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2009-2015全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)


2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

y ( x ? y ) ln(1 ? ) x dxdy ? ____________,其中区域 D 由直线 x ? y ? 1 与两坐标 1.计算 ?? D 1? x ? y
轴所围成三角形区域. 2.设 f ( x ) 是连续函数,且满足 f ( x) ? 3x 2 ? 3.曲面 z ?

?

2 0

f ( x)dx ? 2 , 则 f ( x) ? ____________.

x2 ? y 2 ? 2 平行平面 2 x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是__________. 2

4 .设函数 y ? y ( x) 由方程 xe f ( y ) ? e y ln 29 确定,其中 f 具有二阶导数,且 f ? ? 1 ,则

d2 y ? ________________. dx 2
二、 (5 分)求极限 lim(
x?0

e x ? e 2 x ? ? ? e nx x ) ,其中 n 是给定的正整数. n

e

三、 (15 分) 设函数 f ( x) 连续,g ( x) ? 并讨论 g ?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.

?

1 0

f ( xt)dt ,且 lim
x ?0

f ( x) ? A , A 为常数, 求 g ?( x ) x

四、 (15 分)已知平面区域 D ? {( x, y) | 0 ? x ? ? , 0 ? y ? ? }, L 为 D 的正向边界,试证: (1) xe
L

?
?
L

sin y

dy ? ye? sin x dx ?? xe? sin y dy ? yesin x dx ;
L

(2) xesin y dy ? ye?sin y dx ? ? 2 .

5 2

五、 (10 分)已知 y1 ? xe x ? e 2 x , y2 ? xe x ? e ? x , y3 ? xex ? e2 x ? e? x 是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.

六、 (10 分)设抛物线 y ? ax2 ? bx ? 2 ln c 过原点.当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,又已知该抛物线 与 x 轴及直线 x ? 1 所围图形的面积为 转体的体积最小.

1 .试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋 3

? ( x) ? un ( x) ? x n?1e x (n ? 1,2, ?) , 且 u n (1) ? 七、 (15 分)已知 un ( x) 满足 un
级数

e , 求函数项 n

?u
n ?1

?

n

( x) 之和.

八、 (10 分)求 x ? 1 时, 与

?

?x
n ?0

?

n2

等价的无穷大量.

2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 (25 分,每小题 5 分) (1)设 xn ? (1 ? a)(1 ? a 2 )?(1 ? a 2 ), 其中 | a |? 1, 求 lim xn .
n ??
n

? 1? (2)求 lim e ?1 ? ? 。 x ?? ? x?
?x

x2

(3)设 s ? 0 ,求 I ?

?

?

0

e? sx x n dx(n ? 1, 2,?) 。
?2 g ?2 g ?1? x 2 ? y 2 , g ( x, y ) ? f ? ? ,求 2 ? 2 。 ?x ?y ?r?

(4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r ?

(5)求直线 l1 : ?

?x ? y ? 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? 与直线 l2 : 的距离。 4 ?2 ?1 ?z ? 0

二、 (15 分)设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上具有二阶导数,并且

f ??( x) ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, 且存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 。
x ??? x ???

三、 (15 分)设函数 y ? f ( x) 由参数方程 ? 导数,曲线 y ? ? (t ) 与 y ?

? x ? 2t ? t 2 ? y ? ? (t )

(t ? ?1) 所确定,其中? (t ) 具有二阶

?

t2

1

e ? u du ?

2

3 在 t ? 1 出相切,求函数? (t ) 。 2e

四、 (15 分)设 an ? 0, S n ?
??

? a , 证明:
k ?1 k

n

(1)当 ? ? 1 时,级数

? S ? 收敛;
n ?1 n

an

(2)当 ? ? 1 且 sn ? ?(n ? ?) 时,级数

? S ? 发散。
n ?1 n

??

an

五、 (15 分)设 l 是过原点、方向为 (? , ? , ? ) , (其中 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 1) 的直线,均匀椭球

x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 ,其中( 0 ? c ? b ? a, 密度为 1)绕 l 旋转。 a 2 b2 c 2
(1)求其转动惯量; (2)求其转动惯量关于方向 (? , ? , ? ) 的最大值和最小值。

六、(15 分)设函数 ? ( x) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线 积分

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 的值为常数。 x4 ? y 2
2 2

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) ? y ? 1, 证明 (2)求函数 ? ( x) ;

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy ? 0; x4 ? y 2

(3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 。 x4 ? y 2

2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一. 计算下列各题(本题共 3 小题,每小题各 5 分,共 15 分)

(1).求 lim ?

? sin x ? ? x?0 ? x ?

1 1?cos x



(2).求 lim ?

2t ? d2y ? x ? ln ?1 ? e ? (3)已知 ? ,求 。 2 t dx ? ? y ? t ? arctan e

1 1 ? ? 1 ? ? ... ? ?; n?? n ? 1 n ? 2 n ? n ? ?

二. (本题 10 分)求方程

? 2 x ? y ? 4 ? dx ? ? x ? y ? 1? dy ? 0 的通解。

三. ( 本 题 15 分 ) 设 函 数 f(x) 在 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且

f ? 0? , f ' ? 0? , f " ? 0? 均 不 为

0 , 证 明 : 存 在 唯 一 一 组 实 数 k1 , k 2 , k3 , 使 得

lim
h?0

k1 f ? h ? ? k2 f ? 2h ? ? k3 f ? 3h ? ? f ? 0 ? h2

? 0。

四 .( 本 题 17 分 ) 设

x2 y 2 z 2 ?1 : 2 ? 2 ? 2 ? 1 , 其 中 a ? b ? c ? 0 a b c



? 2 : z 2 ? x 2 ? y 2 , ? 为 ?1 与 ? 2 的交线,求椭球面 ?1 在 ? 上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。

? x2 ? 3 y 2 ? 1 五. (本题 16 分)已知 S 是空间曲线 ? 绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部 z ? 0 ?
分( z

? 0 )取上侧, ? 是

S 在P

? x, y, z ? 点处的切平面, ? ? x, y, z ? 是原点到切

平面 ? 的距离, (1)

?, ? ,? 表示 S 的正法向的方向余弦。计算:

z (2) z ? ? x ? 3? y ?? z ? dS dS ; ?? ?? ? x , y , z ? ? S S

六. (本题 12 分)设 f(x)是在 中
?

? ??, ?? ? 内的可微函数,且
,定义

f 、? x ? ? mf ? x ? ,其
证明:

0 ? m ? 1 , 任 取 实 数 a0
n

an ? ln f ? an?1 ? , n ? 1,2,...,

?? a
n?1

? an?1 ? 绝对收敛。

七. (本题 15 分) 是否存在区间
2

满足 f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? 1, ? 0, 2? 上的连续可微函数 f(x),

f 、? x ? ? 1, ? f ? x ? dx ? 1?请说明理由。
0

2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 (本大题共 5 小题,每小题 6 分共 30 分)解答下列个体(要求写出要求写出 重要步骤)
1

(1) 求极限 lim( n! )
n? ?

n2

? 2 x ? y ? 3z ? 2 ? 0 (2) 求通过直线 l : ? 的两个互相垂直的平面 ? 1 和 ? 2 ,使其中 ? 5 x ? 5 y ? 4z ? 3 ? 0 一个平面过点 (4 , ? 3 , 1) 。
(3) 已知函数 z ? u( x , y)e ax ? by , 且 满足方程

? 2u 确定常数 a 和 b , 使函数 z ? z( x , y ) ? 0。 ? x? y

?2z ?z ?z ? ? ?z?0 ? x? y ?x ?y

(4) 设函数 u ? u( x ) 连续可微, u(2) ? 1 ,且 ? ( x ? 2 y )udx ? ( x ? u3 )udy 在右半 平面与路径无关,求 u( x , y ) 。 x ?1 sint (5) 求极限 lim 3 x ? dt x x ? ?? t ? cost 二、 (本题 10 分)计算 ?
?? 0

e ? 2 x sinx dx

1 三、求方程 x 2 sin ? 2 x ? 501的近似解,精确到 0.001. x

四、 (本题 12 分) 设函数 y ? f ( x ) 二阶可导, 且 f ??( x ) ? 0 , f (0) ? 0 , f ?(0) ? 0 ,

x 3 f ( u) 求 lim ,其中 u 是曲线 y ? f ( x ) 上点 P ( x , f ( x )) 处的切线在 x 轴 3 x ?0 f ( x ) sin u 上的截距。

五、 (本题 12 分) 求最小实数 C , 使得满足 ? f ( x ) dx ? 1 的连续函数 f ( x ) 都
0

1



?

1 0

f ( x )dx ? C

六、 (本题 12 分)设 f ( x ) 为连续函数, t ? 0 。区域 ? 是由抛物面 z ? x 2 ? y 2 和球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 ( z ? 0) 所围起来的部分。定义三重积分
F ( t ) ? ??? f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv
?

求 F ( t ) 的导数 F ??(t )

七、 (本题 14 分)设 ? an 与 ? bn 为正项级数,证明:
n ?1 n ?1
? an 1 ? ? ? 0 ,则级数 ? an 收敛; n?? a bn?1 n ?1 n?1bn ? ? an 1 ? ? ? 0 ,且级数 ? bn 发散,则级数 ? an 发散。 (2)若 lim? n? ? a bn?1 n ?1 n ?1 n?1bn

?

?

(1)若 lim?

2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、
解答下列各题(每小题 6 分共 24 分,要求写出重要步骤)
n ??

1.求极限 lim 1 ? sin ? 1 ? 4n 2
??

?

?.
n

2.证明广义积分

?
0

sin x dx 不是绝对收敛的 x

3.设函数 y ? y ? x ? 由 x3 ? 3x2 y ? 2 y3 ? 2 确定,求 y ? x ? 的极值。 4.过曲线 y ? 3 x ? x ? 0? 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及 x 轴所围成的平 面图形的面积为
3 ,求点 A 的坐标。 4
?

二、 (满分 12)计算定积分 I ?

??

?

x sin x ? arctan e x dx 1 ? cos2 x

三、 (满分 12 分) 设 f ? x ? 在 x ? 0 处存在二阶导数 f ?? ? 0? , 且 lim
x ?0

f ? x? ?0。 证明 : x

? ?1? 级数 ? f ? ? 收敛。 ?n? n ?1

四、 (满分 12 分)设 f ? x ? ? ? , f ? ? x ? ? ? ? 0 ? a ? x ? b ? ,证明 ? sin f ? x ? dx ?
a

b

2 m

五、 (满分 14 分)设 ? 是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分

I ? ?? ? x3 ? x ? dydz ? ? 2 y3 ? y ? dzdx ? ? 3z 3 ? z ? dxdy 。试确定曲面 ? ,使积分 I 的值
?

最小,并求该最小值。

六、 (满分 14 分)设 I a ? r ? ? ? ?
C

?x

ydx ? xdy
2

? y2 ?

a

,其中 a 为常数,曲线 C 为椭圆

x2 ? xy ? y 2 ? r 2 ,取正向。求极限 lim I a ? r ?
r ???

1 1 ?? ? 2 n 的敛散性,若收敛,求其和。 七(满分 14 分)判断级数 ? n ? 1 n ? 2 ?? ? n ?1 ?
?

1?

2014 年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试题
一、 填空题(共有 5 小题,每题 6 分,共 30 分) 1. 已知 y1 ? e x 和 y1 ? xex 是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是___ _________________________________ 2. 设有曲面 S : z ? x2 ? 2 y 2 和平面 L : 2 x ? 2 y ? z ? 0 。则与 L 平行的 S 的切平面 方程是_______________________________ 3. 设函数 y ? y ( x) 由方程 x ? ?
y?x 1

? ?t ? sin 2 ? ?dt 所确定。求 ?4?

dy ? _______________ dx x?0
4. 设 xn ? ?
k 。则 lim xn ? ______________________ n?? k ?1 ( k ? 1)!
1

n

5.

f ( x) f ( x) ? x ? ? e3 。则 lim 2 ? ____________________ 已知 lim?1 ? x ? ? x ?0 x x ?0 x ? ?

二、

(本题 12 分)设 n 为正整数,计算 I ? ? ?2 n?
e

1

d ? 1? cos? ln ? dx 。 dx ? x ?

三、

(本题 14 分)设函数 f ( x) 在 [0,1] 上有二阶导数,且有正常数 A, B 使得
B 。 2

| f "( x) |? B 。证明:对任意 x ? [0,1] ,有 | f ' ( x) |? 2 A ?

四、 (本题 14 分) (1)设一球缺高为 h ,所在球半径为 R 。证明该球缺体积 ? 为 (3R ? h)h 2 。球冠面积为 2?Rh ; (2)设球体 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? 12 被 3 平面 P : x ? y ? z ? 6 所截得小球缺为 ? ,记球冠为 ? ,方向指向球外。求第二型 曲面积分

I ? ?? xdydz? ydzdx? zdxdy
?

五、

(本题 15 分)设 f 在 [a, b] 上非负连续,严格单增,且存在 xn ?[a, b] ,
1 b [ f ( x)] n dx 。求 lim xn n?? b ? a ?a

使得 [ f ( xn )] n ?

六、

(本题 15 分)设 An ?

n n n ?? ? ? 2 ?? ? 2 。求 lim n? ? An ? 2 2 n ?? n ?1 n ? 2 n ?n ?4 ?
2

2015 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题 6 分,共 5 小题,满分 30 分) ? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? (1)极限 lim n ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?? n ?? n ?n? ? n ?1 n ? 2 ? ?

.

? z z? (2)设函数 z ? z ? x, y ? 由方程 F ? x ? , y ? ? ? 0 所决定,其中 F ?u, v ? 具有连续 y x? ?

x









xFu ? yFv ? 0
.





?z ?z ?y ? ?x ?y

( 3 ) 曲 面 z ? x2 ? y 2 ? 1 在 点 M ?1,? 1, ? 3的 切 平 面 与 曲 面 所 围 区 域 的 体 积 是 .
?3 ,x ? ? ? 5 ,?0 ? ( 4 ) 函 数 f ? x? ? ? 在 ? ?5,5? 的 傅 立 叶 级 数 在 x ? 0 收 敛 的 值 0 . x ? 0 , 5 ? ? ? ?



.
??
2

(5)设区间 ? 0, ??? 上的函数 u ? x ? 定义域为的 u ? x ? ? ? e? xt dt ,则 u ? x ? 的初等
0

函数表达式是 . 二、 (12 分)设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。

三、 (12 分) 设 f ? x ? 在 ? a, b ? 内二次可导, 且存在常数 ? , ? , 使得对于 ?x ?? a, b? , 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 在 ? a, b ? 内无穷次可导。

四、 (14 分)求幂级数 ?

n3 ? 2 n ? x ? 1? 的收敛域,及其和函数。 n ?0 ? n ? 1? !
?

五、 (16 分)设函数 f ? x ? 在 ?0,1? 上连续,且 ? f ? x ? dx ? 0,? xf ? x ? dx ? 1 。试证:
1 1 0 0

(1) ?x0 ??0,1? 使 f ? x0 ? ? 4 (2) ?x1 ??0,1? 使 f ? x1 ? ? 4

2 2 2 六、 (16 分) 设 f ? x, y ? 在 x2 ? y 2 ? 1上有连续的二阶偏导数, 且 f xx ? 2 f xy ? f yy ?M 。



f ? 0,0? ? 0, f x ? 0,0? ? f y ?0,0? ? 0, 证明:

x 2 ? y 2 ?1

??

f ? x, y ? dxdy ?

? M
4




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