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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:4.2 平面向量基本定理及坐标表示]


.2 平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题 3 1 1 1.设 a=(sinx, ),b=( , cosx),且 a∥b,则锐角 x=( 4 3 2 π π A. B. 6 4 π 5π C. D. 3 12 3 1 1 解析:∵a=(sinx, ),b=( , cosx),且 a∥b, 4 3 2 1 3 1 1 1 ∴ sinxcosx- × =0,即

sin2x- =0. 2 4 3 4 4 ∴sin2x=1. π π 又∵x 为锐角,∴2x= ,x= . 2 4 答案: B )

→ → 2.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为( ) 7 1 2, ? B.?2,- ? A.? 2 2 ? ? ? ? C.(3,2) D.(1,3) ?2m=4 ? 解析:设点 D(m,n),则由题意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4),? ,由此 ?2n-4=3 ? 7? 7 解得 m=2,n= ,点 D? ?2,2?,选 A. 2 答案:A → 3.已知 A(-3,0),B(0, 3),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=60° ,设OC → → =λOA+OB,则实数 λ 等于( ) 3 1 A. B. 3 C. D.3 3 3 → → → → → → → 解析:由OC=λOA+OB,得 λOA=OC-OB=BC, → → ∴OA与BC共线. 设 C(x, 3)(x<0),∵∠AOC=60° ,∴∠BOC=30° . |x| 3 → ∴ =tan30° = .∴x=-1.∴BC=(-1,0). 3 3 1 → ∵OA=(-3,0),∴λ= . 3 答案:C → 4.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C(x,y)满足OC → → =αOA+βOB,其中 α,β∈R,且 α+β=1,则 x,y 满足的关系式为( ) 2 2 A.3x+2y-11=0 B.(x-1) +(y-1) =5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 → → → 解析:由OC=αOA+βOB,得(x,y)=(3α-β,α+3β).

? ?x=3α-β, ∴? ?y=α+3β. ?

+y , ?α=3x10 ∴? -x+3y ?β= 10 .

∵α+β=1,∴x+2y-5=0. 答案:D 5.若 P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={β|β=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向 量集合,则 P∩Q=( ) A.{(1,-2)} B.{(-13,-23)} C.{(-2,1)} D.{(-23,-13)} 解析:P 中,α=(-1+m,1+2m), Q 中,β=(1+2n,-2+3n). ?-1+m=1+2n, ? ∴? ?1+2m=-2+3n. ?
? ?m=-12, ∴? ?n=-7. ? 此时 α=β=(-13,-23). 答案:B

m 6.设两个向量 a=(λ+2,λ2-cos2α)和 b=(m, +sinα),其中 λ,m,α 为实数.若 a 2 λ =2b,则 的取值范围是( ) m A.[-6,1] B.[4,8] C.(-∞,1] D.[-1,6] ?λ+2=2m,① ? 解析:由 a=2b 知? 2 2 ? ?λ -cos α=m+2sinα.②
? ?λ=2m-2 ∴? 2 2 ?λ -m=cos α+2sinα ? 又∵cos2α+2sinα=-sin2α+2sinα+1 =-(sinα-1)2+2 ∴-2≤cos2α+2sinα≤2 ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2 1 ∴ ≤m≤2. 4 λ 2m-2 2 ∴ = =2- ∈[-6,1]. m m m 答案:A 二、填空题 7. 已知向量 a=( 3, 1), b=(0, -1), c=(k, 3), 若 a-2b 与 c 共线, 则 k=________. 解析:a-2b=( 3,3),根据 a-2b 与 c 共线,得方程 3k= 3· 3,解得 k=1. 答案:1 8. 设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反, 则 a 的坐标为________. 2 2 解析:设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x +y =20,解得 x=4,y=2(舍去), 或者 x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2). 答案:(-4,-2) → → → 9.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC= (-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A, 1 2 B,C 三点共线,则 + 的最小值是________. a b

→ → → → → → 解析:AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2). → → ∵A、B、C 三点共线,∴AB∥AC. a-1 1 ∴ = .∴2a+b=1. -b-1 2 1 2 2a+b 4a+2b b 4a b 4a b 4a ∴ + = + =4+ + ≥4+2 · =8,当且仅当 = 时取等号. a b a b a b a b a b 1 2 ∴ + 的最小值是 8. a b 答案:8 三、解答题 10.已知向量 a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tanθ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 1 解析:(1)因为 a∥b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ,于是 4sinθ=cosθ,故 tanθ= . 4 (2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. π 2 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即 sin2θ+cos2θ=-1,于是 sin(2θ+ )=- . 4 2 π π 9π π 5π π 7π π 3π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < ,所以 2θ+ = 或 2θ+ = .因此 θ= ,或 θ= . 4 4 4 4 4 4 4 2 4 → → → 11.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → 解析:(1)AB=(3,3), → → → OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 2 若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3 ? ?1+3t<0 2 1 若 P 在第二象限,则? ,解得- <t<- . 3 3 ?2+3t>0 ? → → → → (2)∵OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t), 若四边形 OABP 为平行四边形, ? ?3-3t=1, → → 则OA=PB,而? 无解, ?3-3t=2, ? ∴四边形 OABP 不能成为平行四边形. 12.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点 N 在线段 → → MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. 解析:设 M(x0,y0),N(x,y). → → 由MA=2AN得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1), ?x0=3-2x, ? ∴? ?y0=3-2y. ? ∵点 M(x0,y0)在圆 C 上, ∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4. ∴x2+y2=1.

∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1.


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