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教师版第一章第三讲方程理论


广东北江中学高一数学校本教材

教师版第一章第 3 节

一元二次方程(3 课时)

3.1 根的判别式
我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变 形为 b b 2 ? 4ac ( x ? )2 ? . ① 2a 4a 2 因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当

b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不 相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac x1,2= ; 2a (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数
根 x1=x2=-
b ; 2a b 2 ) 2a

(3) 当 b2-4ac<0 时, 方程①的右端是一个负数, 而方程①的左边 ( x ?

一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定, 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式, 通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac ; 2a (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 b x1=x2=- ; 2a (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 题 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实 数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 解: (1)∵Δ=32-4× 1× 3=-3<0,∴方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式 Δ=a2-4× 1× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有 两个不等的实数根
x1,2=

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? . 2 2 (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4× 1× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以, x1 ?
1

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①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× 1× a=4-4a=4(1-a), 所以 ①当 Δ>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ; ②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化,于是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类 讨论. 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题 中会经常地运用这一方法来解决问题. 题 2.如果关于 x 的方程 mx2 ? 2?m ? 2?x ? m ? 5 ? 0 没有实数根,试判断关于 x 的方程 ?m ? 5?x 2 ? 2?m ? 1?x ? m ? 0 的根的情况. 解:∵ 方程 mx2 ? 2?m ? 2?x ? m ? 5 ? 0 没有实数根, ∴ ? ? [?2(m ? 2)]2 ? 4m(m ? 5) ? 4(m 2 ? 4m ? 4 ? m 2 ? 5m) ? 4(4 ? m) ? 0. ∴ m?4 对于方程 ?m ? 5?x 2 ? 2?m ? 1?x ? m ? 0 . 当 m=5 时,方程有一个实数根; 当 m≠5 时, ?1 ? [?2(m ? 1)]2 ? 4m(m ? 5) ? 4(3m ? 1) . ∵ m?4 ∴ 3m ? 1 ? 13 .

∴ ?1 ? 4(3m ? 1) ? 0 ,方程有两个不相等的实数根. 综上,当 m=5 时,方程 ?m ? 5?x 2 ? 2?m ? 1?x ? m ? 0 有一个实数根; 当 m ? 4 且 m≠5 时,此方程有两个不相等的实数根.

2

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题 3. 已知 b ? ac ,求证:
2

关于 x 的一元二次方程 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2b(a ? c) x ? b 2 ? c 2 ? 0 有两个相等实数根. 证明:∵ ? ? ? ? ?2b ? a ? c ?? ? ?4 a ?b
2 2

?

2

??b

2

? c 2 ? 且 b 2 ? ac
2

∴ ? ? 4b
2

2

?a ? c?

2

? 4 ? ac ? a 2 ?? ac ? c 2 ? ? 4b 2 ? a ? c ? ? 4a ? a ? c ? ? c ? a ? c ?
2

? 4ac ? a ? c ? ? 4ac ? a ? c ? ? 0

∴原方程有两个相等实数根.

练习: 1 一元二次方程 2kx2+(8k+1)x+8k=0 有两个实数根,确定 k 的取值范围.

? k ?0 k ?0 ? 1 ? ? 解:由题意得:? 解得 ? 2 1 ,即 k ? ? 且k ? 0 , 16 k?? ? ? ?? ? (8k ?1) ? 4 ? 2k ? 8k ? 0 16 ?
所以当 k ? ?

1 且k ? 0 原方程有两个实数根. 16

2.求证:如果关于 x 的方程

没有实数根,那么,关于 y 的方程

一定有两个不相等的实数根. 分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 方程 设方程 即 的根的判别式为 ,则 的根的判别式为 ,

∵方程 ,即 当 时, ,即 故方程

无实数根, ,解得:

. 有两个不相等的实数根.
3

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3. 已知关于 x 的一元二次方程 求证:(1)方程

有两个相等的实数根. 有两个不相等的实数根;

(2) 设方程

的两个实数根为

, 若

, 则

.

分析:运用根的判别式证之. 证明 ∵方程 有两个相等的实数根,

整理,得 (1)方程

. 的判别式

.

∴方程 (2)解方程

有两个不相等的实数根. ,得

说明:对于(2),也可以利用下节的根与系数关系证明.
4

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4 证明 : 不论 a , b , c 为任何实数 , 关于 x 的方程 x 2 ? (a ? b) x ? (ab ? c 2 ) ? 0 都有实数根.
2 2 2 2 证明:∵ ? ? ? ?? ? a ? b ?? ? ? 4 ?1? ?? ab ? c ? ? a ? b ? 2ab ? 4ab ? 4c 2

?

?

??

? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 4c 2 ? ? a ? b ? ? 4c 2 ? 0
2

∴不论 a , b , c 为任何实数,原方程都有实数根.

3.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2? 4ac b 2 ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2 2a 2a 4a 4a a 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: x1 ? x2 ?
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?
b ,x1· x2 a

c = .这一关系也被称为韦达定理. a 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其 两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一 2 元二次方程 x +px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x +x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.

题 1 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再 由方程解出另一个根. 但由于我们学习了韦达定理, 又可以利用韦达定理来解题, 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之 积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 22+k× 2-6=0, ∴k=-7.
2

5

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3 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- . 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 6 3 解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- ,∴x1=- . 5 5 3 k 由 (- )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5

题2 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到 关于 m 的方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的 方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1· x2=m2+4. 2 2 ∵x1 +x2 -x1· x2=21, 2 ∴(x1+x2) -3 x1· x2=21, 2 即 [-2(m-2)] -3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 1× 293<0,不合题意, 舍去. 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对 应的 m 的范围, 然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值, 取满足条件的 m 的值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的 判别式 Δ 是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根.
题 3 已知: 关于 x 的方程 ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2 , 并且抛物 线 y ? x ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁。
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)当 x1 ? x2 ? 2 2 时,求 a 的值。
(1)解法一:∵关于 x 的方程

?a ? 2?x2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根

?a ? 2 ? 0 ?? 2 ?? ? ( ?2a ) ? 4a (a ? 2) ? 0
6

广东北江中学高一数学校本教材 解得: a

? 0,且 a ? ?2

? 1 ? ………………1 分
x 轴的两个交点的坐标分别为

设抛物线 y

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与

??,0? 、 ??,0? ,且

? ??
∴α 、β 是关于 x 的方程 x
2

2

? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 ? 0 的两个不相等的实数根
2

? ? ' ? ???2a ? 1?? ? 4 ? 1 ? ?2a ? 5? ? ?2a ? 1? ? 20 ? 0
∴a 为任意实数 <2> 由根与系数关系得: ? ∵抛物线 y

? ? ? 2a ? 1,?? ? 2a ? 5

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁

? ? ? 2 ,? ? 2 ? ?? ? 2??? ? 2? ? 0 ? ?? ? 2?? ? ? ? ? 4 ? 0 ? 2a ? 5 ? 2?2a ? 1? ? 4 ? 0 3 ? 3 ? ………………2 分 解得: a ? ? 2 3 由<1>、<2>、<3>得 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 ………………3 分 2 ? 1 ? ………………1 分 解法二:同解法一,得: a ? 0,且 a ? ?2
∵抛物线 y 口向上 ∴当 x

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)两旁,且抛物线的开

? 2 时, y ? 0

? 4 ? 2?2a ? 1? ? 2a ? 5 ? 0
解得: a

??

3 2

? 2 ? ………………2 分 3 ? a ? 0 ………………3 分 2

由<1>、<2>得 a 的取值范围是 ?

(2)解:∵ x1 和 x2 是关于 x 的方程

?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 的两个不相等的实数根

? x1 ? x 2 ? ??

2a a ,x1 x 2 ? a?2 a?2

3 ?a?0 2 ?a ? 2 ? 0
? x1 x 2 ? a ? 0 ………………4 分 a?2
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不妨设 x1

? 0,x2 ? 0

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 2 ………………5 分
2 2 ? x1 ? 2 x1 x2 ? x2 ? 8 ,即 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 8

2

4a ? 2a ? ?? ?8 ? ? ? a ? 2? a?2
解这个方程,得: a1

2

? ?4,a2 ? ?1 ………………6 分
2

经检验, a1

4a ? 2a ? ? ?4,a2 ? ?1 都是方程 ? ? 8 的根 ? ? ? a ? 2? a?2
3 ,舍去 2

? a ? ?4 ? ?

?a ? ?1为所求………………7 分
题 4. 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; 1 1 (2)求 2 ? 2 的值; x1 x2 3 3 (3)x1 +x2 . 解:∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根, 5 3 ∴ x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 2 5 3 (1)∵| x1-x2|2=x12+ x22-2 x1x2=(x1+x2)2-4 x1x2= (? ) 2 ? 4 ? (? ) 2 2 25 49 = +6= , 4 4 7 ∴| x1-x2|= . 2 5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 2 2 2 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 1 1 37 2 2 4 (2) 2 ? 2 ? 2 2 ? . ? ? ? 2 3 9 x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 ) 9 (? )2 2 4 (3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] 5 5 3 215 =(- )× [(- )2-3× ( ? )]=- . 2 2 2 8 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会 遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a
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?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ∴| x1-x2|= ? ? 2a 2a 2a

b2 ? 4 a c ? . ? |a | a | | 于是有下面的结论: ?
若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=

? (其 |a|

中 Δ=b2-4ac) . 今后, 在求一元二次方程的两根之差的绝对值时, 可以直接利用上面的结论.
题 5 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围. 解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0, ① 且 Δ=(-1)2-4(a-4)>0. ②

由①得

a<4, 17 由②得 a< 4 . ∴a 的取值范围是 a<4.
题 6. 已知关于 x 的方程 x ? 6 x ? m ? 0 (m 为正整数)有两个实数根
2

x1,x2,分别求下列两式的值:

(1)(x1-1)(x2-1);

(2) x 2 ? 6x ? 3

巩固练习:
1.已知关于 x 的方程 x2+2(2-m)x+3-6m=0,(1)求证:无论 m 取什么实数,方程总有实 数根;(2)如果方程的两个实数根 x1、x2 满足 x1=3x2,求实数 m 的值. 解: (1)∵△=[2(2-m)]2 -4(3-6m)=4m2+8m+4=4(m+1)2≥0,∴无论 m 取什么实数,方程 总有实数根.

? x1 ? x 2 ? ?( 2 2 ? m) ? (2)由题意得 ? x1 ? x 2 ? 3 ? 6m ,解得 m=0,m= -4. ? x1 ? 3 x 2 ?
2.已知关于 x 的方程 x2-2mx+3m=0 的两个实数根是 x1,x2,且 ( x1 ? x2 ) ? 16 ,如果
2

关于 x 的另一个方程 x2-2mx+6m-9=0 的两个实数根都在 x1 和 x2 之间,求 m 的值.

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? ? x 1 ? x 2 ? 2m ? x 1 ? x 2 ? 2m ? ? ? 解:由题意得 ? x1 ? x 2 ? 3m ,即 ? , x1 ? x 2 ? 3m ? ? 2 2 2 ? ? ?( x1? x 2) ? 16 ?( x1? x 2) ? ( x1? x 2) ? 4 x1 ? x 2 ? 16
解得 m1= -1,m2=3,均满足方程 x2-2mx+3m=0 有两个实数根的条件; 当 m= -1 时,方程 x2-2mx+3m=0 即 x2+2x-3=0 的根为 -3 和 1;而方程 x2-2mx+6m- 9=0 即 x2+2x-15=0,两个根为 -5 和 3,满足条件; 当 m= 3 时,方程 x2-2mx+3m=0 即 x2-6x+9=0 的根为 3 和 3;显然方程 x2-2mx+6m -9 =0 的根不在 x1 和 x2 之间,舍去. 故 m 的值为 -1. 3.k 为何值时,方程 x2+5x-k=0 和 3x2-2x+k=0 有一个相同的实根. 解:设方程 x2+5x-k=0 有实根 x1 和 x2,3x2-2x+k=0 有实根 x1 和 x3,由根与系数的关系

? x1 ? x 2 ? ?k ? k ? ? ? x 1 x3 51 ? 3 ,解得 ? 0 , ? ? ,且均满足△≥0的条件,所以 k ? 0 或 得: ? k k 2 1 16 ? x 1 ? x 2 ? ?5 ? 2 ? x1 ? x 3 ? 3 ?

k

??

51 ,所给二方程有一相同的实根. 16

2 ? ?? ? 5? ? k ? 0??? (1) (另解)设α 为所给二方程的公共根,则 ? ,由(1)、(2)两 2 ? 2 ? ? k ? 0 ?? (2) ? ? ?3 3 2 式相加,得 4? ? 3? ? 0 ,所以 1 ? 0, ? 2 ? ? 4 ,把 1 、 2 的值分别代入(1)式得 51 51 k 1 ? 0 , k 2 ? ? 16 .故 k ? 0 或 k ? ? 16 ,所给二方程有一相同的实根。

?

? ?

4.已知 ? 、 ? 是方程 x2+x+a=0 的两个实数根, (1)求 a 的取值范围; (2)试用 a 表 示|?|+|? | 解: (1)由题意得△=1-4a≥0,∴a≤

1 ; 4

(2)法一:①当 ? ≥0, ? ≥0 时, ? + ? ≥0 与 ? + ? = -1 矛盾;②当 ? ≤0, ? ≤0 时,有 0≤a≤ -? =

1 ,|?|+|? | = - ? - ? =1;③当 ? ≥0, ? ≤0 时,有 a≤0,|?|+|? | = ? 4
2 2

(? ?? ) ? (? ? ? )
? -? =

? 4?? ? 1 ? 4a ;④当 ? ≤0, ? ≥0 时,有 a≤0,
2

|?|+|? | =

(? ?? ) ? (? ? ? )
2

? 4?? ? 1 ? 4a .

法二: 因为 ? + ? = -1, 所以 ? 、? 中至少有一个为负根。 ①不妨设 ? ≤ ? , 即当 ? <0,
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1 ? ≤0 时,有 0≤a≤ ,|?|+|? | = - ? - ? =1;②当 ? <0, ? >0 时,有 a<0,|?|+|? | = 4

? -? =

(? ?? ) ?
2

1 ? 4a .

法 三 :( |?|+|? | ) 2=|

? |2+| ? |2+2| ? || ? |= ? 2+ ? 2+2| ?? |=( ? + ? )2
1 时, (|?|+|? | )2=1,∴|?|+|? | =1;②当 a<0 时, 4

-2 ?? +2| ?? |=1-2a+2|a|.①当 0≤a≤

(|?|+|? | )2=1-4a,∴|?|+|? | ? 1 ? 4a 5.已知关于 x 的方程

1 2 2 ? (m ? 2) x ? m ? 0 , (1)若方程有两个相等的实数根, x 4

求 m 的值,并求出这时方程的根; (2)是否存在正数 m,使方程的两个实数根的平方和等 于 224?若存在,请求出满足条件的 m 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)由△=[-(m-2)]2-4× 等的实数根,这时方程为

1 2 m = -4m+4=0,解得 m=1.所以 m=1 时,方程有两个相 4

1 2 x +x+1=0,x1=x2= -2 4

(2)假设存在正数 m, 使方程的两个实数根的平方和等于 224, 设这两个实数根为 x1、 x2, 2 2 2 2 2 2 2 则 x1 +x2 =224, 因为 x1+x2=4(m-2), x1x2=4m , 所以 x1 +x2 =( x1+x2) -2 x1x2=8(m -8m+8)=224. 解得 m1=10, m2= -2(不满足 m>0,舍去) . 又当 m=10 时,△= -4m+4=-36<0,所以 m=10 不合题意,舍去. 故不存在正数 m,使方程的两个实数根的平方和等于 224. 6.已知关于 x 的方程 x +(a+1)x+b-1=0 的两根之比是 2:3,判别式的值为 1,求方程的根. 解:设方程 x +(a+1)x+b-1=0 的两个根为 2k,3k.
2 2



即 又∵△=1, 即(a+1) -4×1×(b-1)=1, ∴(-5k) -4×6k =1. ∴k =1. ∴k=±1.
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2 2 2 2

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当 k=1 时,2k=2×1=2,3k=3×1=3. 当 k=-1 时,2k=2(-1)=-2,3k=3(-1)=-3.所以方程两根为 2,3 或-2,-3. 7.已知关于 x 的一元二次方程 ax2+x—a=0 ( a≠0 ) (1) 求证:对于任意非零实数 a,该方程恒有两个异号的实数根; (2) 设 x1、 x2 是该方程的两个根,若∣x1∣+ ∣x2∣=4,求 a 的值。 (1)证明:∵⊿=1+4a2, ∴⊿>0 ∴方程恒有两个实数根 (1 分) 设方程的两根为 x1,x2, ∵a≠0, ∴x1·x2= —1<0 ∴方程恒有两个异号的实数根 (1分) (2)∵x1·x2<0, ∴∣x1∣+∣x2∣=∣x1 — x2∣=4 2 x1+x2(x1+x2) — 4x1 x2=16 又∵x1+x2= —

(1分)

1 , a

(1分)



1 3 +4=16。∴a=± 2 a 6

(2 分)

8.已知关于 x 的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根, (1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k,使此方程的两个实数根的倒数和等于 0 ?若存在,求出 k 的值; 若不存在,说明理由. (1) ∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ =[-2(k+1)]2-4k(k-1)>0,且 k≠0,解得 k>-1, 且 k≠0 .即 k 的取值范围是 k>-1,且 k≠0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (2) 假设存在实数 k,使得方程的两个实数根 x1 , x2 的倒数和为 0. · · · · · · · · · · · · 4分 2(k ? 1) 1 1 k ?1 k ? 0 ,即 则 x1 ,x2 不为 0,且 ? ? 0 ,解得 k=-1 . ? 0 ,且 k ?1 x1 x 2 k k · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 而 k=-1 与方程有两个不相等实根的条件 k>-1,且 k≠0 矛盾, 故使方程的两个实数根的倒数和为 0 的实数 k 不存在 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

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