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2008年高考不等式复习易做易错题选


2008 年高考不等式复习易做易错题选
? 要特别注意:①“恒成立”问题常通过构造函数、分离参数等方法,转化为求函数的值域或最值或“根的分布”原 理解决,也可利用数形结合思想解决;②解含参数不等式时注意借助数轴对参数的合理分类(讨论最高次项系数正负、大小 根) ;③“抽象不等式”的解法(注意函数符号“ f ”的穿脱,再利用函数的单调性或函数图像解决) ;④注意利用数形结

合 思想解不等式;⑤注意不等式解集与方程根的关系的应用;⑥熟练掌握解分式不等式的方法:先移项、后通分、然后等价变 形为整式不等式(化为高次不等式,特别注意分母是否为 0) ,利用穿浪线法; ? 注意应用三角不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|证明不等式或求最值; ? 注意构造均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等” ,特别注意“=”成立条件的验证;构造步骤:①次数→② 系数→③常数;构造方法:取倒数、 “1”的代换等,注意“对勾函数 y ? x ? k (k>0) ”使用。
x

注 意 区 别 不 等 式 有 解 与 恒 成 立 : a ? f ( x)恒成立 ? a ? f max ( x) ; a ? f ( x)恒成立 ? a ? f min ( x) ; a ? f ( x)有解 ? a ? f max ( x) a ? f ( x)有解 ? a ? f min ( x) ; 求y?

?

2 8 ? 的最小值。 2 sin x cos 2 x
错解 1

y?

2 8 2 8 8 ? ? 2? ? ? 2 2 2 2 x| sin x co s x s i n x c o s x | s i nx c o s
16 ? 16,. ? y min ? 16. | sin 2 x |

?
错解 2

2 8 ? sin 2 x) ? ( ? cos 2 x) ? 1 ? 2 2 ? 2 8 ? 1 ? ?1 ? 6 2 . 2 2 sin x cos x 2 8 ? 且 | sin 2 x |? 1. 错误分析 在解法 1 中, y ? 16 的充要条件是 2 sin x cos 2 x 1 即 | tan x |? 且 | sin x |? 1. 这是自相矛盾的。? y min ? 16. 2 y?(
在解法 2 中, y ? ?1 ? 6 2 的充要条件是

2 8 ? sin 2 x且 ? cos 2 x,即 sin 2 x ? 2, cos 2 x ? 2 2 , 这是不可能的。 2 2 sin x cos x ? 2(1 ? cot2 x ) ? 8(1 ? tan2 x )
正确解法 1 y ? 2 csc x ? 8 sec x
2 2

? 10 ? 2(cot2 x ? 4 tan2 x ) ? 10 ? 2 ? 2 cot2 x ? 4 tan2 x ? 18.

其中,当 cot2 x ? 4 tan2 x,即cot2 x ? 2时,y ? 18. ? y min ? 18. 正 确 解 法 2 取正常数 k ,易得

y?(

2 8 ? k sin 2 x) ? ( ? k cos 2 x) ? k ? 2 ? 2k ? 2 ? 8k ? k ? 6 ? 2k ? k. 2 sin x cos 2 x

其中“ ? ”取“=”的充要条件是

2 8 1 ? k sin 2 x且 ? k cos 2 x,即 tan 2 x ? 且k ? 18. 2 2 2 sin x cos x 1 2 因此,当 tan x ? 时, y ? 6 ? 2k ? k ? 18, ? y min ? 18. 2

一、选择题:
1.设 f ( x) ? lg x , 若 0<a<b<c,且 f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是 A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1

错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数 f ( x) ? lg x 的图象,由图可得出选 D.

2.设 x, y ? R, 则使 x ? y ? 1成立的充分不必要条件是 A

x ? y ?1

B

1 1 x ? 或y ? 2 2

C

x ?1

D

x<-1

错解:选 B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清,正确答案为 D。 3.不等式 ( x ?1) x ? 2 ? 0 的解集是 A

{x | x ? 1} B {x | x ? 1}

C {x | x ? ?2且x ? 1}

D {x | x ? ?2或x ? 1}

错解:选 B,不等式的等价转化出现错误,没考虑 x=-2 的情形。正确答案为 D。 4.某工厂第一年的产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平均增长率为 x,则 A

x?

a?b 2

B

x?

a?b 2

C

x?

a?b 2

D

x?

a?b 2

错解:对概念理解不清,不能灵活运用平均数的关系。正确答案为 B。 5.已知 ?1 ? a ? b ? 3且2 ? a ? b ? 4 ,则 2a+3b 的取值范围是

13 17 7 11 7 13 9 13 , ) B (? , ) C (? , ) D (? , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 错解:对条件“ ?1 ? a ? b ? 3且2 ? a ? b ? 4 ”不是等价转化,解出 a,b 的范围,再求 2a+3b 的范围,扩大了范围。正解: 5 1 用待定系数法,解出 2a+3b= (a+b) ? (a-b),求出结果为 D。 2 2
A

(?

6.若不等式 ax +x+a<0 的解集为 Φ ,则实数 a 的取值范围( ) A a≤-

2

1 1 或 a≥ 2 2

B

a<

1 2

C

-

1 1 ≤a≤ 2 2

D a≥

1 2


正确答案:D
2

错因:学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

7.已知函数 y=㏒ 1 (3x 2 ?ax ? 5) 在[-1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围( A a≤-6 B - 60 <a<-6 C -8<a≤-6 D -8≤a≤-6

正确答案:C

错因:学生忘记考虑定义域真数大于 0 这一隐含条件。

8.已知实数 x、y、z 满足 x+y+z=0,xyz>0 记 T=

1 1 1 + + ,则( x y z
D 以上都非



A

T>0

B

T=0

C

T<0

正确答案: C

错因:学生对已知条件不能综合考虑,判断 T 的符号改为判定 xyz( ) ∣a+b∣<∣a-b∣

1 1 1 + + )的符号。 x z y

9.下列四组条件中,甲是乙的充分不必要条件的是( A. 甲 b=2 ab a>b,乙

1 1 < a b

B



ab<0,乙

C



a=b , 乙

a+

D



?0 ? a ? 1 ,乙 ? ?0 ? b ? 1

?0 ? a ? b ? 2 ? ?? 1 ? a ? b ? 2

正确答案: D 错因:学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。 10. f(x)=︱2 —1|,当 a<b<c 时有 f(a)>f(c)>f(b)则( a<0,b>0,c>0 C 2
?a x



A a<0,b<0,c<0

B

<2

c

D

2 ?2 <2
a

c

正确答案:D 错因:学生不能应用数形结合的思想方法解题。 11. a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( ) A.a2>b2 正确答案:B。 B.(

1 a 1 b ) <( ) 2 2

C.lg(a-b)>0

D.

a >1 b

错误原因:容易忽视不等式成立的条件。 12. x 为实数,不等式|x-3|-|x-1|>m 恒成立,则 m 的取值范围是( A.m>2 B.m<2 C.m>-2



D.m<-2

正确答案:D。 错误原因:容易忽视绝对值的几何意义,用常规解法又容易出错。 13.已知实数 x、y 满足 x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)( A.有最小值 C.有最小值 )

1 ,也有最大值 1 2 3 ,但无最大值 4

B.有最小值

3 ,也有最大值 1 4

D.有最大值 1,但无最小值

正确答案:B 。 错误原因:容易忽视 x、y 本身的范围。 14.若 a>b>0,且

a?m a > ,则 m 的取值范围是( ) b?m b
D. –b<m<0

A. m ? R B. m>0 C. m<0 正确答案:D 。 错误原因:错用分数的性质。

15.已知 x ? R, y ? R ,则 x ? 1, y ? 1 是 x ? y ? x ? y ? 2 的( A、充分不必要 B、必要不充分 正确答案:D 错因:不严格证明随便判断。 16.如果 log 1 x ?
2

)条件

C、既不充分也不必要

D、充要

?
3

? log 1
2

?
2

那么 sin x 的取值范围是(



A、 ??

? 1 1? , ? ? 2 2?

B、 ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

C、 ??

? 1 1? ?1 ? , ? ? ? ,1? ? 2 2? ? 2 ?

D、 ??

? 1 3? ? 3 ? ??? , ,1? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ?

正确答案:B 错因: 利用真数大于零得 x 不等于 60 度, 从而正弦值就不等于 17.设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是 ....
A. ( a ? b)( C. a
2

3 ,于是就选了 D.其实 x 等于 120 度时可取得该值。故选 B。 2
( )

1 1 ? )?4 a b

B. a D.

3

? b 3 ? 2ab2
新疆

? b 2 ? 2 ? 2a ? 2b

| a ?b | ? a ? b

王新敞
奎屯

正确答案:B 18.如果不等式 x ? a ? x (a>0)的解集为{x|m≤x≤n},且|m-n|=2a,则 a 的值等于( A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案:B 19.若实数 m,n,x,y 满足 m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b) ,则 mx+ny 的最大值为( A、 )



a?b 2

B、 ab

C、

a2 ? b2 2

D、

ab a?b

答案:B 点评:易误选 A,忽略运用基本不等式“=”成立的条件。 n 20.数列{an}的通项式 a n ? 2 ,则数列{an}中的最大项是( ) n ? 90 A、第 9 项 B、第 8 项和第 9 项 C、第 10 项 D、第 9 项和第 10 项

答案:D 点评:易误选 A,运用基本不等式,求 a n ?

1 ,忽略定义域 N*。 90 n? n
( )

21..若不等式 x ? 1 ? x ? 2 > a 在 x ? R 上有解,则 a 的取值范围是 A. ?? 3,3? B. ?? 3,3? C.

?? ?,3?

D. ?? ?,?3?

错解:D 错因:选 D 恒成立。 正解:C 22.已知 x1 , x 2 是方程 x 2 ? (k ? 2) x ? (k 2 ? 3k ? 5) ? 0(k ? R) 的两个实根,则 x1 ? x2 的最大值为( A、18 答案:A 错选:B 错因: x1 ? x2 化简后是关于 k 的二次函数,它的最值依赖于 ? ? 0 所得的 k 的范围。 23.实数 m,n,x,y 满足 m2+n2=a , x2+y2=a , 则 mx+ny 的最大值是 。 D、 a 2 ? b 2
2 2 2 2



B、19

C、 5

5 9

D、不存在

a?b A、 2
答案:B 错解:A

B、 ab

a2 ? b2 C、 2

错因:忽视基本不等式使用的条件,而用 m x ? ny ? 24 . 如 果 方 程 ( x-1 ) (x ( ) A、0≤m≤1
2

m2 ? x 2 n2 ? y 2 a ? b ? ? 得出错解。 2 2 2

-2x + m)=0 的 三 个 根 可 以 作 为 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 , 那 么 实 数 m 的 取 值 范 围 是

B、

3 <m≤1 4

C、

3 ≤m≤1 4

D、m≥

3 4

正确答案: (B) 错误原因:不能充分挖掘题中隐含条件。

二填空题:
1.设 a ? 0, b ? 0,

b2 ? a 2 ? 1 ,则 a 1 ? b2 的最大值为 2

b2 b2 2 2 ? a ? 1 得: a ? 1 ? ,且 0 ? b2 ? 1 ,原式 错解:有消元意识,但没注意到元的范围。正解:由 a ? 0, b ? 0, 2 2
= (1 ?

b2 1 4 3 2 )(1 ? b2 ) ? b ? b ? 1 ,求出最大值为 1。 2 2 2

2.若 x, y ? R? , 且 x ?

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是

x? y m2 ? n 2 m ? n m?n ? 2 ,故 a 的最小 错解:不能灵活运用平均数的关系,正解:由 ? ,得 ? 2 ,即 2 2 x ? y 2 2 m ?n
值是 2 。 3.已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z= ( x ? )( y ?

1 x

1 ) 的最小值为 y



错解一、因为对 a>0,恒有 a ?

1 1 1 ? 2 ,从而 z= ( x ? )( y ? ) ? 4,所以 z 的最小值是 4。 a x y

错解二、 z ?

2 ? x2 y 2 ? 2 xy 2 2 ? ( ? xy) ? 2 ? 2 xy ?2 ? 2( 2 ?1) ,所以 z 的最小值是 2( 2 ?1) 。 xy xy xy
1 1 且y ? ,即x ? 1且y ? 1, 与x ? y ? 1 相 矛 盾 。 解 二 等 号 成 立 的 条 件 是 x y

错解分析:解一等号成立的条件是 x ?

1 2 ? xy,即xy ? 2 ,与 0 ? xy ? 相矛盾。 4 xy
正 解 : z= ( x ? )( y ?

1 x

1 1 y x 1 ( x ? y)2 ? 2 xy 2 = xy ? ) = xy ? ? ? ? ? ? xy ? 2 , 令 y xy x y xy xy xy
f (t ) ? t ?

t=xy,



0 ? t ? xy ? ( x? y?

x? y 2 1 2 1 ? 1? ) ? , 由 f (t ) ? t ? 在 ? 0, ? 上 单 调 递 减 , 故 当 t= 时 2 4 t 4 ? 4?

2 33 有最小值 ,所以当 t 4

1 25 时 z 有最小值 。 2 4


4.若对于任意 x∈R,都有(m-2)x2-2(m-2)x-4<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 正确答案:(-2,2) 。 错误原因:容易忽视 m=2。 5.不等式 ax + bx + c>0 ,解集区间(2

1 ,2) ,对于系数 a、b、c,则有如下结论: 2
⑤a – b + c>0,其中正确的结论的序号是

① a >0 ②b>0 ③ c>0 ④a + b + c>0 ________________________________. 正确答案 2 、3、 4 错因:一元二次函数的理解 6.不等式(x-2) x2-2x-3 ≥0 的解集是 正确答案: x x ? ?1或x ? 3 .

?

?

7.不等式 x 2 ? a 2 ? x ? 1的解集为(-∞,0) ,则实数 a 的取值范围是_____________________。 正确答案:{-1,1} 8.若α ,β ,γ 为奇函数 f(x)的自变量,又 f(x)是在(-∞,0)上的减函数,且有α +β >0,α +γ >0,β +γ >0,则 f(α )+f(β ) 与 f(-γ )的大小关系是:f(α )+f(β ) ______________f(-γ )。正确答案:< 9.不等式|x+1|(2x-1)≥0 的解集为____________ 答案: [ ,??) ? {?1} 点评:误填 [ ,?? ) 而忽略 x=-1。 10.设 x>1,则 y=x+ 答案: 2 2 ? 1 点评:误填:4,错因: y ? x ?

1 2

1 2

2 的最小值为___________ x ?1

2x 2 2 ≥2 ,当且仅当 x ? 即 x=2 时等号成 x ?1 x ?1 x ?1

立,忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。 11.设实数 a,b,x,y 满足 a2+b2=1,x2+y2=3, 则 ax+by 的取值范围为_______________. 错解: (??,2)

ax ? by ? 错因:

a2 ? x2 b2 ? y 2 a2 ? x2 ? b2 ? y 2 ? ? ? 2, 当且仅当 a ? x, b ? y 时等号成立, 而此时 a 2 ? b 2 ? x 2 ? y 2 2 2 2

与已知条件矛盾。 正解:[- 3, 3 ] 12..-4<k<o 是函数 y=kx2-kx-1 恒为负值的___________条件 错解:充要条件 错因:忽视 k ? 0 时 y ? ?1 符合题意。 正解:充分非必要条件 13.函数 y= 错解:2 错因:可化得 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为_______________

x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

? 2 ,而些时等号不能成立。

正解:

5 2 1 6

14.已知 a,b ? R ,且满足 a+3b=1,则 ab 的最大值为___________________. 错解:

2 2 2 2 错因:由 (a ? 3b) 2 ? 1, 得 a ? 6ab ? 9b ? 1 , 6ab ? 1 ? a ? 9b ? 1 ,

等号成立的条件是 a ? b ? 0 与已知矛盾。 正解:

1 12

15.设函数 y ?

k 2 ? 6 x ? k ? 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是



A、 k ? 1或k ? ?9 B、 k ? 1 C、 ? 9 ? k ? 1 D、 0 ? k ? 1 答案:B 错解:C 错因:对二次函数图象与判别式的关系认识不清,误用 ? ? 0 。 16.不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) ? 0 的解集为 。 答案: {x x ? 1或x ? 2或3 ? x ? 4} 错解: {x x ? 1或3 ? x ? 4} 错因:忽视 x=2 时不等式成立。 17.已知实数 x,y 满足

x ? x ? y ,则 x 的取值范围是 y



答案: {x x ? 0或x ? 4} 错解: {x x ? 0或x ? 4} 错因:将方程作变形使用判别式,忽视隐含条件“ y ? 0 ” 。 18.若 x, y ? R ,且 2x+8y-xy=0 则 x+y 的范围是 答案: [18 ? ?) 由原方程可得
?



y ( x ? 8) ? 2 x,? x ? 0, y ? 0,? x ? 8 ? 0,? y ?

2x 16 则x ? y ? x ? 8 ? ? 10 ? 18 x ?8 x ?8







(??,2] ? [18,??) 设 x ? y ? t设y ? t ? x 代入原方程使用判别式。
错因:忽视隐含条件,原方程可得 y (x-8)=2x,则 x>8 则 x+y>8 19.已知实数 x, y满足

x ? x ? y, 则x的取值范围是 y



正确答案: x ? 0或x ? 4 错误原因:找不到解题思路,另外变形为 x ?

y2 时易忽视 y ? 0 这一条件。 y ?1
1 x 4 ? m 恒成立的实数 m 的取值范围是 y


20. 已知两个正变量 x, y满足x ? y ? 4, 则使不等式 ? 正确答案: m ?

9 4 4 ?x ? 0? x 4 ?0 ? x ? cos x


错误原因:条件 x+y=4 不知如何使用。 21 . 已 知 函 数 ①

y ? x?



y ? cos x ?

?
2

?



y?

x ? 13 x2 ? 9



y?

1 2

?,其中以 4 为最小值的函数个数是 ?1 ? cot x??1 ? 4 tan x??0 ? x ? ? 2

正确答案:0 错误原因:对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。 22.已知 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 的等调递增函数, f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ?, 且 f ?2? ? 1 ,则不等式 f ?x ? ? f ?x ? 3? ? 2 的解集 为 正确答案: ?x | 3 ? x ? 4? 错误原因:不能正确转化为不等式组。 23.已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为 正确答案:3 错误原因:忽视使用基本不等式时等号成立的条件,易填成 5。应使用如下做法:? 9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by,9c2+z2≥6cz, ? 6(ax+by+cz)≤9(a2+b2+c2)+9(x2+y2+z2) = 18, ? ax+by+cz≤3 。

三、解答题:
1.是否存在常数 c,使得不等式

x y x y ? ?c? ? 对任意正数 x,y 恒成立? 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y

错解:证明不等式

x y x y ? ? ? 恒成立,故说明 c 存在。 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y

正解:令 x=y 得

2 2 2 x y 2 x y ? c ? ,故猜想 c= ,下证不等式 ? ? ? ? 恒成立。 3 3 3 2x ? y x ? 2 y 3 x ? 2 y 2x ? y

要证不等式

x y 2 ? ? , 因 为 x,y 是 正 数 , 即 证 3x(x+2y)+3y(2x+y) ≤ 2 ( 2 x+y ) (x+2y), 也 即 证 2x ? y x ? 2 y 3 2 x y 2 ? ,即 也成立, 2 y ? 5 x y 2xy ) ≤ x 2 ? y 2 ,而此不等式恒成立,同理不等式 ? 3 x ? 2 y 2x ? y

2 2 3x2 ? 1 2x y? 3 y ? 2(2 x ?

故存在 c=

2 使原不等式恒成立。 3

2 2.已知适合不等式 x ? 4 x ? p ? x ? 3 ? 5 的 x 的最大值为 3,求 p 的值。

错解:对此不等式无法进行等价转化,不理解“x 的最大值为 3”的含义。

2 正解:因为 x 的最大值为 3,故 x-3<0,原不等式等价于 x ? 4 x ? p ? ( x ? 3) ? 5 ,

即 ? x ? 2 ? x2 ? 4x ? p ? x ? 2 ,则 {

x 2 ? 5x ? p ? 2 ? 0(1) , x 2 ? 3x ? p ? 2 ? 0(2)

设(1) (2)的根分别为 x1、x2 ( x2 ? x1 ), x3、x4 ( x4 ? x3 ) ,则 x2 ? 3或x4 ? 3 若 x2 ? 3 ,则 9-15+p-2=0,p=8 若 x4 ? 3 ,则 9-9+p+2=0,p=-2 当 a=-2 时,原方程组无解,则 p=8 3. 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ,且 1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4 ,求 f ( ?2) 的取值范围。 解:令 f ( ?2) ? mf ( ?1) ? nf (1) 则 4a ? 2b ? m(a ? b) ? n(a ? b)

? 4a ? 2b ? (m ? n)a ? (m ? n)b
比较系数有 ?

? ?m ? n ? 4 ? ?m ? n ? 2

? ?m ? 3 ?? ? ?n ? 1 ? f ( ?2) ? 3 f ( ?1) ? f (1) ? 1 ? f ( ?1) ? 2 , 2 ? f (1) ? 4 ? 5 ? 3 f ( ?1) ? f (1) ? 10
即 5 ? f ( ?2) ? 10 说明:此题极易由已知二不等式求出 a、b 的范围,然后再求 4a ? 2b 即 f ( ?2) 的范围,这种解法错在已知二不等式中 的等号成立的条件不一定相同,它们表示的区域也不一定相同,用待定系数法则容易避免上述错误。 4. 若 m ?R ,解关于 x 的不等式: (?m2 ? 3m ? 3) x ? ?m2 ? 3m ? 3 。 解:令 u ? ?m ? 3m ? 3
2

? u( x ? 1) ? 0

则 ux ? u

u( m) 的判别式 ? ? 9 ? 4 ? ( ?1) ? ( ?3) ? 0

?u ? 0 恒成立 ?x ?1 ? 0 ?原不等式的解为 x ? 1 说明:此题容易由 ux ? u 得出 x ? 1的错误结论。解有关不等式的问题,一定要注意含参数的表达式的符号,否则易出
错误。 5. 求函数 y ? 1 ? 2 x ? 解:当 x ? 0 时,

3 的极大值或极小值。 x

3 3 ? 1 ? (2x ? ) ? 1 ? 2 6 x x 3 当且仅当 2 x ? x y ? 1 ? 2x ?

即x ?

3 时, ymax ? 1 ? 2 6 2

当 x ? 0 时,

3 y ? 1 ? ( ?2 x ) ? ( ? ) x 3 ? 1 ? 2 ( ?2 x ) ? ( ? ) ? 1 ? 2 6 x
当且仅当 ?2 x ? ? 即x ? ?

3 x

3 时, ymin ? 1 ? 2 6 2

说明:此题容易漏掉对 x ? 0 的讨论。不等式 a ? b ? 2 ab 成立的前提是 a ? 0,b ? 0 。 6.求函数 y ? sin 2 x ? cos x 的最大值。 解: y 2 ? sin 4 x ? cos2 x

? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? 1 2 3 ( ) 2 3 22 ? 3 3
2 2

1 2

当且仅当 sin x ? 2 cos x 即 tgx ? ? 2 时,

y m a x?

2 3 9
2

说明:此题容易这样做: y ? (1 ? cos x ) cos x ? (1 ? cos x )(1 ? cos x ) cos x ?

1 ? 2

3 1 ( )3 ? 。但此时等号应满足条件 1 ? cos x ? 1 ? cos x ? cos x ,这样的 x 是不存在的,错误的原因是没有考虑到等号成立 3 2
的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。 7.解不等式: 2 ? 2 ? 2 2 。
|x | x x 解:当 x ? 0 时,原不等式为 2 ?

2

?x ?

1 2
?x

当 x ? 0时,原不等式为 2

? 2x ? 2 2

? (2 x )2 ? 2 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ? 2 x ? 2 ? 1或 2 x ? 2 ? 1
又x ? 0

? 2x ? 1 ? 2x ? 2 ? 1 ? x ? l o g( 2 ? 1) 2

?原不等式的解为 x ?

1 或x ? log 2 ( 2 ? 1) 2

x 说明:此题易在 x ? 0 时 2 ?

2 ? 1 处出错,忽略了 x ? 0 的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。

7. 若 a ? 0 且 a ? 1 ,解不等式:

? x ? a ?2 解:若 a ? 1 ,两边取以 a 为底的对数 x
log a x

9 2

9 log a x ? ( ?2) 2 ? 2 log 2 a x ? 9 log a x ? 4 ? 0 log a x ? log a x ? ? log a x ? 4或 log a x ?
1

1 2

? x ? a 4 或x ? a 2
若 0 ? a ? 1 ,同样有,
2 2l o g a x ? 9l o g a x ?4 ? 0 1 ? ?log a x ? 4 2

?a ? x ? a 又x ? 0
4

1 2

1

?当 a ? 1 时不等式的解为 x ? a 4 或0 ? x ? a 2
1 4 当 0 ? a ? 1 时不等式的解为 a ? x ? a 2

说明:此题易在 a ? 1 时的解中出错,容易忽略 x ? 0 这个条件。解决对数问题要注意真数大于 0 的条件。 8.方程 x 2 ? ( k ? 2) x ? 5 ? k ? 0 的两根都大于 2,求实数 k 的取值范围。 解:设方程的两根为 x1,x 2 ,则必有

?? ? 0 ? ?( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 0 ?( x ? 2)( x ? 2) ? 0 2 ? 1 2 ?( k ? 2) ? 4(5 ? k ) ? 0 ? ? ?? ( k ? 2 ) ? 4 ? 0 ?(5 ? k ) ? 2( k ? 2 ) ? 4 ? 0 ? ? ?5 ? k ? ?4
说明:此题易犯这样的错误:

? x1 ? 2,x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 4
且 x1 x 2 ? 4 和判别式 ? ? 0 联立即得 k 的范围 原因是 x1 ? 2和x2 ? 2 只是 x1 ? x2 ? 4 的充分条件 即 x1 ? x2 ? 4 不能保证 x1 ? 2和x2 ? 2 同时成立

x 2 ? 2x ? 2 9.设函数 f(x)=logb (b>0 且 b≠1), 1 ? 2ax

(1)求 f(x)的定义域; (2)当 b>1 时,求使 f(x)>0 的所有 x 的值。 解 (1)∵x2-2x+2 恒正, ∴f(x)的定义域是 1+2ax>0, 即当 a=0 时,f(x)定义域是全体实数。 当 a>0 时,f(x)的定义域是(-

1 ,+∞) 2a 1 ) 2a

当 a<0 时,f(x)的定义域是(-∞,-

(2)当 b>1 时,在 f(x)的定义域内,f(x)>0 ?

x 2 ? 2x ? 2 >1 ? x2-2x+2>1+2ax 1 ? 2ax

? x2-2(1+a)x+1>0
其判别式Δ =4(1+a)2-4=4a(a+2) (i)当Δ <0 时,即-2<a<0 时 ∵x2-2(1+a)x+1>0 ∴f(x)>0 ? x<-

1 2a
2

(ii)当Δ =0 时,即 a=-2 或 0 时 若 a=0,f(x)>0 ? (x-1) >0 ? x∈R 且 x≠1 2 若 a=-2,f(x)>0 ? (x+1) >0

? x< 且 x≠-1
(iii)当△>0 时,即 a>0 或 a<-2 时 2 方程 x -2(1+a)x+1=0 的两根为 x1=1+a- a 2 ? 2a ,x2=1+a+ a 2 ? 2a 若 a>0,则 x2>x1>0>-

1 4

1 2a 1 ? x ? 1 ? a ? a 2 ? 2a 2a

∴ f ( x) ? 0 ? x ? 1 ? a ? a 2 ? 2a 或 ? 若 a<-2,则 x1 ? x 2 ? ?

1 2a 1 2a

∴f(x)>0 ? x<1+a- a 2 ? 2a 或 1+a+ a 2 ? 2a <x<- 综上所述:当-2<a<0 时,x 的取值集合为 { x|x<-

1 } 2a 1 } 4

当 a=0 时,x∈R 且 x≠1,x∈R,当 a=-2 时: { x|x<-1 或-1<x< 当 a>0 时,x∈ { x|x>1+a+ a 2 ? 2a 或-

1 <x<1+a- a 2 ? 2a } 2a 1 } 当 a<-2 时,x∈ { x|x<1+a- a 2 ? 2a 或 1+a+ a 2 ? 2a <x<- 2a
错误原因:解题时易忽视函数的定义域,不会合理分类。 10.设集合 M=[-1,1],N=[-
2

2 2 8 2 , ],f(x)=2x +mx-1,若 x∈N,m∈M,求证|f(x)|≤ 2 2 9
2 2 2 2

证明:|f(x)|=|2x +mx-1|= |(2x -1)+mx|≤|(2x -1)|+|mx|= (2x -1)+|mx|≤(2x -1)+| x|

1 2 8 8 =-2(| x|- ) + ≤ 4 9 9 错因:不知何时使用绝对值不等式。 11.在边长为 a 的正三角形中,点 P、Q、R 分别在 BC、CA、AB 上,且 BP+CQ+AR=a,设 BP=x,CQ=y,AR=z,三角形 PQR 的面积为 s,求 s 的最大值及相应的 x、y、z 的值。 解 设Δ BPR、Δ PCR、Δ ARQ 的面积为 s1、 、s2、s3,则 S=SΔ ABC-S1-S2-S3= 3 4 a-
2 2

3 3 2 [a -(xy+xz+yz)]= 4 4

(xy+xz+yz)

a 3 a 2 由 x+y+z=a,得 xy+yz+zx≤ ,∴Smav= a ,此时,x=y=z= 3 12 3 错因:不知如何使用基本不等式。 |a ?b| |a| |b| ? 12.设 a、 b∈ R,求证: ≤ 1? | a ? b | 1? | a | 1? | b | 证明:当 |a+b|=0 时,不等式已成立 当 |a+b|≠ 0 时,∵ |a+b|≤ |a|+|b| |a ?b| 1 ∴ = ≤ 1 1? | a ? b |

1

1 |a ?b| |a|?|b| |a| |b| |a| |b| ? = + ≤ 1? | a | ? | b | 1? | a | ? | b | 1? | a | 1? | b | 点评:错证:∵ |a+b|≤ |a|+|b| |a ?b| |a|?|b| |a| |b| |a| |b| ? ? ? ∴ ≤ ≤ ① 1? | a ? b | 1? | a | ? | b | 1? | a | ? | b | 1? | a | ? | b | 1? | a | 1? | b | 错因:①的推理无根据。 1? 1?

=

|a|?|b| | a | ? | b | ?1


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