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2014届高考数学一轮复习定时检测 4.1平面向量的概念及线性运算(带详细解析)文 新人教A版1


第四编

平面向量§4.1

平面向量的概念及线性运算

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 苏州模拟)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中正确的是________. → → ①AB=DC → → → ②AD+AB=AC → → → ③AB-AD=BD → → ④AD+CB=0 → → → 解析 ①显然正确;由平行四边形法则知②正确;AB-AD=DB → → → → 故③不正确;④中AD+CB=AD+DA=0 答案 ①②④ 2.(2010·徐州模拟)设四边形 ABCD 中,有 DC ? 是 .?

1 AB,且 | AD |?| BC |, 则这个四边形 2

解析 由 DC ?

1 AB 知四边形 ABCD 是梯形,又 | AD |?| BC |, 2

所以四边形 ABCD 是等腰梯形.? → → → → → 3.(2008·全国Ⅰ理)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD= ____________(用 b,c 表示). 解析 如图所示,在△ABC 中, → → → AD=AB+BD. 又 BD ? 2 DC ,? BD ?

2 BC. 3 ? BC ? AC ? AB ? b ? c,

2→ 2 2 1 ∴? AD ? AB ? BC=c+ (b-c)= b+ c. 3 3 3 3 4.(2010·泰州模拟)如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界). 若 OP ? a oOP 1 ? bOP2 , 且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a,b 满 足 a______0,b______0(用“>”,“<”或“=”填空). 解析 由于点 P 落在第Ⅲ部分,且 OP ? a oOP 1 ? bOP2 , 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知 a>0,b<0.答案 > < → → → 5.(2009·江苏南京二模)设OB=xOA+yOC,且 A、B、C 三点共线(该直线不过端点 O), 则 x+y=________. 解析 ∵A、B、C 三点共线,∴存在一个实数 λ, → → → → → → AB=λAC,即OB-OA=λ(OC-OA). → → → OB=(1-λ)OA+λOC. → → → → 又∵OB=xOA=xOA+yOC,∴x+y=(1-λ)+λ=1. 答案 1 6.(2009·广东茂名一模)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上的一点,若 AD ? 2 DB,

1 CD ? CA? CB, 则 λ=________. 3 解析 由图知 CD ? CA ? AC
用心 爱心 专心



1

CD ? CB ? BD
→ → ② 且AD+2BD=0. → → → ①+②×2 得 3CD=CA+2CB, 2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3 2 答案 3 7.(2009· 浙江改编)设向量 a,b 满足:|a|=3,|b|=4,a· b=0,以 a,b,a-b 的模为边长构 成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为________. 解析 由|a|=3,|b|=4 及 a·b=0 知 a⊥b,故 a,b,a-b 构成直角三角 形,且|a-b|=5.又其内切圆半径为

3? 4?5 ? 1. 如图所示.将内切圆向 2

上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有 4 个交点. 答案 4 8.(2009· 北京改编)设 D 是正△P1P2P3 及其内部的点构成的集合,点 P0 是△P1P2P3 的中心.若集合 S={P|P∈D,|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3},则 集合 S 表示的平面区域是________. 解析 如图所示,AB、CD、EF 分别为 P0P1、P0P2、P0P3 的垂直平 分线,且 AB、CD、EF 分别交 P1P2、P2P3、P3P1 于点 A、C、D、E、 F、B.若|PP0|=|PP1|,则点 P 在线段 AB 上,若|PP0|≤|PP1|,则点 P 在 梯形 ABP3P2 中. 同理,若|PP0|≤|PP2|,则点 P 在梯形 CDP3P1 中. 若|PP0|≤|PP3|,则点 P 在梯形 EFP1P2 中. 综上可知,若|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3,则点 P 在六边形 ABFEDC 中. 答案 六边形区域 → → → → 9.(2009·山东改编)设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA+BA=2BP, → → 则PC+PA=________. → → → → → → 解析 因为BC+BA+BA=2BP,所以点 P 为线段 AC 的中点,即PC+PA=0. 答案 0 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) → → 10.(14 分) (2010·南京调研)在△OAB 中,延长 BA 到 C,使AC=BA → 1→ → → 在 OB 上取点 D,使DB= OB.DC 与 OA 交于 E,设OA=a,OB=b, 3 → → 用 a,b 表示向量OC,DC. → 1 → → 解 因为 A 是 BC 的中点,所以OA= (OB+OC), 2 → → → 即OC=2OA-OB=2a-b; → → → → 2→ DC=OC-OD=OC- OB 3 2 5 =2a-b- b=2a- b. 3 3 11.(16 分) (2010·江苏苏州调研)已知:任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的 中点,?求证: EF ?

1 ( AB ? DC ). 2

证明 方法一 如图, ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点, → → → → ∴EA+ED=0,FB+FC=0,
用心 爱心 专心 2

→ → → → 又∵BF+BF+FE+EA=0, → → → → ∴EF=AB+BF+EA → → → → 同理EF=ED+DC+CF 由①+②得, → → → → → → → → → 2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC.

① ②

1 ? EF ? ( AB ? DC ). 2 方法二 连结 EB, EC ,
则 EC ? ED ? DC ,

? EF ? ?

1 ( EC ? EB) 2

1 ( ED ? DC ? EA ? AB) 2 1 ? ( AB ? DC ). 2

12.(16 分) (2009·上海宝山模拟)已知点 G 为△ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB、AC 1 1 两边分别交于 M、N 两点,且 AM ? x AB, AN ? y AC, 求 + 的值. x y 解 根据题意 G 为三角形的重心, → 1 → → AG= (AB+AC), 3 → → → 1 → → → MG=AG-AM= (AB+AC)-xAB 3

1 1 ? ( ? x ) AB ? AC , 3 3 GN ? AN ? AG ? y AC ? AG 1 ? y AC ? ( AB ? AC ) 3 1 1 ? ( y ? ) AC ? AB, 3 3 由于 MG 与 GN 共线,根据共线向量基本定理知,存在实数 λ,使得 1 ?→ 1→ MG ? ? GN , 即? ?3-x?AB+3AC 1 1 ? ? ? ?( y ? ) AC ? AB?, 3 3 ? ?

?3-x=-3λ 即? 1? 1 ?3=λ? ?y-3?

1

1

1 1 -x 3 3 ,因此 = 1 1 - y- 3 3

1 1 即 x+y-3xy=0 两边同除以 xy 整理得 + =3. x y

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3

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4


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