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2005-2006学年度涟西中学第三次阶段测试(11.28)


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

2005-2006 学年度涟西中学第三次阶段测试(11.28)

数 学 试 卷
数数学家数学家 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.Sin2005°= ( ) A.sin25° B.cos25° C.-sin25° D.-cos25° 2.不等式|x|(1-3x)>0 的解集是 ( ) A. ( ?? , )
3 1

B. ( , ?? )
3

1

C. ( 0 , )
3

1

D. ( ?? , 0 ) ? ( 0 , )
3

1

3.非常数数列 { a n } 是等差数列,且 { a n } 的第 5、10、20 项成等比数列,则此等比数列的公 比为 A.
1 5

( B.5 C.2 D.
1 2



4.函数 y=2x+1(-1≤x<0)的反函数是 ( ) A.y=1+log2x(x>0) B.y=-1+log2x(x>0) C.y=1+log2x(1≤x<2) D.y=-1+log2x(1≤x<2) 5.已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(3,-1) ,C(2,-3) ,点 D 在直线 3x-y+1=0 上移 动,则点 B 轨迹方程为 ( ) A.3x-y-20=0(x≠13) B.3x-y-10=0(x≠13) C.3x-y-9=0(x≠2) D.3x-y-12=0(x≠5) 6.若函数 f ( x ? 2 ) ? ?
1 2

? tan x ( x ? 0 ) ? log 2 ( ? x )( x ? 0 )

,则 f (

?
4

? 2) ? f (?6) ?





A.

B.-

1 2

C.3

D.-3

7.a, b 是异面直线,A、B∈a, C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1,则 a 与 b 所 成的角为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.45° 8.以椭圆
x
2

?

y

2

? 1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在直线方程为





16

4

A.x+4y-5=0

B.x-4y+3=0

C.4x+y-5=0

D.4x-y-3=0

9.已知向量 a ? (1,1), b ? (1, ? 1), c ? ( 2 cos ? , 2 sin ? )( ? ? R ) ,实数 m,n 满足
m a ? n b ? c , 则 ( m ? 3 ) ? n 的最大值为
2 2





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A.2 10.关于函数 y ? | 2 sin( 2 x ? B.3 ?
3

C.4
) +1|说法正确的是

D.16 (
?
12



A.是周函数且最小正周期是

?
2

B. x ? ?

是其图像的一条对称轴

C.其图象上相邻两个最低点距离是 ? D.其图象上相邻两个最高点距离是 ? 11.4 支玫瑰与 5 支康乃馨的价格之和小于 20 元,而 6 支玫瑰与 3 支康乃馨的价格之和大于 24 元,则 2 支玫瑰和 3 支康乃馨的价格 ( ) A.2 支玫瑰的价格高 B.3 支康乃馨的价格高 C.两者一样高 D.不确定 12.在四棱锥 P—ABCD 中,顶点为 P,从其他的顶点和各棱的中点中取 3 个,使它们和点 P 在同一平面 上,不同的取法有( )种。 ( ) A.40 B.48 C.56 D.62 题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.条件 p:|x-2|>2-x;条件 q:x>a,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 . 2 2 14.若把圆 x +y +2x-4y=0 按向量 a=(1,2)平移后,恰好与直线 x-2y+λ =0 相切,则实数λ 的值 为 . 15.在 ( x ?
1 2x ) 的展开式中,x 的系数是
9

3

.

16.给出下列四个命题: ①若直线 l⊥平面α ,l//平面β ,则α ⊥β ; ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面,则这两个二面 角的平面角互为补角; ④过空间任意一点一定可以做一个和两个异面直线都平行的平面。 其中,正确的命题的是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 从 10 位同学 男 7 女) (3 中随机选出 3 人参加跳绳测验, 男生能通过的概率为
4 5

, 女生能通过的概率为

2 5



试求 (I)求选出的 3 位同学中,至少有 1 位男生的概率; (Ⅱ)求 10 位同学中女生甲和男生乙同时被选中,并且甲乙二人都通过测验的概率.

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18. (本小题满分 12 分) ∠A、 ∠B、 ∠C 为锐角三角形 ABC 的三个内角, tanA、 且 tanB、 tanC 成等差数列, f(x)满足 f(tanC)=csc2A. 且 (I)求 x>0 时 f(x)的表达式; (Ⅱ)设 x=tanC, 求当(I)中 f(x)取得最小值时,三角形 ABC 的最小角的值.

19. (本小题满分 12 分) 如图已知四棱锥 P—ABCD, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为直角梯形, ∠A=90°且 AB//CD, AB=
| PF | | FC |
1 2

CD.

(I)点 F 在线段 PC 上运动,且设

? ? , 问当 ? 为何值时,BF//平面 PAD?并证明你的结论; (Ⅱ)

二面角 F—CD—B 为 45°,求二面角 B—PC—D 的大小.

20. (本小题满分 12 分)

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已知函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (I)求 a 的值; (Ⅱ)设 g(x)=bx2-1,若方程 f(x)=g(x)的解集恰好有 3 个元素,求实数 b 的取值范围;

21. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 离心率为

3 ,右焦点为 F,过点 M(1,0)且斜率为 1 的直线

与双曲线 C 交于 A、B 两点,并且 FA ? FB ? 4 . (I)求双曲线方程; (Ⅱ) 过右焦点 F 作直线 l 交双曲线 C 的右支于 P、 两点, Q 求证: 无论直线 l 的倾斜角多大, 都有∠PMF= ∠QMF.

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22. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) ?
5x ? 4 x?a , 满足 f ( x ) ? f ( 2 m ? x ) ? 10 ; 数列 { a n }满足 a n ? 1 ? f ( a n ).
1 an ? 2 1 an ? 2 ; 若 a 1 ? 3, 求 a n , b n ;

(I)若 m ? ? 1, 令 b n ?

求证 : { b n }为等差数列

(Ⅱ)若 m ? ? 1, b n ?

, a 1 ? 3 求证 :

1 b1 b 2

?

1 b2 b3

?? ?

1 b n b n ?1

? 3.

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数学参考答案
一、选择题: 1.C 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C 7.B 二、填空题: 13. a ? 2 三、解答题: 17. (1) P ? 1 ?
3

8.A 9.D 10.D 11.A 12.C
21 2

14.3 或 13

15. ?

16.①

C7 C

3

3 10

?
4 5

17 24

(6 分)
18 625 tan A ? tan C 1 ? tan A tan C ,

(2) P ?

?

3

?

?

2 5

?

(6 分)

10 10

18. (1)? tan A tan C ? 2 tan B ? ? 2 tan( A ? C ) ? ? 2
? tan A ? 3 tan C
f ( t a n ) ? c s c2 A ? C 1? t an A
2

. (3 分)
, 将 t a nA ? 3 t a nC 代入得 : f (t an ) ? C 1 t a nC 3 ( ? ), 2 3 t a nC

2 t a nA

1 x 3 即当 x ? 0时 , f ( x ) ? ( ? ), 2 3 x

(6 分)

(2) f ( x ) ?

1 2

?2

x 3

?

3 x

? 1 ,当且仅当 x=3 时取等号.

(8 分)
?
4

此时 tan C ? 3 . ? tan A ? 1,由 ? ABC 是锐角三角形知: A ? 19. (1)当 ? ? 1时 , BF // 平面 PAD . (1 分)
1 2

,且 A 为最小角.(12 分)

证明:取 PD 中点 E,则 EF//CD,且 EF ?

CD , 又 AB // CD 且 AB ?

1 2

CD ,

∴四边形 ABFE 为平行四边形. (4 分) ∴BF//AE. 又 AE ? 平面 PAD ∴BF//平面 PAD (2)? PA ? 平面 ABCD, CD ? AD 面角 ? PDA ? 45 ? (8 分)

(6 分)
? ? PDA

? CD ? PD

即是二面角的平

? ? PAD 为等腰直角三角形,? AE ? PD ,? CD ? AD ,? AE ? CD , ? AE ? 平面 PCD

又 BF//AE,? BF ? 平面 PCD. ? BF ? 平面 PBC, ∴平面 PCD⊥平面 PBC,即二面角 B—PC—D 的大小为 90°. (12 分)

3 2 20.解: (1) f ?(1) ? 4 x ? 12 x ? 2 ax , ( 3 分 ) f ? (1) ? 0 , 4 ? 12 ? 2 a ? 0 , a ? 4 (6 分)

(2) x ? 4 x ? 4 x ? 1 ? bx
4 3 2

2

? 1, x ? 4 x ? ( 4 ? b ) x
4 3

2

? 0 , x [ x ? 4 x ? ( 4 ? b )] ? 0
2 2

b ? 4 且 16 ? 16 ? 4 b ? 0

b ? ( 0 , 4 ) ? ( 4 , ?? )

(12 分)

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21. (1)由已知: b ? 2 a , c ? 3 a
2 2 2 2

(1 分) 直线 AB 方程为: y ? x ? 1 , (3 分)
y 1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? ? 2 a ? 2
2

代入得: x ? 2 x ? 1 ? 2 a ? 0
2 2

x1 ? x 2 ? ? 2 , x1 x 2 ? ? 2 a ? 1
2

F ( 3 a , 0 ), FA ? ( x 1 ? FA ? FB ? x 1 x 2 ?

3 a , y 1 ), FB ? ( x 2 ?
2

3a , y 2 )
?a
2

3 a ( x1 ? x 2 ) ? 3 a

? y1 y 2 ? 4
2

? 2 3a ? 3 ? 0

?a ?

3, a

2

? 3, b

2

? 6

所以 :

x

?

y

2

?1

(6 分)

3

6

(2)直线 l : y ? k ( x ? 3 )( k ? ? 2 )
2 2 2 2

设 P ( x 3 , y 3 ), Q ( x 4 , y 4 )

联立方程得: ( 2 ? k ) x ? 6 k x ? 9 k ? 6 ? 0
x3 ? x4 ? 6k k
2 2

?2

, x3 x4 ?

9k k
2

2

?6 ?2

k PQ ?

k ( x 3 ? 3) x3 ? 1

, k MQ ?

k ( x 4 ? 3) x4 ? 1

, (10 分)

? K mp ? ? K mq ? 0

? K mp ? ? K mq

? PMF ? ? QMF

(12 分) (1 分)

22. (I)解 f(x)=10-f(2m-x)若 m=-1,则 f(x)关于(-1,5)对称. 所以 a=1, f ( x ) ? 即 a n ?1 ?
5a n ? 4 an ? 1
5x ? 4 x ?1

(3 分)

, 从而得 a n ? 1 a n ? 5 a n ? a n ? 1 ? 4 .

(4 分)

b n ?1 ? b n ? ?

1 a n ?1 ? 2

?

1 an ? 2

?

a n ? a n ?1 a n ?1 a n ? 2 a n ? 2 a n ?1 ? 4 ? 1 3

a n ? a n ?1 5 a n ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 a n ?1
1 3

所以{bn}是以
b1 ? 1 a1 ? 2 1 bn

为公差的等差数列.
n?2 3

(6 分)

? 1, b n ? b 1 ? ( n ? 1) d ?

(7 分)

所以 a n ? (II)证明:

?2 ?

3 n?2

?2 ?

7n ? 7 n?2

(8 分)

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由 ( I )b n ? 1 b1 b 2 ? 9( 1 3 ? ? 1 b2 b3 1 4 ? 1 4 ? 1 5 n?2 3 , 1 b n b n ?1 1 b n b n ?1 ?? ? 1 n?2 ? 9 ( n ? 2 )( n ? 3 ) ? 9[ 1 3? 4 ? ? 1 n?3 1 4?5 ? 9( 1 n?2 ? 1 n?3 1 ( n ? 1)( n ? 2 ) 1 n?3 )? 3 )则 (10 分 )

?? ?

?? ? 1 3 ?

]

) ? 9(

(14 分 )

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