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2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第38讲推理与证明(二)


新课标高中一轮 总复习

理数
1

第五单元

数列、推理与证明

2

第38讲
推理与证明(二)

3

1.了解直接证明的两种基本方法— —分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. 2.了解间接

证明的一种基本方法— —反证法,了解反证法的思考过程、 特点.

4

1.分析法是从要证明的结论出发,逐步 寻找使结论成立的( A ) A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.等价条件

分析法是执果索因,允许原因能 推出结论即可,并不一定需要充要条 件,故必须为充分条件.
5

2.若a,b∈R,且a≠b,有下列四个式子
①a2+ab>2b2; ②a5+b5>a3b2+a2b3;
a a ④ + >2. b b

③a2+b2≥2(a-b-1);
A.4个 B.3个

其中一定成立的有( D )

C.2个

D.1个

因为a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,

所以a2+b2≥2a-2b-2,③一定成立,
①②④均可找到反例.
6

3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少 有一个不大于60°”时,假设正确的是 ( ) B

A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60° C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60°

“至少有一个不大于的否定”为“都大于”.
7

4.设a= 2 ,b= 7 - 3 ,c= 6 - 2 ,则a,b,c的大小 关系是 a>c>b .
4 因为b= 7 - 3 = , 7? 3 4 c= 6 - 2 = ,所以b<c, 6? 2 2?2 3 又 a= 2 = ,所以a>c,故a>c>b. 6? 2

也可用分析法.
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5.若a a +b b >a b +b a ,则a、b应满足的 条件是 a≥0,b≥0,且a≠b . 由已知,a a -a b +b b -b a >0, 则a( a - b)+b( b - a )>0, 即( a - b )(a-b)>0, 故a≥0,b≥0,且a≠b.

9

1.综合法 一般的,利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等,经过一系列的推理论证,最 后推导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、定理、 公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法 可用框图表示为: P?Q1 →Q1?Q2 →Q2?Q3 →…→Qn?Q
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2.分析法

一般的,从要证明的结论出发,逐步寻求 使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的 结论归纳为判定一个明显成立的条件 ( 已知条 件、定理、定义、公理等 ).这种证明的方法叫 做分析法. 用 Q表示要证明的结论,则分析法可用框
图表示为:Q ?P1 → P1 ?P2→P2 ?P3 →…→

得到一个明显成立的条件
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3.反证法 (1) 定义:一般的,假设原命题的结论 不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明了原命题成 立,这样的证明方法叫做反证法. (2)用反证法导出的矛盾主要有: ①与假设矛盾; ②与数学公理、定理、定义、公式或 与已被证明了的结论矛盾;

③与公认的简单事实矛盾.

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4.应用
在解决问题时,经常把综合法和分析 法结合起来使用:根据条件的结构特点 去转化结论,得到中间结论Q;根据结论 的特点去转化条件,得到中间结论 P. 若 由P可以推出 Q成立,就可以证明结论成 立 .在证明一个问题时,如果不容易从条 件到结论证明时,可采取分析的方法或 者是间接证明的方法 ——反证法 . 有时证 明一道题需多法并用.
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典例精讲
题型一 用综合法证明 例1 已知点 P是直角三角形 ABC 所在平面
外 的 一 点 , O 是 斜 边 AB 的 中 点 , 并 且 PA=PB=PC,求证:PO⊥平面ABC.

分析要证明 PO⊥平面 ABC,也就是
要证明PO垂直于平面ABC内的两条相 交直线.
14

连接OC,OP,如图所示,
因为AB是Rt△ABC的斜边,O是AB的中点,

所以OA=OB=OC.
又因为PA=PB=PC, 所以△POA≌△POB≌△POC, 所以∠POA=∠POB=∠POC. 因为∠POA+∠POB=180°,所以 ∠POA=∠POB=90°,所以∠POC=90°. 即PO⊥OA,PO⊥OC,所以PO⊥平面ABC.
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点评 综合法证明立体几何问题,以
立体几何的公理、定理、定义为基础, 以递推的性质为依据进行推理论证, 因此,关键是找到与要证结论相匹配 的公理、定理、判定定理及其性质 . 同 时综合法必须保证前提是正确的,推 理形式合乎逻辑,才能保证结论成立.

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题型二 用分析法证明
1 1 25 析法证明不等式(a+ )(b+ )≥ . a b 4

例2 已知 a>0,b>0 ,且 a+b=1 ,试用分

分析 题目条件要求使用分析法证
明不等式,只需要注意分析法证明 问题的步骤即可.
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1 25 1 要证(a+ )(b+ )≥ , b 4 a 2 2 25 a ? b ? 1 只需证ab+ ≥ , 4 ab

只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0, 只需证4(ab)2-8ab-25ab+8≥0, 只需证4(ab)2-33ab+8≥0,即证ab≥8或ab≤
1 由a+b=1,只需证ab≤ , 4 1 而由1=a+b≥2 ab ,所以ab≤ 显然成立, 4 1 25 1 所以原不等式(a+ )(b+ )≥ 成立. a b 4 1 , 4

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点评分析法是从要证明的结论出发,
逐步寻求使它成立的充分条件 (不一 定是充要 ),直到最后,把要证明的 结论归结到判定一个明显成立的条 件为止,这种证法也是直接证法中 一种常用的方法,特别是当从已知 条件推证要证的结论有困难时,往 往采用分析法.
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题型三 用反证法证明 例3 已知a,b,c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ac>0,
abc>0.利用反证法证明: a>0,b>0,c>0 .
假设a,b,c不同时为正数,不妨先考虑 a不是正数,从而有a=0和a<0两种情况.

若a=0,则abc=0,与已知abc>0矛盾,
故a=0不可能;

若a<0,因为abc>0,所以bc<0.
20

又因为a+b+c>0,所以b+c>-a>0, 所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0. 这与已知ab+bc+ac>0矛盾,所以a<0也不可能. 综上述,a>0成立. 同理可知b>0,c>0成立. 所以原命题得证.

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点评 反证法证明问题的一般步骤是:
(1) 反设:假设所要证明的结论不成立, 也就是假设在已知条件下,存在与要 证明的结论相反的情形; (2) 归谬:由 反设出发,结合已知条件,通过正确 的逻辑推理,推得矛盾; (3) 存真:由 所得的矛盾断言反设不真,从而肯定 原命题的正确性.
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备选题
在△ABC中,三个内角A、B、C的 对边分别为a、b、c,若
1 1 1 + = ,试问:A,B,C是 a?b b?c a?b?c

否成等差数列,若不成等差数列,请说 明理由;若成等差数列,请给出证明.

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A,B,C成等差数列,下面用综合法给出 证明.
1 1 1 因为 a ? b + b ? c = a?b?c 1 1 所以 a ? b + b ? c =1,

a?b?c ,所 a ? b

a?b?c + a?c

=3,

所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 所以b2=a2+c2-ac. a 2 ? c 2 ? b 2 ac 1 在△ABC中,由余弦定理,得cosB= 2ac =2ac = 2 . 因为0°<B<180°,所以B=60°, 所以A+C=2B=120°,所以A、B、C成等差数列.
24

方法提炼
1. 综 合 法 的 特 点 : 从 “ 已 知 ” 看 “可知”,逐步推向“未知”,其逐步 推理,实际上寻找它的必要条件. 2. 分 析 法 的 特 点 : 从 “ 未 知 ” 看 “需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步 推理,实际上是寻找它的充分条件.

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3.反证法的步骤:

①分清命题的条件和结论;
②作出命题结论不成立的假设;

③由假设出发,应用正确的推理方法, 推理出矛盾的结果; ④否定假设,从而间接的证明结论.

26

走进高考
四川卷 )设数列 {an}的前n项和 学例1 (2009·
为Sn,对任意的正整数 n,都有an=5Sn+1成

立,记bn=

(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式;

4 ? an 1 ? an

(n∈N*).

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(2) 设数列 {bn}的前 n 项和为 Rn. 是否存 在正整数 k ,使得 Rk≥4k 成立?若存在, 找出一个正整数k;若不存在;请说明理由;

(3) 记 cn=b2n-b2n-1(n∈N*) ,设数列 {cn}
的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n ,

都有Tn<

2 . 3

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1 所以an+1-an=5an+1,即an+1=- 4 an.所以数列 {an}是等比数列,其首项a1=- 1 ,公比q=- 1 . 4 4 1

因为an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,

1 (1)当n=1时,a1=5a1+1,所以a1=- 4 .又

所以an=(- )n(n∈N*).
1 n 4 ? (? ) 4 1 n 1 ? (? ) 4
4

所以bn=

(n∈N*).
29

(2) 不存在正整数 k ,使得 Rk≥4k 成立 . 下证:对 任意的正整数 n ,都有 Rn < 4n 成立 . 由 (1) 知 5 bn=4+ (?4) ? 1 .因为b2k-1+b2k=8+ (?4) 5 ? 1 + (?4)5 ? 1
n
2 k ?1 2k

=8+

20 15 ?16k ? 40 =8- (16k ?1)(16k ? 4)<8, 16 k ? 1 16k ? 4 5

所 以 , 当 n 为 偶 数 时 , 设 n=2m(m∈N*) , 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m) < 8m=4n; 当 n 为 奇 数 时 , 设 n=2m-1(m∈N*), 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 < 8(m-1)+4=8m-4=4n. 所以对一切的正整数 n , 都有Rn<4n.所以不存在正整数k,使得Rk≥4k 30 成立.

5 (3)证明:由(1)知bn=4+ (?4)n ? 1 所以cn=b2n-b2n-1= 42 n5? 1 + 42n?51 ? 1 25 25 ?16n 25 ?16n = (16n )2 ? 3 ?16n ? 4 < (16n )2 = 16n .

. =
25 ?16n (16n ? 1)(16n ? 4)

又b1=3,b2= 13 3
1 162

,所以c1=
4 +25×( 3

4 3

当n≥2时,Tn<

1 n?1 ? ? 1 ? ( ) ? ? 4 16 ? = 3 +25× ? 1 1? 16 1 2 4 69 3 16 < +25× 1 = < 3 48 2 1? 16

3 .当n=1时,T1< 2 1 1 1 + +…+ n ) 2 3 16 16 16

.

.
31

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来
32


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