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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第四章 4.5


数学

北(理)

§4.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图像及应用
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ) 振幅 (A>0,ω>0), x∈[0,+∞) A 频率 ω 2π 1 T= ω f=T= 2π 周期 相位 初相

ωx+φ

φ

基础知识

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思想方法

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要点梳理
知识回顾 理清教材

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个 特征点. 如下表所示.

x

0-φ ω

π -φ 2 ω
π 2

π-φ ω

3π -φ 2π-φ 2 ω ω

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
基础知识

0
0
题型分类

π
A 0
思想方法

3π 2
-A


0
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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.函数 y=sin x 的图像经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤 如下:

|φ|
φ | ω|

基础知识

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思想方法

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) × (3) √ (4) × (5) √ (6) √

解析

A
A

C
π 6,6

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
设函数 f(x)=sin ωx+
思维启迪 解析 思维升华

3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为一 个周期的闭区间上的图像; (3)说明函数 f(x)的图像可由 y= sin x 的图像经过怎样的变换而 得到.

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题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
设函数 f(x)=sin ωx+
思维启迪 解析 思维升华

3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为一 个周期的闭区间上的图像; (3)说明函数 f(x)的图像可由 y= sin x 的图像经过怎样的变换而 得到.
将 f(x)化为一个角的一个三角 函数,由周期是 π 求 ω,用五 点法作图要找关键点.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx+ 解 (1)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 3cos ωx(ω>0)的周期为 π.

1 3 π (1) 求它的振幅、初相; =2( sin ωx+ cos ωx)=2sin(ωx+ ), 2 2 3 (2) 用五点法作出它在长度为一 2π 个周期的闭区间上的图像; 又∵T=π,∴ ω =π,即 ω=2. (3)说明函数 f(x)的图像可由 y= π ∴f(x)=2sin(2x+3). sin x 的图像经过怎样的变换而 π ∴函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 的振幅为 2,初相为3. 得到.

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题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
设函数 f(x)=sin ωx+
思维启迪 解析 思维升华

? π? π 3cos ωx ( ω >0) 的周期为 π. (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+3 ?=2sin X. 3 ? ? (1)求它的振幅、初相; 列表,并描点画出图像: (2) 用五点法作出它在长度为一 π π π 7π 5π - x 6 12 3 12 6 个周期的闭区间上的图像; π 3π X 0 π 2π 2 2 (3)说明函数 f(x)的图像可由 y= y=sin X 0 1 0 -1 0 sin x 的图像经过怎样的变换而 ? π? y=2sin?2x+3? 0 2 0 -2 0 ? ? 得到.

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题型一
【 例 1】

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
设函数 f(x)=sin ωx+
思维启迪 解析 思维升华

π (3) 方法一 把 的周期为 y=sin x 的图像上所有的点向左平移 个单位,得 3cos ωx(ω>0) π. 3 ? π? (1) 到求它的振幅、初相; y=sin?x+3 ?的图像, ? ? (2) 用五点法作出它在长度为一 ? π? 1 ? ? 再把 y=sin x+3 的图像上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵 2 ? ? 个周期的闭区间上的图像; ? π? ?的图像, 坐标不变 ),得到 y=sin?2x+ (3) 说明函数 f(x)的图像可由 y = 3 ? ?
? π? sin x 的图像经过怎样的变换而 最后把 y=sin?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 ? ? 得到. ? π? 坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+3?的图像. ? ?

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题型分类·深度剖析
题型一
【 例 1】

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
设函数 f(x)=sin ωx+
思维启迪 解析 思维升华

1 方法二 y= sin x 的图像上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍, 3cos ωx(将 ω>0) 的周期为 π. 2 (1) 求它的振幅、初相; 纵坐标不变,得到 y=sin 2x 的图像; ? ? π π (2) 用五点法作出它在长度为一 再将 y=sin 2x 的图像向左平移 个单位, 得到 y=sin 2?x+6?= 6 ? ? ? 个周期的闭区间上的图像; π? sin?2x+3?的图像; ? ? (3)说明函数 f(x)的图像可由 y= ? π? sin x 的图像经过怎样的变换而 再将 y=sin?2x+3?的图像上每一点的横坐标保持不变,纵坐 ? ? ? π? 得到. 标伸长为原来的 2 倍,得到 y=2sin?2x+3?的图像. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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题型一
【 例 1】

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
设函数 f(x)=sin ωx+
思维启迪 解析 思维升华

3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)五点法作简图:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主 π 3 (1)求它的振幅、初相; 要是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, ,π, π,2π 来 2 2 (2) 用五点法作出它在长度为一 求出相应的 x, 通过列表, 计算得出五点坐标, 描点后得出图像. 个周期的闭区间上的图像; (2)图像变换: 由函数 y=sin x 的图像通过变换得到 y=Asin(ωx+φ) (3)说明函数 f(x)的图像可由 y= 的图像,有两种主要途径: “ 先平移后伸缩 ” 与 “ 先伸缩后平 sin x 的图像经过怎样的变换而 移”. 得到.

基础知识

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知函数
?1 π? f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ?

(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像?
解 (1)列表取值: x 1 π x- 2 4 f(x) π 2 0 0 3 2π π 2 3 5 2π π 0 7 2π 3 π 2 -3 9 2π 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知函数
?1 π? f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ?

(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像?
π (2)先把 y=sin x 的图像向右平移 个单位, 4 然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍, 再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图像.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

π 【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(其中 ω>0, |φ|< )的最 2 小正周期是 π,且 f(0)= 3,则 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 π (2)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|< , 2 ω>0)的图像的一部分如图所示,则该函数的解 析式为____________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(

)

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

π 【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(其中 ω>0, |φ|< )的最 2 小正周期是 π,且 f(0)= 3,则 ( ) 1 π 1 π π A . ω = , φ = B . ω = , φ = 思维启迪 ω, 据 f2 (0)= 3 2 (1)根据周期确定 6 3和|φ|< 2确定 φ; π π πD.ω=2,φ= C.ω=2,φ= 6 3 五点作图法” (2)由点(0,1)在图像上和|φ|< 确定 φ, 再根据“ 2 π (2)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|< , 2 求 ω. ω>0)的图像的一部分如图所示,则该函数的解 析式为____________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

π 【例 2】 (1)已知函数 f(x)= |φ|< )的最 π 2sin(ωx+φ)(其中 ω>0, 2 解析 (1)∵f(x)(ω>0,|φ|< )的最小正周期为 π, 2 2 π 小正周期是 π ,且 f(0) = 3,则 ( ) ∴ T= ω =π, ω =2.∵ f(0) =2sin φ= 3, 1 3 π 1 π π π A. ωφ = ,(| φφ = B.ω= ,φ= 即 sin = |< ) , ∴ φ = . 22 6 2 3 2 3 π A=2 且点(0,1)在图像上, π (2) 观察图像可知: C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3π 1 π ∴1=2sin(ω· 0+φ),即 sin φ=2.∵|φ|<2,∴φπ =6. (2)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|< , 11 2
∴ 12 ω+6=2π,
答案 (1)D
基础知识
? ω >0)的图像的一部分如图所示,则该函数的解 π? 11π π

又∵12π 是函数的一个零点,且是图像递增穿过 x 轴形成的零点,

析式为____________.

∴ω=2.∴f(x)=2sin?2x+6?.
? ?

? π? (2)f(x)=2sin?2x+6? ? ?

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

π 【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(其中 ω>0, |φ|< )的最 2 思维升华 根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图像求其解析式的问题, 小正周期是 π,且 f(0)= 3,则 ( ) 主要从以下四个方面来考虑: 1 定 :π根 据 图 像 的 最 高 1 π低 点 , 即 A = ① A 的 确 点 和 最 A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 最高点-最低点 ; π π 2 C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 最高点+最低点 6 3 ②k 的确定: 根据图像的最高点和最低点, 即 k= ; 2 π 2π (2) 已知函数 f ( x ) = A sin( ωx + φ ) ( A >0 , | φ |< , ③ω 的确定:结合图像,先求出周期 T,然后由 2 T= ω (ω>0)来
确定 ω ; ω>0) 的图像的一部分如图所示,则该函数的解 ④φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点(最 析式为____________. φ φ 靠近原点)的横坐标为-ω(即令 ωx+φ=0,x=-ω)确定 φ.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图为 y=Asin(ωx+φ)的图像的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图像向左平移 个单位长度 6 后得 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程.

解 (1)由图像知 A= 3,

?π ? ?5π ? M?3,0?为第一个零点,N? 6 ,0?为第二个零点. ? ? ? ?

? π ω=2, ? +φ=0, ?ω· ? 3 列方程组? 解之得? 2π 5π φ=- . ? ?ω· +φ=π, 3 ? ? 6 ? 2π? ∴所求解析式为 y= 3sin?2x- 3 ?.
? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图为 y=Asin(ωx+φ)的图像的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图像向左平移 个单位长度 6 后得 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程.
? ? π? 2π? ? ? ? 3sin?2 x+6 ?- 3 ?= ? ? ? ? ? π? 3sin?2x-3 ?, ? ?

(2)f(x)=

π π 5 kπ 令 2x-3=2+kπ(k∈Z),则 x=12π+ 2 (k∈Z),
5 kπ ∴f(x)的对称轴方程为 x=12π+ 2 (k∈Z).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图像 2 的一部分如下图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图像 2 的一部分如下图所示.

(1) 由图像知A,T → 图像过?-1,0?求φ → 解析式
π (2) 函数化简为y=2 2cos x 4

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类




思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图像 2 的一部分如下图所示.



(1)由图像知 A=2,T=8, 2π π ∵T= ω =8,∴ω= . 4
又图像经过点(-1,0), π ∴2sin(-4+φ)=0.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类

π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 4

π π ∴f(x)=2sin(4x+4).

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图像 2 的一部分如下图所示.

(2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π =2 2sin( x+ )=2 2cos x. 4 2 4 2 ∵x∈[-6,-3],
3π π π ∴- 2 ≤4x≤-6, π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时, 4 6 3

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类

y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; π 当4x=-π, 即 x=-4 时, y=f(x)
+f(x+2)取得最小值-2 2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图像 2 的一部分如下图所示.

利用函数的图像确定解析式 后, 求出 y=f(x)+f(x+2), 然 后化成一个角的一个三角函 数形式,利用整体思想(将 ωx

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类

+ φ 视为一个整体 )求函数最 值.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图像 与直线 y=2 的某两个交点的横坐标为 x1、x2,若|x2-x1|的最小值为 π,则 π A.ω=2,θ= 2 1 π C.ω= ,θ= 2 4 1 π B.ω= ,θ= 2 2 π D.ω=2,θ= 4 ( )

(2)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为 s=6sin(2πt+ π ),那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( ) 6 A.2π s B. π s C.0.5 s D.1 s

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
π (1)∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,∴θ= . 2

解析

∵图像与直线 y=2 的两个交点的横坐标为 x1、x2
2π 且|x2-x1|min=π,∴ =π,ω=2. ω
2π (2)T= =1,∴选 D. 2π
答案 (1)A
(2)D

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
审 思题 维路 启线 迪图 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)先将 f(x)化成 y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期; π (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x- ,得 g(x),然后利用整体 6

思想求最值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒



x π x π (1)f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π) 2 4 2 4
3分 5分 6分

= 3cos x+sin x π =2sin(x+3) 2π 于是 T= =2π. 1
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒
8分

π π (2)由已知得 g(x)=f(x- )=2sin(x+ ) 6 6 π π 7π ∵x∈[0,π] ,∴x+6∈[6, 6 ] π 1 ∴sin(x+ )∈[- ,1], 6 2 π ∴g(x)=2sin(x+6)∈[ -1,2] 故函数 g(x)在区间[ 0,π] 上的最大值为 2,最小值为-1.
基础知识 题型分类 思想方法

10分

11分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤: 第一步:将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式. a b 2 2 第二步:构造 f(x)= a +b (sin x· 2 2+cos x· 2 2). a +b a +b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

第三步:和角公式逆用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)(其中 φ 为 辅助角).
第四步:利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)在第(1)问的解法中,使用辅助角公式 b asin α+bcos α= a +b sin(α+φ)(其中 tan φ=a),或 asin α+ a 2 2 bcos α= a +b cos(α-φ)(其中 tan φ=b),在历年高考中使用频
2 2

率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图像与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(2)求 g(x)的最值一定要重视定义域, 可以结合三角函数图像进行 求解.

基础知识

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思想方法·感悟提高
1.五点法作图及图像变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点, 注意曲线凸

方 法 与 技 巧

凹方向; (2)图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而 言,而不是看角 ωx+φ 的变化.
2.由图像确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图像确定 A、ω、φ 的题 ? φ ? 型, 常常以“五点法”中的第一个零点?-ω,0?作 ? ? 为突破口, 要从图像的升降情况找准第一个零点的 位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

基础知识

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思想方法·感悟提高

3.对称问题

方 法 与 技 巧

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与 x 轴的每一个 交点均为其对称中心,经过该图像上坐标为 (x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其 图像的对称轴,这样的最近两点间横坐标的 差的绝对值是半个周期 ( 或两个相邻平衡点 间的距离).

基础知识

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思想方法

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思想方法·感悟提高

1. 由函数 y=sin x 的图像经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)

失 误 与 防 范

的图像,如先伸缩,则平移时要把 x 前面的系数提 出来.

2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思 想是把 ωx+φ 看做一个整体.若 ω<0,要先根据诱 导公式进行转化.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 1.为得到函数 y=cos(2x+ )的图像,只需将函数 y=sin 2x 的图像 3 5π A.向左平移 个单位长度 12 5π C.向左平移 个单位长度 6 5π B.向右平移 个单位长度 12 5π D.向右平移 个单位长度 6 ( A )

π π π 5π 解析 y=cos(2x+ )=sin[ +(2x+ )]=sin(2x+ ). 3 2 3 6

5π 5π 故要得到 y=sin(2x+ )=sin 2(x+ )的图像, 6 12 5π 只需将函数 y=sin 2x 的图像向左平移 个单位长度. 12
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1 2 3

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4

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5
6 7 8 9 10

π 2.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,且|φ|< )的部 2 分图像如图所示, 则函数 f(x)的一个单调递增区 间是 7π 5π A.[- , ] 12 12 π 7π C.[- , ] 12 12 ( 7π π B.[- ,- ] 12 12 π 5π D.[- , ] 12 12 )

1 2 5 解析 由函数的图像可得 T= π- π, ∴T=π,则 ω=2. 4 3 12 5 5 又图像过点( π,2),∴2sin(2× π+φ)=2, 12 12 π ∴φ=- +2kπ,k∈Z, 3
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 2.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,且|φ|< )的部 2 分图像如图所示, 则函数 f(x)的一个单调递增区 间是 7π 5π A.[- , ] 12 12 π 7π C.[- , ] 12 12 ( D ) 7π π B.[- ,- ] 12 12 π 5π D.[- , ] 12 12

π 取 k=0,即得 f(x)=2sin(2x- ), 3
π 5π 其单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z,取 k=0, 12 12 即得选项 D.
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1 2 3

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4

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5
6 7 8 9 10

π 3. 将函数 y=sin(x+φ)的图像 F 向左平移 个单位长度后得到图像 F′, 6 ?π ? 若 F′的一个对称中心为?4,0?,则 φ 的一个可能取值是 ( D ) ? ? π π 5π 7π A. B. C. D. 12 6 6 12

解析 图像 F′对应的函数

? ? π y=sin?x+6+φ?, ? ?

π π 5π 则 + +φ=kπ,k∈Z,即 φ=kπ- ,k∈Z, 4 6 12

7π 当 k=1 时,φ= ,故选 D. 12
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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图像向右平移 个单位后与 3 3 原图像重合,则 ω 的最小值是 2 4 3 A. B. C. 3 3 2
解析

( C ) D.3

4π 由函数向右平移 个单位后与原图像重合, 3

4π 得 3 是此函数周期的整数倍.又 ω>0,
2π 4π 3 3 ∴ · k= ,∴ω= k(k∈Z),∴ωmin= . ω 3 2 2

基础知识

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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π π 5.已知函数 f(x)=2sin ωx 在区间[- , ]上的最小值为-2,则 ω 的 3 4 取值范围是 9 A.(-∞,- ]∪[6,+∞) 2 C.(-∞,-2]∪[6,+∞)
解析

9 3 B.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 3 3 D.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2

( D )

π π π π 3 当 ω>0 时,-3ω≤ωx≤4ω, 由题意知-3ω≤-2,即 ω≥2;

π π 当 ω<0 时, ω≤ωx≤- ω, 4 3

π π 3 由题意知-3ω≥2,即 ω≤-2.

3 3 综上可知,ω 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10
?π π? f(x)在区间?6,3 ? ? ?

6.已知

? π? f(x)=sin?ωx+3? ? ?

?π? ?π? (ω>0),f?6 ?=f?3 ?,且 ? ? ? ?

14 3 上有最小值,无最大值,则 ω=________.
π π 6+3 π 解析 依题意,得 x= = 时,y 有最小值, 2 4 ?π π? π π 3π ω+3?=-1,∴ ω+ =2kπ+ ∴sin?4· (k∈Z). 4 3 2 ? ?
?π π ? 14 ∴ω=8k+ 3 (k∈Z),因为 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无 ? ? π π π 14 最大值,所以3-4<ω,即 ω<12,令 k=0,得 ω= 3 .

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 的部分图像如图所示,△KLM 为等腰直角三角 1 4 . 形, ∠KML=90° , KL=1, 则 f( )的值为_______ 6

3

解析

1 1 取 K,L 中点 N,则 MN=2,因此 A=2.

由 T=2 得 ω=π.
π 1 ∵函数为偶函数,∴φ=2,∴f(x)=2cos πx, 1 1 π 3 f( )= cos = . 6 2 6 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三 ?π ? 角函数 y=a+Acos?6?x-6?? (x=1,2,3,?,12,A>0)来表示, ? ? 已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均气

20.5 ℃. 温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________
解析
? ?a+A=28, 由题意得? ? ?a-A=18, ? ?a=23, ∴? ? ?A=5,

?π ? ∴y=23+5cos?6?x-6??, ? ?

x=10
基础知识

? 1? 时,y=23+5×?-2?=20.5. ? ?

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10
? π? ?2x+ ?+6sin 4? ?

9.(2013· 天津)已知函数 f(x)=- 2sin 2cos2x+1,x∈R.

xcos x-

(1)求 f(x)的最小正周期; ? π? (2)求 f(x)在区间?0,2 ?上的最大值和最小值. ? ?
解 π π (1)f(x)=- 2sin 2x· cos - 2cos 2x· sin +3sin 2x-cos 2x 4 4
? π? 2sin?2x-4?. ? ?

=2sin 2x-2cos 2x=2

2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10
? π? ?2x+ ?+6sin 4? ?

9.(2013· 天津)已知函数 f(x)=- 2sin 2cos2x+1,x∈R.

xcos x-

(1)求 f(x)的最小正周期; ? π? (2)求 f(x)在区间?0,2 ?上的最大值和最小值. ? ?
(2)因为 数.

?3π? f(0)=-2,f? 8 ?=2 ? ? ?π ? 2,f?2?=2, ? ?

? ?3π π? 3π? f(x)在区间?0, 8 ?上是增函数,在区间? 8 ,2 ?上是减函 ? ? ? ?

故函数
基础知识

? π? f(x)在区间?0,2?上的最大值为 ? ?

2 2,最小值为-2.
练出高分

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思想方法

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6
2

7

8

9

10

π 10.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos ωx(ω>0)的周期为 . 2 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角 为 x,求此时函数 f(x)的值域.
3 1 π 1 解 (1)f(x)= sin 2ωx- (cos 2ωx+1)=sin(2ωx- )- , 2 2 6 2 π 1 2π π 由 f(x)的周期 T=2ω=2,得 ω=2,∴f(x)=sin(4x-6)-2, π π π 由 2kπ-2≤4x-6≤2kπ+2(k∈Z), π kπ π kπ 得- + ≤x≤ + (k∈Z), 12 2 6 2 π kπ π kπ 即 f(x)的单调递增区间是[- + , + ](k∈Z). 12 2 6 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6
2

7

8

9

10

π 10.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos ωx(ω>0)的周期为 . 2 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角 为 x,求此时函数 f(x)的值域.
a2+c2-b2 2ac-ac 1 (2)由题意,得 cos x= ≥ = , 2ac 2ac 2 π π 7π π ∴-6<4x-6≤ 6 , 又∵0<x<π,∴0<x≤3, π 1 1 1 π ∴-1<sin(4x-6)-2≤2, ∴-2<sin(4x-6)≤1, 1 ∴f(x)的值域为(-1,2].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

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思想方法

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I= π Asin(ωt+φ)(A>0, ω>0,0<φ< )的图像如右图 2 1 所示,则当 t= 秒时,电流强度是( A ) 100 A.-5 安 B. 5 安 C.5 3安 D.10 安

T 4 1 1 解析 由图像知 A=10,2=300-300=100, 2π ∴ω= T =100π.∴I=10sin(100πt+φ). ? 1 ? 1 π ? ,10?为五点中的第二个点,∴100π× +φ=2. 300 300 ? ? ? π? π 1 ? ? 100π t + ∴φ=6.∴I=10sin 6?, 当 t=100秒时,I=-5 安. ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2.(2012· 上海)若 Sn=sin

π 2π nπ +sin +?+sin (n∈N+),则在 S1, 7 7 7 ( D.100 ) C.86

S2,?,S100 中,正数的个数是 A.16 B.72

解析 分析 Sn 的正负规律,从而求解. 易知 S1>0,S2>0,S3>0,S4>0,S5>0,S6>0,S7>0. π 2π 7π 8π S8=sin 7+sin 7 +?+sin 7 +sin 7 2π 3π 7π =sin 7 +sin 7 +?+sin 7 >0, 3π 4π 7π S9=sin 7 +sin 7 +?+sin 7 >0, 4π 7π S10=sin 7 +?+sin 7 >0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2.(2012· 上海)若 Sn=sin

π 2π nπ +sin +?+sin (n∈N+),则在 S1, 7 7 7 ( D.100 ) C.86

S2,?,S100 中,正数的个数是 A.16 B.72

S11=sin

S12=sin
S13=sin S14=sin

5π 6π 7π +sin +sin >0, 7 7 7 6π 7π 7 +sin 7 >0, 7π 7 =0, 7π 14π 7 +sin 7 =0,

∴S1,S2,?,S100 中,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2.(2012· 上海)若 Sn=sin

π 2π nπ +sin +?+sin (n∈N+),则在 S1, 7 7 7 ( C ) D.100 C.86

S2,?,S100 中,正数的个数是 A.16 B.72

S13=0,S14=0,S27=0,S28=0,S41=0,S42=0,S55=0,
S56=0,S69=0,S70=0,S83=0,S84=0,S97=0,S98=0, 共 14 个.
∴在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是 100-14=86(个).

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,- ≤φ≤ )的图像上的两 2 2 ? 1? 个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?, ? ? ?πx π? sin? 2 +6? 则函数解析式 f(x)=________________.
? ?

解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2 2,可得 ?T? ? ?2+?1+1?2=2 2,解得 T=4, ?2 ? ?πx ? 2π π 故 ω= = ,即 f(x)=sin? 2 +φ?, T 2 ? ? ? 1? 1 ? ? 又函数图像过点 2,-2 ,故 f(2)=sin(π+φ)=-sin φ=- , 2 ? ? ?πx π? π π π 又- ≤φ≤ ,解得 φ= ,故 f(x)=sin? 2 +6?. 2 2 6 ? ?
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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π π 4.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )-cos 2x+a(a∈R, 6 6 a 为常数). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f(x)的图像向左平移 m(m>0)个单位后,得到函 数 g(x)的图像关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值.

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π π 解 (1)f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )-cos 2x+a 6 6 π = 3sin 2x-cos 2x+a=2sin(2x- )+a. 6 2π ∴f(x)的最小正周期为 =π, 2 π π π 当 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增, 6 3 π π 故所求函数 f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 6 3
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1 2

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专项能力提升
3 4 5

(2) 函数 f(x) 的图像向左平移 m(m>0) 个单位后得 g(x) = π 2sin[2(x+m)- ]+a 要使 g(x)的图像关于 y 轴对称,只需 6 π π 2m- =kπ+ (k∈Z). 6 2
kπ π π 即 m= + (k∈Z),所以 m 的最小值为 . 2 3 3

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1 2

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专项能力提升
3 4 5

5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图像如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?
解 (1)由题设图像知,周期
?11π 5π? T=2? 12 -12?=π, ? ?

?5π ? 2π 所以 ω= T =2.因为点?12,0?在函数图像上, ? ?

所以

? ? 5π Asin?2×12+φ?=0,即 ? ?

?5π ? sin? 6 +φ?=0. ? ?

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专项能力提升
3 4 5

5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图像如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?
π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< . 2 6 6 3 5π π 从而 6 +φ=π,即 φ=6.

π 又点(0,1)在函数图像上,所以 Asin =1,解得 A=2. 6 ? π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?
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1 2

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专项能力提升
3 4 5

5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图像如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?
? ? ? ? π ? π? π ? π? ? ? ? ? (2)g(x)=2sin?2 x-12?+ ?-2sin?2?x+12?+ ? ? 6? ? 6? ? ? ? ? ?

=2sin

? π? 2x-2sin?2x+3?=2sin ? ?

?1 2x-2? ?2sin ?

? 3 ? 2x+ cos 2x? 2 ?

=sin 2x- 3cos
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? π? 2x=2sin?2x-3?. ? ?

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练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图像如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?
π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.

所以函数

? π 5π? g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ?

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