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2007年增加的新题---排列组合二项式定理


第十章
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排列组合二项式定理
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1 某体育彩票规定 从 01 到 36 共 36 个号码中抽出

7 个号码为一注,每注 2 元 某人想先选定吉利 号 18,然后再从 01 到 17 中选 3 个连续的号,从 19 到 29 中选 2 个连续的号,从 30 到 36 中选 1 个号组成 一注,则此人把这种要求的号买全,至少要花 ( ) A 1050 元 B 1052 元 C 2100 元 D 2102 元 解 从 01 到 17 中选连续 3 个号有 15 种方法,从 19 到 29 中选连续 2 个号有 10 种选法,从 30 到 36 中选 1 个有 7 种选法,故购买注数为 1050 注至少花 1050×2=2100 元。答案 C 2 某邮局只有 0.60 元,0.80 元,1.10 元的三种邮票 现有邮资为 7.50 元的邮件一件,为使粘贴邮 票的张数最少,且资费恰为 7.50 元,则最少要购买邮票 ( ) A 7张 B 8张 C 9张 D 10 张 解 选 1.1 元 5 张,0.6 元 2 张,0.8 元 1 张 故 8 张 答案 B。 3. 一条路上共有 9 个路灯,为了节约用电,拟关闭其中 3 个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个 相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为 ________ 解 9 个灯中关闭 3 个等价于在 6 个开启的路灯中,选 3 个间隔(不包括两端外边的装置)插入关闭
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的过程?故有 C 3 =10 种? 5 4 在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外),连同 O 点共 m+n+1 个点,现任取 其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有 ( )
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A.C1 ?1C2 ? C1 ?1C2 m n n m C.C1 C2 ? C1 C2 ? C1 C1 m n n m m n

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B 1 C2 ? C1 C2 .Cm n n m
1 D.Cm C2?1 ? C2 ?1C1 n m n

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第一类办法

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从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任取两点,可构造一个
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三角形,有 C 1 C 2 个;第二类办法 m n

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从 OA 边上(不包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点,
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与 O 点可构造一个三角形,有 C 2 C 1 个;第三类办法 m n

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从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括
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O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 1 C 1 个 m n
答案
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由加法原理共有 N=C 1 C 2 +C 2 C 1 +C 1 C 1 个三角形 m n m n m n

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C
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解法二

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从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 ?n ?1 个,其中三点均在射线 OA(包括 O 点),有 C 3 ?1 个,三点均 m m
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在射线 OB(包括 O 点),有 C 3 ?1 个 n

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∴个数为 N=C 3 ?n ?1 -C 3 ?1 -C 3 ?1 个 n m m

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5.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_________ 解
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分两步

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先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C 2 种;而后,对三组学生安排三所学校,即 4
3
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进行全排列,有 A 3 种 解法二
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依乘法原理,共有 N=C 2 A 3 =36(种) 4 3

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从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共有 A 3 种;而后,再将剩余的一 4
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名学生送到三所学校中的一所学校, 3 种 有 后顺序的
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值得注意的是
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同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前

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因此,共有 N=

1 3 A 4 ·3=36(种) 2

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6.有五张卡片,它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将其中任意三张并排 放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
1

解: 方法一 任取三张卡片可以组成不同三位数 C 3 · · 3 (个), 其中 0 在百位的有 C 2 · · 2 (个), 5 2 A3 4 2 A2
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这是不合题意的,故共有不同三位数 方法二
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C 3 ·2 ·A 3 -C 2 ·2 ·A 2 =432(个) 5 3 4 2

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2 2 第一类 0 与 1 卡片放首位,可以组成不同三位数有 C4 22 A2 ? 48 (个); 第二类
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0 与 1
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1 2 2 卡 片 不 放 首 位, 可 以 组成 不 同 三 位 数有 (C4 2)(C4 22 A2 ) ? 8 ? 48 ? 384 ( 个 )
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故 共 有 不 同 三位 数

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48+384=432(个) 7 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得 的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示) 解 因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取 2 个作为 A、B 两数的顺序不
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2 同,表示的直线不同,所以直线的条数为 A 6 =30

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8.圆周上有 2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________ 解
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2n 个等分点可作出 n 条直径,从中任选一条直径共有 C 1 种方法;再从以下的(2n-2)个等分点 n
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中任选一个点,共有 C 1 n ?2 种方法,根据乘法原理 2

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直角三角形的个数为

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C 1 ·C 1 n ?2 =2n(n-1)个 2 n

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9.某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,有 5 次出牌机会,每次 只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法? 解 出牌的方法可分为以下几类
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2 (1)5 张牌全部分开出,有 A 5 种方法; (2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; 5 4 2 (3)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 3 种方法; 5 2 4 (5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A 3 种方法; (6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 5 种方法 5 2 4 2 2 4 ∴共有不同的出牌方法 A 5 +A 5 +A 5 +A 3 A 3 +A 3 +C 3 A 5 =860 种 5 5 5
2

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10.二次函数 y=ax +bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取 3 个不同 的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条? 解 由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部 ? f(0)=c<0;a<0,开口向下,原点在内部 2 ? f(0)=c>0。所以对于抛物线 y=ax +bx+c 来讲,原点在其内部 ? af(0)=ac<0,则确定抛物线时,可先
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定一正一负的 a 和 c,再确定 b,故满足题设的抛物线共有 C 1 C 1 A 2 A 1 =144 条 3 4 2 6

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11.有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数 (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置; (2)全体排成一行,甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,男生不能排在一起; (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人; (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人。
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解 (1)(元素分析法)甲为特殊元素,故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择
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有 A 1 种,其 3

余 6 人全排列,有 A 6 种 6

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由乘法原理得 A 1 A 6 =2160 种。 3 6

2

(2)(位置分析法)先排最右边,除去甲外,有 A 1 种,余下的 6 个位置全排有 A 6 种,但应剔除乙在最 6 6 右边的排法数 A 1 A 5 种 5 5
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则符合条件的排法共有 A 1 A 6 -A 1 A 5 =3720 种。 6 6 5 5
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(3)(视一法) 将男生看成一个整体,进行全排列

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再与其他元素进行全排列

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共有 A 3 A 5 =720 种。 3 5
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(4)(插空法) 先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有 A 3 A 4 =144 种 3 4 (5)(插空法) 先排女生,然后在空位中插入男生,共有 A 4 A 3 =1440 种 4 5 (6)定序排列
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第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N,第二步,对甲、乙、丙进

行全排列,则为七个人的全排列,因此 A 7 =N×A 3 ,∴N= 7 3 (7)与无任何限制的排列相同,有 A 7 =5040 种 7

A7 7 = 840 种 A3 3

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(8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A 3 种,甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、 5
2 乙相邻的排法有 A 3 A 3 3
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最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间,∴共有 A 3 ×A 2 ×A 3 =720 种 5 2 3

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12. 个不加区别的小球放入编号为 1、 3 的三个盒子中, 20 2、 要求每个盒内的球数不小于它的编号数, 求不同的放法种数 解 首先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小球,然后将剩余的 14 个小球排成一排,如图, |O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有 15 个空档,其中“O”表示小球, “|”表示空档 将求小球装入盒 中的方案数,可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数 对应关系是 以插入两个空档的小盒之间的 “O”个数,表示右侧空档上的小盒装有小球数 最左侧的空档可以同时插入两个小盒 而其余空档只可
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2 插入一个小盒,最右侧空档必插入小盒,于是,若有两个小盒插入最左侧空档,有 C 3 种;若恰有一个小 2 盒 插 入 最 左 侧 空 档 , 有 C1 C1 种 ; 若 没 有 小 盒 插 入 最 左 侧 空 档 , 有 C 13 种 3 3 2 2 N= C3 ? C1 C1 ? C13 =120 种排列方案,即有 120 种放法 3 13

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由加法原理,有

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13.用五种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,每部分涂一色,相邻部分涂不同色, 则涂色的方法共有几种? (1) (3) 解 按排列中相邻问题处理 (1)(4)或(2)(4) 可以涂相同的颜色 分类
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(2)

(4)

若(1)(4)同色,有

A 3 种;若(2)(4)同色,有 5
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A 3 种; 5
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4 若(1)(2)(3)(4)均不同色,有 A 5 种

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4 由加法原理,共有 N=2A 3 +A 5 =240 种 5

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14.甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一、乙不值周六,则可排出不同 的值班表数为多少? 解
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2 每人随意值两天,共有 C 6 C 2 C 2 个;甲必值周一,有 C 1 C 2 C 2 个;乙必值周六,有 C 1 C 2 C 2 个; 4 2 5 4 2 5 4 2

甲必值周一且乙必值周六,有 C 1 C 1 C 2 个 4 3 2

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∴每人值两天,且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数,

3

2 ∴N=C 6 C 2 C 2 -2C 1 C 2 C 2 + C 1 C 1 C 2 =90-2×5×6+12=42 个。 4 2 5 4 2 4 3 2

4


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