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2015年浙江省数学竞赛模拟卷六


2015 年浙江省高中数学竞赛模拟卷六
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1、已知定义在 R 上且周期为 T 的函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x)和 f(8+x)=f(8-x) , 则 T 的值为(A)16 (B)14 (C)8 (D)2 ( ) 2、已知 a ? ? cos

? ?

2? 2?

? , sin ? , OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角 3 3 ?
( )

顶点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积等于 (A)1

1 (B) 2

(C)2

3 (D) 2

3、二次函数 f(x)=ax2+bx+c,a∈N*,c≥1,a+b+c≥1,方程 ax2+bx+c=0 有两个小于 1 的不等正根,则 a 的最小值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ( ) 4、棱长均为 3 的三棱锥 P-ABC,若点 Q 满足 PQ ? x PA ? y PB ? z PC?x ? y ? z ? 1? ,则

PQ 的最小值为(A) 6

(B)

6 3

(C)

3 6

(D)1 (

) )

5、设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=90,an-4=32,Sn=420,则 n 的值为 ( (A)16 (B)21 (C)20 (D)18 6、已知 sin 2? ?

24 ? ?? ?? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 2 cos? ? ? ? 的值为 25 ? 2? ?4 ?
(B) ?





(A)

1 5

1 5

(C) ?

1 5

(D)

7 5
( )

7、函数 y ? min x ? 1, x ? x ? 1,6 ? x 的最大值为
2

?

?

(A)

3 4

(B)1

(C)3

(D)

7 2
( )

8、[x]为不超过实数 x 的最大整数,若数列 ?3? (A)2001 9、过椭圆 (B)2002

? ? 2014? ? 的前 2014 项之和为 n ?? ? ? 4 ??
(C)2013

(D)2014

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于 A、C、B、D 四点, 4
( )

则四边形 ABCD 的面积的最大值与最小值之差为 (A)

17 25

(B)

18 25

(C)

19 25

(D)

4 5

10、设函数 f ?x ? ?

ax2 ? bx ? c ?a ? 0? 的定义域为 D,若所有点 ?s, f ?t ???s, t ? D? 构成一
(C)-8 ( (D)不能确定 )

个正方形区域,则 a 的值为 (A)-2 (B)-4

二、填空题(每小题 7 分,共 49 分)
1

11、若抛物线的准线是 x 轴,顶点在 y 轴上,并且点 A(0,3)到抛物线上的动点 P 的距离 的最小值为 2,则满足条件的所有抛物线中,开口最大的抛物线的方程是_______。 12、将 Rt△ABC 沿斜边上的高 AD 折成 120°的二面角,若直角边 AB=4 3 ,AC=4 6 那 么二面角 A-BC-D 的正切值为______。 13、在△ABC 中, AB ? AC ? 0 , AB ? AC ? 2 ,点 M 是线段 BC(含端点)上的点,且

AM ? AB ? AC ? 1 ,则 AM 的取值范围是____。
x2 y2 14、已知曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点( 3 ,1) ,则所有这些曲线上满足 y≥1 的点组 a b
成的图形的面积为_______。 15、已知 f ( x) ?

?

?

x x ?1 x ? 2 x ? 3 5 5 ,则 f (? ? 3) ? f (? ? 3) ? ________。 ? ? ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 2 2

16、方程(a-1) (sin2x+cosx)+(a+1) (sinx-cos2x)=0(参数 a>0)在区间(-π ,π )内 最多有_________个解。 17、数列{ a n}、{bn}中,已知 a 1=2p, a n+1=
2 a ?p an ? p2 , bn ? n ( p ? 0, n ? N *) ,则 an ? p 2a n

数列{bn}的通项表达式 bn =_________; a n 与 a n+1 的大小关系是_________。

三、解答题(每小题 17 分,共 51 分) 1 4 1 18、已知函数 f ( x) ? ,若 f(1)= ,且 f(x)在[0,1]上的最小值为 。 bx 5 2 1? a ? 2 1 1 求证:f(1)+f(2)+……+f(n)> n ? n ?1 ? 。 2 2
19、直线 l 过点 P?a,0? 且与 x 轴不垂直,与抛物线 y ? 2 x 交于 A, B 两点,若在 x 轴上存在 点 C ,使得 ?ABC 为正三角形,求 a 的范围。
2

20、已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d。 方程 f(x)=0 有实数根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f(x) )=0 的根; 反之,g(f(x) )=0 的实数根都是 f(x)=0 的根。 (1)若 a=0,求 c 的取值范围; (2)若 a=1,f(1)=0,求 c 的取值范围。

2

答案:BADAC

DDABB
n?1 42 ? 1 ? 4? ? 3 ;8;2; 32 , an ? an ?1 。 ; ? ,1? ; 3 3 ?2 ?

x2 ? 20y ? 100;
18、 f ?x ? ?

4x 1 1 ?1? ? 1 ? x ?1 ,得证。 x x 1? 4 1? 4 2

19、设 AB中点为Q,则有

3 AB ? QC 。 2

若用韦达定理解,则 QC ? PC sin ? , ? 为倾斜角,与 k 的关系不舒服。 建议用直线的参数方程求解。 设AB: ?

? x ? a ? t cos? 2 2 代入 y 2 ? 2 x 整理得 sin ? ? t ? 2 cos? ? t ? 2a ? 0 。 ? y ? t sin ?

PQ ?

cos? t1 ? t2 t1 ? t2 4 cos2 ? 8a 4 cos2 ? ? 8a sin 2 ? , 。 ? AB ? ? ? ? 2 sin 2 ? 2 sin 4 ? sin 2 ? sin 2 ?

3 4 cos2 ? ? 8a sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? 3 ? ? 由 AB ? QC ? PQ ? tan? 得 ? 4 sin 4 ? sin 4 ? cos2 ? 2
解得 a ? 20、略。

1 1 1 ? ? 。 2 6 2 tan ? 6

3


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