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高中数学必修一第一章集合例题与练习题


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集合的含义及表示 解题规律: 集合的含义及表示 1、含义:一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合 2、集合表示:用大括号或大写字母表示 3、元素及表示:集合中的每个对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母表示 4、元素三性:确定性、互异性、无序性 5、常见数集:N、N

*、Z、Q、R,奇数集{x|x=2n+1,n∈Z}或{x|x=2n-1,n ∈Z}或{x|x=4n±1,n∈Z},偶数集{x|x=2n,n∈Z}; 6、集合的表示法:列举法、描述法、Venn 图示法; 7、集合的分类:按元素个数分有限集和无限集,按元素属性分数集、点集、图 形集等; 8、空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作 。

集合的含义及表示例题 1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( A.{x|x 是小于 18 的正奇数} B.{x|x=4k+1,k∈Z,且 k<5} C.{x|x=4t-3,t∈N,且 t≤5} D.{x|x=4s-3,s∈N*,且 s≤5} 解析: 选 D.A 中小于 18 的正奇数除给定集合中的元素外, 还有 3,7,11,15; B 中 k 取负数,多了若干元素;C 中 t=0 时多了-3 这个元素,只有 D 是正确
1

)

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的. 2.集合 P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},S={x|x=4k+1, k∈Z},a∈P,b∈M,设 c=a+b,则有( A.c∈P B.c∈M C.c∈S D.以上都不对 解析:选 B.∵a∈P,b∈M,c=a+b, 设 a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z, ∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1, 又 k1+k2∈Z,∴c∈M. 3.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设 A={1,2},B={0,2}, 则集合 A*B 的所有元素之和为( A.0 C.3 B.2 D.6 ) )

解析:选 D.∵z=xy,x∈A,y∈B, ∴z 的取值有:1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4, 故 A*B={0,2,4}, ∴集合 A*B 的所有元素之和为:0+2+4=6. 4.已知集合 A={1,2,3},B={1,2},C={(x,y)|x∈A,y∈B},则用列举法 表示集合 C=____________. 解析:∵C={(x,y)|x∈A,y∈B}, ∴满足条件的点为: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2). 答案:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)} 4.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( A.方程 y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.函数 y=2x-1 图象上的所有点组成的集合 答案:D )

2

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5.设集合 M={x∈R|x≤3 A.a?M C.{a}∈M 解析:选 B.(2 故2 6<3 6)2-(3 3.所以 a∈M.

3},a=2 B.a∈M D.{a|a=2

6,则( 6}∈M

)

3)2=24-27<0,

? ?x+y=1 6.方程组? ? ?x-y=9

的解集是(

)

A.(-5,4) B.(5,-4) C.{(-5,4)} D.{(5,-4)} ? ?x+y=1 解析:选 D.由? ? ?x-y=9 集为{(5,-4)}. 7. 设 P={1,2,3,4}, Q={4,5,6,7,8}, 定义 P*Q={(a, b)|a∈P, b∈Q, a≠b}, 则 P*Q 中元素的个数为( A.4 C.19 B.5 D.20 ) ? ?x=5 ,得? ? ?y=-4

,该方程组有一组解(5,-4),解

解析:选 C.易得 P*Q 中元素的个数为 4×5-1=19.故选 C 项. 8. 由实数 x, -x, x2, - 解析: 答案:2 9. 用适当的方法表示下列集合: (1)所有被 3 整除的整数; (2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线); (3)满足方程 x=|x|,x∈Z 的所有 x 的值构成的集合 B. x2=|x|,而- 3 3 x3所组成的集合里面元素最多有________个.

x3=-x,故集合里面元素最多有 2 个.

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解:(1){x|x=3n,n∈Z}; 1 (2){(x,y)|-1≤x≤2,- ≤y≤1,且 xy≥0}; 2 (3)B={x|x=|x|,x∈Z}.

集合间的基本关系 解题规律: 集合与集合的关系有“包含”与“不包含” , “相等”三种 1、 子集:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集 合 B 的元素, 就说集合 B 包含 A, 记作 A B (或说 A 包含于 B) , 也可记为 B B,读作 A

A(B 包含 A) ,此时说 A 是 B 的子集;A 不是 B 的子集,记作 A 不包含于 B

2、 相等:对于集合 A 和 B,如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 的元素, 反过来, 集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素, 即集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 是集合 A 的子集,我们就说集合 A 和集合 B 相等,记作 A=B 3、 真子集:对于集合 A 与 B,如果 A 子集,记作 A B 并且 A≠B,则集合 A 是集合 B 的真

B(B A) ,读作 A 真包含于 B(B 真包含 A)

1.集合{a,b}的子集有( A.1 个

) C.3 个 D.4 个

B.2 个

解析: 集合{a,b}的子集有 ?,{a},{b},{a,b}共 4 个,故选 D.
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2.下列各式中,正确的是( A.2 C.2 解析: 故2 3∈{x|x≤3} 3?{x|x≤3} 2 B.2 D.{2

) 3?{x|x≤3} 3} {x|x≤3} 3不在集合中,

3表示一个元素, {x|x≤3}表示一个集合, 但2

3?{x|x≤3},A、C 不正确,又集合{2

3}?{x|x≤3},故 D 不正确.

3.集合 B={a,b,c},C={a,b,d},集合 A 满足 A?B,A?C.则集合 A 的个数是________. 解析: 若 A=?,则满足 A?B,A?C;若 A≠?,由 A?B,A?C 知 A 是由 属于 B 且属于 C 的元素构成,此时集合 A 可能为{a},{b},{a,b}. 4 下列各组集合,表示相等集合的是( ①M={(3,2)},N={(2,3)}; ②M={3,2},N={2,3}; ③M={(1,2)},N={1,2}. A.① B.② C.③ D.以上都不对 )

解析: ①M 中表示点(3,2) ,N 中表示点(2,3) ;

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②中由元素的无序性知是相等集合; ③中 M 表示一个元素,即点(1,2) ,N 中表示两个元素分别为 1,2. 所以表示相等的集合是②. 故选 B.

5. 已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若 A?B,求实数 a 的取值集合. 解析:

将数集 A 表示在数轴上(如图所示),要满足 A?B,表示数 a 的点必须在表 示 4 的点处或在表示 4 的点的右边,所以所求 a 的集合为{a|a≥4}.

6、设 A={x,y},B={1,xy},若 A=B,求 x.

由 A={x,y},B={1,xy}, 因为 A=B,

结合集合中元素的互异性,当 y≠1 时,由①得 x=1; 当 y=1 时,x 为不等于 1 的所有实数. 故当 y≠1 时,x=1; 当 y=1 时,x 为不等于 1 的所有实数.

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集合间的运算 解题规律: 1、交集的性质:

2、并集的性质:

3、补集的性质:

1. 已知集合 A ? ?x x2 ? 2x ? 3 ≤ 0, x ? R? , B ? ?x x2 ? 2mx ? m2 ? 4 ≤ 0, x ? R,m ? R? . (1)若 A B ? ?0,3? ,求实数 m 的值; (2)若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围. 解析:先利用不等式知识求出集合 A 和集合 B, (1)利用数轴和交集的定义列 出关于 m 的不等式,最后求出 m; (2)先求出集合 B 的补集,再利用子集的定 义列出关于 m 的不等式,最后利用不等式知识求解即可 解:由已知得: A ? ?x ? 1≤x ≤ m ? 2? . 3? , B ? ?x m ? 2 ≤x ≤ (Ⅰ)∵ A B ? ?0,3? ,∴ ?
? m ? 2 ? 0, ? m ? 2, ∴? ? m ? 2 ≥ 3, ? m ≥ 1.
7

∴m ? 2.

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(Ⅱ) CR B ? {x | x ? m ? 2或x ? m ? 2} . ∵ A ? CR B ∴ m ? 2 ? 3 ,或 m ? 2 ? ?1 , ∴ m ? 5, 或 m ? ?3 .

? 2x ? 1 ? ? ? 2. 已知集合 A= ? x y ? 1 ? ?, B ? ?x ?x ? (a ? 4)??x ? (a ? 1)? ? 0?,分别根据 x ? 1 ? ? ? ?

下列条件,求实数 a 的取值范围(1) A ? B ? A; 解:由
1? 2x ? 1 ? 0, 得 - 1 ? x ? 0, x ?1 A ? ?? 1,0?, B ? ?a ? 1, a ? 4?

(2) A ? B ? ?

(1) a 的取值范围是 ?? 4,?2? ……7 分 (2) a 的取值范围 ?? 5,?1? ……14 分 思路分析:第一问中由
1? 2x ? 1 ? 0, 得 - 1 ? x ? 0, 得到集合 A,B,然后求解交集 A ? B ? A; ? A ? B x ?1 A ? ?? 1,0?, B ? ?a ? 1, a ? 4?

第二问中, A ? B ? ? ? 先求A ? B ? ?的范围,然后利用补集 的思想得到。 3.已知集合 A= {x | y ? log ? x 2 ? 2 x ? 3 ? , y ? R} , B= {x | m ? 1 ?
2

x ? 2m ? 1, m ? ?2} .

(1)若 m ? ?1 ,求 A∩B, (CR A)UB ; (2)若 A ? C RB ,求实数 m 的取值范围。 解析:第一问首先翻译 A,B 为最简集合,即为 A=

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{x | y ? log ? x 2 ? 2 x ? 3? , y ? R}
2

? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0}
2

? {x|x ? 3或x ? ?1}

B= {x | m ? 1 ?

x ? 2m ? 1, m ? ?2} x ? ?1}

然后利用当 m=-1 时,则有 B= {x | ?2 ?
A ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1} ,

CR A ? B ? {?1}

第二问,因为 A ? C RB ,

??1 ? m ? 1 所以满足 A ? ?3 ? 2m ? 1
得到结论。 解:因为 A=
{x | y ? log ? x 2 ? 2 x ? 3? , y ? R}
2

? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0}
2

? {x|x ? 3或x ? ?1}

,

B= {x | m ? 1 ?

x ? 2m ? 1, m ? ?2} x ? ?1}

当 m=-1 时,则有 B= {x | ?2 ?
A ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1} ,

CR A ? B ? {?1}

(2) 因为 A ? C RB ,

??1 ? m ? 1 所以满足 A ? ?3 ? 2m ? 1
故0 ? m ?1 5. 设 A ? {x ? Z ? 6 ? x ? 6} , B ? ??2,3,4? , C ? ?3,4,5? ,求: (Ⅰ) A ( B C ) ; (Ⅱ) A CA ( B C) 解:由题意 A ? ??5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5?
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(1) B C ? ??2,3, 4,5? , A (B C) ? ??2,3,4,5? ……5 分 (2) CA (B C) ? ??5, ?4, ?3, ?1,01,2?

A CA ( B C) ? A ? ??5, ?4, ?3, ?1,0,1, 2? ……10 分

6.已知条件 p : x ? A ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R? , 条件 q : x ? B ? ? x | x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0, x ? R, m ? R? (Ⅰ)若 A B ? ?0,3? ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 p 是 ? q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

?? 2 ? m ? 0 解: (Ⅰ) A ? [?1, 3] , B ? [?2 ? m, 2 ? m] ,若 A B ? ?0,3? ,则 ? , ? 2?m?3
故m ? 2 (Ⅱ) CR B ? (??, ? 2 ? m) ? (2 ? m, ? ?) ,若 A ? C R B , 则 3 ? ?2 ? m 或 2 ? m ? ?1 , 故 m ? ?3 或 m ? 5

6 . 已 知 集 合 M ? ?? 1,1,3,5? 和 N ? ?? 1,1,2,4? . 设 关 于 x 的 二 次 函 数
f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 ?a, b ? R? .

(Ⅰ)若 b ? 1 时,从集合 M 取一个数作为 a 的值,求方程 f ( x) ? 0 有解的概率; (Ⅱ)若从集合 M 和 N 中各取一个数作为 a 和 b 的值,求函数 y ? f ( x) 在区间

?1,??? 上是增函数的概率.

解: (Ⅰ)因为 b ? 1 ,由方程 f ( x) ? ax2 ? 4x ? 1 ? 0 有解,

?a ? 0 3 所以 ? ,? a ? M ? ?? 1,1,3,5?,∴ P ? 4 ?? ? 16 ? 4a ? 0
10

------ 6 分

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( Ⅱ )函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 图象的对称轴为 x ?
a

2b . 要使 y ? f ( x) 在区间 a

?1,??? 上为增函数,应有 a ? 0 且 2b ? 1 ,∴ a ? 2b 且 a ? 0 .
①若 a ? 1 ,则 b ? ?1 ;②若 a ? 3 ,则 b ? ?1,1 ;③若 a ? 5 ,则 ∴所求概率 P ?
6 3 ? . 16 8

.

------------------- 14 分

7.设 A ? {x | x2 ? (a ? 2) x ? a2 ? 1 ? 0}, B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,

C ? {x | x2 ? 2x ? 8 ? 0}.
(1)若 A ? B ? A ? B ,求 a 的值; (2)若 ? ? A ? B, 且A ? C ? ? ,求 a 的值; (3)是否存在实数 a 使 A ? B ? A ? C ? ? ,若存在,求 a 的值。若不存在,请 说明理由。 解: B ? {1, 2}, C ? {?4, 2} (1)
A ? B ? A ? B,? A ? B,因此1, 2是方程x2 ? (a ? 2) x ? a2 ? 1 ? 0的两根,
?

?1 ? 2 ? a ? 2 即? ,解得a ? 1. 2 ?1? 2 ? a ? 1

(2)∵ ? ? A ? B , ∴ 1 和 2 至少有一个是 A 的元素,

?

A ? C ? ? , ??4 ? A且2 ? A, ?1? A, ?12 ? (a ? 2) ? a 2 ? 1 ? 0, 解得a ? 1或a ? 0,当a ? 1时,A ? {1, 2},不符合题意,舍去,故a ? 0.
(3)
A ? B ? A ? C ? ? , ? 2 ? A ? B, 2 ? A ? C, ? 2 ? A,

? 22 ? 2(a ? 2) ? a 2 ? 1 ? 0, 解得a ? 1,此时,A ? B ? {1, 2},A ? C ? {2}, 不符合题意,舍去,因此不存在实数a使得A ? B ? A ? C ? ?.

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