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2012全国高中数学联赛一试解答题训练二


2012 全国高中数学联赛一试解答题训练二
31、已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 3 a b

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0)

处的切线, l 与双曲线 C 交
2 2

于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 ,∴ b2 ? c2 ? a2 ? 2 , 解析: (Ⅰ)由题意,得 ? ?c ? 3 ?a ?
∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2

2 2 (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? ,化简得 x0 x ? y0 y ? 2 . y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 2 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 ? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 , 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2
2 ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ? 0 ,
2 2 2

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

??? ??? ? ? 2 4 x0 8 ? 2 x0 OA ? OB , x1 x2 ? 2 则 x1 ? x2 ? 2 ,∵ cos ?AOB ? ??? ??? , ? ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 OA ? OB
且 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?

??? ??? ? ?

1 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? 2 ? y0

? x1 x2 ?

1 2 ? 4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 ?

1

2 2 2 2 x0 ? 8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ?

??

2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? 2 ? 0 .∴ ?AOB 的大小为 90? . 2 3x0 ? 4 3 x0 ? 4

32、设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
解析: (1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

?4 2 ?1 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y2 ? ? 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 6 1 1 1 8 4 b ?4 ? ? ? ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ??? ??? ? ? ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 4 ?8
x 2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2
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则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 ? ? m2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? O , B需 使 x1 x2 要 使 O A
3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 k 2 ?

2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 y1 ?y2 , 即 0 ? ?0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? m2 ? 2 3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所 以 ? 2 ,所以 8 ?3m ? 8

2

m2 ?

2 6 2 6 8 ,即 m ? 或m? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切 3 3 3
m 1? k 2
,r ?
2

线,所以圆的半径为 r ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 ,所求的圆为 ? ,r ? 2 3m ? 8 3 3 1? 8

x2 ? y 2 ?

2 6 2 6 8 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m? ? ,而当切线的斜 3 3 3

x2 y2 2 6 2 6 2 6 ,? )或 率不存在时切线为 x ? ? 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( 3 3 3 8 4
(?

??? ??? ? ? 2 6 2 6 8 ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的 3 3 3 ??? ? ??? ?

任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? , 2m 2 ? 8 ? xx ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (?
2 2

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) ) ? 4? ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2
2 2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2

2

8(8k 2 ? m 2 ? 4) ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ], 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 1 1 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? , 2 1 k 4k 2 ? 2 ? 4 8 k 32 32 1 所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
所以

2 4 时取”=”. 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 2 3
3

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② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3
2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

| AB |?

4 6 , 3

综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3
x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数) 8b 2 b 2

33、已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

y

上任一点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 1
P

P2

A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .

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P1 F1

A
O
F2

(1) 求线段 P P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

x

Q x1 , y1)y1 ? 0) ,直线 QB, QD 分别交 y 轴于 M,N ( (
两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点. 解析: (1) 由已知得 F2 3b, ,则直线 F2 A 的方程为: y ? ? ( 0),( b,y0) A 令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P2 (0,9 y0 ) ,

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x0 ? ? x0 ? 2 x ? x? 2 x2 y2 4 x2 y2 ? ? ? 1, 设 P x,y) ? ,则 ,即 ? 代入 0 2 ? 02 ? 1 得: 2 ? ( y 8b b 8b 25b 2 ? y0 ? 5 ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y ? 0 ? ? 2
即 P 的轨迹 E 的方程为

x2 y2 ? ?1. 2b 2 25b 2

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(2) 在

x2 y2 ( 0),D 2b, , ( 0) ? ? 1 中令 y ? 0 得 x 2 ? 2b2 ,则不妨设 B - 2b, 2 2 2b 25b
y1 x1 ? 2b ( x ? 2b) ,
直 线 QD 的 方 程

于 是 直 线 QB 的 方 程 为 : y ?

4

为: y ?

y1 x1 - 2b

( x- 2b) ,

( 则 M 0,

- 2by1 ),N 0, ( ) , x1 ? 2b x1 - 2b
2

2by1

( 则以 MN 为直径的圆的方程为: x ? y -

2by1 x1 ? 2b

)(y ?

2by1 x1 - 2b

) 0 , ?

令 y ? 0 得: x ?
2

2b 2 y12 x2 y2 2 2 ( ,而 Q x1 , y1) 在 2? ? 1 上,则 x12 ? 2b 2 ? y1 , 2 2 2 x1 ? 2b 2b 25b 25

于是 x ? ?5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 (?5b,0),(5b,0) .

34、设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) 的左,右焦点. 6m 2 2m 2

F (1) P ? C , P 1P 当 且 F ?

?? ?? ? ? ??

2

? 0 ,| PF1 | ? | PF2 |? 8
y Q (x, y)

时,求椭圆 C 的左,右焦点 F1 、 F2 的坐标; (2) F1 、 F2 是(1)中的椭圆的左,右焦点,已 知 ? F2 的半径是 1,过动点 Q 的作 ? F2 切线 QM , 使得 QF 1 ? F1

M O F2 x

2 QM ( M 是切点) ,如下图.求

动点 Q 的轨迹方程. 解析: (1)∵ c 2 ? a 2 ? b2 ,∴ c 2 ? 4m2 .……2 分 又∵ PF1 ? PF2 ? 0 ∴ PF1 ? PF2 , ∴ PF1 ? PF2
2 2

? ? 2c ? ? 16m 2 .由椭圆定义可知 PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 6m ,
2

? PF

1

? PF2

?

2

? 16m 2 ? 8 ? 24m 2 ,

0 0 从而得 m2 ? 1 , c2 ? 4m2 ? 4 , c ? 2 . ∴ F1 ? ?2,? 、 F2 ? 2,? .
(2)∵F1(-2,0) 2(2,0) ,F ,由已知: QF 1 ?
2

2 QM ,即 QF 1 ? 2 QM ,所以
2 2

有: QF1 ? 2 QF2 ? 1 ,设 P(x,y) ,则 ? x ? 2? ? y ? 2 ?? x ? 2 ? ? y ? 1? ,
2 2 2 2

?

?

?

2

?

2 2 即 ? x ? 6 ? ? y ? 32 (或 x ? y ? 12 x ? 4 ? 0 )
2 2

综上所述,所求轨迹方程为: ? x ? 6 ? ? y ? 32 .
2 2

5

35、在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1) ,B(0, 1)平面内两点 G、M 同时满足① GA ? GB ? GC ? 0 , ② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ,定点 F 的坐标为( 2 , 0) ,已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF · = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值. RF 解析: (1)设 C ( x , y ), ? GA ? GB ? 2GO ,由①知 GC ? ?2GO , 心 , ∴G(

??? ??? ??? ? ? ?

?

????

????

???? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

????

?G 为 △ABC 的重

x y , ) 3 3

由②知 M 是△ABC 的外心,∴ M 在 x 轴上。

由③知 M(

x ,0) , 3
????
得 ( ) ?1 ?
2

由 | MC | ? | MA |

???? ?

x 3

x ( x ? )2 ? y 2 3

化简整理得:

x2 ? y 2 ? 1 (x≠0) 。 3 x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 3
2 ,则直线 PQ 的方程为 y = k ( x - 2 ) 2

(2)F( 2 ,0 )恰为

设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

由?

? y ? k ( x ? 2) ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

设 P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = 则| PQ | = 1 ? k
2

6 2k 2 , 3k 2 ? 1

x1·2 = x

6k 2 ? 3 3k 2 ? 1

x 2 ? 12 · ( x1 ? 2 ) 4 xx

=

1? k 2 · (

6 2k 2 2 6k 2 ? 3 ) ? 4? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

2 3( k 2 ? 1) = 3k 2 ? 1

2 3(k 2 ? 1) 1 ?RN⊥PQ,把 k 换成 ? 得 | RN | = 3? k2 k

1 | ?S = | PQ | · RN | 2

6

=

6(k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)

=2?

8 ) 1 2 3(k ? 2 ) ? 10 k

? 3(k 2 ? ?k2 ?

1 8 ) ? 10 ? 2 k 2?S

1 8 ≥2 , ? ≥16 2 k 2?S

3 1 ? ≤ S < 2 , (当 k = ± 时取等号) 2
又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2 综上可得

3 3 ≤ S ≤ 2?Smax = 2 , Smin = 。 2 2
1 x2 ? a (b,c∈N*),若方程 f(x) = x 的解为 0,2,且 f (–2)<– . bx ? c 2

36、设函数 f (x) =

(Ⅰ)试求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知各项不为零的数列{an}满足 4Sn·( f 求证: (1 ? 解析:
1 ) = 1,其中 Sn 为{an}的前 n 项和. an

1 an?1 1 1 ) ? ? (1 ? ) an . an e an

x2 ? a ? x ? (1 ? b) x 2 ? cx ? a ? 0(b ? 1) bx ? c

?c ? ?a ? 0 ?2 ? 0 ? 1 ? b x2 ? ? ?? ?? . c ? f ( x) ? c ?2 ? 0 ? a ?b ? 1 ? 2 (1 ? ) x ? c ? ? 2 1? b ?

由 f (–2) =

?2 1 ? ? ? ?1 ? c ? 3 1? c 2

又∵b,c∈N* ∴f (x) =
f ?( x) ?

∴c = 2,b = 2

x2 ( x ? 1) . 2( x ? 1)

2 x ? 2( x ? 1) ? x 2 ? 2 x 2 ? 2 x ? 4( x ? 1)2 2( x ? 1) 2

令 f′(x)>0 得:x<0 或 x>2 令 f′(x)<0 得:0<x<2 ∴f(x)的单调递增区间为(–∞,0)(2,+∞) , f(x)的单调递减区间为(0,1)(1,2) , .
2 (Ⅱ)证明:由已知可得:2Sn = an – an , 2Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2)

2

7

两式相减得:(an + an – 1) (an – an – 1+1) = 0 (n≥2) ∴an = –an –1 或 an –an–1 = –1 当 n =1 时,2a1 = a1 – a12 ? a1 ? ?1 若 an = –an–1,则 a2 = –a1 = 1 与 an≠1 矛盾. (定义域要求 an≠1) ∴an – an–1 = 1,∴an = –n. 要证的不等式转化为 (1 ? )?( n ?1) ? ? (1 ? )? n
1 1 ? (1 ? )n ? e ? (1 ? )n ?1 n n 1 1 ? n ln(1 ? ) ? 1 ? (n ? 1) ln(1 ? ) n n ? 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? n ?1 n n x ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0) x ?1 x x ?1 1 n 1 e 1 n

先证不等式

令 g (x) = x –ln(1 + x),h(x) = ln(x +1) – 则 g′(x) = ∵x>0
x x ,h′(x) = ( x ? 1)2 1? x

∴g′(x)>0,h′(x)>0

∴g (x), h(x)在(0,+∞)上 ∴g (x)>g (0) = 0,h(x)>h(0) = 0 ∴ 故
x ? ln( x ? 1) ? x x ?1

1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ,即 (1 ? )an?1 ? ? (1 ? )an an e an n ?1 n n

37、已知函数 f ( x) ?

x 1 (0 ? x ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) ,数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? , 1? x 2

an ?1 ? f ?1 (an ) ;函数 y ? f ?1 ( x) 的图象在点 (n, f ?1 (n)) (n ? N? ) 处的切线在 y 轴上的截距为 bn .

(1) 求数列{ an }的通项公式; (2) 若数列 {
b bn ? ? 最小,求 ? 的取值范围; ? } 的项仅 5 ? 2 2 a5 a5 an an

1 ? x2 1 ,0 ? xn ? 1 , 2 , 0 ? x ? 1 ,数列 {xn } 满足: x1 ? 1? x 2 ( xn ?1 ? xn ) 2 5 ( x2 ? x1 ) 2 ( x3 ? x2 ) 2 ? ? ?? ? ? . 且 xn ?1 ? g ( xn ) ,其中 n ? N .证明: x1 x2 x2 x3 xn xn ?1 16
?1 (3) 令函数 g ( x) ? [ f ( x) ? f ( x)] ?

8

解析: (1)令 y ?

y x ,解得 x ? ,由 0 ? x ? 1,解得 y ? 0 , 1? y 1? x x a 1 1 ?1 ( x ? 0) .则 an ?1 ? f ?1 (an ) ? n ,得 ∴函数 f ( x) 的反函数 f ( x) ? ? ? 1. 1? x 1 ? an an ?1 an

1 1 . ?{ } 是以 2 为首项,l 为公差的等差数列,故 an ? n ?1 an
?1 (2)∵ f ( x) ?

x 1 ( x ? 0) ,∴ [ f ?1 ( x)]? ? , (1 ? x)2 1? x
n 1 ? ( x ? n) , n ? 1 (1 ? n)2
2

∴ y ? f ?1 ( x) 在点 (n, f ?1 (n)) 处的切线方程为 y ?

bn ? ? ? n2 ? n2 ? ? (n ? 1) ? (n ? )2 ? ? ? 令 x ? 0 , 得 bn ? .∴ 2 ? , 2 an an 2 4 (1 ? n)
∵仅当 n ? 5 时取得最小值, 4.5 ? ∴
?1

?
2

解之 9 ? ? ? 11 , ? 的取值范围为 (9,11) . ∴ ? 5.5 ,

x x 1 ? x2 2x 1 ? x2 ?[ ? ]? ? (3) g ( x) ? [ f ( x) ? f ( x)] ? , x ? (0,1) . 2 2 1 ? x 1 ? x 1 ? x 1 ? x2 1? x 1? x 1 则 xn ?1 ? xn ? xn (1 ? xn ) ? 2 n , 0 ? xn ? 1 , xn ?1 ? xn , 因 则 显然 1 ? xn?1 ? xn ? ? x2 ? . xn ? 1 2
xn ?1 ? xn ? xn (1 ? xn ) ? 1 ? xn 1 1 1 1 2 ?1 · · · ? ? ? ? ? 2 2 xn ? 1 4 x ? 1 ? 4 2 2 ?2 8 ?2 n xn ? 1

∴ ∴
?

( xn ?1 ? xn )2 xn ?1 ? xn 1 1 2 ?1 1 1 ? ( xn ?1 ? xn ) ? ( xn ?1 ? xn )( ? )? ( ? ) xn xn ?1 xn xn ?1 xn xn ?1 8 xn xn ?1
2 ?1 1 1 1 1 1 1 ( x ? x )2 ( x1 ? x2 ) 2 ( x2 ? x3 ) 2 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ? ? n ?1 n ? 8 x1 x2 x2 x3 xn xn ?1 x1 x2 x2 x3 xn xn ?1 2 ?1 1 1 2 ?1 1 ( ? )? (2 ? ) 8 x1 xn ?1 8 xn ?1

1 1 1 1 ∵ x1 ? , xn ?1 ? xn ,∴ ? xn?1 ? 1 ,∴ 1 ? ? 2 ,∴ 0 ? 2 ? ?1 xn ?1 xn ?1 2 2

3 ?1 ( xn?1 ? xn )2 ( x2 ? x1 )2 ( x3 ? x2 )2 2 ?1 1 2 ?1 2 5 ∴ ? ??? ? (2 ? )? ? ? x1 x2 x2 x3 xn xn ?1 8 xn ?1 8 8 16
38、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由. 解析: (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面 PAC.
?
? ?

9

(Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴ DE ?

1 BC , 2

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?
?

1 AB , 2

∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60 ,∴ BC ? ∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

1 AB . 2

DE BC 2 ? ? , AD 2 AD 4 2 . 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arcsin

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90 . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90 , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角. 39、 如图, 四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 其对角线 AC=2, BD= 2 ,AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积. 解析: (综合法)连接 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 (I) OG ? AF, G 为垂足。 连接 BG、 DG。 BD ? AC, ? CF 得 BD ? 平面 ACF, 由 BD 故 BD ? AF。 于是 AF ? 平面 BGD,所以 BG ? AF,DG ? AF, ? BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角。 由 FC ? AC , FC ? AC ? 2 ,得 FAC ?
? ?

?
4

, OG ?

2 2

由 OB ? OG, OB ? OD ?

2 ? ,得 ?BGD ? 2?BGO ? 2 2

(II) EB、 ED, 连 EC、 设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H, 则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥 H-ABCD。 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足。

10

因 为 EA⊥ 平 面 ABCD , FC⊥ 平 面 ABCD , 所 以 平 面 ACFE⊥ 平 面 ABCD , 从 而 ,

P ? AC, HP ? AC.

HP HP AP PC 2 ? ? ? ? 1, 得 HP ? 。 CF AE AC AC 3 1 又因为 S菱形ABCD ? AC ? BD ? 2, 2
由 故四棱锥 H-ABCD 的体积 V ?

1 2 2 S菱形ABCD ? HP ? . 3 9

40、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? 平面 ABCD, SD=2a, AD ?

2a 点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ?a(0 ? ? ? 2)

(1)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE (2)设二面角 C—AE—D 的大小为 ? ,直线 BE 与平面 ABCD 所

成的角为 ? ,若 tan ? gtan ? ? 1 ,求 ? 的值

解析: (1)如图 1,连接 BE、BD,由地面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。 SD⊥平面 ABCD,?BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,?AC⊥BE ? (2)如图 1,由 SD⊥平面 ABCD 知,∠DBE= ? ,

?SD⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, ?SD⊥CD。 又底面 ABCD 是正方形,? CD⊥AD,而 SD ? AD=D,
CD⊥平面 SAD. 连接 AE、CE,过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE, 故∠CDF 是二面角 C-AE-D 的平面角,即∠CDF= ? 。 在 Rt△BDE 中,? BD=2a,DE= ? a ? tan ? ? 在 Rt△ADE 中, ? AD ? 从而 DF ?

DE ? ? BD 2

2a,DE ? ?a ,? AE ? a ? 2 ? 2

AD ? DE ? AE

2? a

?2 ? 2

在 Rt?CDF 中, tan ? ?

CD ?2 ? 2 ? . DF ?

由 tan ? ? tan ? ? 1 ,得 由 ? ? (0, 2] ,解得 ? ?

?2 ? 2 ? . ?1 ? ?2 ? 2 ? 2 ? ?2 ? 2 . ? 2
2 ,即为所求.

11

41 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 ABCD, AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,PA ? AB ? BC ,E 是

P

E PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; A D (2)证明 PD ? 平面 ABE ; C (3)求二面角 A ? PD ? C 的大小. B 解析: 证明: (1) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , 因 CD ? 平面 ABCD ,故 PA ? CD . ∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴CD ? 平面 PAC . 而 AE ? 平面 PAC ,∴CD ? AE . (2)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA . ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC . 由(1)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD . 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD . ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD . 又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE . (3)过点 A 作 AM ? PD ,垂足为 M ,连结 EM .则(Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 EM ? PD . 因此 ?AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 由已知,得 ?CAD ? 30° .设 AC ? a ,
可得 PA ? a,AD ?

2 3 21 2 a,PD ? a,AE ? a. 3 3 2

P M E

在 Rt△ADP 中,∵ AM ? PD ,∴ AM PD ? PA AD , · ·

则 AM ?

PA AD · ? PD

a ·

2 3 a 2 7 3 ? a. 7 21 a 3
AE 14 ? . AM 4

A
B
C

D

在 Rt△AEM 中, sin AME ?

所以二面角 A ? PD ? C 的大小是 arcsin

14 . 4

42、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C (0,c) 任作一直线,与抛物 线 y ? x 相交于 A,B 两点.一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交
2

于点 P,Q .

OB ? 2 ,求 c 的值; (1)若 OA?
(2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切线;
12

??? ??? ? ?

(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由. 解析: (1)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? c , 将该方程代入 y ? x 得 x ? kx ? c ? 0 .
2

2

令 A(a,a ) , B(b,b ) ,则 ab ? ?c .
2
2

因为 OA? OB ? ab ? a b ? ?c ? c ? 2 ,解得 c ? 2 ,
2 2 2

??? ??? ? ?

或 c ? ?1 (舍去) .故 c ? 2 .

a2 ? c a 2 ? ab ? a?b ? (2)由题意知 Q ? ? ? 2a . , c ? ,直线 AQ 的斜率为 k AQ ? ? a?b a ?b ? 2 ? a? 2 2
又 y ? x 的导数为 y? ? 2 x ,所以点 A 处切线的斜率为 2a ,
2

因此, AQ 为该抛物线的切线. (3) (2)的逆命题成立,证明如下:

? 设 Q( x0, c) .
若 AQ 为该抛物线的切线,则 k AQ ? 2a , 又直线 AQ 的斜率为 k AQ ?
2

a 2 ? c a 2 ? ab a 2 ? ab ? ? 2a , ,所以 a ? x0 a ? x0 a ? x0

得 2ax0 ? a ? ab ,因 a ? 0 ,有 x0 ? 故点 P 的横坐标为

a?b ,即 P 点是线段 AB 的中点. 2 1 43、设函数 g ? x ? ? x ? 1 ,函数 h?x ? ? , x ? ?? 3, a ?,其中 a 为常数且 a ? 0 ,令函 x?3
数 f ? x ? 为函数 g ? x ? 和 h ? x ? 的积函数。 (1)求函数 f ? x ? 的表达式,并求其定义域; (2)当 a ?

a?b . 2

1 时,求函数 f ? x ? 的值域; 4
?1 1 ? ? ?

(3)是否存在自然数 a ,使得函数 f ? x ? 的值域恰为 ? , ? ?若存在,试写出所有满足 3 2 条件的自然数 a 所构成的集合;若不存在,试说明理由。 解析: (1) f ? x ? ?

x ?1 , x ? ?0, a??a ? 0? 。 x?3
13

( 2)∵ a ?

1 ? 1? 2 ,∴ 函数 f ? x ? 的定义域 为 ?0, ? ,令 x ?1 ? t ,则 x ? ?t ? 1? , 4? 4 ?

? 3? t ? ?1, ? , ? 2?
∴ f ? x ? ? F ?t ? ?

t ? t ? 2t ? 4
2

1 , 4 t? ?2 t

∵t ?

4 4 ? 3? ? 3? 时, t ? ?2 ? ?1, ? ,又 t ? ?1, ? 时, t ? 递减,∴ F ?t ? 单调递增, t t ? 2? ? 2?
?1 6 ? ?1 6 ? ? ,即函数 f ? x ? 的值域为 ? 3 , 13 ? 。 ? 3 13 ? ? ?
x ?1 ? t , 则

∴ F ?t ? ? ? ,

( 3 ) 假 设 存 在 这 样 的 自 然 数 a 满 足 条 件 , 令

f ?x ? ? F ?t ? ?

t ? t ? 2t ? 4
2

1 , 4 t? ?2 t

∵ x ? ?0, a??a ? 0? , 则 t ? 1. a ? 1 , 要 满 足 值 域 为 ? , ? , 则 要 满 足 ?3 2 ?

?

?

?1 1 ?

F ?t ?max ?

1 , 2 4 1 4 有 且此时 F ?t ? ? 恰为 ? t ? 2 时, t ? ? 4 中的等号成立, t 2 t

由于当且仅当 t ? 最大值,

∴ 2 ? 1, a ? 1 ? a ? 1 , 又 F ?t ? 在

?

?

?1,2?

上 是 增 函 数 , 在

?2,

a ?1 上 是 减 函 数 ,

?

∴F

?

a ?1 ?

?

a ?1 1 ? ? 0 ? a ? 9, a?3 3

综上,得 1 ? a ? 9 。

14

全国高中数学联赛第一试解答题训练 2
31、已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 3 a b

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交
2 2

于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.

32、设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
33、已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数) 8b 2 b 2

y

上任一点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 1
P

P2

A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .

21 世纪教 育网

P1 F1

A
O
F2

(1) 求线段 P P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点

x

Q x1 , y1)y1 ? 0) , 直 线 Q B Q D 别 交 y 轴 于 ( ( 分 ,

M,N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点.
34、设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) 的左,右焦点. 6m 2 2m 2

F (1) P ? C , P 1P 当 且 F ?

?? ?? ? ? ??

2

? 0 ,| PF1 | ? | PF2 |? 8
y Q (x, y)

时,求椭圆 C 的左,右焦点 F1 、 F2 的坐标; (2) F1 、 F2 是(1)中的椭圆的左,右焦点,已 知 ? F2 的半径是 1,过动点 Q 的作 ? F2 切线 QM , 使得 QF 1 ? F1

M O F2 x

2 QM ( M 是切点) ,如下图.求

15

动点 Q 的轨迹方程. 35、在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1) ,B(0, 1)平面内两点 G、M 同时满足① GA ? GB ? GC ? 0 , ② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ,定点 F 的坐标为( 2 , 0) ,已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF · = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值. RF 36、设函数 f (x) =
1 x2 ? a (b,c∈N*),若方程 f(x) = x 的解为 0,2,且 f (–2)<– . bx ? c 2

??? ??? ??? ? ? ?

?

????

????

???? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

(Ⅰ)试求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知各项不为零的数列{an}满足 4Sn·( f 求证: (1 ?
1 ) = 1,其中 Sn 为{an}的前 n 项和. an

1 an?1 1 1 ) ? ? (1 ? ) an . an e an
x 1 (0 ? x ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) ,数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? , 1? x 2

37、已知函数 f ( x) ?

an ?1 ? f ?1 (an ) ;函数 y ? f ?1 ( x) 的图象在点 (n, f ?1 (n)) (n ? N? ) 处的切线在 y 轴上的截距为 bn .

(1) 求数列{ an }的通项公式; (2) 若数列 {
b bn ? ? 最小,求 ? 的取值范围; ? } 的项仅 5 ? 2 2 a5 a5 an an

1 ? x2 1 ,0 ? xn ? 1 , 2 , 0 ? x ? 1 ,数列 {xn } 满足: x1 ? 1? x 2 ( x ? x )2 5 ( x ? x1 ) 2 ( x3 ? x2 ) 2 ? ? ? ? n ?1 n ? . 且 xn ?1 ? g ( xn ) ,其中 n ? N ? .证明: 2 x1 x2 x2 x3 xn xn ?1 16
?1 (3) 令函数 g ( x) ? [ f ( x) ? f ( x)] ?

38、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由. 39、 四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 其对角线 AC=2, BD= 2 , AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积.

?

?

16

40、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? 平面 ABCD,SD=2a, AD ? 是 SD 上的点,且 DE ? ? a(0 ? ? ? 2) (1)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE (2)设二面角 C—AE—D 的大小为 ?

2a 点 E

,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ? ,若

tan? gtan? ? 1,求 ? 的值

41 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 ABCD, AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,PA ? AB ? BC ,E 是

P E

PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的大小.
42、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点

A
B
C

D

C (0,c) 任作一直线,与抛物线 y ? x 2 相交于 A,B 两点.一条垂直于 x 轴的直线,分别与
线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于点 P,Q .

OB ? 2 ,求 c 的值; (1)若 OA?
(2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切线; (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由. 43、设函数 g ? x ? ?

??? ??? ? ?

x ? 1 ,函数 h?x ? ?

1 , x ? ?? 3, a ?,其中 a 为常数且 a ? 0 ,令函 x?3

数 f ? x ? 为函数 g ? x ? 和 h ? x ? 的积函数。 (1)求函数 f ? x ? 的表达式,并求其定义域; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ? x ? 的值域; 4
?1 1 ? ? ?

(3)是否存在自然数 a ,使得函数 f ? x ? 的值域恰为 ? , ? ?若存在,试写出所有满足 3 2 条件的自然数 a 所构成的集合;若不存在,试说明理由。

17

44、已知等差数列 ? an ? 满足 a1 ? a3 ? 10 ,等比数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn ? 2 ? a 。
2 2 n

(1) 求 a 的值以及数列 ?bn ? 的通项公式; (2)试求 S ? a3 ? a4 ? a5 的最大值以及 S 最大时数列 ? an ? 的通项公式。 解析:(1)当 n ? 2 时, Tn ?1 ? 2
n ?1

?数列 ?bn ? 为等比数列,则 b1 ? T1 ? 2 ? a ? 1 ,故 a ? 1
? bn ? 2n?1 ;
2

? a , ? bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) ,

(2)设数列 ? an ? 公差 d , 根据题意有: a1 ? a3 ? 2a1 ? 4a1d ? 4d ? 10 ,
2 2 2

即: a1 ? 2a1d ? 2d ? 5
2 2

S ? 3d ,代入上式有: 3 2 S2 4 ?S ? ?S ? ? 3d ? ? 2 ? ? 3d ? d ? 2d 2 ? ? Sd ? 5d 2 ? 5 , ? 3 3 9 3 ? ? ? ? 2 2 即关于 d 不等式 45d ? 12Sd ? S ? 45 ? 0 有解 ?? ? 144 S 2 ? 180 ? S 2 ? 45 ? ? 0
S ? a3 ? a4 ? a5 ? 3 ? a1 ? 3d ? , a1 ?

? S 2 ? 225 ? S ? 15
当 S ? 15 时,45d ?12 ?15d ?15 ? 45 ? 0 ? ( d ? 2) ? 0 ? d ? 2 ,a1 ?
2 2 2

? an ? 2n ? 3 。
2

S ? 3d ? ?1 , 3

45、已知函数 f ? x ? ? ax ? 4 x ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有:

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? 1 2 ?? . 2 ? 2 ?
(1)求实数 a 的取值范围;

? (2) 对于给定的实数 a , 有一个最小的负数 M ? a ? , 使得 x ? ? M ? a ? , 0 ? 时, 4 ? f ? x ? ? 4 ? ?
都成立,则当 a 为何值时, M ? a ? 最小,并求出 M ? a ? 的最小值. 解析: (1)∵对任意给定的函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 有: f ?
2
2

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?

a 2 ax 2 ? bx1 ? c ? ax2 2 ? bx2 ? c ?x ?x ? ?x ?x ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? 0 , ? a? 1 2 ? ? b? 1 2 ? ? c ? 1 2 4 ? 2 ? ? 2 ?
∵ x1 ? x2 ,∴ a ? 0 .∴实数 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? . (2)∵ f ? x ? ? ax ? 4 x ? 2 ? a ? x ?
2

? ?

2? 4 2 ? ? 2 ? ,显然 f ? 0 ? ? ?2 ,对称轴 x ? ? ? 0 . a? a a

2

18

当 ?2 ?

4 ? 2 ? ? ?4 , 即 0 ? a ? 2 时 , M ? a ? ? ? ? , 0 ? , 且 a ? a ?

Y

f ? M ? a? ? ? ?4 . ? ?
-2 令 ax ? 4 x ? 2 ? ?4 ,解得 x ?
2

X

?2 ? 4 ? 2a ,此时 M ? a ? a

-4

取较大的根,即 M ? a ? ?

?2 ? 4 ? 2a ?2 ? ; a 4 ? 2a ? 2

∵ 0 ? a ? 2 ,∴ M ? a ? ? 当 ?2 ?

?2 ? ?1 . 4 ? 2a ? 2
Y 4

4 2 M 即 且 ? ? ? ? ?4 , a ? 2 时,M ? a ? ? ? , f ? a ? ? ? 4 . a a
?2 ? 4 ? 6a ,此时 M ? a ? 取较 a

令 ax ? 4 x ? 2 ? 4 ,解得 x ?
2

-2 -4

X

小的根,

?2 ? 4 ? 6a ?6 ? 即 M ?a? ? , a 4 ? 6a ? 2
∵ a ? 2 ,∴ M ? a ? ?

?6 ? ?3 ,当且仅当 a ? 2 时,取等号. 4 ? 6a ? 2

∵ ?3 ? ?1,∴当 a ? 2 时, M ? a ? 取得最小值-3. 46、已知函数 f ( x) ? x ? 4ax ? a (a ? R)
2 2

(1)如果关于 x 的不等式 f ( x) ? x 的解集为 R ,求实数 a 的最大值; (2)当 a ? ? ? , ? ? 时,对于任意实数 x ,试比较 f
3

? 1 ? 3

1? 5?

? f ? f ( x)?? 与 x 的大小;

(3)设 g ( x) ? 2 x ? 3af ( x) ,若 g ( x) 在区间 ? 0,1? 上存在极小值,求实数 a 的取值范围。 解析: (1) f ( x) ? x 的解集为 R ,? x ? (4a ? 1) x ? a ? 0 恒成立,
2 2

1 1 ?? ? (4a ? 1)2 ? 4a 2 ? 0即12a 2 ? 8a ? 1 ? 0 解得 ? ? a ? ? , 2 6 1 故 a 的最大值为 ? ; 6 (2)由(1)得 f ( x) ? x 恒成立, f ? f ( x) ? ? f ( x) , f ? f ? f ( x ) ?? ? f ? f ( x ) ?
从而 f

? f ? f ( x)?? ? f ? f ( x)? ? f ( x) ? x ,即 f ? f ? f ( x)?? ? x
19

(3)由已知可得 g ( x) ? 2 x ? 3ax ? 12a x ? 3a ,则
3 2 2 3

g ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ? 12a 2 ? 6( x 2 ? ax ? 2a 2 ) ? 6( x ? a)( x ? 2a)
令 g ?( x) ? 0 得 x ? a或x ? ?2a 若 a ? 0 ,则 g ?( x) ? 0 ? g ( x) 在 R 上单调递增,在 ? 0,1? 上无极值; 若 a ? 0 ,则当 x ? ?2a或x ? a 时, g ?( x) ? 0 ;当 ?2a ? x ? a 时, g ?( x) ? 0

?当 x ? a 时, g ( x) 有极小值? g ( x) 在区间 ? 0,1? 上存在极小值,? 0 ? a ? 1
若 a ? 0 ,则当 x ? a或x ? ?2a 时, g ?( x) ? 0 ;当 a ? x ? ?2a 时, g ?( x) ? 0

?当 x ? ?2a 时, g ( x) 有极小值 ? g ( x) 在区间 ? 0,1? 上存在极小值 1 ? 0 ? ?2a ? 1?? ? a ? 0 2 1 综上所述:当 ? ? a ? 0或0 ? a ? 1 时, g ( x) 在区间 ? 0,1? 上存在极小值。 2 1 47、已知函数 f ? x ? ? ln x ? ? ax, x ? ? 0, ?? ? ( a 为实常数). x
(1) 当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值; (2)若 f ? x ? 在 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (3)设各项为正的无穷数列 { x n } 满足 ln xn ?

1 ? 1? n ? N * ? , 证明: xn ? 1 (n∈N*). xn ?1

解析:∵ f ?( x) ?

1 1 ax 2 ? x ? 1 , ? 2 ?a ? x x x2

(1)a = 0 时, f ?( x) ?

x ?1 x2



当 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,当 x>1 时 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) min ? f (1) ? 1 ; (2)当 a ≥0 时, ax 2 ? x ? 1 在[2,+∞)上恒大于零,即 f ?( x) ? 0 ,符合要求; 当 a <0 时,令 g ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ,g (x)在[2,+∞)上只能恒小于零

? ? ? ? 1 ? 4a ? 0 ? 1 ? g (2) ? 0 故△=1+4 a ≤0 或 ,解得: a ≤ ? ? 1 4 ?? ? 2 ? 2a
? ∴a 的取值范围是 (?? ,
(3)反证法:
20

1 ] ? [0 ,? ?) 4

假设 x1 = b>1,由(1)知 f ? x ? ? ln x ?

x b 1 1 , ? 1 ,所以有 ln n ? ? 1 ? ln xn ? b xn xn ?1 x



b 1 ? ln b ? ( n ? N* ) 。 xn xn ?1
b 1 1 1 ln b 1 1 ? ln b ? ? ln b ? (ln b ? ) ? ln b ? ? 2 (ln b ? ) ?? x1 x2 b x3 b x4 b

故1 ?
? (1 ?

1 1 1 1 1 ln b ? 1 ………① ? 2 ? ? ? n ? ?) ln b ? ln b ,即 1 1 b b b 1? 1? b b 1 1 ? 1 ,∴ ln b ? 1 ? ? b b 1 1 1? b ln b ? 1 ………②

又由(1)当 b>1 时, ln b ?

而①与②矛盾,故 b ? 1 ,即 x1 ? 1 ,同理可证 x2 ? 1, x3 ? 1,?, xn ? 1 (n∈N*)。 48、已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x 。 (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)记 f ( x) 在区间 ? 0, n ? (n∈N*)上的最小值为 b n ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn 。 ①如果对一切 n,不等式 an ?

an ? 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an ? 2

②求证:

a a ? a2 n ?1 a1 a1a3 ? ?? ? 1 3 ? 2an ? 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 ? a 2 n

解析: (1)因为 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,所以函数定义域为 (?1, ??) ,且

f ?( x) ?

1 ?x 。 ?1 ? 1? x 1? x

由 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为 (?1,0) ; 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为(0,+ ? ). (2) 因为 f ( x) 在 [0, n] 上是减函数,所以 b n ? f (n) ? ln(1 ? n) ? n 则 an ? ln(1 ? n) ? bn ? ln(1 ? n) ? ln(1 ? n) ? n ? n . ①

an ? 2 ( an ? 2 ? an ) ? n ? 2( n ? 2 ? n )

? n?2

2 2 n?2 ? ? 1. n?2 ? n n?2 ? n?2
21

又 lim n ? 2( n ? 2 ? n ) ? lim

2 2 1? 1? n?2

x ??

?1,

因此 c ? 1 ,即实数 c 的取值范围是 (??,1] . ② 由① 中令 c ? 1 , n 用 2n ? 1代:
2

1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1. 2n ? 1

?1 ? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 因为 ? ? ? , ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 4 6 (2n) 2n ? 1 2 n ? 1 ? 2 ? 4 ? 6 ??? ? (2n) ?
所以

1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) 1 ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 (n ? N*),则 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n) 2n ? 1

1 1? 3 1? 3 ? 5? (2n ? 1) ? ?? ? ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6? (2n)
即 a a ? a2 n ?1 a1 a1a3 ? ?? ? 1 3 ? 2an ? 1 ? 1(n ? N * ) 。 a2 a2 a4 a2 a4 ? a2 n
2 ?

49、数列 ?an ? , a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? n ? 3n(n ? N ) (1)是否存在常数 ? 、 ? ,使得数列 a n ? ?n ? ?n 是等比数列,若存在,求出 ? 、 ? 的 值,若不存在,说明理由。
2

?

?

(2)设 bn

?

1 , Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn , an ? n ? 2n ?1
6n 5 ? Sn ? . (n ? 1)(2n ? 1) 3

证明:当 n ? 2 时,

解析:由 a n ?1 ? 2a n ? n 2 ? 3n 可化为a n?1 ? ? (n ? 1) 2 ? ? (n ? 1) ? 2(a n ? ?n 2 ? ?n) , 即 a n ?1 ? 2a n ? ?n 2 ? ( ? ? 2? )n ? ? ? ?

?? ? ?1 ? 故 ?? ? 2? ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ?
2

?? ? ?1 解得 ? ?? ? 1
2 2

∴ an ?1 ? 2an ? n ? 3n可化为an ?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2(an ? n ? n) 又 a1 ? 12 ? 1 ? 0 故存在 ? ? ?1, ? ? 1

使得数列 a n ? ?n 2 ? ?n ? 是等比数列
2 2 n ?1

?

⑵证明:由⑴得 an ? n ? n ? (a1 ? 1 ? 1) ? 2 故 bn ? ∵ bn ?

∴ a n ? 2 n ?1 ? n 2 ? n ,

1 1 ? 2 n ?1 an ? n ? 2 n

1 4 4 2 2 ? 2? 2 ? ? 2 n 4n 4n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1

22

∴ n ? 2时, Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

2 3

2 5

2 5

2 7

2 2 ? ) 2n ? 1 2 n ? 1

2 2 5 ? 1? ? ? 3 2n ? 1 3
现证 S n ?

6n (n ? 1)(2n ? 1)

(n ? 2) .

当n?2 时

S n ? b1 ? b2 ? 1 ?

6n 12 4 5 4 1 5 ? ? , ? , ? , 而 (n ? 1)(2n ? 1) 3 ? 5 5 4 5 4 4

故 n ? 2 时不等式成立 当 n ? 3 时,

由bn ?

1 1 1 1 得 ? ? ? 2 n(n ? 1) n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 3 4 n n ?1 1 n 6 ,且由 2n ? 1 ? 6 , ?1? ? 得1 ? n ?1 n ?1 2n ? 1
∴ Sn ?

n 6n 。 ? n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

50、 、某种酒杯的轴截面近似一条抛物线,杯口宽 4cm,杯深 8cm. (1) 将一些大小不等的玻璃球放入酒杯, 当玻璃球的半径 r 多大时, 玻璃球能触及酒杯底? (2)在杯璃杯中放入一根粗细均匀,长度为 2cm 的细棒,假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦忽略不计,那么当细棒最后达到平衡位置时,细棒在杯中的位置如何? 解析: (1) 以杯底中心为原点,建立直角坐标系,如图,设抛物线的方程:x ? 2 py( p ? 0)
2

1 1 2 ,∴抛物线方程为: x ? y. 设圆心在 y 轴的正 4 2 2 2 2 半 轴 上 , 且 过 原 点 的 圆 的 方 程 为 x ? ( y ? r) ? r , 代 入 抛 物 线 方 程 消 去 x 得 . 1 y 2 ? ( ? 2r ) y ? 0. 2 1 ∴ y1 ? 0 y2 ? 2r ? . 2 1 要使玻璃球能触及杯底,则要求 y2 ? 2r ? ? 0. 2 1 即 0 ? r ? 时. 玻璃球一定能触及杯底. 4 (2)设 AB 的方程为 y ? kx ? b, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) M ( x, y ) .
将 x ? 2, y ? 8 代入抛物线方程,得 p ?

? y ? kx ? b ? 2 由? 2 1 消去 y 得 2 x ? kx ? b ? 0 x ? y ? ? 2 x ?x k ? ?k ? 4 x ?x ? 1 2 ? ∴? ① 2 4 ∴? 2 ?b ? y ? 4 x ? y ? kx ? b ?
2 ∴ | AB |? 1 ? k | x2 ? x1 |? 2

∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 4.
2 2

23

k2 ② ? 2b) ? 4 4 2 2 将①代入②消去 K 得 (1 ? 16 x )( y ? 2 x ) ? 2. 2 2 1 1 ∴y? ? 2 x2 ? ? (16 x 2 ? 1) ? 2 2 1 ? 16 x 1 ? 16 x 8 8 2 1 1 7 ?2 ? (16 x 2 ? 1) ? ? . 2 1 ? 16 x 8 8 8
∴ (1 ? k )(
2

3 7 , ). 4 8 51、已知双曲线 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,其一条渐近线方程是 x ? y ? 0 ,且双
当且仅当

3 2 1 时 ? 2 x2 ? 即 x ? ? 2 4 1 ? 16 x 8

7 ymin ? . 8

即 M 的坐标为 (?

曲线 C 过点 P ? 2,1 . (1)求此双曲线 C 的方程; (2)设直线 L 过点 A(0,1) ,其方向向量为 e ? (1, k )( k >0) ,令向量 n 满足 n ? e ? 0 .问: 双曲线 C 的右支上是否存在唯一一点B,使得 | n ? AB |?| n | .若存在,求出对应的 k 的值和 B的坐标;若不存在,说明理由. 解析: (1)依题意设双曲线 C 的方程为: x ? y ? ? ,点 P 代入得 ? ? 1 .
2 2

?

?

所以双曲线 C 的方程是 x ? y ? 1 . (2)依题意,直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ) ,
2 2

设 B( x0 , y0 ) 为双曲线 C 右支上满足 | n ? AB |?| n | 的点, | kx0 ? y0 ? 1| 则 B( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离等于 1,即 d ? ?1 . k2 ?1 ①若 0 ? k ? 1 ,则直线 l 与双曲线 C 右支相交, 故双曲线 C 的右支上有两个点到直线 l 的距离等于 1,与题意矛盾. ②若 k ? 1 ,则直线 l 在双曲线 C 的右支的上方,故 y0 ? kx0 ? 1 , 从而有
2 0

| kx0 ? y0 ? 1| k ?1
2
2 0

?

kx0 ? y0 ? 1 k ?1
2
2 0

? 1 ? y0 ? kx0 ? 1 ? k 2 ? 1 .

又因为 x ? y ? 1 ,所以有 x ? (kx0 ? 1 ? k 2 ? 1) 2 ? 1 , 将其整理得:
2 (k 2 ? 1) x0 ? 2k (1 ? k 2 ? 1) x0 ? k 2 ? 2 k 2 ? 1 ? 3 ? 0 .……(★)

若 k ? 1 ,则由(★)得 x0 ?

4?2 2

2( 2 ? 1) 若 k ? 1 ,则方程(★)必有相等的两个实数根,故由

? 2 , y0 ? kx0 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 1 ,即 B( 2 ,1) .

? ? 4k 2 (1 ? k 2 ? 1)2 ? 4(k 2 ? 1)(k 2 ? 2 k 2 ? 1 ? 3) ? 4(3 ? 2 k 2 ? 1) ? 0 ,
解之得 k ?

5 5 (k ? ? 不合题意,舍去) ,此时有 2 2

k ( k 2 ? 1 ? 1) ? 5 , y0 ? kx0 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 2 ,即 B( 5 , 2) . k 2 ?1 5 综上所述,符合条件的 k 的值有两个: k ? 1 ,此时 B( 2 ,1) ; k ? ,此时 B( 5 , 2) . 2 52、某人居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相 互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如 x0 ?

24

A ? C ? D 算作两个路段:路段 AC 发生堵车事件的概率为 ,路段 CD 发生堵车事件的
5

1

概率为 )。
8

1

(1)请你为其选择一条由 A 到 B 的最短路线(只允许从西向东和从南向北的路线), 使得途中发 生堵车事件的概率最小; (2)若记路线 A ? C ? F ? B 中遇到堵车次数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望 E? 。 解析:(1)由 A 到 B 的最短路线有 3 条,即为: A ?C ? D ? B , A ?C ? F ? B , A ? E ? F ? B 。

P( A ? C ? D ? B) ? 1 ? ? ? ?
5 8 3

4

7

2

64 120 75 120

; P( A ? C ? F ? B ) ? 1 ? ? ? ?
5 4 6

4

3

5

60 120



P( A ? E ? F ? B ) ? 1 ? ?
2

1

9 10

? ?
6

5



故路线 A ? C ? F ? B 发生堵车事件的概率最小; (2)路线 A ? C ? F ? B 中遇到堵车次数 ? 可取值为 0,1,2,3 。 P(? ? 0) ? ? ? ?
5 4 6 4 3 5 1 2



P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5 4 6 5 4 6 5 4 6

1

3

5

4

1

5

4

3

1

47 120 1 10

; ;
47 120

P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5 4 6 5 4 6 5 4 6

1

1

5

1

3

1

4

1

1

P(? ? 3) ? ? ? ?
5 4 6

1

1

1

1 120

。故 E? ? 0 ? ? 1?
2

1

? 2?

12 120

? 3?

1 120

?

37 60


2 2

53、已知 ? an ? 是公差 d 大于零的等差数列,对某个确定的正整数 k ,有 a1 ? ak ?1 ? M 。 其中 M 为常数) 。 (1)若数列 ? an ? 满足: a1 ? 2, an ? N ,当 k ? 3 , M ? 100 时,求所有这样的数列 ? an ? ;
?

(2)若整数数列 ? an ? 对给定的常数 d ,该数列由已知条件被唯一确定时,证明: a1 ? 0 ; (3)求 S ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ??? ? a2 k ?1 的最大值及此时数列 ? an ? 的通项公式。 解析:(1) 因为 d 是正整数,由 2 ? (2 ? 3d ) ? 100 得 d =1 或 2。
2 2

则所求的数列 ? an ? 为: an ? n ? 1 或 an ? 2n ; (2)由题意得 2a1 ? 2kda1 ? (kd ) ? M ? 0 (*) 。
2 2

令 f ( x) ? 2 x ? 2kdx ? (kd ) ? M ,
2 2

因为 d , k 均是正数,所以对称轴 x ? ?

kd ? 0 ,开口向上。 2

25

①当 (kd ) ? M ? 0 时,若(*)有整数解,则必有 a1 ? 0 ;
2

②当 (kd ) ? M ? 0 时,若(*)只有一个整数解,则必有 a1 ? 0 。
2

(3) 设 ak ?1 ? x ,则 S ? (k ? 1) x ? k (k ? 1) d ,所以 kd ? 2S ? 2 x k ?1 2 3S 2 2 S 2 M ? ( x ? kd ) 2 ? x 2 ? 10( x ? ) ? ( ) , 5(k ? 1) 5 k ?1

k ?1 故 M ? 2 ( S )2 ,即 S ? 10M , 2 5 k ?1
当 S ? (k ? 1) 10M 时, x ? 3 M , d ? 4 M , 10 k 10 2 此时 a1 ? ak ?1 ?
2 2

M 9M (k ? 1) 10M ? ? M ,所以 S 的最大值为 。 10 10 2
M ,所以 a1 ? ? M , 10 10

由 ak ?1 ? a1 ? kd ? 3

此时 an ?

4n ? 4 ? k M 。 k 10

54、 如图 6 所示, 等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 , CD=3, E 是线段 BD 上异于 B、 高 点 D 的动点, F 在 BC 边上, EF⊥AB, 点 且 现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置, PE⊥AE, 使 记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACEF 的体积。 (1)求 V(x)的表达式; P (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值。 解析: 1) ( 由折起的过程可知, PE⊥平面 ABC,
S?ABC ? 9 6 , S?BEF ?

A C

D E B F 图6

x 6 2 ? S?BDC ? x 54 12

2

V(x)=

6 1 x(9 ? x 2 ) ( 0 ? x ? 3 6 ) 3 12

( 2) V '( x) ?

6 1 (9 ? x 2 ) ,所 以 x ? (0, 6) 时, v '(x ) ? 0 ,V(x) 单调 递增; 6 ? x ? 3 6 时 3 4

v '( x) ? 0 ,V(x)单调递减;因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6 ;

(3)过 F 作 MF//AC 交 AD 与 M,则

BM BF BE BE ? ? ? , MB ? 2 BE ? 12 ,PM= 6 2 , 1 AB BC BD AB 2

MF ? BF ? PF ?

6 3 6

BC ?

6 54 ? 9 ? 42 , 3

26

在△PFM 中, cos ?PFM ?

84 ? 72 2 2 ? ,∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 ; 42 7 7

55、如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,且

π? ? AC ? BC ? a , ?VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?

V

(I)求证:平面 VAB⊥VCD ; (II) 当解 ? 变化时, 求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范 围. 解析: (Ⅰ)∵ AC ? BC ? a ,∴△ACB 是等腰三角形,又 D C 是 AB 的中点, ∴CD ? AB ,又 VC ? 底面 ABC .∴VC ? AB .于是 AB ? D 平面 VCD . A 又 AB ? 平面 VAB ,∴平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ) 过点 C 在平面 VCD 内作 CH ? VD 于 H ,则由(Ⅰ)知 CD ? 平面 VAB . 连接 BH ,于是 ?CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. 在 Rt△CHD 中, CH ?

B

2 a sin ? ; 2 2 sin ? ? sin ? . 2
V

设 ?CBH ? ? ,在 Rt△BHC 中, CH ? a sin ? ,∴

∵0 ? ? ?

π , 2
2 . 2

∴0 ? sin ? ? 1, 0 ? sin ? ?
又 0 ≤? ≤

H C D B

π π ,∴ 0 ? ? ? . 2 4
? ? π? 4?
A

即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 ? 0, ? .

56、 如图, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ,AD ? DC ,

AB ∥ DC .
(Ⅰ)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E ∥ 平面 A1 BD1 ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值. 解析: (Ⅰ)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,

D1

C1 B1

A1

? BE ? AD ? A1D1 ,且 BE ∥ AD ∥ A1D1 ,

D A B

E C

?四边形 A1 D1 EB 为平行四边形.

27

? D1E ∥ A1B .
又 D1E ? 平面 A1 BD , A1 B ? 平面 A1 BD ,

D1

C1 B1

A1 ? D1 E ∥ 平面 A1 BD .
(Ⅱ)以 D 为原点, DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 G D B

E

C

0, 0) 0, ,0) 2, DA ? 1 ,则 D(0, , A(1, 0) , B(11, , C (0, 2) , A
A1 (1, 2) , 0,
???? ? ??? ? ? DA1 ? (1, 2) , DB ? (11, , 0, ,0)
设 n ? ( x,y,z ) 为平面 A1 BD 的一个法向量. z

D1

C1 B1
M

???? ? ??? ? 由 n ? DA1 , n ? DB ,
得?

A1

? x ? 2 z ? 0, ? x ? y ? 0.
A x

D F B

E C

y

取 z ? 1,则 n ? (?2, . 31) ,

2, , , 又 DC2 ? (0, 3) , DB ? (11 0) ,
设 m ? ( x1,y1,z1 ) 为平面 C1 BD 的一个法向量, 由 m ? DC , m ? DB , 得?

?????

??? ?

????

??? ?

? 2 y1 ? 2 z1 ? 0, ? x1 ? y1 ? 0.

取 z1 ? 1 ,则 m ? (1 ? 11) , ,, 设 m 与 n 的夹角为 a ,二面角 A1 ? BD ? C1 为 ? ,显然 ? 为锐角,

? cos ? ?

m ?n ?3 3 ? ?? . m n 3 9 3

? cos ? ?

3 3 ,即所求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦为 . 3 3

28

57、如图, PCBM 是直角梯形,∠ PCB =90° PM ∥ BC , PM =1, BC =2,又 AC , =1,∠ ACB =120° AB ⊥ PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60° , . (Ⅰ)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 M ? AC ? B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 P ? MAC 的体积. 解析: (Ⅰ)∵ PC ? AB, PC ? BC, AB ? BC ? B ∴ PC ? 平面ABC , 又∵ PC ? 平面PAC ∴ 平面PAC ? 平面ABC ( Ⅱ ) 取 BC 的 中 点 N , 则 CN ? 1 , 连 结

AN , MN ,
∵ PM

// ?

CN , ∴ MN

// ?

PC , 从 而

MN ? 平面ABC
作 NH ? AC ,交 AC 的延长线于 H ,连结 MH ,则由三垂线定理知, AC ? NH , 从而 ?MHN 为二面角 M ? AC ? B 的平面角 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ∴ ?AMN ? 60
0 0

在 ?ACN 中,由余弦定理得 AN ?

AC 2 ? CN 2 ? 2 AC ? CN ? cos1200 ? 3
3 ?1 3

在 ?AMN 中, MN ? AN ? cot ?AMN ? 3 ?

在 ?CNH 中, NH ? CN ? sin ?NCH ? 1?

3 3 ? 2 2

在 ?MNH 中, MN ? tan ?MHN ?

MN 1 2 3 ? ? NH 3 3 2
2 3 3

故二面角 M ? AC ? B 的平面角大小为 arctan (Ⅲ)由(Ⅱ)知, PCMN 为正方形

29

∴ VP ? MAC ? VA? PCM ? VA? MNC ? VM ? ACN ?

1 1 3 ? AC ? CN ? sin1200 ? MN ? 3 2 12

58 、 在 如 图 所示 的 几 何体 中 , EA ? 平 面 ABC , DB ? 平 面 ABC , AC ? BC , 且 , AC ? BC ? BD?2 AE M 是 AB 的中点. D (I)求证: CM ? EM ; E (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角. 解析: (I)证明:因为 AC ? BC , M 是 AB 的中点, 所以 CM ? AB . 又 EA ? 平面 ABC , C A 所以 CM ? EM . (II)解:过点 M 作 MH ? 平面 CDE ,垂足是 H ,连 M 结 CH 交延长交 ED 于点 F ,连结 MF , MD . B ∠FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角. D E 因为 MH ? 平面 CDE , E 所以 MH ? ED , H 又因为 CM ? 平面 EDM , 所以 CM ? ED , 则 ED ? 平面 CMF ,因此 ED ? MF . C A 设 EA ? a , BD ? BC ? AC ? 2a , M 在直角梯形 ABDE 中,

AB ? 2 2a , M 是 AB 的中点,
所以 DE ? 3a , EM ? 3a , MD ?

B
6a ,
?

得 △EMD 是直角三角形,其中∠EMD ? 90 , 所以 MF ?

EM ?MD ? 2a . DE MF ? 1, MC

在 Rt△CMF 中, tan ∠FCM ? 所以∠FCM ? 45 ,
?

故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 . 59、在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

?

A1

AA1 ? 2 , AB ? 1,∠ABC ? 90? ;

B1

C1

E
点 D,E 分别在 BB1 , A1 D 上,且 B1 E ⊥ A1 D , 四棱锥 C ? ABDA1 与直三棱柱的体积之比为 3: 5 . (Ⅰ)求异面直线 DE 与 B1C1 的距离;
30

D

A B

C

(Ⅱ)若 BC ?

2 ,求二面角 A1 ? DC1 ? B1 的平面角的正切值.

解析: (Ⅰ)因 B1C1 ? A1 B1 ,且 B1C1 ? BB1 ,故 B1C1 ? 面 A1 ABB1 , 从而 B1C1 ? B1 E ,又 B1 E ? DE ,故 B1 E 是异面直线 B1C1 与 DE 的公垂线. 设 BD 的长度为 x ,则四棱椎 C ? ABDA1 的体积 V1 为

1 1 1 V1 ? S ABDA· BC ? ( DB ? A1 A· AB BC ? ( x ? 2) BC . ) · · 1 3 6 6 1 而直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V2 为 V2 ? S△ ABC AA1 ? AB BC AA1 ? BC . · · · 2 1 3 8 由已知条件 V1 : V2 ? 3: 5 ,故 ( x ? 2) ? ,解之得 x ? . 6 5 5 8 2 从而 B1 D ? B1 B ? DB ? 2 ? ? . 5 5
在直角三角形 A1 B1 D 中, A1 D ? 又因 S△ A1B1D ? 故 B1 E ?

29 ?2? A B ? B1 D ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2 1 1 2

2

1 1 A1D B1E ? A1B1 B1D , · · 2 2

A1 B· B1 D 2 29 1 ? . A1 D 29

A1

(Ⅱ)过 B1 作 B1 F ? C1 D ,垂足为 F ,连接 A1 F ,因 A1 B1 ? B1C1 ,

B1

C1

A1 B1 ? B1 D ,故 A1B1 ? 面 B1 DC1 .
由三垂线定理知 C1 D ? A1 F ,故 ?A1 FB1 为所求二面角的平面角.

E

F D

A
B

C

3 6 ?2? 在直角 △C1 B1 D 中, C1 D ? B1C1 ? B1 D ? 2 ? ? ? ? , 5 ?5?
2 2

2

又因 S△C1B1D ? 故 B1 F ?

1 1 C1D B1F ? B1C· B1D , · 1 2 2

B1C1 B1 D 2 3 · AB 3 3 ? ,所以 tan A1 FB1 ? 1 1 ? . C1 D 9 B1 F 2

31

60、如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所 在的平面互相垂直, AB ? 2 , AF ? 1 , M 是线段 EF 的中点. (Ⅰ)求三棱锥 A ? BDF 的体积; (Ⅱ)求证: AM //平面 BDE ; (Ⅲ)求异面直线 AM 与 DF 所成的角. 解 析 : (Ⅰ) 三 棱 锥 A ? BDF 的 体 积 为

E M F C B

1 1 VA? BDF ? VF ? ABD ? ? S ABD ? AF ? 3 3 (Ⅱ) 证明:连接 BD , BD ? AC ? O ,连 接 EO
? E , M 为中点,且 ACEF 为巨型,所以 EM // OA, EM ? OA,

D

A

E M F
G H

C
O

B

?四边形 EOAM 为平行四边形, ? AM // EO ,
? EO ? 平面BDE, AM ? 平面BDE,

D

A

? AM // 平面BDE
(Ⅲ)过点 M 作 MG // DF ,则 ?AMG 为异面直线 DF 与 AM 所成的角,

? M 为中点,所以点 G 为线段 DE 的中点,? MG ?
连接 AG ,过 G 作 GH // EC ? H 为 DC 的中点,

1 3 DF ? , 2 2

1 1 10 11 ? GH ? CE ? , HA ? ? AG ? , 2 2 2 2
在 ?AMG 中, AG ? 与 AM 所成的角为

11 3 2 2 2 , MG ? , AM ? 2 ? AG ? MG ? AM ,? 异面直线 DF 2 2

? 。 2

32

全国高中数学联赛第一试解答题训练 2
31、已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 3 a b

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交
2 2

于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.

32、设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
33、已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数) 8b 2 b 2

y

上任一点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 1
P

P2

A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .

21 世纪教 育网

P1 F1

A
O
F2

(3) 求线段 P P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (4) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

x

Q x1 , y1)y1 ? 0) ,直线 QB, QD 分别交 y 轴于 M,N ( (
两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点. 34、设 F1 ,F2 分别是椭圆 C : 的左,右焦点.

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) 6m 2 2m 2
y Q (x, y)

PF (1) P ? C , PF1 ? 当 且

?? ?? ?? ? ?

2

? 0 ,| PF1 | ? | PF2 |? 8 时,
M F1 O F2 x

求椭圆 C 的左,右焦点 F1 、 F2 的坐标; (2)F1 、F2 是(1)中的椭圆的左, 右焦点, 已知 ? F2 的 半 径 是 1 , 过 动 点 Q 的 作 ? F2 切 线 QM , 使 得

QF 1 ? 2 QM ( M 是切点) ,如下图.求动点 Q 的轨迹方程.
33

35、在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1) ,B(0, 1)平面内两点 G、M 同时满足① GA ? GB ? GC ? 0 , ② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ,定点 F 的坐标为( 2 , 0) ,已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF · = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值. RF 36、设函数 f (x) =
1 x2 ? a (b,c∈N*),若方程 f(x) = x 的解为 0,2,且 f (–2)<– . bx ? c 2

??? ??? ??? ? ? ?

?

????

????

???? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

(Ⅰ)试求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知各项不为零的数列{an}满足 4Sn·( f 求证: (1 ?
1 ) = 1,其中 Sn 为{an}的前 n 项和. an

1 an?1 1 1 ) ? ? (1 ? ) an . an e an
x 1 (0 ? x ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) ,数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? , 1? x 2

37、已知函数 f ( x) ?

an ?1 ? f ?1 (an ) ;函数 y ? f ?1 ( x) 的图象在点 (n, f ?1 (n)) (n ? N? ) 处的切线在 y 轴上的截距为 bn .

(1) 求数列{ an }的通项公式; (2) 若数列 {
b bn ? ? 最小,求 ? 的取值范围; ? } 的项仅 5 ? 2 2 a5 a5 an an

1 ? x2 1 ,0 ? xn ? 1 , 2 , 0 ? x ? 1 ,数列 {xn } 满足: x1 ? 1? x 2 ( x ? x )2 5 ( x ? x1 ) 2 ( x3 ? x2 ) 2 ? ? ? ? n ?1 n ? . 且 xn ?1 ? g ( xn ) ,其中 n ? N ? .证明: 2 x1 x2 x2 x3 xn xn ?1 16
?1 (3) 令函数 g ( x) ? [ f ( x) ? f ( x)] ?

38 、 如 图 , 在 三 棱 锥

P ? ABC 中 , PA ? 底 面
9 B C A 0

A B, C ? P A, ?

A ?B

?

6 A B,?C ? , ?0

点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.

39、如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 2 ,AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II) 求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积.

34

40、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? 平面 ABCD, SD=2a, AD ?

2a 点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ?a(0 ? ? ? 2)

(1)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE (2) 设二面角 C—AE—D 的大小为 ? , 直线 BE 与平面 ABCD 所

成的角为 ? ,若 tan ? gtan ? ? 1 ,求 ? 的值

41 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 ABCD, AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,PA ? AB ? BC ,E 是

P E

PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的大小.
42、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点

A
B
C

D

C (0,c) 任作一直线,与抛物线 y ? x 2 相交于 A,B 两点.一条垂直于 x 轴的直线,分别与
线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于点 P,Q .

OB ? 2 ,求 c 的值; (1)若 OA?
(2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切线; (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由. 43、设函数 g ? x ? ?

??? ??? ? ?

x ? 1 ,函数 h?x ? ?

1 , x ? ?? 3, a ?,其中 a 为常数且 a ? 0 ,令函 x?3

数 f ? x ? 为函数 g ? x ? 和 h ? x ? 的积函数。 (1)求函数 f ? x ? 的表达式,并求其定义域; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ? x ? 的值域; 4
?1 1 ? ? ?

(3)是否存在自然数 a ,使得函数 f ? x ? 的值域恰为 ? , ? ?若存在,试写出所有满足 3 2 条件的自然数 a 所构成的集合;若不存在,试说明理由。

35

44、已知等差数列 ? an ? 满足 a1 ? a3 ? 10 ,等比数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn ? 2 ? a 。
2 2 n

(1) 求 a 的值以及数列 ?bn ? 的通项公式; (2)试求 S ? a3 ? a4 ? a5 的最大值以及 S 最大时数列 ? an ? 的通项公式。 45、已知函数 f ? x ? ? ax ? 4 x ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有:
2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? . f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
(1)求实数 a 的取值范围;

? (2) 对于给定的实数 a , 有一个最小的负数 M ? a ? , 使得 x ? ? M ? a ? , 0 ? 时, 4 ? f ? x ? ? 4 ? ?
都成立,则当 a 为何值时, M ? a ? 最小,并求出 M ? a ? 的最小值. 46、已知函数 f ( x) ? x ? 4ax ? a (a ? R)
2 2

(1)如果关于 x 的不等式 f ( x) ? x 的解集为 R ,求实数 a 的最大值; (2)当 a ? ? ? , ? ? 时,对于任意实数 x ,试比较 f
3

? 1 ? 3

1? 5?

? f ? f ( x)?? 与 x 的大小;

(3)设 g ( x) ? 2 x ? 3af ( x) ,若 g ( x) 在区间 ? 0,1? 上存在极小值,求实数 a 的取值范围。 47、已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ax, x ? ? 0, ?? ? ( a 为实常数). x

(1) 当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值; (2)若 f ? x ? 在 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (3)设各项为正的无穷数列 { x n } 满足 ln xn ?

1 ? 1? n ? N * ? , 证明: xn ? 1 (n∈N*). xn ?1

48、已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x 。 (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)记 f ( x) 在区间 ? 0, n ? (n∈N*)上的最小值为 b n ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn 。 ①如果对一切 n,不等式 an ?

an ? 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an ? 2

②求证:

a a ? a2 n ?1 a1 a1a3 ? ?? ? 1 3 ? 2an ? 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 ? a 2 n
36

49、数列 ?an ? , a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? n ? 3n(n ? N )
2 ?

(1)是否存在常数 ? 、 ? ,使得数列 a n ? ?n ? ?n 是等比数列,若存在,求出 ? 、 ? 的 值,若不存在,说明理由。
2

?

?

(2)设 bn

?

1 , Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn , an ? n ? 2n ?1
6n 5 ? Sn ? . (n ? 1)(2n ? 1) 3

证明:当 n ? 2 时,

50、 、某种酒杯的轴截面近似一条抛物线,杯口宽 4cm,杯深 8cm. (1) 将一些大小不等的玻璃球放入酒杯, 当玻璃球的半径 r 多大时, 玻璃球能触及酒杯底? (2)在杯璃杯中放入一根粗细均匀,长度为 2cm 的细棒,假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦忽略不计,那么当细棒最后达到平衡位置时,细棒在杯中的位置如何? 51、已知双曲线 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,其一条渐近线方程是 x ? y ? 0 ,且双 曲线 C 过点 P ? 2,1 . (1)求此双曲线 C 的方程; (2)设直线 L 过点 A(0,1) ,其方向向量为 e ? (1, k )( k >0) ,令向量 n 满足 n ? e ? 0 .问: 双曲线 C 的右支上是否存在唯一一点B,使得 | n ? AB |?| n | .若存在,求出对应的 k 的值和 B的坐标;若不存在,说明理由. 52、某人居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相 互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如

?

?

A ? C ? D 算作两个路段:路段 AC 发生堵车事件的概率为 ,路段 CD 发生堵车事件的
5

1

概率为 )。
8

1

(1)请你为其选择一条由 A 到 B 的最短路线(只允许从西向东和从南向北的路线), 使得途中发 生堵车事件的概率最小; (2)若记路线 A ? C ? F ? B 中遇到堵车次数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望 E? 。 53、已知 ? an ? 是公差 d 大于零的等差数列,对某个确定的正整数 k ,有 a1 ? ak ?1 ? M 。
2 2

其中 M 为常数) 。 (1)若数列 ? an ? 满足: a1 ? 2, an ? N ,当 k ? 3 , M ? 100 时,求所有这样的数列 ? an ? ;
?

(2)若整数数列 ? an ? 对给定的常数 d ,该数列由已知条件被唯一确定时,证明: a1 ? 0 ; (3) 求 S ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ??? ? a2 k ?1 的 最 大 值 及 此时数列 ? an ? 的通项公式。 54、如图 6 所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB, 现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使 PE⊥AE, BE=x, (x) 记 V 表示四棱锥 P-ACEF

P

A C

D E B F 图6

37

的体积。 (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦 值。 55、如图,在三棱锥 V ? ABC 中,VC ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC ,

V

π? ? D 是 AB 的中点,且 AC ? BC ? a , ?VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?
(I)求证:平面 VAB⊥VCD ; (II)当解 ? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范 围. 56 、 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 已 知 A

C D

B

D1

C1 B1

A1

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ? DC , AB ∥ DC .
(Ⅰ)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E ∥ 平面 A1 BD1 ; D (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值. A E C

B 57、 如图,PCBM 是直角梯形, PCB =90° PM ∥ BC ,PM ∠ , =1, BC =2,又 AC =1,∠ ACB =120° AB ⊥ PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 , 60° . (Ⅰ)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 M ? AC ? B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 P ? MAC 的体积. 58、在如图所示的几何体中, EA ? 平面 ABC , DB ? 平面 ABC , AC ? BC ,且 AC ? BC ? BD ? 2AE , M 是 AB 的中点. (I)求证: CM ? EM ; (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角. 59、在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

D E

A

C

AA1 ? 2 , AB ? 1,∠ABC ? 90? ;

M
A1 B1

点 D,E 分别在 BB1 , A1 D 上,且 B1 E ⊥ A1 D , 四棱锥 C ? ABDA1 与直三棱柱的体积之比为 3: 5 . (Ⅰ)求异面直线 DE 与 B1C1 的距离; (Ⅱ)若 BC ?

B C1 D

E

A B

C

2 ,求二面角 A1 ? DC1 ? B1 的平面角的正切值.

38

60、如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所 在的平面互相垂直, AB ? 2 , AF ? 1 , M 是线段 EF 的中点. (Ⅰ)求三棱锥 A ? BDF 的体积; (Ⅱ)求证: AM //平面 BDE ; (Ⅲ)求异面直线 AM 与 DF 所成的角.

E M F C B

D

A

39


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