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绝对值不等式


选修 4-5 含绝对值不等式
一.知识梳理
? x,如果x ? 0 ? 1. x ? ?0,如果x ? 0 ?? x,如果x ? 0 ?

几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2. 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类 是证明不等式。 (1) 、解在绝对值符号内含有未知数的不等

式(也称绝对值不等式) ,关键在于 去掉绝对值符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义. (2) 、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型:设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是
{x | ?a ? x ? a} ,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开

区间(-a,a) ,如图所示。

图 1-1 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型:设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a },它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合 是两个开区间 (??,?a), (a, ?) 的并集。如图 1-2 所示。

–a 图 1-2

a

同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。

1

3.含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或 f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 的不等式,可利用绝对值不 等式的几何意义求解(零点法) . 4. ax ? b ? c 和 ax ? b ? c 型不等式的解法。

ax ? b ? c ? ?c ? ax ? b ? c
ax ? b ? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? c
5.含有绝对值的不等式的性质(绝对值三角形不等式) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注:当 a , b 为复数或向量时结论也成立. 推论 1: a1 ? a2 ? ?? an ≤ a1 ? a2 ? ?? an 推论 2:如果 a、b、c 是实数,那么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c ,当且仅当

(a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时,等号成立.
利用数轴给出推论 2 的几何解释: (设 A,B,C 为数轴上的 3 个点,分别表 示数 a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当 C 在 A,B 之间时,等号成立。 ) 6.已知 a , b 是实数,试证明: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.) 证明:10 .当 ab≥0 时, 20. 当 ab<0 时,
ab ? ? | ab |, | a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

2

? ? 若把 a , b 换为向量 a, b 情形又怎样呢?

? ? a?b

? a

? a

? b

? ? a?b

a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 。
7. (1) a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立, a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时等号成立 (2) a ? a 2 (3) a ? b ? a ? b (4)

a b

?

a (b ? 0) b

(5) a ? b ? a ? b ? a,b 同号

a ? b ? a ? b ? a,b 异号
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间、去绝 对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不 要遗漏区间的端点值. (2)用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化, 即通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法. 二.典型例题: 例 1.已知 x ? a ?
c c , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2

证明 ( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b)
? x?a ? c c , y ?b ? , 2 2 c c ∴ x?a ? y ?b ? ? ? c 2 2

? x ?a ? y ?b

(1)

(2)

由(1) , (2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c
3

例 2.已知 x ? 证明

a a , y ? . 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a ? x ? , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? ? ? a 。 2 2

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写 法,只能用于不等号方向相同的不等式。 例 3.⑴ a ? b ? a ? b ≥ 2 a ;⑵ a ? b ? a ? b ≤ 2 b 例 4.⑴ x ? a ? x ? b ≥ a ? b ;⑵ x ? a ? x ? b ≤ a ? b 例 5. (1) 、已知 A ? a ?
c c , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2 c c (2) 、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6

例 6.解不等式 3x ? 1 ? 2 ? x 。 方法 1:分类讨论。 方法 2:依题意,原不等式等价于 3x ? 1 ? 2 ? x 或 3x ? 1 ? x ? 2 ,然后去解。 例 7.解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 。 解:原不等式即数轴上的点 x 到 1,2 的距离的和大于等于 5。因为 1,2 的 距离为 1,所以 x 在 2 的右边,与 2 的距离大于等于 2(=(5-1) ? 2) ;或者 x 在 1 的左边,与 1 的距离大于等于 2。这就是说, x ? 4 或 x ? ?1. 例 8. (1)不等式 1<|x+1|<3 的解集为________. 答案 (-4,-2)∪(0,2)

(2)不等式|x-8|-|x-4|>2 的解集为________.

解析

?4,x≤4, 令:f(x)=|x-8|-|x-4|=?-2x+12,4<x≤8, ?-4,x>8,

当 x≤4 时,f(x)=4>2; 当 4<x≤8 时,f(x)=-2x+12>2,得 x<5, ∴4<x<5; 当 x>8 时,f(x)=-4>2 不成立.

4

故原不等式的解集为:{x|x<5}. (3) 已知关于 x 的不等式|x-1|+|x|≤k 无解, 则实数 k 的取值范围是________. 解析 ∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴当 k<1 时,不等式|x-1|+|x|≤k 无解,故 k<1. 答案 k<1 (4)若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为 ________. 解析 由|3x-b|<4,得

b-4
3

<x<

b+4
3



b-4 ? ?0≤ 3 <1, 即? b+4 3< ? ? 3 ≤4,
答案 (5,7)

解得 5<b<7.

(5)(2011·南京模拟)如果关于 x 的不等式|x-a|+|x+4|≥1 的解集是全体 实数,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-5]∪[-3,+∞) 三.含绝对值不等式的解法 例 1.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2; (2)求函数 y=f(x)的最小值. [审题视点] 第(1)问:采用分段函数解不等式;第(2)问:画出函数 f(x)的图象 可求 f(x)的最小值. -x-5 ?x<- ?, ? 2? ? ? (1)f(x)=|2x+1|-|x-4|=? ? 1 ? 3x-3 ?- ≤x<4?, ? 2 ? ? ?x+5 ?x≥4?. ? 1?



1 当 x<- 时,由 f(x)=-x-5>2 得,x<-7.∴x<-7; 2

5

1 5 当- ≤x<4 时,由 f(x)=3x-3>2,得 x> , 2 3 5 ∴ <x<4; 3 当 x≥4 时,由 f(x)=x+5>2,得 x>-3,∴x≥4.

故原不等式的解集为 ? ? 5 ?x?x<-7或x> 3 ? ? ? ?. ?

(2)画出 f(x)的图象如图: 9 ∴f(x)min=- . 2 例 2. 设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=|x-1|+|x+1|,

?-2x, x<-1, f(x)=?2, -1≤x≤1, ?2x, x>1.
作出函数 f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.

? 3 3? ? ? 由图象可知,不等式的解集为?x|x≤- 或x≥ ?. 2 2? ? ? ?

(2)若 a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;

6

?-2x+a+1, x≤a, 若 a<1,f(x)=?1-a, a<x<1, ?2x-?a+1?, x≥1,
f(x)的最小值为 1-a.

?-2x+a+1,x≤1, 若 a>1,f(x)=?a-1,1<x<a, ?2x-?a+1?,x≥a,
f(x)的最小值为 a-1.
∴对于?x∈R,f(x)≥2 的充要条件是|a-1|≥2, ∴a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 课堂练习:解下列不等式: 1、 2 2x ? 1 ? 1. 4、 x ? 1 ? 2 ? x . 7、 x ? x ? 2 ? 4 2、 41 ? 3x ? 1 ? 0 5、 x 2 ? 2 x ? 4 ? 1 8、 x ? 1 ? x ? 3 ? 6. 3、

3 ? 2x ? x ? 4 .

6、 x 2 ? 1 ? x ? 2 . 9、

x ? x ?1 ? 2

7


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