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3.3.2《基本不等式与最大(小)值》课件(北师大版必修5)zx


? 3.2 基本不等式与最大(小)值

? 1.了解利用基本不等式求最大(小)值时应注意
的问题. ? 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题. ? 3.会用基本不等式解决实际问题.

? 1.用基本不等式解决简单的最大(小)值问题是
本节考查的热点. ? 2.本节内容常与函数、方程等内容结合命题. ? 3.

对本节内容的考查,各种命题形式都可能出 现.

a+b 1.基本不等式 2 ≥ ab成立的条件是 a,b 均为 非负 数, 其中等号成立的条件是 a=b .

a2+b2 ≥ 2.用不等号连接 2

?a+b? ? ?2 ≥ ? 2 ? ? ?

ab.

? 3.某农场主想围成一个10 000平方米的矩形
牧场,怎样设计才能使所用篱笆最省呢?

?

解析: 不妨设围成长为 a 米,宽为 b 米的矩形牧场, 依题意知 ab=10 000,周长为 2a+2b.

? 400 (米). 则 2a+2b≥2 2a· 2b= ? (当且仅当a=b= 100 米时取等号). ? 此时矩形为正方形 ,边长为 100 米,用料最省.

? 1.利用基本不等式求最值 ? 设x,y为正实数. ? (1)若x+y=s(和为定值),则当 x=y
得最大值 . x=y ? (2)若xy=p(积为定值),则当 得最小值 .

s2 时,积xy 4取

2 p

时,和x+y取

? 2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小 ? ?
值,需满足的条件 (1)x,y必须是 . 正数 (2) 求 积 xy 的 最 大 值 时 , 应 看 和 x +y是否为 定值 ;求和 x + y 的最小值时,应看积 xy 是 定值 否为 . (3)等号成立的条件是否满足. 综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相 等”.

? ?

1.下列各函数中,最小值为 2 的是( 1 A. y=x+ x

)

? π? 1 B. y=sin x+sin x x∈?0,2? ? ?

x2+3 4 C.y= 2 D.y=x+ -3(x>1) x - 1 x +2 解析: A 中当 x<0 时,y<0,故 2 不是最小值;
B
? π? 中,∵x∈?0,2?,∴sin ? ?
2

x≠1,∴y 取不到 2;

1 C 中函数可化为 y= x +2+ 2 , x +2 ∵ x2+2≠1,∴y≠2;

4 D 中 y=x-1+ -2≥2 4-2=2,当且仅当 x-1= x-1 4 ,即 x=3 时取等号,故 2 为其最小值. x-1

? 答案: D

2. 已知 0<a<1, 则 a(1-a)取最大值时 a 的值为( 1 A.3 1 C.4
解析:

)

1 B.2 2 D.3
?a+1-a? ? ?2 1 ∵0<a<1,∴a(1-a)≤? ? =4, 2 ? ?

1 当且仅当 a=1-a,即 a=2时取等号.

? 答案: B

? 3.设a、b∈R,且a+b=2,则3a+3b的最小
值是________.
解析: 3a+3b≥2 3a· 3b=2· 3a+b=2 32=6.

? 答案: 6

当且仅当 3a=3b,即 a=b=1 时取等号.

4. 设 x, y
解析:

?1 4 ? 为正数, 则(x+y)?x+y ?的最小值为________. ? ?

y 4x 原式=1+x+ y +4≥5+2

y 4x x· y =9,当且仅

y 4x 当x= y ,即 y2=4x2 时取等号.

? 答案: 9

1 5.已知 0<x<3,求函数 y=x(1-3x)的最大值.

1 解析: ∵0<x<3,∴1-3x>0, 1 ∴y=x(1-3x)=3· 3x(1-3x) ? 1? 1 ?3x+?1-3x??2 ≤3? ? =12. 2 ? ? 1 当且仅当 3x=1-3x 即 x=6时,等号成立. 1 1 ∴当 x= 时,函数取最大值 . 6 12

x2-2x+6 (1)求函数 f(x)= (x>-1)的最小值. x+1 2 (2)已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上 x-a 恒成立,求实数 a 的最小值.

? [策略点睛]

[规范作答]

(1)∵x>-1,∴x+1>0

x2-2x+6 ?x+1?2-4?x+1?+9 9 f(x)= = =(x+1)+ - x+1 x+1 x+1 4≥2 9 ?x+1?· -4=2 x+1

9 当且仅当 x+1= ,即 x=2 时取等号, x+1 ∴当 x=2 时,f(x)取得最小值 2.

2 (2)设 f(x)=2x+ ,x∈(a,+∞) x-a ∴x-a>0 2 ∴f(x)=2(x-a)+ +2a≥2 x-a =4+2a 2 当且仅当 2(x-a)= ,即 x=a+1 时等号成立, x-a ∴当 x∈(a,+∞)时,f(x)min=4+2a 又∵f(x)≥7 在(a,+∞)恒成立,
3 ∴4+2a≥7,∴a≥ , 2 3 ∴a 的最小值为 . 2

2 2?x-a?· +2a x-a

? [题后感悟] (1)使用基本不等式求最值,各项
必须为正数;积或和为定值;等号能够取到. ? (2) 如果对于两个负数相加,可以先求它们相 反数的和的最值,再用不等式的性质,求这两 个负数和的最值. ? (3) 利用基本不等式求最值的关键是获得定值 条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适 当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设 应用基本不等式的条件. ? (4) 等号取不到时,注意利用求函数最值的其 他方法,如利用单调性、数形结合、换元法、 判别式法等.

12 1.(1)若 x<0,求 f(x)= x +3x 的最大值.
作业

作业

1 1 (2)已知 0<x<2,求 y=2x(1-2x)的最大值. x2 (3)已知 x>1,求 y= 的最小值. x-1

1 9 2.已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y

解析: (1)∵x<0,∴-x>0. 12 则-f(x)=- x +(-3x)≥2 即 f(x)≤-12. 12 当且仅当- x =-3x,即 x=-2 时,f(x)取最大值-12. 1 (2)∵0<x<2,∴0<2x<1,0<1-2x<1, 12 · ?-3x?=12 ?-x?

1 1 1 ?1?2 ? ? ∴y=2x(1-2x)=4· 2x· (1-2x)≤4· ?2? 1 = , 16 1 1 即当 x= 时,ymax= 4 16

x2-1+1 x2 1 (3)y= = =x+1+ x-1 x-1 x-1 1 =x-1+ +2≥2+2=4, x-1 1 当且仅当 =x-1, x-1 即(x-1)2=1 时,等式成立,∵x>1, ∴当 x=2 时,ymin=4.

?

已知x>0,y>0,且xy=4x+y+12,求xy 的最小值.

? 可将条件中的等式利用基本不等式转化为关于
xy的不等式,通过解不等式求出xy的范围,也 可以将条件变形代入xy,化为关于x(或y)的函 数求最值问题.

[解题过程] 方法一:∵x>0,y>0,

?

xy=4x+y+12≥4 xy+12, ∴( xy)2-4 xy-12≥0, ∴( xy-6)( xy+2)≥0, ∴ xy≥6,当且仅当 4x=y 时取等号. 由 4x=y 且 xy=4x+y+12,得 x=3,y=12. 此时 xy 有最小值 36.

12+4x 方法二:由 xy=4x+y+12,得 y= >0, x-1 ∴x>1,代入 xy 得 ?12+4x?x xy= (x>1).令 t=x-1>0,得 x-1 4?3+t+1??t+1? 16 xy= = +4t+20 t t 16 ≥2 4t+20=36. t· 16 当且仅当 =4t,即 t=2 时取等号, t
即 x=3,y=12 时,xy 有最小值 36.

? [题后感悟]

1 9 2.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 x+y 的最小值.
1 9 解析: 方法一:∵x+y=1,
?1 9 ? y 9x ? + ?=10+ + . ∴x+y=(x+y)· x y ?x y ?

y 9x ∵x>0,y>0,∴x+ y ≥2

y 9x x· y =6.

y 9x 当且仅当 = ,即 y=3x 时,取等号. x y 1 9 又 + =1,∴x=4,y=12. x y
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16.

1 9 y 方法二:由 x+y=1,得 x= , y-9 ∵x>0,y>0,∴y>9. y-9+9 y 9 x+y= +y=y+ =y+ +1 y-9 y-9 y-9 9 =(y-9)+ +10. y-9 ∵y>9,∴y-9>0,

9 ∴y-9+ +10≥2 y-9

9 ?y-9?· +10=16, y-9

9 当且仅当 y-9= ,即 y=12 时取等号. y-9 1 9 又x+y=1,则 x=4, ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16.

?

如图所示,动物园要围成相同面积的长方 形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面 用钢筋网围成.

? (1) 现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、
宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? ? (2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的 长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的 钢筋网总长最小?

? [解题过程] (1)设每间虎笼长x m,宽为y m,
则由条件知: 27 ∴ 6 xy 18 ,得 xy≤ , ?4 x2 + 6 y≤ = 36 ,即 2x 2+3y=18. ? 设每间虎笼面积为 S,则S=xy. 27
? ?2x+3y=18, 由? ? ?2x=3y, ? ?x=4.5, 解得? ? ?y=3.

方法一:由于 2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy,

即 S≤ 2 ,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.

故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大.

3 方法二:由 2x+3y=18,得 x=9-2y. ∵x>0,∴0<y<6,
? 3 ? 3 S=xy=?9-2y?y= (6-y)· y. 2 ? ?

∵0<y<6,∴6-y>0,
? 3? ??6-y?+y?2 27 ∴S≤2· ? ? =2. 2 ? ?

当且仅当 6-y=y,即 y=3 时,等号成立,此时 x=4.5.

方法一:∵2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy=24,

? (2) S= xy 设钢筋网总长为l, ∴l由条件知 =4x+6y=2(2 x+ 3y= )≥24. 48, ?则 l=4x+ 6y 当且仅当 2x= 3.y 时,等号成立.
? ?2x=3y, 由? ? ?xy=24, ? ?x=6 解得? ? ?y=4.

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

24 方法二:由 xy=24,得 x= y .
?16 ? 96 ∴l=4x+6y= y +6y=6? y +y?≥6×2 ? ?

16 y=48. y·

16 当且仅当 =y,即 y=4 时,等号成立,此时 x=6. y 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

[题后感悟]

在解此类应用题时,应先读懂题意,理清

思路,列出函数关系式.若函数关系式可整理变形为 f(x)= b ax+ 的形式,一般情况下这类问题的最值我们可以利用基 x 本不等式求解,但是在利用基本不等式时,一定要注意不等 式成立的三个条件.

? 3.某学校为了解决教职工的住房问题,计划征
用一块土地盖一幢总建筑面积为A m2的宿舍 楼.已知土地的征用费为2388元/m2,且每层 的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的 2.5倍,经工程技术人员核算,第一、二层的 建筑费用相同,同为445元/m2,以后每增高一 层,其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿 舍楼的楼层数,使总费用最少,并求其最少总 费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和)

解析: 设楼高 n 层,总费用为 y 元, 2.5 A 2 根据题意得征地面积为 m, n 2.5A 5970A 故征地费用为 · 2388= 元. n n 楼层建筑费用为:
{445 + 445 + (445 + 30) + (445 + 30×2) + ? + [445 + A 30 30· (n-2)]}· n =(15n+400+ n )A(元), 30? 5970A ? ∴y= +?15n+400+ n ?A n ? ?
? ? 6000 =?15n+ n +400?A ? ?

? ≥? ?2 ?

? 6000 ? 15n· +400?A=1000A(元), n ?

6000 当且仅当 15n= ,即 n=20(层)时,等号成立, n ∴当楼高 20 层时,总费用最少,为 1000A 元.

? 1.利用基本不等式求最值时,应注意的问题 ? (1) 各项均为正数,特别是出现对数式、三角
?
函数式等形式时,要认真判断. (2) 求和的最小值需积为定值,求积的最大值 需和为定值. (3)确保等号成立. 以上三个条件缺一不可.可概括为 “ 一正、二 定、三相等”. [注意] 连续应用基本不等式时,要注意各不 等式取等号时条件是否一致.若不能同时取等 号,则不能求出最值.

? ?
?

2.应用基本不等式的常用技巧 获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键.常用的 方法有: (1)拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中. ?x+5??x+2? x2+7x+10 如 f(x)= = x+1 x+1 ?x+1?2+5?x+1?+4 = x+1 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.

(2)常值代换 这种方法常用于 ①“已知 ax+by=m(a、b、x、y 均为正数), 1 1 求x+y的最小值.” a b ②“已知x+ y=1(a、b、x、y 均为正数), 求 x+y 的最小值”两类题型.

(3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时,可“利用基本不 等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围”.如“已 知 a,b 为正数,a+b=ab-3,求 ab 的取值范围”.可构 造出不等式 2 ab≤a+b=ab-3,即( ab)2-2 ab-3≥0.

? 3.解不等式实际应用问题的思想方法

1 1 ◎已知 x>0,y>0,且 x+2y=1,求x +y 的最小值.
【错解一】 ∵x+2y=1,
?1 1? 1 1 ∴x+y=1+? x+y?-1 ? ?

1 1 =x+2y+ + -1 x y
? 1? ? 1? =?x+x ?+?2y+y ?-1 ? ? ? ?

≥2

1 x·+2 x

1 2y·-1 y

=2+2 2-1=1+2 2. 1 1 ∴x+y的最小值为 1+2 2.

【错解二】

∵x+2y=1,

1 1 ?1 1? ∴ + =? x+y?×1 x y ? ?
?1 1? =? x+y?(x+2y)≥2 ? ?

2xy· 2

1 =4 2, xy

1 1 ∴x+y的最小值为 4 2.

【错因】 错解一: 在求解过程中两次使用基本不等式, 1 1 第一次是 x+x ≥2, 第二次是 2y+ y≥2 2, 这两次中取“=” 号的条件不一样.第一次中取“=”号的条件为 x=1,而第 2 二次中取“=”号的条件为 y= , 此时 x+2y=1+ 2≠1, 2 不符合已知条件,所以这两次使用基本不等式的结果相加后 的“=”号取不到.

错解二在求解过程中使用了两次基本不等式:x+ 1 1 2y≥2 2xy, + ≥2 x y 1 ,同样这两次中取“=”号的解分 xy

别为 x=2y 与 x=y,这自相矛盾,所以两式相乘后“=”号 取不到.

【正解】

∵x+2y=1,且 x>0,y>0,

?1 1 ? 1 1 ∴x+y=(x+2y)?x+y ? ? ?

x 2y =1+2+ + ≥3+2 2, y x x 2y 当且仅当y= x , 即 x2=2y2 时取“=”号.

?x+2y=1, ? 2 2 ∴?x =2y , ?x>0,y>0, ?

?x= 2-1, ? 解得? 2 y=1- 2 . ? ?

2 即 x= 2-1,y=1- 2 时, 1 1 x+y取最小值为 3+2 2.


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