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奇偶性



授课时间: 年级: 课时:2 课题: 函数的基本性质 教 学 目 标 重 点 难 点













备课时间: 学生姓名: 教师姓名:董小 2

函数的基本性质

奇偶性
(1)定义: 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数, 又是偶函数。 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 ○ 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 教 学 内 容 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称; 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇



单调性与奇偶性的联系 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数;增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增 函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。

题型.函数奇偶性判断:
【例题】判断下列函数的奇偶性

?1?

f ( x) ? x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ;

? 2?

?1 ? 2 ? f ( x) ?
2x

x 2



? 3?

f ( x) ? lg( 1 ? x2 ? x) ;

? 4?

? x2 ? x ( x ? 0) ? f ( x) ? ? 2 ( x ? 0) ? ?? x ? x

【变式练习】判断函数 f ( x) ?

x ? 1 x ? 1 的奇偶性

题型.抽象函数函数奇偶性判断:
【例题】已知函数 f ( x ) ,x∈ R ,对任意实数 a,b 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 。求证 f ( x ) 为奇函数,



题型.抽象函数的奇偶性问题
【 例 题】 已 知函 数 f ( x ) 满 足: f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) ? f ( y) 对 任意 的实 数 x 、 y 总 成立 , 且

f (1) ? f (2) .求证: f ( x) 为偶函数.

3 【例题】已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ,则 f ( x ) 的解析式为

【变式练习】.已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

?1? 求证: f ( x) 为奇函数; ? 2 ? 若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) .

题型.利用函数的奇偶像和单调性的综合应用

x ? 0, x2 ? 0 ,且 | x1 |?| x2 | ,则 【例题】已知 f ( x ) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x ) 为增函数,若 1
A . f (? x1 ) ? f (? x2 ) B . f (? x1 ) ? f (? x2 ) D . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

C . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

【变式练习】设定义在 的取值范围

??2, 2? 上的偶函数 f ( x) 在区间 ?0, 2? 上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) ,求实数 m



题型:利用函数的奇偶性求值
7 5 3 【例题】 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? 5 , 其中 a, b, c, d 为常数, 若 f (?7) ? ?7 , 则 f (7) ? _______

1 2 【变式练习】已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x>0 时, f ( x ) ? x ? ,则 f (?1) ? ___________ x

题型:数形结合

? ?5, 5? 若当 x ??0, 5? 时, 【例题】设奇函数 f ( x ) 的定义域为
f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是

y

题型:已知函数的奇偶性求参数

y ? f ( x) 5 ? ? O 2 ? x

ax 2 ? 1 f ( x) ? bx ? c ( a 、 b 、 c ? Z )为奇函数,又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a 、 b 、 c 的 【例题】.已知函数
值 .

【变式练习】.定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) ?

x?m 是奇函数,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

x ???2a ? 3, 1? 【变式练习】.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , 是偶函数,则 a ? b ?
2

奇偶性同步练习


?基础达标 1.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(0)的值为( A.-1 B.0 C.1 D.无法确定

)

1 2.(2013·山东卷)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)=( x A.-2 B.0 C.1 D.2 )

)

3.如果偶函数在区间[a,b]上有最大值,那么该函数在区间[-b,-a]上( A.有最大值 B.有最小值 C.没有最大值 D.没有最小值 4.已知 f(x)=ax3+bx+5,其中 a,b 为常数,若 f(-7)=-7,则 f(7)=( A.7 B.-7 C.12 D.17

)

5.若函数 f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是________.

?巩固提高
6.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 )

7. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)的单调递减区间为[0, +∞), 则使 f(x)<f(2)成立的自变量取值范围是( A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

)

8.设函数 f(x)满足:①函数在(-∞,-1)上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值.则 f(x)可以是: ________(答案不唯一) 9.已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x2.求当 x∈(-∞,+∞) 时,f(x)的表达式.

10.已知函数 f(x)=-x3+3x.求证: (1)函数 f(x)是奇函数;(2)函数 f(x)在区间(-1,1)上是增函数.

答案:BAAD 5、解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),


∴k-1=0,∴k=1, ∴f(x)=-x2+3 的递减区间为[0,+∞). 答案:[0,+∞) 6、解析:取 f(x)=x,则 f(x)f(-x)=-x2 是偶函数,A 错,f(x)|f(-x)|=x2 是偶函数,B 错;f(x)-f(-x) =2x 是奇函数,C 错.故选 D. 答案:D 7、解析:∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)为减区间,示意图如下:

由图示可知:f(x)<f(2)成立的自变量的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 答案:D 9、解析:当 x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0), 因为 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x2, 所以 f(-x)=(-x)-(-x)2, 因为 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x)=x+x2. 综上,x∈(-∞,+∞)时, x+x2?x>0?, ? ? f(x)=?0?x=0?, ? ?x-x2?x<0?. 10、证明:在区间(-1,1)上任取 x1,x2,且 x1<x2. f(x2)-f(x1) =-(x2-x1)(x2 2+x2x1+x2 1)+3(x2-x1) =(x2-x1)(3-x2 2-x2x1-x2 1). 因为-1<x1<x2<1,所以(x2-x1)>0, (3-x2 2-x2x1-x2 1)>0, 所以 f(x2)>f(x1). 所以函数 f(x)=-x3+3x 在区间(-1,1)上是增函数.

课堂小结
1.利用定义判断函数奇偶性的步骤:


(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称. (2)确定 f(-x)与 f(x)的关系. (3)作出相应结论. 2.若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数. 3.若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数. 4.函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质. 5.由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 6.奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反. 7.偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同. 8.设 f(x),g(x)有公共的定义域,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶, 偶×偶=偶,奇×偶=奇.

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