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云南省曲靖市陆良县第二中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


2015 年 7 月高二下学期期末考试

文科数学试题
(考试时间:120 分钟;全卷满分:150 分) 一、选择题(共有 12 个小题,每小题 5 分) 1、已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? ?x | ln x ? 0? ,则 (CU A) ? B ? (
2

?

>
?

)

A. (0,1]

B. (??,0) ? (1, ??)

C. ?

D. (0,1)

2、复数 1 - 的虚部是( A、 i B、 1

1 i

) C、 ?2 D、-1

3、某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取一 个容量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为( )

A. 28 B. 32 C. 40 D. 64 ? ? ? ? 2 4、已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么 (a ? b ) =( A、7 B、10 C、13 D、4 5、已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 a4 ? 18 ? a5 , 则 S8 等于 A、72 B 、54 C、36 (

).



D、18 )

6、 已知 m, n 为异面直线, m⊥平面?, n⊥平面??. 直线 l 满足 l⊥m, l⊥n, l? l? ( / ?, / ????则: (A)?∥?且 l∥? (C)?与??相交,且交线垂直于 l (B)?⊥?且 l⊥? (D)?与??相交,且交线平行于 l
开始

7、执行右面的程序框图,如果输入的 N =10,那么输出的 S =( (A)1+ (B)1+ (C)1+ 1 1 1 + + … + 2 3 10 1 1 1 + + … + 2! 3! 10! 1 1 1 + + … + 2 3 11

)

输入 N

k =1, S = 0,T =1 T T= k S = S+T k= k +1 k >N
是 输出 S 结束 否

1 1 1 (D)1+ + + … + 2! 3! 11!

8、 sin 75 cos15 ? cos75 sin 15 的值为
o o o o





A. ?

1 2

B.
0.2

1 2
1

C.

3 2

D.–

3 2

?1? 9、设 a ? log 1 5 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则( ? 3? 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a

) C. c ? a ? b D. b ? a ? c

10、某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( ) A. 12? B. 45? C. 57? D. 81?

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8,则点 P 到它的左焦点的距离 11、若双曲线 4 12
是( A、4 ) B、12 C、4 或 12 D、6

? x ? y ≥ ?1 ? 12、设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,则目标函数 z =2 x +4 y 的最大值为( ?y≥ 2 ?
A、10 二、填空题 13、已知双曲线 C : B、12 C、13 D、14



x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c ,焦点到双曲线 C 的渐近线 a 2 b2

的距离为

c ,则双曲线 C 的离心率为 2

14、先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 15、曲线 y ?

1 3 2 x ? x 在点 (1,? ) 处的切线斜率为 3 3
x ?x

16、若 x log3 4 ? 1 ,则 4 ? 4 = 三、解答题(本大题共 6 小题共 70 分) 17、 (本小题满分 12 分)

y ? sin
已知函数

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2

(1)求出函数的单调递增期间, 并求

y 取最大值时相应的 x 的集合;

(2)该函数的图象经过怎样的变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 是 A1B 的中点,点 N 是 B1C 的中点,连接 MN. (Ⅰ)证明:MN//平面 ABC; (Ⅱ)若 AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2, 求二面角 A—A1C—B 的余弦值的大小.

19、(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4x ? 4 3

(1)、求 f ( x) 的导数 (2)、求 f ( x) 的极值 (3)、求 f ( x) 在 ?0, 3? 上的最大值与最小值

20、 (本题满分 12 分) 设直线 l 经过点 M 0 (1,5) ,倾斜角为 (1)求直线 l 的参数方程

? 3

(2)求直线 l 和直线 x ? y ? 2 3 ? 0 的交点到点 M 0 的距离 (3)求直线 l 和圆 x ? y ? 16 的两个交点到点 M 0 的距离的和与积
2 2

21、 (本题满分 10 分)已知椭圆 C 的焦点 F ( 2 ,0) ,离心率 e ?

2 5

(1) 、求椭圆 C 的方程 (2)、若直线 y ? x 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求线段 AB 的长度

22、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) , 以坐标原点 O ? y ? 3sin ?

为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,得曲线 C2 的极坐标方程为 . ? ? 6sin ? ? 8cos? ? 0 ( ? ? 0 ) (Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

? x ? 2?t ? (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)过曲线 C1 与 y 轴负半轴的交点,求与直线 l 平行 3 y ? ? ??t ? ? 2
且与曲线 C2 相切的直线方程.

2015 年 7 月高二下学期期末考试

文科数学试题答案
一、选择题(共有 12 个小题,每小题 5 分) 1—5

ABDCA

6----10

DBCAA

11—12

CC
10 3

二、填空题 13、

2 3 3

14、

7 8

15、0

16、

三、解答题(本大题共 6 小题共 70 分) 17、 (本小题满分 12 分)

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2 (1)求出函数的单调递增期间, 并求 y 取最大值时相应的 x 的集合;
已知函数 y ? sin (2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

(2) y ? 2sin( ?

? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? ? y ? 2sin ??????? ? y ? 2sin x 2 3 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 是 A1B 的中点,点 N 是 B1C 的中点,连接 MN. (Ⅰ)证明:MN//平面 ABC; (Ⅱ)若 AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2, 求二面角 A—A1C—B 的余弦值的大小. (Ⅰ)证明:连接 AB1, C M A M B M N M C1 M M A1 M B1 M

∵四边形 A1ABB1 是矩形,点 M 是 A1B 的中点, ∴点 M 是 AB1 的中点;∵点 N 是 B1C 的中点, ∴MN//AC,∵MN ? 平面 ABC,AC ? 平面 ABC, ∴MN//平面 ABC.…………………6 分 (Ⅱ) 解 : (方法一) 如图, 作 AD ? AC 交 AC 1 , 1 于点 D, 由条件可知 D 是 AC 1 中点, 连接 BD,∵AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2, ∴AB2+AC2= BC2,∴AB⊥AC, ∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面 ACC1 A 1 C M A M B M D MN M M A1 M B1 M C1 M

? ADB 为二面角 A—A1C—B 的平面角,在 ∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面 ABD,∴ BD ? AC 1 ∴

Rt ?AAC 1 中,AD ?

AA1 ? AC 3? 3 6 , ? B C ? B1A ? 2 , AC ?6, ? ? 1 AC 2 6 1
10 , ∴ ?ABD 中, ?BAD ? 90? , 2
A M B M C Mx A1 M

在等腰 ?CBA1 中, D 为 AC 1 中点, BD ?

Rt ?ABD 中, tan ?ADB ?

AB 6 , ? AD 3

M

z
B1 M M

15 ∴二面角 A— AC …………12 分 1 —B 的余弦值是 5
(方法二) ? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ∴ AB ? AA ,AC ? AA1 ,? AB ? 1 , AC ? 3 , 1

y M

N M

C1 M

M

BC ? 2 , ∴ AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ AB ? AC
如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0,1,0), C( 3 ,0,0), A1(0,0, 3 ), 如图,可取 a ? AB ? (0,1,0) 为平面 AAC 的法向量, 1 设平面 A 1BC 的法向量为 b ? (m, l , n) , 则 BC ? b ? 0, AC , AC ( 3, ?1 , 0) ? ( 3,0, ? 3) , 1 ? b ? 0, 又BC ? 1

?

??? ? ?

???? ?

??? ?

????

则由 BC?b ? 0,

??? ?? ?

A1C ? b ? 0,



? ? ??l ? 3m ? 0 ?? ? l ? 3m, n ? m ,不妨取 m=1,则 b ? (1, 31) ,, 3 m ? 3 n ? 0 ? ?
可求得 cos ? a, b ??

? ?

15 15 , ?二面角A ? AC ……………12 分 的余弦值为 1 ? BD 5 5
1 3 x ? 4x ? 4 3
(2)、求 f ( x) 的极值

19、(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

(1)、求 f ( x) 的导数

(3)、求 f ( x) 在 ?0, 3? 上的最大值与最小值 解:(1)、 f ?( x) ? x 2 ? 4 (2)、由(1)知 f ?( x) ? x 2 ? 4 令 f ?( x) ? x 2 ? 4 ? 0 ,得 x ? 2, 或x ? ?2 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表 (5 分) (2 分)

x
f ?( x) f ( x)

?? ?,?2?
+ 单调递增 ?

-2 0

(-2,2) 单调递减 ?

2 0

?2,???
+ 单调递增 ?

28 3

-

4 3

因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为

f ( ?2 ) ?

28 3

(6 分)

当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为

f (2) ? ?

4 3

(7 分)

(3)、由(2)可知在 ?0, 3? 上,当 x ? 2 时,

f ( x) ?

1 3 4 x ? 4 x ? 4 ,有极小值为 f (2) ? ? 3 3

又由于 f (0) ? 4, f (3) ? 1

因此,函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4x ? 4 , 3

4 (12 分) 3 ? 20、 (12 分)设直线 l 经过点 M 0 (1,5) ,倾斜角为 3 (1)求直线 l 的参数方程 (2)求直线 l 和直线 x ? y ? 2 3 ? 0 的交点到点 M 0 的距离
在 ?0, 3? 上的最大值是 4,最小值是 (3)求直线 l 和圆 x 2 ? y 2 ? 16 的两个交点到点 M 0 的距离的和与积 解: (1) 、直线 l 的参数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos? (t 为参数) ? y ? y 0 ? t sin ?

1 ? x ? 1? t ? ? 2 (t 为参数)……………………(3 分) ? l 的参数方程为 ? 3 ?y ? 5 ? t ? 2 ?
(2) 、将直线 l 的参数方程中的 x, y代入x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? ?(10 ? 6 3) 。 所以,直线 l 和直线 x ? y ? 2 3 ? 0 的交点到点 M 0 的距离为 t ? (10 ? 6 3 ) …(7 分) (3)将直线 l 的参数方程中的 x , y 代入 x 2 ? y 2 ? 16 得 t 2 ? (1 ? 5 3)t ? 10 ? 0 设上述方程的两根为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?(1 ? 5 3),t1t 2 ? 10 可知 t1 , t 2 都为负值,所以 t1 ? t 2 ? ?(t1 ? t 2 ) ? 1 ? 5 3

? 两个交点到点 M 0 的距离的和为 1 ? 5 3 ,积为 10……………….(12 分)
21、 (本题满分 10 分)已知椭圆 C 的焦点 F ( 2 ,0) ,离心率 e ? (1) 、求椭圆 C 的方程 (2)、若直线 y ? x 与 C 交于 A、B 两点,求线段 AB 的长度 解: (1)由题意得 c ?

2 5

2

又e ?

2 5

b? 3 x y2 ?1 ? C 的方程为 ? 5 3
2

?a ? 5

(4 分)

(2) 、由(1)知:C:

x2 y2 ? ? 1 ,设 A、B 的坐标为 ?x1 , y1 ? , ?x2 , y2 ? 5 3
(6 分)

? x2 y2 ? ? ?1 联立方程 ? 5 3 ? ? y?x 15 2 消y 得x ? 8

x1 ? x2 ? 0
2

x1 x 2 ? ?

AB= (1 ? k ) ?x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 15
2

?

15 8

(8 分)

?

(10 分)

解法二: (2) 、由(1)知:C:

x2 y2 ? ? 1 ,设 A、B 的坐标为 ?x1 , y1 ? , ?x2 , y2 ? 5 3
(6 分)

? x2 y2 ? ? ?1 联立方程 ? 5 3 ? ? y?x 15 2 消y 得x ? 8 30 30 30 解得: x1 ? x2 ? ? y1 ? 4 4 4
2 2 AB= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 15

y2 ? ?

30 4
(10 分)

(8 分)

22、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) , 以坐标原点 O y ? 3sin ? ?

为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,得曲线 C2 的极坐标方程为 . ? ? 6sin ? ? 8cos? ? 0 ( ? ? 0 ) (Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

? x ? 2?t ? l (Ⅱ)直线 : ? ( t 为参数)过曲线 C1 与 y 轴负半轴的交点,求与直线 l 平行 3 y ? ? ? ? t ? ? 2
且与曲线 C2 相切的直线方程. 解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为:

x2 y 2 ? ? 1; 16 9
2

……………… 2 分

由 ? ? 6sin ? ? 8cos ? ? 0 得 ? ? 6? sin ? ? 8? cos? ? 0 , ∴曲线 C2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8x ? 6 y ? 0
2 2

……………… 4 分

(或:曲线 C2 的直角坐标方程为: ( x ? 4)2 ? ( y ? 3) ? 25 ) (Ⅱ)曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 与 y 轴负半轴的交点坐标为 (0, ? 3) , 16 9

? x ? 2?t ? 0 ? 2?t 3 ? ? 又直线 l 的参数方程为: ? ,∴ ? ,得 ? ? , 3 3 4 y ? ? ??t ?3 ? ? ? ? t ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 2?t ? 即直线 l 的参数方程为: ? 3 3 y?? ? t ? ? 2 4
得直线 l 的普通方程为: 3x ? 4 y ? 12 ? 0 , …………… 6 分 ……… 7 分

设与直线 l 平行且与曲线 C2 相切的直线方程为: 3x ? 4 y ? k ? 0 ∵曲线 C2 是圆心为 (4, ? 3) ,半径为 5 的圆,得 解得 k ? 1 或 k ? ?49

12 ? 12 ? k ? 5, 5

……………… 9 分 …………… 10 分

故所求切线方程为: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 49 ? 0


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