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一题多解11 导数 极值点偏移


已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x . (I)讨论 f ( x) 的单调性;

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a (III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A、B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证明:
(II)设 a ? 0 ,证明:当 0

? x ?

f ' ( x0 ) ? 0 .

命题说明: 一、命题来源:个人原创 二、主要考查以下几方面内容: (1)考查求导公式(包括形如 f (ax ? b) 的复合 函数求导)及导数运算法则; (2)考查对数的运算性质; ( 3)导数法判断函数 的单调性; (4)考查用构造函数的方法证明不等式; ( 5)考查分类讨论、数形 结合、转化划归思想; 三、难度:属于理科导数压轴题,难; 四、解题方法: (Ⅰ)解: f ( x) 的定义域为 (0,??) ,
f ?( x) ?
(解决函数问题,定义域优先的原则)

1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? . (常见函数的导数公式及导数的四则运算) x x (ⅰ)若 a ? 0, 则 f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,??) 单调递增; 1 ' (ⅱ)若 a ? 0, 则由 f ( x) ? 0 得 x ? , a 1 1 ' ' 当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? ( ,?? ) 时, f ( x) ? 0 (导数法研究函数单调性,涉 a a
及分类讨论的思想)

1 1 ? f ( x)在(0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减. a a 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递增; 1 1 当 a ? 0 时, f ( x)在(0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减. a a
归纳小结:本小问属导数中常规问题,易错点有二:易错点一是忽略函数的定义域,易错 点二是分类讨论的分类标准的选取。 (II)分析:函数、导数综合问题中的不等式的证明,主要是构造函数的思想,利用所构 造的函数的最值,来完成不等式的证明。形如“ f ( ? x) ? f ( ? x) ”的不等式叫二元的 不等式,二元不等式的证明主要采用“主元法” 。 解析:方法一:构建以 x 为主元的函数 设函数 g ( x) ? f (

1 a

1 a

1 1 ? x) ? f ( ? x), a a

(构造函数体现划归的思想)

则 g ( x) ? ln( (这是本题的难点,估计很多学生不知要把 g ( x) 1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax , 朝何方象化简,由于要利用导数法求最值,所以 应朝有利于求导的方向化简,另外考试大纲中明 确对复合函数求导,只需掌握 f (ax ? b) 型。 )

a a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? ( f (ax ? b) 型的复合函数求导) 1 ? ax 1 ? ax 1? a2 x2 1 当 0 ? x ? 时, g ?( x) ? 0, 而g (0) ? 0, 所以g ( x) ? 0 . a 1 1 1 故当 0 ? x ? 时 , f ( ? x) ? f ( ? x). a a a g ' ( x) ?
方法二:构建以 a 为主元的函数 设函数 g (a ) ? f (

1 1 ? x) ? f ( ? x) ,则 a a g (a) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax

x x 2x 3a 2 ? ? 2x ? 1 ? ax 1 ? ax 1? a2 x2 1 1 由 0 ? x ? ,解得 0 ? a ? x a 1 当 0 ? a ? 时, g ' (a) ? 0 ,而 g (0) ? 0 ,所以 g (a) ? 0 x 1 1 1 故当 0 ? a ? , f ( ? x) ? f ( ? x). x a a g ' (a) ?
归纳小结:无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式,解题中都体现了将 不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。

x1 ? x 2 1 与 的大小 a 2 2 2 关系,又可等效成判断 ? x1 与 x2 的大小关系,根据(Ⅱ)中不等式可确定 f ( ? x1 ) 与 a a f ( x2 ) 的大小关系,结合(Ⅰ)中 f ( x) 单调性,问题迎刃而解。 解:由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点, 1 1 故 a ? 0 ,从而 f ( x ) 的最大值为 f ( ), 且f ( ) ? 0. a a 1 不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ? ? x2 . (结合图象分析更方便) a 2 1 1 由(II)得 f ( ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (注意前后两问的衔接) a a a 1 又 f ( x) 在 ( , ??) 单调递减 a x ? x2 1 2 ? . 所以 x2 ? ? x1 , 于是x0 ? 1 (利用函数性质脱掉函数符号) a 2 a 由(I)知, f ?( x0 ) ? 0.
(Ⅲ)分析:判断 f ' ( x0 ) 的正负,由(Ⅰ)中单调性,可知,即确定 归纳小结:本小问解决主要是建立在第(Ⅰ) (II)问的基础之上的,分析问题中注意数 形结合,解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法,需要学

生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通,达到以“无法胜有法,以无招胜有招的 境界,才有机会解决这个问题,是考查学生综合能力的体现。

五、试题蕴含的数学思想方法:
数学思想: (1)分类讨论思想 (2)转化划归思想 (3)数形结合思想 数学方法 : (1)导数法确定函数单调性 (2)构造函数法证明不等式

六、题目的几何背景:
任何抽象的代数形式背后,都有其深刻的几何背景,本题的几何背景

无论是函数 f ( x) ? xe? x 还是 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x(a ? 0) 其实都是先减后增 的单峰函数,利用图象的对称平移变化,就能出现在 x 的指定的某一范围下, f ( x)、g ( x) 两函数图象的端点处的函数值相同,图象有高低,也就产生了我们的试题中 的第(II)问。由于 f ( x) 为单峰函数,图像关于直线 x ? x0 ( x0 为函数的极值点)不对 称,导致直线 y ? m (或 x 轴)与曲线相交时,交点 A、B 到直线 x ? x0 的距离不等,进 而出现 AB 重点 M 在 x ? x0 的右侧,也就出现试题中的第(III)问。

七、问题变式与拓展
对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手,对其加以变式,一对题目的条件加以 变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法,我主要从以下几个方面对试题加以变式。 问题变式一:已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x . (III)若函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? m 交于 A、B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 , 证明: f ' ( x0 ) ? 0 . 编题意图:将特殊直线 y ? 0 (或 x 轴)变成一般的直线 y ? m ,体现从特殊到一般。 问题变式二:已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx(a ? 0) ,
2

(III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证明:
f '( x0 ) ? 0 .

编题意图:要解决的问题不变,改编的是原函数,通过添加参数来改编试题,改变试题的 难度。 问题变式三:已知函数 f ( x ) ?

ln x x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求证: 0 ? x ? e, f (e ? x) ? f (e ? x)

(3)设图象与直线 y ? m 的两交点分别为 A( x1 , f ( x1 )、B( x2 , f ( x2 ) , AB 中点横坐标为

x0 , 证明: f ' ( x0 ) ? 0
编题意图:跳出所给函数,尝试在新函数下改编问题。 问题变式四:已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? ax ,若函数的图象与 x 轴交于两点 A( x1 ,0) 、

B( x2 ,0) ,且 0 ? x1 ? x2 . 若正常数 p, q 满足 p ? q ? 1, q ? p .求证:. f ' ( px1 ? qx2 ) ? 0
编题意图:将中点变成任意分点,来改编试题。


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