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高考理科第一轮复习课件(3.7正弦定理和余弦定理)


第七节 正弦定理和余弦定理

正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理

b c a ? ? ? 2R sinA sinB sinC

在△ABC中,有
b2+c2-2bccos A a2=________________;

内容

c2+a2-2cacos B

(R是△ABC外接圆的半径)b2=________________; a2+b2-2abcos C c2=________________

定理

正弦定理 2Rsin A 2Rsin B ①a= _________,b= _________, 2Rsin C c= _________; ②sin sin A∶sin B∶ a∶b∶c C= ________;

余弦定理

b2 ? c2 ? a 2 ; cosA ? 2bc a 2 ? c2 ? b2 ; cosB ? 2ac a 2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

变形公式 ③ sinA ?

b a ,sinB ? , 2R 2R c sin C= ; 2R a b c ④ ? ? sinA sinB sinC a?b?c ? sinA ? sinB ? sinC

定理

正弦定理

余弦定理 ①已知三边,求各

①已知两角和任一边,求其他 角
解决的 边和角 ②已知两边和它们

问题

②已知两边和其中一边的对角,的夹角,求第三边
求其他边和角 和其他角

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在△ABC中,A>B必有sin A>sin B.( )

(2)正弦定理对直角三角形不成立.(

)

(3)在△ABC中共有三个角、三个边六个量,可以已知三个量 求另外三个量.( ) ) )

(4)余弦定理对任意三角形均成立.(

(5)正弦定理可以实现边角互化,但余弦定理不可以.(

【解析】(1)正确. ? A>B,? a>b,? a >1,
b

由正弦定理可得 a ? sinA >1.
b sinB

又sin B>0, ∴sin A>sin B. (2)错误.正弦定理对任意三角形均成立. (3)错误.当已知三个角时不能求三边. (4)正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用. (5)错误.余弦定理可以实现角化边,也能实现边化角. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×

1.在△ABC中,a=3,A=30°,B=60°,则b等于(

)

?A?3

3

? B?

3

?C?

3 2

?D? 2

3

【解析】选A.由正弦定理得
3 3? asinB 3 ? sin60? 2 ? 3 3. b? ? ? 1 sinA sin30? 2

2.在△ABC中,a ? 4,b ? 2 3,C ? 30?, 则边c等于(

)

?A?

3

? B? 2

?C? 2

3

?D?3

【解析】选B.由余弦定理得
c2 ? a 2 ? b2 ? 2abcosC ? 16 ? 12 ? 2 ? 4 ? 2 3 ? 3 ? 4, 2

∴c=2.

3.△ABC满足acos B=bcos A,则△ABC的形状为( (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形

)

【解析】选C.由acos B=bcos A及正弦定理得, sin Acos B=sin Bcos A, 即sin Acos B-cos Asin B=0, 故sin(A-B)=0.

∵A,B为△ABC的内角,
∴A-B=0,∴A=B,

所以△ABC是等腰三角形.

4.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=_____.

【解析】A=180°-30°-120°=30°,
由正弦定理得,a b c=sinA sinB sinC= ∶ 3. ∶∶ ∶ ∶ 11 ∶

答案:11 3 ∶ ∶

5.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A等于______. 【解析】由已知得b2+c2-a2=-bc,
b 2+c2-a 2 1 ? cosA= =- . 2bc 2 又 ? 0<A<?, A= 2? . ? 3 答案:2 ? 3

考向1 正弦定理的应用 【典例1】(1)(2013·唐山模拟)在△ABC中, A ? ? ,a ? 1,
6

则B=( b ? 2,

)
3? 4

?A?

? 4

? B?

?C?

? 3? 或 4 4

?D?

? 5? 或 6 6

(2)(2013·惠阳模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角 A,B,C所对的边,若 a ? 1,b ? 3,A ? C ? 2B, 则sin C等于( )

? A ?1

1 ? B? 2

?C?

3 2

? D?

3 3

(3)(2013·西安模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分 别为a,b,c. ①若 sin(A ? ? ) ? 2cos A, 求A的值;
6 ②若 cos A ? 1 , b ? 3c, 求sin C的值. 3

【思路点拨】(1)利用正弦定理求解即可. (2)先求出B,再利用正弦定理求A,进而得sin C.

(3)①利用两角和的正弦公式化为特殊角的三角函数值; ②利用正弦定理及同角三角函数关系式求解.

【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,
1 2? b ? sinA 2 ? 2. sinB ? ? a 1 2 又 ? 0<B<5? ,? B ? ? 或 3? . 4 6 4

(2)选A.由A+C=2B且A+B+C=π得 B ? ? .
3

由正弦定理

又∵a<b,∴A<B,
?A ? ? , 6

a b 得 ? sinA sinB 3 1? a ? sinB 2 ? 1. ? sinA ? ? b 2 3

?C ? ? ? A ? B ?

? , 2

∴sin

C=1.
6 6 6

(3)①因为 sin(A ? ? ) ? sin Acos ? ? cos Asin ?
3 1 sin A ? cos A ? 2cos A, 2 2 所以 3sin A ? 3cos A. ?

? tan A ? 3,

又 0 ? A ? ?,? A ? ? .
3

3 c b ? , 在△ABC中,由正弦定理得 sin C sin B c 3c ? b ? 3c,? ? , sin C sin ? A ? C ?

②因为 cos A ? 1 ,所以 sin A ? 2 2 .
3

∴3sin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C
? 2 2 1 cos C ? sin C, 3 3

解得 2 2sin C ? cos C.
又sin2C+cos2C=1,

∴sin2C+8sin2C=1,
1 1 ? sin 2 C ? , 又 sin C ? 0,? sin C ? . 3 9

【互动探究】在本例(2)中,若条件不变,将结论“则sin C 等于”改为“则△ABC的面积等于”,则结果如何? 【解析】选C.由例(2)知 C ? ? , 故△ABC为直角三角形,所以
2

1 1 3 S? ABC ? AC ? BC ? ab ? . 2 2 2

【拓展提升】 1.已知两边和其中一边的对角时解三角形的情况 已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已 知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.

2.解三角形中的常用公式和结论 (1)A+B+C=π. (2) sin
A?B ??C C ? sin ? cos , 2 2 2 A?B ??C C cos ? cos ? sin , 2 2 2

sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, tan(A+B)=-tan C. (3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任 意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

【变式备选】(2013·岳阳模拟)如图,
在△ABC中,点D在BC边上,AD=33,
sin?BAD ? 5 3 ,cos?ADC ? . 13 5

(1)求sin∠ABD的值. (2)求BD的长.

【解析】(1)因为 cos?ADC ? 3,
5 4 所以 sin?ADC ? 1 ? cos 2?ADC ? . 5 因为 sin?BAD ? 5 , 13 12 所以 cos?BAD ? 1 ? sin 2?BAD ? . 13

因为∠ABD=∠ADC-∠BAD,
所以sin∠ABD=sin(∠ADC-∠BAD)

=sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD
4 12 3 5 33 ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65

(2)在△ABD中,由正弦定理, 得
BD AD ? , sin?BAD sin?ABD

所以 BD ? AD ? sin?BAD ?
sin?ABD

33 ?

5 13 ? 25. 33 65

考向 2

余弦定理的应用

【典例2】(1)(2013·重庆模拟)在△ABC中,角A,B,C所对边

长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的最大值为(

)

?A?

? 6

? B?

? 4

?C?

? 3

?D?

5? 12

(2)(2013·济南模拟)已知△ABC中,sin
sin C=3∶2∶4,则cos
1 4

A∶sin

B∶

C等于(
1 3

)
1 3

?A?

? B? ?

1 4

?C?

?D? ?

(3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
? ? A 2 5 ??? ??? cos ? ,AB ? AC ? 3,b ? c ? 6, 则边a=( 2 5 ?D?4 ?A?2 2 ? B? 2 3 ?C? 2 5

)

【思路点拨】(1)利用余弦定理及不等式a2+b2≥2ab得cos 的范围,从而得C的最大值.

C

(2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系,再利用余弦定 理求解. (3)利用已知可得cos A及b,c的值,再利用余弦定理求a.

a 2 ? b 2 ? c 2 而a2+b2=2c2, 【规范解答】(1)选C.由cos C= , 2ab 2 2 a ?b a 2 ? b2 ? a 2 ? b 2 2ab 1 故cos C= 2 ? ? ? , 2ab 4ab 4ab 2

等号成立的条件是a=b,故C为锐角,

故0<C≤ ? ,
3

因而C的最大值为

? . 3

(2)选B.由sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4, 及 sinA ?
a b c 得 ,sinB ? ,sinC ? 2R 2R 2R

a∶b∶c=3∶2∶4. 设a=3k,b=2k,c=4k(k>0),
a 2 ? b 2 ? c2 9k 2 ? 4k 2 ? 16k 2 1 则 cosC ? ? ?? . 2ab 2 ? 3k ? 2k 4

3 (3)选C.因为 cos A ? 2 5 , 所以 cosA ? , 5

??? ??? ? ? 由 AB ? AC ? 3,

2

5

得bccos

A=3,所以bc=5.
, ?b ? 1 ? ?c ? 5.

b ? 5, 由bc=5,及b+c=6,解得 ? 或 ? ?c ? 1

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A=20,

解得 a ? 2 5.

【互动探究】若将本例题(3)中的“AB ? AC ? 3,b ? c ? 6” 改为
B B b 如何求a? cos ? ”, 2 2 4 3 A 2 5 【解析】由 cos ? 得 cosA ? , 故 sinA ? 4 . 5 2 5 5 B B b 又由 sin cos ? 得 2 2 4 B B b ? 4sin cos ? 2sinB, 2 2 b 故 ? 2, sinB a b bsinA 4 8 由正弦定理得 ? ,? a ? ? 2? ? . sinA sinB sinB 5 5 “sin

??? ??? ? ?

【拓展提升】正、余弦定理间的相互转化 在应用正、余弦定理解题时,应注意公式的灵活性,尤其要注 意两个定理间的相互转化,如a2=b2+c2-2bccos A可以转化为 sin2A=sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A,利用这些变形可进行 等式的化简与证明.

【变式备选】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且
cosB b ?? . cosC 2a ? c

(1)求角B的大小.

(2)若 b ? 13,a ? c ? 4, 求a,c的值.

【解析】(1)由余弦定理及

a 2 ? c2 ? b2 2ab b ? 2 ?? , 2 2 2ac a ?b ?c 2a ? c

cosB b 得: ?? cosC 2a ? c

整理得a2+c2-b2=-ac.
a 2 ? c2 ? b 2 ?ac 1 ? cosB ? ? ?? . 2ac 2ac 2 2 ? 0 ? B ? ?,? B ? ?. 3

(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
? b2 ? ? a ? c ? ? 2ac ? 2accosB,
2

又 b ? 13,a ? c ? 4, B ? 2 ?.
3 1 ?13 ? 16 ? 2ac(1 ? ) , 2

∴ac=3.
由?
?a ? c ? 4, 得 ?ac ? 3 , ?a ? 1 或 ? ?c ? 3

?a ? 3, ? ?c ? 1.

即a=1,c=3或a=3,c=1.

考向 3

利用正、余弦定理判断三角形的形状

【典例3】(1)(2013·哈尔滨模拟)在△ABC中,若a=2bcosC,则
△ABC是( )

(A)锐角三角形
(C)钝角三角形

(B)等腰三角形
(D)直角三角形

(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且
2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. ①求A的大小; ②若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

【思路点拨】(1)利用正弦定理化边为角,再将sinA转化为
sin(B+C)展开整理可得解.

(2)①利用正弦定理化角为边,再结合余弦定理可解;
②先求出sin B,sin C的值,再求出角B,C,可判断三角形的

形状.

【规范解答】(1)选B.由a=2bcosC及正弦定理得
sinA=2sinBcosC.又sinA=sin(B+C),

故sin(B+C)=2sinBcosC,
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

得sinBcosC-cosBsinC=0,
所以sin(B-C)=0.又B,C为△ABC的内角, 所以B-C=0,即B=C,故△ABC为等腰三角形.

(2)①由已知及正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 整理得a2=b2+c2+bc, ∴b2+c2-a2=-bc,
b2 ? c2 ? a 2 bc 1 ? cos A ? ?? ?? . 2bc 2bc 2 又 0 ? A ? ?,? A ? 2? . 3

②由①得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 又sin B+sin C=1,得 sin B ? sin C ? 1 . 因为 0 ? B ? ? ,0 ? C ? ? ,
3 3 6 2

故 B ? C ? ? , 所以△ABC是等腰的钝角三角形.

【拓展提升】 1.三角形形状的判断思路

(1)若出现边与边的关系时主要看是否有等边或是否符合勾股
定理等.

(2)若出现角与角的关系时主要是看是否有等角、有无直角或
钝角等.

2.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理或余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三

角形内角之间的关系后进行判断.

(2)利用正弦定理或余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,
求出边与边之间的关系后进行判断. 【提醒】判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖 掘隐含条件.另外在变形过程中要注意角A,B,C 的范围对三 角函数值的影响.

【变式训练】(1)在△ABC中,acos( ? -A)=bcos( ? -B),
2 2

则△ABC的形状为(

)

(A)直角三角形
(C)等边三角形

(B)等腰三角形
(D)等腰直角三角形

(2)△ABC中,已知a-b=ccos B-ccos A,则△ABC的形状为
( )

(A)等腰三角形
(C)等腰直角三角形

(B)直角三角形
(D)等腰或直角三角形

(3)△ABC中,若b=asin C,c=acos B,则△ABC的形状为( (A)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 【解析】(1)选B.方法一:
? ? ? acos( -A)=bcos( -B), 2 2

)

(B)直角三角形 (D)等腰或直角三角形

∴asin A=bsin B. 由正弦定理得 a ? a =b ? b ,
2R 2R

∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.

方法二: acos( ? ? A)=bcos( ? ? B), ?
2 2

∴asin A=bsin B.

由正弦定理可得
2Rsin2A=2Rsin2B,∴sin A=sin B,

∴A=B或A+B=π(不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形.

(2)选D.由已知结合余弦定理可得
a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a 2 a ? b ? c? ? c? , 2ac 2bc

整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,
∴a=b或a2+b2=c2,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
a 2 ? c2 ? b2 (3)选C.由c=acos B可知 c ? a ? , 2ac

整理得b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形,且A=90°.
又由b=asin C,得 sin C ?
b sin B ? ? sin B, a sin A

∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形.

【满分指导】解正、余弦定理综合题的解题规范 【典例】(12分)(2012·江苏高考)在△ABC中,已知
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ? AC ? 3BA ? BC .

(1)求证:tan
5

B=3tan

A.

(2)若 cos C ? 5 , 求A的值.

【思路点拨】 已知条件
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ? AC ? 3BA ? BC

条件分析

利用向量数量积转化为边角
关系,再利用正弦定理转化

为角的关系
5 cos C ? 5

可得tan C,再将tan B转化

为tan(A+C)整理可解

【规范解答】(1)由 AB ? AC ? 3BA ? BC 得
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? | AB| ?|AC|cos A ? 3| BA | ?|BC|cos B,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

即为cbcos A=3cacos B,

2分

bcos A=3acos B,由正弦定理得sin Bcos A=3sin Acos B,① 3分 两边同除cos Acos B得tan B=3tan A. 即tan B=3tan A成立. 5分

(2)因为 cos C ? 5 , 所以C为锐角,
5

所以tan C=2,
由(1)知tan B=3tan A,且A+B+C=π, 得tan [π-(A+C)] =3tan 即 ? tan ? A ? C ? ? 3tanA ? ? 即
tanA ? 2 ? 3tanA, 2tanA ? 1

A,② ?????????6分

tanA ? tanC ? 3tanA, 1 ? tanAtanC

???????????????8分 ???????????10分
3

所以tan A=1或 tanA ? ? 1 .

因tan B=3tan A,由内角和为π知两角均为锐角,③ 故 tanA ? ? 1 应舍去.所以tan A=1,所以 A ? ? .
3 4

???12分

【失分警示】 (下文①②③见规范解答过程)

1.(2013·萍乡模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B等于( )

?A? ?

1 2

? B?

1 2

?C? ?1

? D ?1

【解析】选D.根据正弦定理,由acos A=bsin B, 得sin Acos A=sin2B, ∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.

2.(2012·湖北高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为

a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C等于(
(A)30° (B)45° (C)60°

)
(D)120°

【解析】选D.由(a+b-c)(a+b+c)=ab,可知a2+b2-c2=-ab.
a 2 ? b2 ? c2 1 又cosC= ? ? , 所以C=120°. 2ab 2

3.(2013·合肥模拟)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC, 则A的取值范围是( (A)(0, ? ]
6 (C)(0, ? ] 3

)
? ,π ) 6 (D)[ ? ,π ) 3

(B)[

【解析】选C.由已知及正弦定理得a2≤b2+c2-bc,由余弦定

理知a2=b2+c2-2bccosA,于是b2+c2-2bccosA≤b2+c2-bc,可得
cosA≥ 1 ,又0<A<π,故A∈(0, ? ].
2 3

4.(2012·北京高考)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB= ? 1 ,则
4

b=

.

【解析】∵b+c=7,∴c=7-b. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+(7-b)2-2×2× (7-b)×( ? 1 ),解得b=4.
4

答案:4

5.(2013·巢湖模拟)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分
别为a,b,c,若 cos A ? b 且sin C=cos A.
cos B a

(1)求角A,B,C的大小.
(2)设函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? A ? ? cos (2x ? C ) 求函数f(x)的单 ,
2

调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离.

cos 【解析】(1)由题设及正弦定理知: A ? sin B , 得 cos B sin A

sin 2A=sin 2B, ∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或 A ? B ? ? .
2

当A=B时,有sin(π-2A)=cos A,即 sin A ? 1 , 得 A ? B ? ? ,C ? 2? ;
2 6 3 ? 当 A ? B ? ? 时,有 sin(? ? ) cos A, 即 cos A ? 1, ? 2 2 ? 2? 不符合题设, ? A ? B ? ,C ? . 6 3

(2)由(1)及题设知:
? ? ? f ? x ? ? sin(2x ? ) cos(2x ? ) 2sin(2x ? ), ? ? 6 3 6 当 2x ? ? ? 2k? ? ? , 2k? ? ? ] ? Z) 时, [ (k 6 2 2 ? 为增函数, f ? x ? ? 2sin(2x ? ) 6 即 f ? x ? ? 2sin(2x ? ? ) 的单调递增区间为 k? ? ? , k? ? ? ] [ 6 3 6

(k∈Z).
它的相邻两对称轴间的距离为
? . 2

1.在△ABC中,若2acos B=c,则 2cos 2 A ? sin B ? 1 的取值范围
2

是(

)
2, 2] 2]

? A[ ? ? ? C ? (1,

? B? (?1, ? D[1, ?

2] 2]

【解析】选C.由2acos B=c得2sin Acos B=sin C=sin(A+B),

即2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0, 即sin(A-B)=0,故A=B. 又 cos B ? c >0,
2 所以 2cos 2 A ? sin B ? 1 ? cos A ? sin B ? sin B ? cos B ? 2sin(B ? ? ) . 2 4 ? ? ? 3? ? 0<B< ,? <B ? < , 2 4 4 4 ? ? 2sin(B ? ) (1, 2] ? . 4 2a

故B为锐角,即 0 ? B ? ? .

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果
cos(2B+C)+2sin Asin B<0,那么三边长a,b,c之间满足的关系 是( ) (B)a2+b2<c2 (D)b2+c2<a2

(A)2ab>c2 (C)2bc>a2

【解析】选B.cos(2B+C)+2sin Asin B =cos[B+(π-A)]+2sin Asin B =-cos(B-A)+2sin Asin B =-(cos Bcos A+sin Asin B)+2sin Asin B =-(cos AcosB-sin Asin B)=-cos(A+B)<0, ∴cos C<0.
a 2 ? b2 ? c2 由余弦定理得 cos C ? ? 0, 2ab

∴a2+b2<c2.


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