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2011-2012学年度第二学期南昌市期中形成性测试卷高一数学


2011—2012 学年度第二学期南昌市期中形成性测试卷 高一数学(甲卷)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的,请将正确答案的代号填写在答卷的相应表格内) 1、已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是 A、15 B、30 C、31 D、64 2、在等比数列{an

}中,a1<0,若对正整数 n 都有 an<an+1,那么公比 q 的取值范围是 A、q>1 B、0<q<1 C、q<0 D、q<1 3、在△ABC 中,一定成立的是 A、asinB=bsinA B、acosA=bcosB C、asinA=bsinB D、acosB=bcosA 4、在△ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m=(b―c,c―a),n=(b,c+a),若 向量 m⊥n,则角 A 的大小为 π A、 6 A、 7 π B、 3 π C、 2 2π D、 3

5、设向量 a 与 b 的夹角为 60°,且|a|=|b|=1,则|a+3b|的值等于 B、 10 C、 13 D、4 3 3 a +b -c 6、在△ABC 中,已知 = c2,且 A+C=120°,则△ABC 的形状是 a+b-c
3

A、直角三角形

B、钝角三角形

C、等边三角形

D、等腰直角三角形

7、数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a = A、1 1 B、 30

1 ,则 S5 等于 n(n+1) 5 D、 6

1 C、 6

8、等比数列{an}中,已知 a9 =―2,则此数列前 17 项之积为 A、―217 B、―216 C、216 D、217 9、在等比数列{an}中,an>0,且 a5·a2n-5=22n,(n>≥3),则当 n≥1 时,log 2a1+log 2a3+…+log2a2n―1 = 2 2 2 A、n(2n―1) B、(n+1) C、n D、(n―1) → → → → 10、在△ABC 所在的平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC 与△ABC 的面积之比是 2 A、 3 1 B、 3 1 C、 2 3 D、 4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请将正确答案填写在答卷上) 11、在△ABC 中,如果 a :b :c=2 :3 :4,那么 cosC= . 3 12、已知△ABC 的面积为 ,b=2,c= 3 ,则 A= 2 13、在等差数列{an}中,a1= . . .

1 ,第 10 项是第一个比 1 大的项,则公差 d 的取值范围是 25

→ → 14、 在△ABC 中, AB=3, AC=5, O 为△ABC 内一点, 若 且满足|OA|=|OB|=|OC|, AO· 则 BC的值是 15、下面有四个命题: → → → ①若OA=xOB+yOC,且 x+y=1,则 A,B,C 三点共线; → → ②△ABC 中,若 AB=13,BC=12,CA=5,AB·BC =144;

③若?,?是锐角△ABC 的两个内角,则 sin?>cos?; → → → → → → → → → → ④已知向量 a ≠ e ,| e |=1,满足任意 t∈R,恒有| a ―t e |≥| a ― e |.必有 e ⊥( a ― e ) 其中,正确命题的编号是 (写出所有正确命题的编号) . 三、解答题(本大题共小 5 题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 8 分)已知等差数列{an}中,a2=8,前 10 项和 S10=185,求通项 an

→ → → → 17、 (本小题满分 10 分)已知| a |=1,| b |=2, a 与 b 的夹角为 60°. → → → (1)求 a + b 与 a 的夹角的余弦值; → → → → → (2)当| a +t b |取得最小值时,试判断 a +t b 与 b 的位置关系,并说明理由

18、 (本小题满分 10 分)如图所示,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀 速直线航行。当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里。当 甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里? 北 120° A2 B2 105° B1 乙 19、 (本小题满分 10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1+ (1)求角 A; (2)若向量 m = (0,―1),n = (cosB,2cos2 C ),求|m+n|的最小值 2 甲 tanA 2c = . tanB b A1

20、 (本小题满分 12 分)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列. (1)求数列{an}的公比 q; (2)当 am ,as ,at (m,s,t∈[1,10],m,s,t 互不相等)成等差数列时,求 m+s+t 的值

2011—2012 学年度第二学期南昌市期中形成性测试卷

高一数学(甲卷)参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题目 答案 1 A 2 B 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 D 9 C 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请将正确答案填写在横线上) 11. ?

1 ; 4

12. 60 ?或120 ? ;

13.

8 3 ?d ? ; 75 25

14. 8;

15.①③④

三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

?a1 ? d ? 8 ? 10 ? 9 16.解:设{an}公差为 d,有 ? ……………………………………3 分 ?10a1 ? 2 d ? 185 ?
解得 a1=5,d=3………………………………………………………………6 分

∴an=a1+(n-1)d=3n+2…………………………………………………………8 分
17.解: (1)设 a ? b 与 a 的夹角为 ? , 于 是 a ? b ?| a | ? | b | cos60? ? 1 ,

| a ? b |? (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b ? 7 , 于 是

2

2

c o ? ?s

( a ? b) ? a | a ?b |?| a |

?

2 7

?

2 7 .…………………………………………………5 分 7

( 2 ) 令 | a ? t b |?

1 1 3 4t 2 ? 2t ? 1 ? 4(t ? ) 2 ? , 当 且 仅 当 t ? ? 时 , 取 得 最 小 值 , 此 时 4 4 4

(a ? tb) ? b ? a ? b ? 4t ? 0 ,所以 (a ? tb) ? b .…………………………………10 分
18.如图,连结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 在 ?A B2 B1 中,由余弦定理得 1
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45?

20 ? 30 2 ? 10 2 , 60 ?A1 A2 B2 是等边三角形, ?B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,………………………3 分

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

, 2 ? 200 2 B1B2 ? 10 2. …………………………………………………………………8 分

10 2 ? 60 ? 30 2. 20 答:乙船每小时航行 30 2 海里. ……………………………………………10 分
因此乙船的速度的大小为

tan A 2c sin A cos B 2sin C , ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B sin B cos A ? sin A cos B 2sin C 即 ,………………………………………………3 分 ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 1 π ∴ ,∴ cos A ? .∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? .………………………5 分 ? sin B cos A sin B 3 2
19. 解: (1) 1 ?

C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 ?? ? 2 2π 1 π ? m ? n ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 ( ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) .……………………7 分 3 2 6 π 2π 2π π π 7π ∵ A ? ,∴ B ? C ? , ∴ B ? (0, ) .从而 ? ? 2B ? ? . 3 3 3 6 6 6 ?? ? ?? ? 2 2 π π 1 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时, m ? n 取得最小值 . 故 m ? n min ? .…………10 分 2 6 3 2
(2) m ? n ? (cos B,2cos2 20.解: (1)当 q ? 1 时, S 3 ? 3a1 , S 9 ? 9a1 , S 6 ? 6a1 ,

?? ?

? 2S 9 ? S 3 ? S 6 ,? S 3 , S 9 , S 6 不成等差数列,与已知矛盾,? q ? 1 . ………………2 分
由 2S 9 ? S 3 ? S 6 得: 2 ?

a1 1 ? q 9 a1 1 ? q 3 a1 1 ? q 6 ,………………………………4 分 ? ? 1? q 1? q 1? q

?

?

?

?

?

?

即 2 1 ? q 9 ? 1 ? q 3 ? 1 ? q 6 ? 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0 ,

?

? ?

? ?

?

1 1 , ? q 3 ? ? ? q ? ?3 , q 3 ? 1 ? q ? 1 (舍去) 2 2
(2) S 3 , S 9 , S 6 成等差数列

?q ? ?

3

4 ………………6 分 2

? 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0 ? 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 2a1q 6 ? a1q 3 ? a1 ? 2a7 ? a4 ? a1 ,
? a1 , a7 , a4成GP 或 a4 , a7 , a1成GP ,则 m ? s ? t ? 12 ,……………………………………10 分
同理: a2 , a8 , a5成GP 或 a5 , a8 , a2 成GP ,则 m ? s ? t ? 15 ,

a3 , a9 , a6成GP 或 a6 , a9 , a3成GP ,则 m ? s ? t ? 18 ,
15 18 ?m ? s ? t 的值为 12, , . …………………………………………………………………12 分


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