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2015-2016学年湖北省部分重点中学高二下学期期末联考数学试卷(理科)


湖北省部分重点中学 2015——2016 学年度下学期期末联考

高二数学试卷(理科)
命题学校:审题教师:
考试时间:2016 年 6 月 29 日上午 7:30-9:30 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.下列函数中 x=0 是极值点的函数是( A. f ( x) ?| x | B.f(x)=-x3 ) C.f(x)=sinx-x ) D. f ( x ) ?

1 x2

2.函数 f(x)=3x-4x3(x∈[-1,0])的最小值是( A. ?

1 2

B.-1

C.0

D.1

3. 已知曲线 y ?

x2 ? 2 ln x ? 1 的一条切线的斜率为 1,则切点的横坐标为 ( 2
C.-1 或 2
2

)

A.-1

B.2
4

1 D. 2

4.函数 f ( x) ? x ? x 有( A.极小值 ? C.极小值

) B.极小值 0 ,极大值 ?

1 ,极大值 0 4

1 4

1 1 ,极大值 0 D.极小值 0 ,极大值 4 4 3π? 5.曲线 y ? ? cos x ? ?0≤x≤ 2 ?与坐标轴所围图形的面积是
A.2 5 B. 2 C.3
x

(

)

D. ? )

6.已知直线 y=kx 是曲线 y ? e 的切线,则 k 的值为( A.

1 2
3

1 B. e

C.1

D. e )

7.函数 f ( x) ? ax ? x ? 1在 x∈(-∞,+∞)内是减函数,则( A. a ? 0 8 .已知函数 B. a ? 0 C. a ? 0 D . a ? ?1

f(x)=cosx+e-x+ x2016,令
)
-x

f1(x) = f ′ (x) , f2(x) = f1 ′ (x) , f3(x) = f2 ′

(x),…,fn+1=fn′(x),则 f2017(x)=( A.-sinx+e

B.cosx-e

-x

C.-sinx-e
1 1

-x

D.-cosx+e
1 1

-x

9.若 a ? ? x 3 dx , b ? ?
0

0

x dx , c ? ? sin xdx ,则 a, b, c 的大小关系为 (
0



A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a 10.在平面内,一条抛物线把平面分成两部分,两条抛物线最多把平面分成七个部分,设 n 条抛物线至多把平面分成 f ( n) 个部分,则 f (n ? 1) ? f (n) ? A. 2n ? 3 11.设 h ( x ) ? B. 2n ? 1 C. 3n ? 2 D. 4n ? 1 ( )

1 1 b ? a ? 0 ,M ? g (b) ? g (a) ,N ? (b ? a )( h(a ) ? h(b)) , ,g ( x) ? ln x , x 2
( C. M ? N D. M ? N )
2 B. M ? N

则以下关系一定正确的是 A. M
2

?N

12.已知定义在 (0,??) 上的函数 y ? f ( x) 满足 数 y ? f ( x) 的最小值为( A. ? )

f ( x) ? [ f ' ( x) ? 1]x ,且 f (1) ? 0 .则函

1 e

B. ? 1

C.

? e D. 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为 ? ( x) ? x 2 (取细棒所在的直线为 x 轴,细 棒的一端为原点) ,棒长为 a ,则细棒的质量为_____________. 14.若函数 f ( x) ? x ? a cos x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为________. 15. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (2a 3 ? a 2 ) ln x ? (a 2 ? 2a ? 1) x , x ? 1 为其极值点,则实数 2

a =_______.
2 2 2 16.已知:(1) 若a1 , a2 , a3 ? R, 则a1 ? a2 ? a3 ? a1a2 ? a2 a3 ? a1a3

2 (a1 a 2 ? a1 a3 ? a1 a 4 ? a 2 a3 ? a 2 a 4 ? a3 a 4 ) 3 即: 三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和; 四个数的平方和不小于这四个 数中每两个数的乘积的和的三分之二.进一步推广关于 n 个数的平方和的类似不等式为:
2 2 2 (2) 若a1 , a 2 , a3 , a 4 ? R, 则a12 ? a 2 ? a3 ? a4 ?

2 2 若a1 , a2 ,?an ? R, 则a12 ? a2 ? ?? an ? M (a1a2 ? a1a3 ? ?a1an ? a2 a3 ? a2 a4 ?? an?1an )

(n ? N , n ? 3) ,则 M ? ________
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 极坐标系中, 已知曲线 C1 : ? ? 2 cos? , 曲线 C 2 : ? ? 2 cos( ? ? (1)求 C1 与 C 2 交点的直角坐标.

?
3

).

(2) 若曲线 C 3 : ? ?

2? ( ? ? R, ? ? 0) 分别与 C1 , C 2 相交于 A,B,求 | AB | . 3

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 (t 18. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 2 t ? 2 ?
为参数),曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos? ( ? 为参数) ? y ? cos2?

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程 (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ln( 1 ? x) ? a( x ? 1)(a ? 0) . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间. (2)若 f ( x) 在 (?1,0] 上的最大值为 1,求实数 a 的值.

20.

( 本 题 满 分

12

分 ) 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 当 n? N*

时, 1 ? 2 2 ? 2 ? 32 ? 3 ? 4 2 ? 4 ? 5 2 ? ?? ? (2n ? 1) ? (2n) 2 ? 2n ? (2n ? 1) 2 ? ?n(n ? 1)(4n ? 3)

21. (本题满分 12 分)已知函数 g ( x) ? x ? 3ax ? 2
3

(1)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? g ( x) 的切线 (2)求 a 的范围,使 g ( x) 有极值,并求极大值与极小值的和
x 2 (3) 设 f ( x) ? [ g ' ( x) ? ax ]e ? x ,若函数 f(x)在 x=0 处取得极小值,求 a 的取值范围.

1 3

22.(本题满分 12 分)在讨论函数局部性质时,可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函 数,进而推导出正确的结论。在某值附近,用简单的一次函数,可以近似替代复杂的函数, 距离某值越近,近似的效果越好。比如,当|x|很小时,可以用 y ? x ? 1 近似替代 y ? e (1)求证: x ? 0 时,用 x ? 1 替代 e x 的误差小于
x

1 2 1 x ,即: x ? 0 时, | e x ? x ? 1 |? x 2 ; 2 2

(2)若 x ? 0 时,用 x 替代 sin x 的误差小于 ax 3 ,求正数 a 的最小值.

湖北省部分重点中学 2015——2016 学年度下学期期末联考

高二数学试卷(理科)参考答案
一、 选择题: ABBA CDBC DDDA 二、填空题: 13.

1 3 a 3

14. [-1,1]

15. a ? ?1

16.

2 n ?1

三、解答题: 17. 解 :(1)C1,C2 分别化直角坐标方程为 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0, x 2 ? x ? y 2 ? 3 y ? 0 , 联立解

得交点为 (0,0)和( ,

3 3 ). 2 2

…………………………5 分

(2)由 ?

? ? ? 2 cos? 2? 2? ? ) ,同理得 B (1, ) ,? ,得 A( ?1, | AB |? 2 2? 3 3 ? ? ( ? ? R , ? ? 0 ) ? 3 ?

………10 分

18.解: (1) y ? cos2? ? 2 cos ? ? 1 ?
2

x2 ? 1, cos? ?[?1,1],? x ?[?4,4] 8
…………………………6 分

? 曲线 C 的普通方程为 y ?

x2 ? 1(?4 ? x ? 4) 8

(2)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,曲线 C 上的点到 l 的距离为

d?

| 4 cos? ? cos2? ? 3 | | ?2(cos? ? 1) 2 ? 6 | , ? 2 2
…………………………12 分

当 cos ? ? 1 时, d max ? 3 2

19.解:(1)函数定义域为(-1,1), a ? 1 时, f ' ( x) ?

1 1 ? x 2 ? 2x ? 1 ? ?1 ? x ?1 1? x ( x ? 1)(1 ? x)

由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? (?1, 2 ? 1] ,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ?[ 2 ? 1,1)

? f ( x) 的单增区间为 (?1, 2 ? 1] ,单减区间为 [ 2 ? 1,1)
(2) 当 x ? (?1,0] 时 , ? a ? 0 , ? f ' ( x) ?

………………………6 分

? 2x ? a ? 0 , ? 函 数 f ( x) 在 ( x ? 1)(1 ? x)

x ? (?1,0] 上单增, ? f ( x) max ? f (0) ? a ? 1 ,? a ? 1

……………………12 分

? 20.证明:1 .当 n ? 1 时,左= 1? 2 2 ? 2 ? 32 ? ?14 ,右= ? 1 ? 2 ? 7 =-14,左=右,? n ? 1

时命题成立.

…………2 分 设 当

2?





n ? k (k ? N * )















1 ? 2 2 ? 2 ? 32 ? 3 ? 4 2 ? 4 ? 5 2 ? ?? ? ? ?k (k ? 1)(4k ? 3) ,则当 n ? k ? 1 时


(2k ? 1) ? (2k ) 2 ? 2k ? (2k ? 1) 2



1 ? 2 2 ? 2 ? 32 ? 3 ? 4 2 ? 4 ? 5 2 ? ?? ?

(2k ? 1) ? (2k ) 2 ? 2k ? (2k ? 1) 2
? ?k (k ? 1)(4k ? 3)

? (2k ? 1)(2k ? 2) 2 ? 2(k ? 1)(2k ? 3) 2

? 4(2k ? 1)(k ? 1) 2

? 2(k ? 1)(2k ? 3) 2 ? ?(k ? 1)[k (4k ? 3) ? 4(2k ? 1)(k ? 1) ? 2(2k ? 3) 2 ] ? ?(k ? 1)(4k 2 ? 15k ? 14) ? ?(k ? 1)(k ? 2)(4k ? 7) ? ?(k ? 1)(k ? 1 ? 1)[4(k ? 1) ? 3]
? n ? k ? 1 时命题成立.
由 1 , 2 可知,对任意 n ? N * 原命题成立.
? ?

…………11 分 …………12 分

2 ? ? x0 ? ?1 ?3x0 ? 3a ? 0 21.解:(1)设切点为 ,解得 ? (x0 ,0) ,则 ? 3 ? ?a ? ?1 ? x0 ? 3ax0 ? 2 ? 0 …………3 分 ? a ? ?1 时, x 轴为曲线 y ? g ( x) 的切线.

(2) g ' ( x) ? 3x ? 3a
2

当 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 恒成立,函数 y ? g ( x) 无极值 当 a ? 0 时,由 g ' ( x) ? 0 ,? y ? g ( x) 在 (??,? ? a ] 和 [ ? a ,??) 上单增 由 g ' ( x) ? 0 ,? y ? g ( x) 在 [? ? a , ? a ] 上单减

? g ( x) 极大 ? g (? ? a ) , g ( x) 极小 ? g ( ? a ) , g ( x) 极大 ? g ( x) 极小 ? -4

? a ? 0 时,函数 y ? g ( x) 有极值, g ( x) 极大 ? g ( x) 极小 ? -4
(3) f(x)=(x2-ax+a)ex-x2, 2 x+2- x-a?,x∈R, f′(x)=x[(x+2-a)ex-2]=xex? e ? ?

…………7 分

2 令 f′(x)=0,则 x=0 或 x+2- x-a=0,即 x=0 或 h(x)=a, e 2 ∵h(x)=x+2- x,在(-∞,+∞)上单调递增,其值域为 R. e ∴存在唯一 x0∈R,使得 h(x0)=a, ①若 x0>0,当 x∈(-∞,0)时,h(x)<a,f′(x)>0;当 x∈(0,x0)时,h(x)<a,f′(x)<0; ∴f(x)在 x=0 处取得极大值,这与题设矛盾; ②若 x0 = 0 ,当 x ∈ ( -∞, 0) 时, h(x)<a, f′ (x)>0 ;当 x ∈ (0 ,+∞ ) 时, h(x)>a , f(x)>0;∴f(x)在 x=0 处不取极值,这与题设矛盾; ③若 x0<0,当 x∈(x0,0)时,h(x)>a,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,h(x)>a,f′(x)>0; ∴f(x)在 x=0 处取得极小值; 综上所述,x0<0,∴a=h(x0)<h(0)=0. ∴a 的取值范围是(-∞,0). …………12 分

22.解: (1)设 f ( x) ? e x ? x ? 1 , f ' ( x) ? e x ? 1

x ? (??,0]时,f ' ( x) ? 0, f ( x)单减 ,

? x ? 0时,f ( x) ? f (0) ? 0,即ex ? x ? 1 ? 0
x 设 h( x ) ? e ? x ? 1 ?

…………2 分

1 2 x , x ? 0时,h' ( x) ? ex ? 1 ? x ? 0,?h( x)在(??,0]上单增 2 1 ? x ? 0时, h( x) ? h(0) ? 0, 即e x ? x ? 1 ? x 2 ? 0 2 1 ? x ? 0时, | e x ? x ? 1 |? x 2 …………4 分 2
(2)即求使 x ? 0时, | x ? sin x |? ax 恒成立的最小正数 a
3

设 ? ( x) ? x ? sin x, ? ' ( x) ? 1 ? cos x ? 0,?? ( x)在[0,??)上单增

? x ? 0时, ? ( x) ? ? (0) ? 0,? x ? sin x ? 0 ,?只需x ? sin x ? ax3 ? 0恒成立……6 分
设 g ( x) ? x ? sin x ? ax 当a ?
3

1 时, g ' ( x) ? 1 ? cos x ? 3ax 2 , g ' ' ( x) ? sin x ? 6ax 6

x ? 0时,已证sin x ? x,? g ' ' ( x) ? x ? 6ax ? 0 ,? g ' ( x)在[0,??)上单减 ? x ? 0时,g ' ( x) ? g ' (0) ? 0,? g ( x)在[0,??)上单减

? x ? 0时, g ( x) ? g (0) ? 0,即x ? sin x ? ax3

1 ? a ? 时, | x ? sin x |? ax 3 恒成立 …………9 分 6 1 ? 当 0 ? a ? 时, g ' ' ' ( x) ? cos x ? 6a, ?x0 ? (0, ), 使 cos x0 ? 6a ? 0 6 2
且 x ?[0, x0 ]时,g ' ' ' ( x) ? 0, ? g ' ' ( x)在[0, x0 ] 上单增

? x ?[0, x0 ]时,g ' ' ( x) ? g ' ' (0) ? 0, ? g ' ( x)在[0, x0 ] 上单增 ? x ?[0, x0 ]时,g ' ( x) ? g ' (0) ? 0, ? g ( x)在[0, x0 ] 上单增
? x ? (0, x0 ]时,g ( x) ? g (0) ? 0, 即 x ? sin x ? ax3 ? 0 ,这与题意不符 ……11 分
综上,所求正数 a 的最小值为

1 6

…………12 分


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