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2013年全国高中数学联赛陕西区预赛试卷


2013 年全国高中数学联赛陕西区预赛试卷
考生注意: (1)本试卷共有两个大题,15 个小题,全卷满分 80 分. (2)用钢笔或圆珠笔作答. (3)不能使用计算器. 第一试 一、选择题(每小题 5 分,在每小题给出的上个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 4 | ?3x ? 8( x ? R),则f ( x) 的反函数 f A. f
?1 ?1

( x) 的解析式是(



( x) ? ? x ? 4( x ? R)

B. f

?1

1 12 ( x) ? ? x ? ( x ? R ) 5 5

?? x ? 4( x ? 2), ? C. f ( x) ? ? 1 12 ?? 5 x ? 5 ( x ? 2) ?
?1

12 ? 1 ?? x ? ( x ? 2) D. f ( x) ? ? 5 5 ?? x ? 4( x ? 2) ?
?1

2.等差数列 {an }共有2n ? 1 项 (n ? N *) ,其中所有奇数项之和为 310,所有偶数之和为 300,则 n 的值为 A.30 B.31 C.60 D.61 ( )

? ? ? ? 3. a ? sin(sin 2007 ), b ? sin(cos2007 ), c ? cos(sin2007 ), d ? cos(cos2007 ), 则 a, 设
b,c,d 的大小关系是 A.a<b<c<d C.c<d<b<a B.b<a<d<c D.d<c<a<b ( )

4.如图,半圆的直径 AB=4,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半 径 OC 上的动点,则( PA ? PB ) PC 的最小值是 · ( )

A.2

B.0

C.-1

D.-2 )

5.长度分别为 1,a,a,a,a,a 的线段能成为同一个四面体的 6 条棱的充要条件是( A. 0 ? a ?

3

B. 0 ? a ? 2

C. a ?

3 3

D.

3 ?a? 3 3

6.设 x、y 都是整数,且满足 xy ? 2 ? 2( x ? y),则x 2 ? y 2 的最大值可能为 A.32 B.25 C.18 D.16





7.已知 0 ? k ? 4, 直线l1 : kx ? 2 y ? 2k ? 8 ? 0 和直线 l 2 : 2 x ? k 2 y ? 4k 2 ? 4 ? 0 与两坐 标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的 k 的值为 A.2 B. ( D. )

1 2

C.

1 4

1 8

8.对于实数 t,已知等比数列 {an } 的前三项依次为 2t ,5t ? 1,6t ? 2, 且该数列的前 n 项和为 Sn,则满足不等式 | S n ? A.2

1 |? 1的最大整数 n 的值是 65
B.3 C.5 D.8





9. 对于非空集合 A、 , B 定义运算: + B= {x | x ? A ? B} 已知两个开区间 M (a, b), P(c, d ) , A○ 其中 a,b,c,d 满足 a+b<c+d,ab=cd<0,则 M○P 等于 + A. (a, b) ? (c, d ) B. (a, c) ? (b, d ) C. (a, d ) ? (b, d ) ( D. (c, a) ? (d , b) )

10.定度在 R 上的函数 f (x) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ?

x 5

1 f ( x) ,且当 2
( )

0 ? x1 ? x 2 ? 1时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ), 则(
A.

1 2

B.

1 16

1 ) 等于 2007 1 C. 32

D.

1 64

二、填空题(每小题 6 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上) 11 . 实 数 x 、 y 满 足 tan x ? x, tan y ? y, 且 | x |?| y |, 则 于

si n ( ? y) x ? x? y

1 , 3 , si n ( ? y)5 x

x? y

的值等

.

12.定义:区间 [ x1 , x2 ](x1 ? x2 ) 的长度为 x 2 ? x1 ,已知函数 y ?| log 1 x | 的定义域为[a,b],
2

值域为[0,2],则区间[a,b]长度的最大值与最小值的差为

.

13.从 1,2,3……,10 这 10 个号码中任意抽取 3 个号码,其中至少有两个号码是连续整 数的概率是 .

14.两个半径都是 1 的球 O1 和球 O2 相切,且它们均与直二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面都 相切,另有一个半径为 r (r ? 1) 的小球 O 与这个二面的两个半平面也都相切,同时与球 O1 和球 O2 都外切,则 r 的值是 .

15.如图,A 是半径为 1 的圆 O 上一定点,l 是过点 A 的圆 O 的切线,设 P 是圆 O 上不同 于 A 的一点,PQ⊥l,垂足为 Q,当 点 P 在圆 O 上运动时,△PAQ 面积的最大值 是 .

第二试 一、 (本题满分 20 分) 1 , 设函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x( x 3 R) 的最大值为 M,最小正周期为 T. ? , (1)求 M、T 的值,并写出函数 f (x) 的单调递增区间; 5 (2 )若 10 个互 不相 等的正数 x, 满足 f ( x) ? M , 且xi ? 10? (i ? 1,2,?,10) 求,

x1 ? x 2 ?? ? x10 的值.
二、 (本题满分 20 分) 如图,在△ABC 中,AB>AC,过点 A 作△ABC 外接圆的切线,交 BC 延长线于 D, E 为 AD 的中点,连结 BE 交△ABC 外接圆于 F,求证:∠FAC=∠FDA.

三、 (本题满分 20 分) 已知 a、b、c ? [ ,1] 求证:

1 2

b a 5 ? ? ; a b 2 ab ? bc 2 ? . (2) 2 2 2 5 a ? 2b ? c
(1) 四、 (本小题满分 30 分) 如图,在一张画有直角坐标系的纸片上,A(0,a)是 y 轴正半轴上一定点,折叠 纸片,使点 A 正好与 x 轴上某一点 A′重合,这样的每一种折法,在纸片上都留下一条 直线折痕,当 A′遍及 x 轴上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合,并在图中用

斜线(阴影)标出这个集合.

五、 (本题满 30 分) 设 集 合 X ? {(a, b, c) | a, b, c ? Z }, f 是 从 X 到 X 的 映 射 , 且 满 足

f (a, b, c) ? (a ? b ? c, ab ? bc ? ca, abc) . 试 求 所 有 三 元 数 组 ( a,b,c ), 使 得 f ( f (a, b, c)) ? (a, b, c)


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