? ? x +2 ? 2 ? ? 5 即 P′坐标为 ? 2 , 19 ? . ∴? 0 ?? ? ? ?5 5 ? ? x0-2 +2 ? y0-1-2=0, ? y =19 , ? 0 5 ? ? ? 2 2
(2)直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l2 上任一点 P(x,y)关于 l 的对 称 点 P ′ ( x ′ , y ′ ) 一 定 在 直 线 l1 上 , 反 之 也 成 立 . 由

? y-y? ? 1 ? 3x-4 y+4 ? ? ?- ?=-1, x?= , ? ? ? x-x? ? 2 ? ? 5 ?? ? ? x+x? +2 ? y+y? -2=0, ? y?=-4 x-3 y+8 . ? ? 5 ? ? 2 2
把(x′,y′)代入方程 y=x-2 并整理,得 7x-y-14=0. 即直线 l2 的方程为 7x-y-14=0. (3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l′,则直线 l 上任一点 P(x1,y1)关于点 A

? x+x1 =1, ? ? x1=2-x, ? 2 ?? 的对称点 P′(x,y)一定在直线 l′上,反之也成立.由 ? ? y+y1 =1, ? y1=2-y, ? ? 2
将(x1,y1)代入直线 l 的方程得 x+2y-4=0. ∴直线 l′的方程为 x+2y-4=0. 【难度】一般 18.已知 ABCD 是矩形,AD=4,AB=2,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点,PA⊥平面 ABCD.

P

G A E· B F C D

(1)求证:PF⊥FD; (2)设点 G 在 PA 上,且 EG//平面 PFD,试确定点 G 的位置. 【答案】 (1)详见解析; (2)G 为 AP 的四等分点 【解析】 (1)证明:在矩形 ABCD 中 ∵F 是 BC 的中点,∴ AF ? DF ? 2 2 ,AD=4 有 AF ? DF
2 2

? AD 2

∴AF⊥DF 又∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥DF ∵PA∩FA=A ∴DF⊥平面 PAF ∴DF⊥PF 7分 (2)过点 E 作 EH∥DF,交 AD 于点 H,∴ AH ? ∵EH ? 平面 PDF ∴EH∥平面 PDF 又∵EG∥平面 PDF,又 GE∩HE=E ∴平面 EHG∥平面 PDF ∴GH∥平面 PDF 又∵平面 ADP∩平面 PDF=PD ∴GH∥PD

1 AD ,连接 GH, 4

1 AD 4 1 ∴ AG ? AP 4
∵ AH ? ∴G 为 AP 的四等分点(靠近 A 点) 【难度】一般 19.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 cos A ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)若 a ?

2 , sin B ? 5 cos C 3

2 ,求 ?ABC 的面积.

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

30 5 ; (Ⅱ) 2 6
2 3

(Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ?

5 , 3
5 2 cosC+ sinC. 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=

整理得:tanC= 5 .所以 sinC=

30 . 6

(Ⅱ)由正弦定理知:

a c ,故 c ? 3 . (1) ? sin A sin C
b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or ∴ ? ABC 的面积为:S= 【难度】一般
5 . 2

b=

3 (舍去) . 3

20.已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且有 Sn=2bn-1, (1)求{an},{bn}的通项公式. (2)若 cn=anbn,{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. * n-1 * 【答案】 (1)an=2n-1(n∈N ) bn=2 (n∈N ). n * (2)Tn=(2n-3) ·2 +3(n∈N ) 【解析】 (1)因为{an}是等差数列,且 a3=5,a7=13,设公差为 d. 所以 解得 * 所以 an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N ). 在{bn}中,因为当 n=1 时,b1=2b1-1,所以 b1=1. 当 n≥2 时,由 Sn=2bn-1 及 Sn-1=2bn-1-1 可得 bn=2bn-2bn-1,所以 bn=2bn-1. 所以{bn}是首项为 1 公比为 2 的等比数列, n-1 * 所以 bn=2 (n∈N ). n-1 (2)cn=anbn=(2n-1) ·2 , 2 n-1 Tn=1+3×2+5×2 +…+(2n-1)×2 ① 2 3 n-1 n 2Tn=1×2+3×2 +5×2 +…+(2n-3) ·2 +(2n-1) ·2 ② ①-②得 2 n-1 n -Tn=1+2×2+2×2 +…+2×2 -(2n-1) ·2

=1+2×
n-1

-(2n-1) ·2
n

n

=1+4(2 -1)-(2n-1) ·2 =-3-(2n-3) ·2 ,

n

所以 Tn=(2n-3) ·2 +3(n∈N ). 【难度】较难 十 17.已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和直线 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m, n 的值,使 (1) l1 和 l2 相交于点 P(m, ?1) ; (2) l1 ? l2 且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1. 【答案】(1) ? 【解析】

n

*

?m ? 1 ?m ? 0 ;(2) ? . ?n ? 7 ?n ? 8

?m 2 ? 8 ? n ? 0 ?m ? 1 (1)由题意: ? ,解得: ? . ?n ? 7 ?2m ? m ? 1 ? 0
(2)由题意: 2m ? 8m ? 0 ,所以: m ? 0 此时直线 l1 的方程为: 8 y ? n ? 0 ,即 y ? ? 【难度】较易 18.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。

n n ,令 ? ? ?1 ,得 n ? 8 . 8 8

求证: (1)PA∥平面 BDE (2)平面 PAC ? 平面 BDE 【答案】 (1)详见解析(2)详见解析 【解析】 (1)证明:连接 OE ∵E,O 分别为 BD,PC 的中点 ∴有 OE∥AP

OE ? 平面BDE AP ? 平面BDE
∴PA∥平面 BDE (2)ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD ∵PO⊥平面 ABCD

∴PO⊥BD PO,AC ? 平面 APC PO ? AC=O ∴BD⊥平面 APC BD ? 平面 BDE ∴平面 BDE⊥平面 APC 【难度】一般 19.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,设 S 为△ABC 的面积, 满足 S ?

3 2 (a ? c 2 ? b 2 ) . 4

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? 3 ,设 A ? x , y ? ( 3-1 )a ? 2c ,求函数 y ? f ( x) 的解析式和最大值. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 (Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得 ∴ tan B ? 3 ,又 B ? (0,? ) 所以 B ?

? 2? ?? ? ; (Ⅱ) y ? 2 6 sin ? x ? ? ( 0 ? x ? ) ,2 6 . 3 3 4? ?

1 3 ac sin B ? ? 2ac cos B 2 4

?
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B ?

?
3

, △ ABC 的 内 角 和 A ? B ? C ? ? , 又 A ? 0,C ? 0 得

0? A?

2? . 3

6分

由正弦定理,知 a ?

b 3 sin A ? sin x ? 2sin x , ? sin B sin 3

c?

b 2? sin C ? 2sin( ? x) sin B 3

所以 y ? ( 3-1 )a ? 2c

?( 2 3-1) sin x ? 4sin(

2? ? x) 3

? 2 3sin x ? 2 3cos x
? 2 6 sin( x ?

?
4

)(0 ? x ?

2? ) 3

当x?

?
4

?

?
2

,即 x ?

?
4

时, y 取得最大值 2 6

【难度】较难 20.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0, 它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70, 且 a2 , a7 , a22 成等比 数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 8 ? Sn ?

【答案】 (1) an ? 4n ? 2 ;错误!未找到引用源。(2)见解析. 【解析】 (1)由题意得 ?

?5a1 ? 10d ? 70
2 ?(a1 ? 6d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 21d )

解得 ?

?a1 ? 6 ?a1 ? 14 ?an ? 4n ? 2 或? (舍去) d ? 4 d ? 0 ? ?
3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 2 ? ( ? ) ?Tn ? ? ( 8 4 n ?1 n ? 2 Sn 2n ? 4n 4 n n ? 2 3 8

(2)

? Tn ?

【难度】一般


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