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三角函数常用公式表


1、角: (1) 、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角; (2) 、与 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,都可以表示为集合{ ? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z } (3) 、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限, 就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限。 2、弧度制: (1) 、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 (2) 、度数与弧度数的换算: 180 ? ? 弧度,1 弧度 ? (
?

180

?

) ? ? 57 ?18 '

y P(x,y) r 0

(3) 、弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数)

1 1 2 扇形面积: S ? lr ?? | ? | r 2 2
3、三角函数 (1) 、定义: (如图)

r?

x2 ? y2 ? 0

?
x y

y y r + sin ? ?     tan? ?     sec ? ?    r x x O x x r cos? ?     cot? ?     csc ? ? _ r y y
(3) 、 特殊角的三角函数值

(2) 、各象限的符号: y

+ _
120 ?
x

_ _

y

+
O x

_
O

+ _
270 ?
x

+
150 ?

+
tan ?

sin ?
60 ? 90 ? 135 ?

cos?
2? 3
3 2

? 的角度 ? 的弧度
sin ?

0? 0 0
1

30 ?

45 ?

180 ?

360 ? 2? 0
1

?
6
1 2
3 2
3 3

?
4
2 2

?
3
3 2

?
2
1

3? 4
2 2

5? 6

?
0
?1

3? 2
?1

1 2
? 3 2
? 3 3
sin ?

cos?
tan ?

2 2
1

1 2
3

0


?1 2
? 3

? 2 2
?1

0


0

0

0

4、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:

cos?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
1 ? tan2 ? ? sec 2 ?

t a? n?

s i? n c o? s

t a? n c o? t ?1 s i? nc s? c ?1 cos ? sec ? ? 1

tan ?

1

cot ?

c o? t?

c o? s s i? n

1 ? cot2 ? ? csc 2 ?
(4)同角三角函数的常见变形: (活用“1” ) ①、 sin ? ? 1 ? cos ? ,
2 2

sec?

csc?

sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ; cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? , cos? ? ? 1 ? sin2 ? ;

② tan? ? cot? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 2 cos2 ? ? sin 2 ? 2 cos 2? , cot? ? tan? ? ? ? ? 2 cot 2? sin ? cos? sin 2? sin ? cos? sin 2?

③ (sin? ? cos?)2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? sin 2? ,

1 ? sin 2? ?| sin ? ? cos? |

5、诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限) 公式一: sin(? ? k ? 360?) ? sin ?   cos(? ? k ? 360?) ? cos?  tan( ? ? k ? 360?) ? tan? 公式二: 公式三: 公式四: 公式五:

sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? ? tan?
sin( ? ? ) ? cos? 2

sin(180? ? ? ) ? ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? tan?
sin( ? ? ) ? cos? 2

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?

sin(360? ? ? ) ? ? sin ?   cos(360? ? ? ) ? cos?   tan( 360? ? ? ) ? ? tan?

?

补充: cos(? ? ? ) ? sin ? 2

t an( ? ? ) ? cot? 2
两角和与差的三角函数公式

?

3? 3? ? ? ) ? ? cos? sin( ? ? ) ? ? cos? 2 2 3 ? ? 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2 2 3? ? 3? tan( ? ? ) ? ? cot? tan( ? ? ) ? ? cot? tan( ? ? ) ? cot? 2 2 2

?

sin(

6、两角和与差的正弦、余弦、正切 万能公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

sin ? ?

2 tan(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2) 2 tan(? / 2) 1 ? tan 2(? / 2)

cos ? ?

tan ? ?

tan(? ? ? ) ?

7 .辅角公式

? ? a b a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 ? cos x ? ? 2 2 sin x ? 2 ? 2 a ?b ? a ?b ?

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?)
(其中 ? 称为辅助角, ? 的终边过点 (a, b) , tan? ? 8、二倍角公式: (1) 、 S 2? :

b ) (多用于研究性质) a

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

C 2? :

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1

sin ? cos ? ?

T2? :

t a 2? n ?

2 t a?n 1 ? t a2 ? n

1 sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 1 sin 2 ? ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 1 ? cos 2? 1 1 cos 2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2

(3) 、二倍角公式的常用变形:①、 1 ? cos2? ? 2 | sin ? | ,

1 ? cos2? ? 2 | cos? | ;

②、

1 ? 1 cos 2? ?| sin ? | , 2 2

1 1 ? cos2? ?| cos? | 2 2

③ sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?
4 4 2 2

sin 2 2? ; 2

cos4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? ;

④半角: sin

?
2

??

sin ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? sin ? 1 ? cos ? 2 2 2 2 1 ? cos?

三角函数的和差化积公式

三角函数的积化和差公式

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos ? sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos ? cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin ? sin 2 2

? cos

? ??

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 1 cos ? ? cos ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 1 sin ? ? sin ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 sin ? ? cos ? ?

9、三角函数的图象性质 (1) 、函数的周期性:①、定义:对于函数 ( f x) ,若存在一个非零常数 T,当 x 取定义域内的每一个值时, 都有:f(x+T)= f(x),那么函数 f(x)叫周期函数,非零常数 T 叫这个函数的周期; ②、如果函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫 f(x)的最小正周期。 (2)、函数的奇偶性:①、定义:对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有:f(-x)= - f(x),则称 f(x)是奇函数,f(-x)= f(x),则称 f(x)是偶函数 ②、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称; ③、奇函数,偶函数的定义域关于原点对称; (3)、正弦、余弦、正切函数的性质( k ? Z ) 函数 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] (-∞,+∞) 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间
3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

y ? sin x
y ? cos x

x?R
x?R
{x | x ?

T ? 2?
T ? 2?
T ??

? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? 2 ? 2 ?

?(2k ? 1)? ,2k? ?
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

?2k? , (2k ? 1)? ?

y ? tan x

?
2

? k? }

? 3? ,1),( ? ,0),( ,-1),( 2? ,0); 2 2 ? 3? y ? cos x 图象的五个关键点:(0,1),( ,0),( ? ,-1),( ,0),( 2? ,1); 2 2 y y
y ? sin x 图象的五个关键点:(0,0),(

??

?

?
2

1

y ? sin x
?

0

? 2

3? 2
2?
x

??
? 3? 2

? ? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-1

y ? tan x

y

??

?

?
2

1

y ? cos x
0

? 2

?

3? 2
2?
x

-1

y ? sin x 的对称中心为( k? ,0 );对称轴是直线 x ? k? ?
y ? cos x 的对称中心为( k? ?

?
2



?
2

,0 );对称轴是直线 x ? k? ;

y ? tan x 的对称中心为点( k? ,0 )和点( k? ?

?
2

,0 );

? 2? y ? Ac o s ? (x ? ? ) 的周期 T ? ; ? ? y ? A tan( ?x ? ? ) 的周期 T ? ; ?

y ? A s i n? (x ? ? ) 的周期 T ?

2?



(4)、函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的相关概念: 函数 定义域 值域 [-A,A] 振幅 A 周期 频率 相位 初相

y ? A sin(?x ? ? )

x?R

T?

2?

?

f ?

1 ? ? T 2?

?x ? ?

?

图象 五点法

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与 y ? sin x 的关系:
①、振幅变换: y ? sin x 当 0 ? A ? 1 时, 图象上各点的纵坐标缩短到原来的 A 倍
当? 当 A ? 1 时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的 A 倍

y ? A sin x

? 1 时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的

1

②、周期变换: y ? sin x

?



当0

? ? ? 1 时, 图象上各点的纵坐标伸长到原来的

1

y ? sin ?x


当?

? 0 时,图象上的各点向左平移 ?

个单位倍

?

③、相位变换: y ? sin x

当?

? 0 时,图象上的各点向右平移 | ? | 个单位倍

y ? sin(x ? ? )

? 个单位倍 ? ④、平移变换: y ? A sin ?x ? | 个单位倍 当 ? ? 0 时,图象上的各点向右平移 | ?
当?

? 0 时,图象上的各点向左平移

y ? A sin(?x ? ? )

常 叙 述 成 : ① 、 把 y ? sin x 上 的 所 有 点 向 左 ( ? ? 0 时 ) 或 向 右 ( ? ? 0 时 ) 平 移 | ? | 个 单 位 得 到

y ? sin ( x ? ?) ;
②、再把 y ? sin(x ? ? ) 的所有点的横坐标缩短( ? ? 1 )或伸长( 0 ? ? ? 1 )到原来的

1

?

倍(纵坐标不变)

得到 y ? sin(?x ? ? ) ;③、再把 y ? sin(?x ? ? ) 的所有点的纵坐标伸长( A ? 1 )或缩短( 0 ? A ? 1 )到 原来的 A 倍(横坐标不变)得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。 先平移后伸缩的叙述方向: y ? A sin(?x ? ? )

先平移后伸缩的叙述方向: y ? A sin(?x ? ? ) ? A sin[? ( x ? 10、三角函数求值域 (1)一次函数型: y ? A sin x ? B ,例: y ? ?2 sin( 3 x ? 用辅助角公式化为: y ? a sin x ? b cos x ?

? )] ?

?
12

) ? 5 , y ? sin x cos x

a 2 ? b 2 ? sin(x ? ? ) ,例: y ? 4 sin x ? 3 cos x

(2)二次函数型:①、二倍角公式的应用: y ? sin x ? cos 2 x ②、代数代换: y ? sin x cos x ? sin x ? cos x

第五章、平面向量
1、空间向量: (1) 、定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示。 (2) 、零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 ;零向量的方向是任意的。 (3) 、单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量;与向量 a 平行的单位向量: e ? ?

a |a|



(4) 、 平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量, 记作 a // b ; 规定 0 与任何向量平行; (5) 、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等; 任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。 2、向量的运算: (1) 、向量的加减法: 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 向量的减法

a b b b

b a a?b b a
首位连结

a

b

a?b a

a

a ?b

指向被减数

(2) 、实数与向量的积:①、定义:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a ; ②:它的长度: | ? a |?| ? | ? | a | ; ③: 它的方向: 当? ? 0 , 当? ? 0, 当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? a 与向量 a 的方向相反; ?a = 0 ; 3、平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ; 不共线的向量 e1 , e2 叫这个平面内所有向量的一组基向量,{ e1 , e2 }叫基底。 4、平面向量的坐标运算: (1)、运算性质: a ? b ? b ? a, a ? b ? c ? a ? b ? c , a ? 0 ? 0 ? a ? a

? ?

? ?

(2)、坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? . (3)、实数与向量的积的运算律: 设 a ? ?x, y ? ,则λ a ? ? ? x, y ? ? ??x, ?y ? , (4)、平面向量的数量积:①、 定义: a? b ? a ? b cos? ? a ? 0, b ? 0,0 0 ? ? ? 1800 ? , 0 ? a ? 0 . ①、平面向量的数量积的几何意义:向量 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos ? 的乘积; ③、坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ; 向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x 2 ? y 2 ;模| a | ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?? ?

? ?

?

? ?

? ?

x2 ? y2

④、设 ? 是向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? 的夹角,则 cos ? ?
? ? ?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
?

2

2

x2 ? y 2

2

2

, a ? b ? a?b ? 0

5、重要结论: (1)、两个向量平行的充要条件: a// b ? a ? ? b (? ? R) 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (2)、两个非零向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0
?
? ? ? ?

?

?

?

?



a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
? ?

?

?

?

(3)、两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 的距离: | AB |?

(4) 、P 分线段 P1P2 的:设 P (x,y) ,P1 (x1,y1) ,P2 (x2,y2) ,且 P (即 ? ? ? 1 P ? ? PP 2 ,

| P1 P | | PP2 |



? x? ? ? 则定比分点坐标公式 ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?



x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 中点坐标公式 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
平移至 P′(x′,y′),则 ?
' ? ? x ? x ? h, ' ? ? y ? y ? k.

(5)、平移公式:如果点 P(x,y)按向量 a ? ?h, k ?

?


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