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高三数学(理科)押题精练:专题【7】《数列求和及综合应用》ppt课件


专题七

数列求和及综合应用

数列求和及综合应用
主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下

两个问题:
1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公 式,考查用等差、等比数列知识分析问题和


考 究创新的能力,属中档题; 情 2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列 解 读 的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及

转化与化归思想的应用,属中档题.
3

主干知识梳理

1.数列求和的方法技巧
(1)分组转化法

有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将
数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列

或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.

(2)错位相减法
这是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法,这种 方法主要用于求数列 {an· bn}的前n项和,其中{an},{bn}分 别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法

这是在推导等差数列前 n项和公式时所用的方法,也就是
将一个数列倒过来排列 (反序),当它与原数列相加时若有 公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用 倒序相加法求和.

(4)裂项相消法
利用通项变形,将通项分裂成两项或 n项的差,通过相

加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和 .这种方
法,适用于求通项为 的数列的前n项和,其中{an} .

1 若为等差数列,则= anan 1 +
1 1? 1 1 ? = ?a -a ? anan+1 d? n n+1?

常见的裂项公式:

1 1 1 ① = - ; n?n+1? n n+1 1 11 1 ② = ( - ); n?n+k? k n n+k 1 1 1 1 ③ = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 1 ④ = ( n+k- n). n+ n+ k k

2.数列应用题的模型

(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,
该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2) 等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个 固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就 是公比.

(3) 混合模型:在一个问题中同时涉及等差数列和等
比数列的模型.

(4) 生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定

的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体
量增加(或减少)时,我们称该模型为生长模型.如分

期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.
(5)递推模型:如果容易找到该数列任意一项an与它

的前一项an-1(或前n项)间的递推关系式,我们可以
用递推数列的知识来解决问题.

热点分类突破

? 热点一
? 热点二 ? 热点三 ? 热点四

分组转化求和
错位相减法求和 裂项相消法求和 数列的实际应用

热点一

分组转化求和

例1 等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、 三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在

下表的同一列.

第一列 第二列 第三列

第一行
第二行 第三行

3
6 9

2
4 8

10
14 18

(1)求数列{an}的通项公式;
思维启迪 根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式;



当a1=3时,不合题意;

当 a1= 2时,当且仅当 a2=6, a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意. 因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3. 故an=2· 3n-1 (n∈N*).

(2) 若数列 {bn} 满足: bn = an + ( - 1)nln an ,求数列

{bn}的前n项和Sn.
解 因为bn=an+(-1)nln an

思维启迪 分组求和.

=2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1)

=2· 3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]
=2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 所以 Sn = 2(1 + 3 + ? + 3n - 1) + [ - 1 + 1 - 1 + … + ( -1)n]· (ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3.

当n为偶数时,

1- 3 n n n Sn=2× + ln 3=3 + ln 3-1; 2 1- 3 2
当n为奇数时,
? ? 1- 3 n - 1 ? ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? -n?ln 3 1- 3 ? 2 ? n

n

n- 1 =3 - ln 3-ln 2-1. 2
n

综上所述,
? ?3n+nln 3-1, n为偶数, ? 2 Sn=? ? n n- 1 3- ln 3-ln 2-1, n为奇数. ? ? 2

在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思
想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数

列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等
思 差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解 维 . 在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是 升 华 正负交替的,所以一般需要对项数 n 进行讨论,

最后再验证是否可以合并为一个公式.

变式训练1 已知数列{an}中,a1=1,anan+1=( 1 )n(n∈N*).

2 (1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}(n∈N*) 都是等比数列;
证明 因为anan+1=( 1 )n,an+1an+2=( 1)n+1,

又a1=1,a2= 1 ,所以数列a1,a3,?,a2n-1,?,是

an+2 1 所以 = . an 2

2

2

2 以1为首项,1为公比的等比数列; 2
比数列.

1 为公比的等 数列a2,a4,?,a2n,?,是以 1 为首项,
2

2

(2) 若 数 列 {an} 的 前 2n 项 和 为 T2n , 令 bn = (3 -

T2n)· n· (n+1),求数列{bn}的最大项.

解 由 (1) 可得 T2n = (a1 + a3 + ? + a2n - 1) + (a2 + a4 1n 1 1n 1-? ? [1-? ? ] 2 2 2 1n +?+a2n)= + =3-3( ) , 1 1 2 1- 1- 2 2
1n 所以 bn=3n(n+1)( ) , 2

bn+1=3(n+1)(n+2)( 1 )n+1,

2

1 n n+ 2 所以 bn+1-bn=3(n+1)( ) ( - n) 2 2 1 n+1 =3(n+1)( ) (2-n), 2
所以b1<b2=b3>b4>?>bn>?, 所以(bn)max=b2=b3= 9 .

2

热点二

错位相减法求和

例2

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1

=2Sn+n+1(n∈N*),

(1)求数列{an}的通项公式;

思维启迪 n>1时,Sn=2Sn-1+n两式相减得{an}的递推关系式,然 后构造数列求通项;



∵Sn+1=2Sn+n+1,

当n≥2时,Sn=2Sn-1+n, ∴an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),

an+1+1 即 =2(n≥2), an+1
又S2=2S1+2,a1=S1=1,



a2+1 ∴a2=3,∴ =2,∴当 n= 1 时,① 式也成立, a1+1
∴an+1=2n,即an=2n-1(n∈N*).

n ,数列{bn}的前n项和为Tn,n∈N*, a - a n 1 n + 证明:T <2.
(2)若bn=
n

思维启迪 先利用错位相减法求出Tn,再放缩.

证明

∵ a n= 2 n- 1 ,

n n n ∴bn= n+1 = n+1 n= n, n ?2 -1?-?2 -1? 2 -2 2

1 2 3 n ∴Tn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 n- 1 n 1 1 2 Tn= 2+ 3+?+ n + n+1, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ∴两式相减,得 Tn=2( + 2+ 3+?+ n- n+1) 2 2 2 2 2 n =2- n-1- n<2. 2 2 1

错位相减法求数列的前n项和是一种重要的方法
思 .在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征, 维 即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个 升 华 等比数列对应项相乘所得数列的求和问题 .

变式训练2

设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3· 22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; 解 由已知得,当n≥1时,

an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1
=3(22n-1+22n-3+?+2)+2=22(n+1)-1.

而a1=2,符合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.

(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
解 由bn=nan=n· 22n-1知 ① ②

Sn=1· 2+2· 23+3· 25+?+n· 22n-1. 从而22· Sn=1· 23+2· 25+3· 2 7+ ? + n · 22n+1.

①-②,得(1-22)Sn=2+23+25+?+22n-1- n· 22n+1,

即Sn= 1 [(3n-1)22n+1+2].

9

热点三

裂项相消法求和

例3

已知等差数列 {an} ,公差 d>0 ,前 n 项和为 Sn ,

S3=6,且满足a3-a1,2a2,a8成等比数列.

(1)求{an}的通项公式;

思维启迪
利用方程思想可确定a,d,写出{an};

解 由S3=6,得a2=2.
∵a3-a1,2a2,a8成等比数列,

∴(2d)· (2+6d)=42,

解得d=1或d=- 4 ,

3

∵d>0,∴d=1.

∴数列{an}的通项公式为an=n.

(2)设bn=
思维启迪

1 ,求数列{bn}的前n项和Tn的值. an· an+2

利用裂项相消法求Tn.

1 1 1 1 解 Tn= + + +?+ 1· 3 2· 4 3· 5 n?n+2?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+( - )+( - )+?+( - )] 2 3 2 4 3 5 4 6 n n+2 2 3n +5n 13 1 1 =(- - )= . 2 2 n+1 n+2 4?n+1??n+2?

思 维 升 中{a }为等差数列. n 华

1 裂项相消法适合于形如{ }形式的数列,其 an· an+k

变式训练3

已知等差数列 {an}是递增数列,且满足a4· a7=15,
a3+a8=8.

(1)求数列{an}的通项公式;

解 根据题意a3+a8=8=a4+a7,a4· a7=15,
所以 a4 , a7 是方程 x2 - 8x + 15 = 0 的两根,且 a4<a7 ,

解得a4=3,a7=5.

设数列{an}的公差为d, 由a7=a4+(7-4)· d,得d= 2 .

3

故等差数列{an}的通项公式为

2 =2n+1 . an=a4+(n-4)· d=3+(n-4)· 3
3

1 (2)令 bn= (n≥2),b1= ,求数列{bn}的前 n 3 9an-1an 项和 Sn.

1

1 解 当 n≥2 时,bn= = 9an-1an 2n-1 2n+1 9· · 3 3 1 1 1 1 = = ( - ), ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1

1

1 1 1 又 b1= = (1- ), 3 2 3
所以 Sn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 1 = (1- + - +?+ - ) 2 3 3 5 2n- 1 2n+ 1 1 1 n = (1- )= . 2 2n+ 1 2n+ 1
n 即数列{bn}的前 n 项和 Sn= . 2 n+ 1

热点四 例4

数列的实际应用

自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个

省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 “ 绿色通道 ” 的 申请、受理、审批一站式服务,某台商第一年年初到大陆

就创办了一座120万元的蔬菜加工厂 M,M的价值在使用过
程中逐年减少,从第二年到第六年,每年年初 M 的价值比 上年年初减少 10 万元,从第七年开始,每年年初 M 的价值 为上年年初的75%.

(1)求第n年年初M的价值an的表达式;
思维启迪 根据题意,当n≤6时,数列{an}是等差数列,当n≥7时,

数列{an}是等比数列,分别写出其通项公式,然后进行合
并即可;



当 n≤6 时,数列 {an} 是首项为 120 ,公差为

-10的等差数列, 故an=120-10(n-1)=130-10n,

当 n≥7 时,数列 {an} 从 a6 开始的项构成一个以 a6 = 130-60=70为首项,以 3 为公比的等比数列,

4
故an=70×( 3 )n-6,

?130-10n,n≤6, ? 所以第 n 年年初 M 的价值 an=? 3 n-6 ?70×? ? ,n≥7. ? 4

4

(2)设An= a1+a2+?+an ,若An大于80万元,则M

n 继续使用,否则须在第 n 年年初对 M更新,证明:
必须在第九年年初对M更新.

思维启迪 先对n进行分类,表示出An,利用数列的单调性质确定 其最佳项,并与80比较大小,确定n的值.

证明

设Sn表示数列{an}的前n项和,

由等差数列和等比数列的求和公式,得 当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1), An= Sn =120-5(n-1)=125-5n≥95>80,

n

当n≥7时,由于S6=570,

3 故 Sn=570+(a7+a8+?+an)=570+70× ×4×[1 4 3 n-6 3 n-6 -( ) ]=780-210×( ) . 4 4

因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列.

3 n-6 780-210×? ? Sn 4 因为 An= = , n n 32 780-210×? ? 4 A8= ≈82.734>80, 8 33 780-210×? ? 4 A9= ≈76.823<80, 9
所以必须在第九年年初对M更新.

解答数列应用题,与函数应用题的求解过程类似,

一般要经过三步:(1)建模,首先要认真审题,理解
实际背景,理清数学关系,把应用问题转化为数列 问题;
思 (2)解模,利用所学的数列知识,解决数列模型中的 维 相关问题; 升 华 (3)释模,把已解决的数列模型中的问题返回到实际

问题中去,与实际问题相对应,确定问题的结果.

变式训练4 设某商品一次性付款的金额为 a 元,以分期付款的 形式等额地分成n次付清,若每期利率r保持不变, 按复利计算,则每期期末所付款是( )

a n A. (1+r) 元 n a n-1 C. (1+r) 元 n

ar?1+r? B. 元 n ?1+r? -1
n

ar?1+r? D. 元 n ?1+r? -1

n-1

解析 设每期期末所付款是x元,

则各次付款的本利和为 x(1 + r)n - 1 + x(1 + r)n - 2 +
x(1+r)n-3+?+x(1+r)+x=a(1+r)n,

?1+r? -1 n 即 x· =a(1+r) , r n ar?1+r? 故 x= . n ?1+r? -1
答案 B

n

本讲规律总结 1.数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做

好该类题的关键 . 若是等差数列或等比数列,则直
接运用公式求解,否则常用下列方法求解:

?S1?n=1?, (1)an=? ?Sn-Sn-1?n≥2?.
(2)递推关系形如an+1-an=f(n),常用累加法求通项.

(3)递推关系形如 an+1 =f(n),常用累乘法求通项.

aa nn+1= pan+q(p、q是常数,且p≠1, (4)递推关系形如 “
q≠0)” 的数列求通项,常用待定系数法 . 可设 an + 1 + λ =

p(an+ λ),经过比较,求得 λ,则数列 {an+ λ}是一个等比
数列.

(5)递推关系形如“an+1=pan+qn(q,p为常数,且p≠1,
q≠0)”的数列求通项,此类型可以将关系式两边同除以 qn转化为类型(4),或同除以pn+1转为用迭加法求解.

2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型:

(1) 错位相减法求和时,将问题转化为等比数列的
求和问题求解.

(2)并项求和时,将问题转化为等差数列求和.
(3) 分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位

相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和
求解.

提醒:运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的 n+1项中的前 n项,哪些项构成等比数列,以及两边需 除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.

3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问 题的能力 . 其中,建立数列模型是解决这类问题的 核心,在解题中的主要思路:①首先构造等差数列 或等比数列模型,然后用相应的通项公式与求和公 式求解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解

.

真题与押题

? 真题感悟

? 押题精练

1

2

真题感悟

1.(2013· 湖南)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan

- ,n∈N*,则:

1 (1)2 an 3=________;

(2)S1+S2+?+S100=________.

1

2

真题感悟

解析 ∵an=Sn-Sn-1

1 1 n-1 =(-1) an- n-(-1) an-1+ n-1(n≥2), 2 2
n

1 ∴an=(-1) an-(-1) an-1+ n(n≥2). 2 1 当 n 为偶数时,an-1=- n(n≥2), 2 1 当 n 为奇数时,2an+an-1= n(n≥2), 2
n n-1

1

2

真题感悟

1 1 ∴当 n=4 时,a3=- 4=- . 2 16
根据以上{an}的关系式及递推式可求.

1 1 1 1 a1=- 2,a3=- 4,a5=- 6,a7=- 8,?, 2 2 2 2 1 1 1 1 a2= 2,a4= 4,a6= 6,a8= 8,?. 2 2 2 2 1 1 1 ∴a2-a1= ,a4-a3= 3,a6-a5= 5,?, 2 2 2

1

2

真题感悟

∴S1+ S2+ ? + S100= (a2- a1)+ (a4- a3)+ ? + (a100
?1 1 ? 1 1 ? ? -a99)-? + 2+ 3+?+ 100? 2 2 ? ?2 2
?1 1 ? ?1 1 ? 1? 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? =? + 3+?+ 99?-? + 2+?+ 100?= ? 100-1?. 2 ? ?2 2 2 ? 3?2 ?2 2 ?

1 答案 (1)- 16

? 1?? 1 ? (2) ? 100-1? 3?2 ?

1

2

真题感悟

2.(2014· 课标全国 Ⅱ) 已知数列 {an}满足 a1= 1, an+ 1

=3an+1.
(1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式;

1 2

证明 (1)由an+1=3an+1,

1 1 得 an+1+ =3(an+ ). 2 2

1

2

真题感悟

1 3 又 a1+ = , 2 2
1 3 所以{an+ }是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2
3 -1 1 3 an+ = ,因此{an}的通项公式为 an= . 2 2 2
n n

1

2

真题感悟

1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2
1 2 证明 由(1)知 = n . an 3 - 1
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,

1 1 所以 n ≤ n-1. 3 - 1 2× 3

1

2

真题感悟

1 1 1 1 1 于是 + +?+ ≤1+ +?+ n-1 3 a1 a2 an 3
3 1 3 = (1- n)< . 2 3 2
1 1 1 3 所以 + +?+ < . a1 a2 an 2

1

2

3

押题精练

1.如图,一个类似杨辉三角的数阵,则第n(n≥2)行
的第2个数为________.

1

2

3

押题精练

解析

由题意可知:图中每行的第二个数分别为

3,6,11,18,?, 即a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,?,

∴ a3 - a2 = 3 , a4 - a3 = 5 , a5 - a4 = 7 , ? , an - an - 1
= 2n- 3,

∴累加得:an-a2=3+5+7+?+(2n-3),
∴an=n2-2n+3. 答案 n2-2n+3

1

2

3

押题精练

2.秋末冬初,流感盛行,特别是甲型H1N1流感.某医 院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列 {an}, 已知a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*), 则该医院30天入院治疗甲流共有________人.

1

2

3

押题精练

解析 由于an+2-an=1+(-1)n,

所以a1=a3=?=a29=1,
a2,a4,?,a30构成公差为2的等差数列, 所以a1+a2+?+a29+a30

=15+15×2+

15×14×2=255. 2

故该医院30天入院治疗甲流的人数为255. 答案 255

1

2

3

押题精练

3.已知数列{bn}满足3(n+1)bn=nbn+1,且b1=3. (1)求数列{bn}的通项公式;

bn+1 3?n+1? 解 因为 3(n+1)bn=nbn+1,所以 = . bn n b2 2 b3 3 b4 4 bn n 则 =3× , =3× , =3× ,?, =3× , 1 b2 2 b3 3 b1 bn-1 n-1
bn n-1 n 累乘,可得 =3 ×n,因为 b1=3,所以 bn=n· 3, b1
即数列{bn}的通项公式bn=n· 3n.

1

2

3

押题精练

a n n+ 1 5 1 1 1 (2)已知 = ,求证: ≤ + +?+ <1. 6 a1 a2 b n 2n+ 3 an
n?n+1? n an n+ 1 证明 因为 = ,所以 an= · 3. bn 2n+ 3 2n+ 3

1 2n+3 1 3?n+1?-n 1 3 1 1 因为 = ·n= ·n=( - )·n an n?n+1? 3 n?n+1? 3 n n+1 3
1 1 1 1 = ·n-1- ·n, n3 n+ 1 3

1

2

3

押题精练

1 1 1 1 11 11 1 1 所以 + + ? + = (1·0 - ·1)+ ( ·1- ·2) 3 23 2 3 2+ 1 3 a1 a2 an 1 1 1 1 1 1 +?+( ·n-1- ·n)=1- ·n. n3 n+ 1 3 n+ 1 3 1 1 1 * 因为 n∈N ,所以 0< ·n≤ , n+ 1 3 6
5 1 1 5 1 1 1 所以 ≤1- ·n<1,所以 ≤ + +?+ <1. 6 6 a1 a2 an n+ 1 3


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2015高考理科数学押题卷及答案
课标数学理科高考押题卷,题目难度较大,略比14年高考试卷难,适合学生考前练习,查...【答案】 D 【解析】 考点: 命题的真假判断与应用;充要条件 专题: 综合题....
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:10数列求和及综合应用
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2015高考数学二轮复习名师知识点总结:数列求和及数列的综合应用
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2014届高三二轮专题突破-数列求和及数列的综合应用
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2016高考数学复习名师知识点总结:数列求和及数列的综合应用
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高考数学(理)二轮专题练习【专题4】(2)数列求和及综合应用(含答案)
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高中数学经典解题技巧和方法:(数列求和及综合应用)
【编者按】数列求和及综合应用高中数学考试的必考...(共 7 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪...例 2: (2010 ·海南宁夏高考·理科 T17)设数列 ...
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