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2015-2016年高中数学 2.3.2对数函数及其应用学案 苏教版必修1


2015-2016 年高中数学 2.3.2 对数函数及其应用学案 苏教版必修 1

1.一般地,把函数 y=logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的 定义域是(0,+∞),值域是(-∞,+∞). 2.对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象与性质.

3.两函数 y=logax 与 y=log1x(a>0,且 a≠1)图象之间有什么关系?

a
两函数的图象关于 x 轴对称. 例如:y=log2x 与 y=log1x 的图象关于 x 轴对称. 2 x 4.由 y=2 解出 x=log2y,再把 x 与 y 对调,即为 y=log2x,那么我们就说指数函数 y x x =2 与对数函数 y=log2x 互为反函数.函数 y=a 与 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数. 5.互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称. x x 例如:y=2 与 y=log2x 的图象关于直线 y=x 对称.在同一直角坐标系中,函数 y=2

x ?1? 与 y=log2x 以及函数 y=? ? 与 y=log1x 的图象如下图所示. ?2? 2

1

6.在闭区间[m,n](m>0)上,讨论函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)的值域. ①若 a>1,则 f(x)=logax 的值域是[logam,logan]; ②若 0<a<1,则 f(x)=logax 的值域是[logan,logam]. 7. 函数 y=logaf(x)在定义域上的单调性由 y=logat 与 t=f(x)的单调性确定, 规律是 “同增异减”. (1)当 0<a<1 时,y=logat 在定义域上是减函数. ①若 t=f(x)是定义域上的减函数,则 y=logaf(x)是定义域上的增函数; ②若 t=f(x)是定义域上的增函数,则 y=logaf(x)是定义域上的减函数. (2)当 a>1 时,y=logat 在定义域上是增函数. ①若 t=f(x)是定义域上的减函数,则 y=logaf(x)是定义域上的减函数; ②若 t=f(x)是定义域上的增函数,则 y=logaf(x)是定义域上的增函数. x x 例如:函数 y=log2(1+0.5 )是 R 上的减函数,而函数 y=log0.5(1+0.5 )是 R 上的增 函数. x x (3)函数 y=log2(1+2 )是 R 上的增函数,而函数 y=log0.5(1+2 )是 R 上的减函数.

,

一、对数函数概念的理解 对于 y=logax(a>0 且 a≠1),定义域为(0,+∞),即真数大于 0.因此在解有关对数函 数方程式或对数不等式时,特别注意真数必须大于零,底数大于零且不等于 1 等条件. 二、对数函数图象和性质的应用 (1)求对数函数的定义域、值域. (2)比较对数值的大小. (3)对数函数的图象平移变化及会画图象. (4)判定对数函数的单调性. (5)对底数 a 进行分类讨论. 三、对数函数与指数函数的关系 x (1)y=logax(a>0 且 a≠1)与 y=a 是互为反函数,y=logax 的定义域、值域分别是 y= ax 的值域、定义域. (2)它们的图象关于 y=x 对称.

基 础 巩 固 1.函数 f(x)= 1 +lg(x+1)的定义域是(C) 1-x

A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞) ?x+1>0, ? 解析:? ? x>-1 且 x≠1. ?1-x≠0 ? x 2.函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为(A) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.(1,+∞) x x x 解析:∵3 >0,∴3 +1>1.故 log2(3 +1)>0. 2 3.设 a=log54,b=(log53) ,c=log45,则(D)
2

A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 2 解析:∵0<log53<1,∴(log53) <log53<log54<1,而 log45>1. 4.函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是(D) x+1 A.y=e -1(x>0) x-1 B.y=e +1(x>0) x+1 C.y=e -1(x∈R) x-1 D.y=e +1(x∈R) 解析: y=1+ln(x-1)? ln(x-1)=y-1? x-1=ey-1, 将 x, y 互换得 y=ex-1+1(x∈R). 5.若 loga3>logb3>0,则(D) A.0<a<b<1 B.a>b>1 C.0<b<a<1 D.b>a>1 6.(2013·上海卷)函数 y=log2(x+2)的定义域是________. 解析:x+2>0? x>-2. 答案:(-2,+∞) x 7.若函数 y=f(2 )的定义域为[-1,1],则函数 y=f(log2x)的定义域为________. 1 ?1 ? 由1≤log x≤2 可得: 2 x 解析: ∵x∈[-1, 1], ∴ ≤2 ≤2.即 f(x)的定义域为? ,2?, 2 2 2 ?2 ? ≤x≤4. 答案:[ 2,4] 8.f(x)=loga(x+1)(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 等于________. 解析:当 a>1 时,loga(1+1)=1,a=2;当 0<a<1 时,loga(1+1)=0,显然不存在. 答案:2 2 9.f(x)=log1(x -ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围. 2

? ? 2 解析:令 z(x)=x -ax+3a,则函数 z(x)在区间? ,+∞?上单调递增. ?2 ?
a
故 ≤2,即 a≤4. 2 2 又 z(2)=2 -2a+3a>0, ∴a>-4. 故 a 的取值范围是(-4,4]. 2 10.已知函数 f(x)=(log2x) -3log2x+5,x∈[2,8],求 f(x)的最大值、最小值及相 应的 x 值. 解析:设 t=log2x,x∈[2,8],则 t∈[1,3]. 2 ? 3? 11 2 所以 f(t)=t -3t+5=?t- ? + . 4 ? 2? 3 3 11 当 t= 即 log2x= ,x=2 2时,f(x)有最小值 . 2 2 4 当 t=3 即 x=8 时,f(x)有最大值是 5. 能 力 提 升 11.若函数 y=loga|x-2|(a>0 且 a≠1)在区间(1,2)上是增函数,则 f(x)在区间(2, +∞)上的单调性为(D) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析:因为函数 f(x)=loga|x-2|(a>0 且 a≠1)在区间(1,2)上是增函数,所以 f(x) =loga(2-x)(a>0 且 a≠1)在区间(1, 2)上是增函数, 故 0<a<1; 函数 f(x)=loga|x-2|(a>0
3

a

且 a≠1)在区间(2,+∞)上的解析式为 f(x)=loga(x-2)(a>0 且 a≠1),故在区间(2,+ ∞)上是一个单调递减函数. 12.若 f(x)=lg x,则 y=|f(x-1)|的图象是(A)

13.设 a>1,m=loga(a +1),n=loga(a-1),p=loga2a,则 m、n、p 的大小关系为(B) A.n>m>p B.m>p>n C.m>n>p D.p>m>n 2 2 解析:a +1>2a,2a-(a-1)=a+1>0,即 a +1>2a>a-1. 1 14.函数 y= 的定义域为________. log0.3(5x-4) 4 4 解析:由 log0.3(5x-4)>0 且 5x-4>0? 0<5x-4<1,x> ? <x<1. 5 5 ?4 ? 答案:? ,1? ?5 ? x 15.已知奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈(0,1)时,函数 f(x)=2 ,则 f(log1 2 23)=________. 23 答案:- 16 ?(3-a)x-4a,x<1, ? 16.若 f(x)=? 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围为________. ?logax,x≥1 ? 解析:设 y1=(3-a)x-4a, y2=logax,则由题意知: ?3-a>0,

2

? ? 1<a<3. ?a>1, ? ?(3-a)×1-4a≤0
答案:(1,3) 17.已知函数 f(x)=loga

x+1 (a>0 且 a≠1). x-1

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性和单调性. 解析:(1)要使函数 f(x)有意义,

4

? ?x+1<0, 或? ? ?x-1>0 ? ?x-1<0. 解得 x>1 或 x<-1, ∴函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). -x+1 x-1 (2)f(-x)=loga =loga = -x-1 x+1 x+1 -loga =-f(x). x-1 又由(1)知 f(x)的定义域关于原点对称, ∴f(x)为奇函数. 2 ? x+1 ? f(x)=loga =loga?1+ ?, x-1 ? x-1? 2 函数 u=1+ 在区间(-∞,-1)和区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减. x-1 x+1 所以当 a>1 时,f(x)=loga 在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减; x-1 x+1 当 0<a<1 时,f(x)=loga 在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增. x-1 18.已知常数 a(a>0 且 a≠1),变量 x,y 之间有关系:logax+3logxa-logxy=3,若 y 有最小值 8,求 a 的值. 解析:logax+3logxa-logxy=3, 3 logay ∴logax+ - =3, logax logax 2 logay=(logax) -3logax+3, 3? 3 ? 2 ∴y=a(logax) -3logax+3=a?logax- ?2+ . 2? 4 ? 3?2 3 3 3 ? 当 logax= 时,?logax- ? + 有最小值 ,无最大值. 2 2 4 4 ? ? ∴y 有最小值时,需 a>1. 3 3 4 从而 a4是 y 的最小值,∴a4=8.∴a=83=16.

则有?

? ?x+1>0

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