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数学竞赛书籍推荐


细数那些年曾看过的数竞好书
——转摘于网络

竞赛的学习远不同于高考,差异性的根源就来自老师这一角色的转变。所谓的教练,已经从传 道授业解惑的老师,转变为了引路的灯塔。他们可以为学生搜集资料,编制试题,懂得启发、引导 学生思考,善于布局谋划学生的发展方向,却极少拿起教材真正教你些什么。 当学习过程中的第一知识来源几乎不再为你注入源头活水的时候,你自然

明白,书本就成了你 获取知识的唯一可行途径。你看什么书,它知识点讲解是否清楚,它囊括的练习题是否典型而具有 启发性,就直接决定了你的学习质量,其重要性无需我再多言。 作为一个数学竞赛的过来人,我写下这篇文章,按照时间顺序分段介绍数学竞赛几个必经的层 次,及其对应的参考书籍。希望给正在或者即将踏上长路奔驰的你,带来一些实质性的帮助。 Period 1:初三毕业的那个夏天——高一的第一个学期结束 第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段,说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知 识自学完成,吃饱了上路。这一阶段的目标,清晰明确:配合老师的课堂教学,尽可能快地自学完 成高考数学的绝大多数内容,在最短时间内达到高考的要求。 在这一部分, 我并没有什么值得推荐的参考书, 我只想介绍我当时的情况。 我高中的第一个学期, 期中考试数学分数非常低,这不是我个人的问题,而是我们整个数学竞赛组都存在的麻烦。于是我 的竞赛老师就自己搜集了一些高考的难题,汇总,并且按照联赛一试的形式命制成了一套套的试题 让我们练习。毫不夸张地说,到了期末,数学组的高考数学成绩就统治全班了,前前后后不过两个 月的时间。 Period 2:高一第一学期结束的寒假 第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习,是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。 我建议你需要完成的事情是:学习一试的内容和平面几何的内容。 对于一试部分的内容,我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》 ,注意是高一年 级和高二年级的基础篇 (只有基础篇) 。 学数学竞赛的人不可能没听说这一套书, 这一系列共分三本, 分别在封面注明了高一到高三三个年级。高一的这一本包括的知识点有:集合、函数、数列、三角 函数、向量和立体几何,除了集合包含一定的组合知识,其他的内容均为一试内容(可能还包括一 点二试的代数内容) ,题目非常典型且有难度,不管是基础篇还是提高篇都是必须刷完的;高二这本 书基础篇包括:一试难度的不等式,解析几何和复数,提高篇基本就是二试内容了,不推荐在这个 阶段完成。 平面几何的内容,我只推荐一本书,这本书也是我唯一看过的一本平面几何的书: 《奥赛经典— —奥林匹克数学中的几何问题》 ,主要由沈文选老师编写,湖南师范大学出版社出版。请你无视第二 篇和第三篇关于立体几何和解析几何的内容,重点在第一篇。除了三四五六七章(从托勒密到九点 圆)可以略看,不是考察重点,其他都要认真看。这本书的精华就在每一章节的基础知识部分,严 密细致的总结归纳,堪称平面几何教科书的典范。另外这本书上的题目难度分级也很合理,不是一 味的难或者水,刷的时候可以明显感觉到能力的提升。一个小的不足是错误较多。

关于这一阶段的学习,还要多啰嗦几句。第一,两条线要穿插着进行,尤其是一试内容的学习, 不仅是在这一阶段,在以后的过程中,都要保证常规的最低训练量;第二,这个阶段以及第三阶段,

都是新知识学习的阶段,你的目标很明确:快速地把这个圈子摸一遍。所以对于部分难题,该放的 果断放,必须保证一定的学习速度,但同时要保证质量,走马观花同样是大忌,建议题目的完成+ 阅读率在 80-90%。 Period 3: 高一第二学期开始到高一结束后暑假的中期 第三阶段是你一试实力进一步提升的阶段,同时也是你开始接触二试部分较难知识(数论、组 合)的时期。一试在第二阶段已经说过,在第三阶段你要持续看那两本书。 二试还有三块重要的内容你需要接触:代数、数论和组合。 代数方面,和刷什么书相比更重要的事情是,先说清楚一个未公开的公认事实:代数不一定考, 要考也只能是不等式或者数列函数等和一试紧密联系的部分。明面上代数的内容包括不等式、多项 式、所有函数、数列、复数等内容,但实际上你需要真的把它当作二试内容来训练的,就只有不等 式。不等式的内容,我当时练习的是高二年级的《奥数教程》提高篇不等式的部分,难度适中,没 有什么特别的亮点,但是入门已经足够了。 (在这个阶段,不等式也不是你的准备重点) 数论方面,我推荐必读书有两本: 《奥数教程》高三年级里面的数论部分(第 6-10 讲以及第 19、 20 讲) ,还有《数学奥林匹克小丛书高中卷 10 数论》 ,两本书均由余红兵老师编写。说起余老师, 他绝对算得上是数学竞赛界数论这一块数一数二的老师,他编写的教材精致而有深度,这两本书是 不得不刷的。 《奥数教程》这一本,题目简单基础,非常适合入门阅读。它的闪亮之处,在于余老师 给知识点和问题分析写下的注解,一步步引导你思考和挖掘问题,这是竞赛书籍里绝无仅有的,值 得你一个一个字地细看深思。而小丛书那一本,就已经具有一定的难度了,题目非常典型和深刻, 属于进阶的数论书,适合在入门后阅读。 组合方面,在这个阶段我推荐的书是《数学奥林匹克小丛书高中卷 11 组合数学》 ,由张垚老师 编著。除了母函数这一节可以略看,其他几章章章都堪称精华,难度梯度设置合理,知识覆盖全面, 题目典型而有深度,解答细致易懂。即便是入门书籍,它也已经具有了相当的难度,能真正看好这 本书,全国联赛的组合基础题肯定是不在话下的。 最后多说一句,组合和数论是二试内容中较难的两块,尤其是组合千变万化,思维性稍欠缺一 点的同学会觉得很难上手。如果你在看书的时候觉得很吃力,一定要把速度降下来。 Period 4:高一结束暑假的中后期——高二开学不久的数学联赛 第二、三阶段都是竞赛内容全面铺开、构建知识网络的时期,是你储备知识,提高水平的发酵 期,那么现在就是验收成果的时候了,你直面的就是数学联赛。你在这一阶段会经历一个大爆发的 过程,你这一步究竟飞得有多高,直接取决于你前两个阶段准备得怎样。 这一阶段,我不再推荐新的书,你可以把前两个阶段没有刷完的书继续跟进。但是有一本刊物: 《中等数学》 , 它每年到了暑假就会发行几本增刊, 有一本收集了上一年全国乃至全世界各地的考题, 有一本就是各省的竞赛名师专门为联赛命制的模拟题,后者是你准备联赛的利器。这本增刊一般都 包括十几套模拟题,其中每一套你都要当作模拟考试一样限时完成,书写过程然后阅卷。需要注意 的是,不同的老师有不同的喜好,命制的模拟题风格各异。整本增刊良莠不齐,大多数都是好的, 但是个别的几套真的很过分(比如我当年遇到一套题,把一试题当作二试题出,全组一试的平均分 不超过 30 分,一半同学 0 分或者 8 分) ,你需要自己判断。 最后补充几句话,这一阶段通过练习联赛模拟题,预期的效果当然把你前期的积累转化为联赛 的分数,说白了就是找找联赛的感觉。除此之外,你的一试还会有很大的提升或者巩固,所以你务 必把你的一试错题整理收集,一定要保证所有的一试题是以下几种情况:正确完成;算错了的重新 计算;不会的看过解答,弄明白了。另一方面,你的二试不会有硬实力的提高,所以如果你遇到了 一些看不太明白的二试题,就让它去吧。

Period 5:高二联赛结束——高二结束暑假的前中期 高二的联赛是一个分水岭。如果你的竞赛目标是强省的省队,国赛金牌,集训队甚至更远,下 面的推荐适合你。如果你的目标没有这么远,剩下的内容你可以完全忽略,前几个阶段的事情,你 大可放慢速度。情况就是这样:我之前的推荐那些书,真正看好,就已经能够达到弱省省队和强省 省一等奖的层次。 高二联赛的准备,你的一试、平面几何基本达到了联赛要求,这两块也不会是你高二这一年的 准备重点,你的重心需要转移到剩下的三个内容上来,尤其是数论和组合。 先说任务量稍轻的一块吧。关于代数,尽管多项式的内容在近几年的各类大型考试中几乎销声 匿迹,但是你也要提防,我的建议是刷完余红兵老师的《奥数教程》高三年级多项式部分即可。关 于不等式,如果你想要练,建议是《数学奥林匹克小丛书高中卷 5 不等式的解题方法和技巧》 ,由苏 勇和熊斌两位老师合著。之前说过的《奥数教程》高二年级的部分主要是针对重要的不等式,这一 本书则是针对不等式的技巧方法,全面细致。 以上关于代数部分的建议,你根据自己的情况适当调整,不想刷也没关系,但是以下关于数论 和组合的部分是必看的。 数论方面,只需做好一本书,不用再看其他的书,就可以达到冬令营的难度要求,甚至走得更 远。这本书就是《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》 ,由冯志刚编写,上海科技教育出版社出 版。这本书知识讲解几乎可以忽略,远没有余老师的书出色,但是这本书涵盖了大量的习题,简直 就是数论这一块的黄金题库, 题目的质量实在是太高 (大多数都是很难的, 尤其是第一章难度最高) , 一道道刷过来,数论的能力会有质的飞越。 组合方面,我推荐三本书,推荐首先阅读第一本: 《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》 , 这是组合这一块综合性的大百科全书,除了第一二章可以略看,后五章要认真刷完,题量大,题目 质量很高,对于组合能力的提升要很大的帮助。剩下的两本书,你可以根据需要选择其中一本刷。 两本书是《数学奥林匹克小丛书高中卷 13 组合极值》以及《高中数学竞赛专题讲座——组合构造》 , 都是由冯越峰老师编著。上面收集的问题同样很精彩,尤其是后者,难度很大,有能力可以两本都 刷,组合多练一些绝对错不了。 最后一个建议是,如果你平时有机会进行一些模拟考试,推荐这一阶段不要考联赛模拟题,难 度要上升,需要尝试去考 CMO,美国数学奥林匹克竞赛,有能力甚至可以去试试国家集训队测试、 国家队选拔、罗马尼亚大师杯和 IMO(在《走向 IMO》系列丛书中都有收录) 。如果说高二的联赛你 是够着去考的话,高三这一年你需要以俯视的姿态回归。有意的拔高难度,才能够做到在联赛的考 试中游刃有余。 Period 6:高二结束暑假的后期——高三联赛 这一阶段,是你在一系列拔高练习之后的回归期。这一阶段你要做好两件事。 首先,把你之前刷过的所有书都要过一遍,作为复习。这一个习惯很重要,而且很多人都没有 这个习惯。第一遍看书时难免走得坑坑洼洼,有些题压根没看,有些题当时没看懂,现在是时候回 过头来料理它们的时候了。你现在可以从一个更高的观点,去审视原来的问题,想想这道题是怎么 来的?它的背后蕴藏了什么东西?这类技巧还经常在哪些题中出现?当时我为什么没有做出来…… 一切有意义、有价值的问题,你都可以去思考,然后把你的感悟记下来,这就是总结,它可以帮助 你完善知识网络,加深印象,更重要的是它能够帮助你形成解题的经验。另外一个好处就是,当你 发现当年把你虐得死去活来的问题不过就那么回事的时候,心情真是倍儿爽。 其次,高二暑假出来的那一本《中等数学》的增刊你需要完成,这一点无需我多说,你已经明 白。 Period 7:高三联赛结束——中国数学奥林匹克竞赛(又称国赛、冬令营、CMO)

如果你考进了省代表队,并且有资格参加国赛,那你的数学竞赛之路还能继续往前走。联赛结 束到国赛开始,还有一段时间,在这个阶段,你需要刷的是三本书。其中两本是《数学竞赛研究教 程》的上下册,还有一本就是《奥数教程学习手册》高三年级,在解答部分结束之后有两个专题: 组合问题和数论问题,上面收集的题目和所做的注解非常棒。 除了书之外,你还需要拔高难度去练习一些国家集训队测试、国家队选拔、美赛、罗马尼亚大 师杯、IMO 等试题,在《走向 IMO》系列丛书中都有收录。 如果你在国赛当中取得了不错的成绩,升学问题就不用担心了,我分享的经验也就到此结束。 最后我想总结几点,作为提醒送给你: 竞赛书在精不在多。这是我一路走来的一大感悟,我用我亲身经历和我看见的实例告诉你,很 多时候一本书就足够练好一大块内容,一本书刷好了就可以有惊艳的表现。水平上不来,不是因为 你书刷得不够,而是你刷得不好。 竞赛书不能光看,一定要自己动笔练习。很多人习惯非常不好,只看不做,很多问题的解答非 常精彩,你直接去阅读和你先动笔试试再去看,收获的东西是不在一个数量级上的。 看书的时候要养成动笔记录想法、观点的习惯。我见过身边很多人看完的书干净得像没看过一 样,做出来了的打个勾,没做出来的画个圈,仅此而已。这是很糟糕的习惯。刷题时一定要记录一 切有价值,有意义的东西,可以是不同于解答的新解法,可以是你的思考和感悟,也可以是你的困 惑,总之一切你认为的闪光点,都值得记录。 切忌走马观花,但也不能在一个角落过分纠结。这是两种极端,有些人看书飘得很高,这样的 人其实什么都学不到,最后注定死得很惨。但也有些人看书过分追求完美,总觉得我要无死角扫平 这本书,但这是不可能的,有些难题和偏题,适当跳过也是必须的。 要有书看多遍的习惯,这个之前也提过。一本书看第二遍的时候,整个人的感觉都会不一样, 觉得自己就像处在另外一个境界,很多问题一下就豁然开朗,这样的体验非常奇妙,而且能够给你 带来实质性的帮助——经验式解题的形成,对于稳定联赛成绩,避免极端情况的发生,它具有关键 性的作用。


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