20160920-2016学年第一学期浙江省名校协作体试题高二数学(含答案)

2016 学年第一学期浙江省名校协作体试题 高二数学
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并 填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题

共 40 分）

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数 f ? x ? ? lg 1 ? x ? 2 的定义域为（ ▲ ） A． ? 2,3? B． ? 2,3? C． ? 2,3? D． ? 2,3?

?

?

2．为了得到函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的图象，只需将函数 y ? sin 2 x 的图象（ ▲ ）
5? 个单位 12 5? D．向左平移 个单位 12
B．向右平移

5? 个单位 6 5? C．向左平移 个单位 6
A．向右平移

， 0 ? c ? 1 ，则（ ▲ ） 3． 若 a ? b ? 1
c c A． a ? b c c B． ab ? ba

C． a logb c ? b loga c

D． loga c ? logb c

4．若正数 x, y 满足 4 x ? y ? 1 ? 0 ，则 x ? y 的最小值为（ ▲ ） xy A． 12 B． 10 C． 9 D． 8

x x x x 5．方程 2 ? 3 ? 5 ? 7 共有（ ▲ ）个不同的实根

A． 0

B． 1

C． 2

D．无数多个

6．设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，若 a1 ? 0 ， 3a8 ? 5a13 ，则 S n 中最大的是（ ▲ ） A． S10 B． S11 C． S 20 D． S 21

? ? 7． 已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0，
?π π? ?4 3?

π π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点，x ? 为 y ? f ( x) 2 4 4

图像的对称轴，且 f ( x) 在 ? ， ? 单调，则 ? 的最大值为（ ▲ ） A．12 B．11 C．10 D．9

8．设 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f ( x) ? g ( x) 、

f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 均为增函数， 则 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 中至少有一个增函数；②
若 T 均是 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 的一个周期，则 T 也均是 f ( x) 、 g ( x) 、

h( x) 的一个周期，③若 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 均是奇函数，则 f ( x) 、
g ( x) 、 h( x) 均是奇函数，下列上述命题成立的个数为（ ▲ ）
A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题

共 110 分）
? ? ? ? ? ? ? ?

二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 9．集合 A ? x ? R x 2 ? 9 ，B ? x ? R 2 x ? 4 ，C ? ? x ? R log 1 x ? 2 ? ，则 A I B ?
2

?

?

?

?

▲ ；

A UC ?

▲ ； ?R B ?

▲ ．

? ? 1 ?x ? ? ,x ? 0 10 ．设函数 f ( x) ? ? ? ，则 f [ f (? 2)]? ?2? ?log x, x ? 0 ? 2
▲ ． 11．若 sin ? ? ?

▲

；使 f (a ) ? 0 的 a 的取值范围是

? ?

?? ?? 3 ? ?? ? ? ? ，则 cos ? ? ? ? = ▲ ； cos ? 2? ? ? = ▲ ． 6? 6? 5 ? ?3 ?

12．在数列 ?an ? 中，a1 ? 2 ，a3 ? 8 ．若 ?an ? 为等差数列，则其前 n 项和为 ▲ ；若 ?an ? 为等比数列，则其公比为 ▲ ． 13．在 ?ABC 中， tan

C A B ? tan ? 1 ，则 tan 的取值范围为 ▲ ． 2 2 2
2 2

14．已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 4 ， g ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? a ? 4 ，若不存在实数 x0 ， 使得 ?

? ? f ? x0 ? ? 0 ，则实数 a 的取值范围为 ▲ ． ? ? g ? x0 ? ? 0

15． 已知 a 、b 、c 是三个单位向量， 且 c ? a ? c ?b ? 0， 则对于任意的正实数 t ， c ? ta ? b

?

?

?

? ?

? ?

?

? 1? t

的最小值为

? ? 1 ，则 a ? b ? 2

▲ .

三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(本题满分 14 分)在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 （1）求角 B 的大小； （2）若 b ? 13，a ? c ? 4 ，求△ABC 的面积．

cos B b ?? . cos C 2a ? c

17 ． （本小题满分 15 分）如图 : A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 在单位圆上且

3 4 B ( ? , ) ， P 是劣弧 AB 上一点（不包括端点 A、B ） ， ?AOP ? ? , ?BOP ? ? ， 5 5 ???? ??? ? ??? ? OQ ? OA ? OP ，四边形 OAQP 的面积为 S ．
(1)当 ? =

? 时，求 cos ? ； 6

(2)求 OA? OQ ? S 的取值范围．

18． (本题满分 15 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ， 且 an 是 Sn 与 2 的等差中项， 数列 {bn } 中，

b1 = 1 ， bn ?1 ? bn ? 2 .
（1）求数列 {an } ， {bn } 的通项公式 an 和 bn ； （2）设 c n ? a n ? bn ，求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

19．(本题满分 15 分)已知奇函数 f ? x ? ? log a （1）求 b 的值，并求出 f ? x ? 的定义域

b ? ax ， 1 ? ax

（2）若存在区间 ?m, n? ，使得当 x ??m, n? 时， f ? x ? 的取值范围为 ?loga 6m,loga 6n? ，求

a 的取值范围

bn ?1 ? 20． (本题满分 15 分)已知数列 ?an ? ， b1 ? 2 ， an?1 ? anbn ， ?bn ? 满足 a1 ? 1 ，
（1）求证：当 n ? 2 时， an?1 ? an ? bn ? bn?1 （2）设 Sn 为数列 an ? bn

an ? bn ， 2

?

? 的前 n 项和，求证： S

n

?

10 ． 9

2016 联考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求.

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 C

5 B

6 C

7 B

8 C

二、填空题：9-14 每题 7 分，15 题 8 分，共 50 分 9．

? ?3 , 2 ?
3 5

；

? ?3, ???
? 24 25

；

?2, ???

．

10．

2

；

? 0,1?

．

11．

；

．

12．

3n2 ? n 2

；

?2

．

13．

?3 ? ,1? ? ?4 ?

．

14．

?1 ? 1 7 ,? 1 ?

?7 ． 1 ?

15．

1 7 或8 8

．

三、解答题（本大题共有 3 小题，16 题 16 分，17、18 每题 18 分，共 52 分） 16． 解： （1）

cos B b sin B ?? ?? ……………………………………3 分 cos C 2a ? c 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cos C ? 0 1 ? 2sin A cos B ? sin A ? 0 ? cos B ? ? …………………………………………6 分 2 2? ?B? ………………………………………………………………………………7 分 3

（2） cos B ? ?

1 a 2 ? c 2 ? 13 ? ……………………………………………………9 分 2 2ac
2

? a 2 ? c 2 ? ac ? 13 ? ? a ? c ? ? ac ? 13 ? ac ? 3 ……………………………………12 分

S?ABC ?

1 3 3 …………………………………………………………………14 分 ac sin B ? 2 4

17.（本小题满分 15 分） （1） cos(? ?

?

3 ? 4 ) ? ? ,sin(? ? ) ? …………………..2 分 6 5 6 5

? ? 3 ? 1 ? 4?3 3 ……..6 分 cos ? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) ? sin(? ? ) ? 6 6 2 6 2 6 10
??? ? （2） OA ? ?1,0? ???? OQ ? ? cos? ? 1,sin? ?
S ? sin ?

??? ? ???? OA ? OQ ? S ? sin? ? cos? ? 1 …………………..9 分
??? ? ???? ?? ? OA ? OQ ? S ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 …………………..10 分 4? ?

4? ? ? ? 5? 4? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? 0,? ? arcsin ? ? ? ? ? , ? arcsin ? sin ?? ? ? ? ? ,1? ……….13 分 5? 4 ?4 4 5? 4? ? 10 ? ? ? ?
??? ? ???? ?? ? ?6 OA ? OQ ? S ? 2 s i ? n ? ? ? ? ?1 ? ， 4 ? ? ?5
扣 2 分) 18． 解： （1） 2an ? Sn ? 2 ， Sn ? 2an ? 2 ， an ? 2 ? an ? an?1 ? ， an ? 2an?1 ，

6 ? 2? + 1 … .15 分 (注: 左边 未算出, 其余全对, 5 ?

a1 ? 2 ，故 an ? 2n …………………………………………………………………………4 分
bn ? 2n ? 1……………………………………………………………………………………7 分
（2） cn ? ? 2n ?1? ? 2 ，…………………………………………………………9 分
n

Tn ? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n 2Tn ? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 24 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1
n ?1 2 3 n 做差，得 Tn ? ? 2n ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 …………………………12 分

?

?

? ? 2n ? 3? 2n?1 ? 6 ……………………………………………………………………15 分
19．解： （1）由已知 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ，得 b ? 1 ……………………………………3 分 故 f ? x ? ? log a

1 ? ax ? 1 1? ，定义域为 ? ? , ? ………………………………………………6 分 1 ? ax ? a a?

（2）当 0 ? a ? 1 时，

f ? x ? ? log a

1 ? ax ? 2 ? ? 1 1? ? log a ? ? 1? 在 ? ? , ? 上单调递减 1 ? ax ? 1 ? ax ? ? a a ?

1 ? am ? f ? m ? ? log a ? log a 6n ? 1 ? ax ? 2 ? ? ? 1 1? 1 ? am 故有 ? ，而 y ? ?? ? 1? 在 ? ? , ? 上单调递增 1 ? ax ? 1 ? ax ? ? a a ? ? f ? n ? ? log 1 ? an ? log 6m a a ? 1 ? an ?

?1 ? am ? 6n ? 1 ? am 1 ? an ?1 ? am ? 所以 又 6m ? 6n 与 ? 矛盾 1 ? am 1 ? an ?1 ? an ? 6m ? ?1 ? an
故 a ? 1 ………………8 分

1 ? am ? f ? m ? ? log a ? log a 6m ? ? 1 ? am 所以 ? ? f ? n ? ? log 1 ? an ? log 6n a a ? 1 ? an ?
故方程

1 ? ax ? 1 1? ? 6 x 在 ? ? , ? 上有两个不等实根， 1 ? ax ? a a?

即 6ax ? ? a ? 6? x ?1 ? 0 在 ? ?
2

? 1 1? , ? 上有两个不等实根………………10 分 ? a a?

设 g ? x ? ? 6ax ? ? a ? 6? x ? 1 ，则
2

? ? ? ? a ? 6 ?2 ? 24a ? 0 ? a?6 1 ? 1 ? ? a ? ? 12a ? a ? …………………………………………………………12 分 ? ? 1 ? 12 ?g ? ? a ? ? a ? 0 ? ? ? ? ?1? ?g ? ? ? 2 ? 0 ? ?a?

?a 2 ? 36a ? 36 ? 0 ? a ? 18 ? 12 2 ………………………………………………14 分 ?? a ? 18 ?
故 1 ? a ? 18 ? 12 2 …………………………………………………………………………15 分 20．

bn ?1 ? an ?1 a ? bn ?1 ? an ?1bn ?1 ? ?0 证明： （1）当 n ? 2 时， bn ? an ? n ?1 2 2 * 故有 bn ? an ? n ? N ? ………………………………………………………………3 分
所以 an ? an?1bn?1 ? an?1 ， bn ? （2）由（1）知

?

?

2

an ?1 ? bn ?1 ? bn ?1 ………………………………6 分 2

bn b b 3 ? n ?1 ? ? ? 1 ? 2 ? ………………………………………9 分 an an ?1 a1 2
bn ? an ? 2 bn ? 3 an …………………………………12 分

?

bn ? an ?

? 1 ? 5

?

故 an ? bn ?

?

?

an?1 ? bn?1 ? an ?1bn ?1 2

? ?

bn?1 ? an?1 2
? an ?1 10

?

2

bn ?1 ? an ?1

??

bn ?1 ? an ?1

10

?? b

n ?1

故 Sn ? 1 ?

1 1 10 ? ? ? n ? …………………………………………………………15 分 10 10 9