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《直线的倾斜角和斜率》课件6(人教A版必修2)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
必修2

3.1.1《直线的倾斜角与斜率》

教学目的
? 使学生掌握倾斜角和斜率的概念,理解倾 斜角和斜率之间的关系,掌握经过两点的 直线的斜率公式,并会应用公式解题。 ? 教学重点:倾斜角和斜率的的意义,斜率 的公式及其应用。 ? 教学难点:斜率意义的理解



问题引入
在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何 表示呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题,首先探索 确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来. y P(x,y) l
O x

问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定?
y

l O

x

问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
y

l
O P

x

问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y

l O

P

x

直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .
当直线l与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为 0 ? . y l

直线的倾斜角 ? 的取值范围为:
0 ? ? ? 180 .
?

O

x

?

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l ?? 已知直线上的一个点不能 l l? 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.

确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可.
y

l
O P x

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

坡度(比)

?

升高量 前进量

升 高 量 前进量

问题引入
例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更 陡一些,因为坡度(比)?
2 3 3 2 .

升 高

坡度(比)

?

升高量 前进量

?
前进

直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即
k ? tan ?

( ? ? 90 )

?

倾斜角是90 ? 的直线有斜率吗? 倾斜角是90 ? 的直线的斜率不存在.

直线的斜率
如:倾斜角 ?
? 45
?

时,直线的斜率 k ? tan 45 ? ? 1 .
180
?

tan( 当 ? 为锐角时,

? ? ) ? ? tan ? .

? 如:倾斜角为 ? ? 135 时,由

k ? tan 135

?

? ? tan 45

?

? ?1

即这条直线的斜率为 ?

1.

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度.

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

两点的斜率公式
设直线P1 P2的倾斜角为α ( α ≠90° ),当直线P1 P2的 方向(即从P1指向P2的方向) 向上时,过点P1作 x 轴的平行 线,过点P2作 y 轴的平行线, 两线相交于点 Q,于是点Q的 坐标为( x2,y1 ).

?

当 ? 为锐角时,? ? ? QP 1 P 2 , x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 . 在直角 ? P1 P 2 Q 中
tan ? ? tan ? QP 1 P 2 ? | QP 2 | | P1 Q | ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

两点的斜率公式

?

? 当 ? 为钝角时, ? 180
y 1 ? y 2 . tan ? ? tan( 180
?

?

? ? QP 1 P 2 , x 1 ? x 2 ,

? ? ) ? ? tan ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1

在直角 ? P1 P 2 Q 中
tan ? ? | QP
2

|

?

y 2 ? y1 x1 ? x 2

? ?

| P1 Q |

tan ? ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

.

两点的斜率公式

同样,当 P 2 P1 的方向向上时,也有
tan ? ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 .

两点的斜率公式

1.已知直线上两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB? 斜率时,与 P1 , P2 两点坐标的顺 序有关吗?

无关

2.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?

不适用

两点的斜率公式
当直线 P 2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 立吗?为什么? 成立

经过两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )( x 1 ? x 2 ) 的直线的 斜率公式为:
tan ? ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 .

典型例题
例1 如图 ,已知 A ( 3 , 2 ), B ( ? 4 ,1 ), C ( 0 , ? 1 ) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

解:直线AB的斜率
k AB ? 1? 2 ? 4? 3 ? 1 7
? 2 4
k CA ?

;

直线BC的斜率
k BC ? ?1?1 0 ? (?4) ? ? ? 1 ;
? ? 3 ? 3 ? 1;

直线CA的斜率

2 ?1? 2
0? 3

由 k AB ? 0 及 k CA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 k BC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.

典型例题
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l 1 , l 2 , l 3 及 l 4 . y 解:取 l 1上某一点为 A 1 的 坐标是 ( x 1 , y 1 ) ,根据斜率公式 有: y1 ? 0 x 1? ,
l3
A3

l1

A1

x1 ? 0

A2

l4 l2 A4

即 x1 ? y1 .

设 x 1 ? 1 ,则 y 1 ? 1 ,于是 A 1的坐标是 ( 1 ,1 ) .过 原点及 A 1 ( 1 ,1 ) 的直线即为 l 1 . l 2是过原点及 A 2 ( x 2 , y 2 ) 的直线,l 3 是过原点及 A 3 ( x 3 , y 3 ) 的直线, l 是过原点及 A ( x , y ) 的直线. 4 4 4 4

知识小结

倾斜角

斜率

两点间斜率公式


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