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20160920-2016学年第一学期浙江省名校协作体试题高二数学(含答案)


2016 学年第一学期浙江省名校协作体试题 高二数学
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并 填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

r />
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数 f ? x ? ? lg 1 ? x ? 2 的定义域为( ▲ ) A. ? 2,3? B. ? 2,3? C. ? 2,3? D. ? 2,3?

?

?

2.为了得到函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( ▲ )
5? 个单位 12 5? D.向左平移 个单位 12
B.向右平移

5? 个单位 6 5? C.向左平移 个单位 6
A.向右平移

, 0 ? c ? 1 ,则( ▲ ) 3. 若 a ? b ? 1
c c A. a ? b c c B. ab ? ba

C. a logb c ? b loga c

D. loga c ? logb c

4.若正数 x, y 满足 4 x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为( ▲ ) xy A. 12 B. 10 C. 9 D. 8

x x x x 5.方程 2 ? 3 ? 5 ? 7 共有( ▲ )个不同的实根

A. 0

B. 1

C. 2

D.无数多个

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 0 , 3a8 ? 5a13 ,则 S n 中最大的是( ▲ ) A. S10 B. S11 C. S 20 D. S 21

? ? 7. 已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
?π π? ?4 3?

π π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点,x ? 为 y ? f ( x) 2 4 4

图像的对称轴,且 f ( x) 在 ? , ? 单调,则 ? 的最大值为( ▲ ) A.12 B.11 C.10 D.9

8.设 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 是定义域为 R 的三个函数,对于命题:①若 f ( x) ? g ( x) 、

f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 均为增函数, 则 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 中至少有一个增函数;②
若 T 均是 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 的一个周期,则 T 也均是 f ( x) 、 g ( x) 、

h( x) 的一个周期,③若 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 均是奇函数,则 f ( x) 、
g ( x) 、 h( x) 均是奇函数,下列上述命题成立的个数为( ▲ )
A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)
? ? ? ? ? ? ? ?

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.集合 A ? x ? R x 2 ? 9 ,B ? x ? R 2 x ? 4 ,C ? ? x ? R log 1 x ? 2 ? ,则 A I B ?
2

?

?

?

?

▲ ;

A UC ?

▲ ; ?R B ?

▲ .

? ? 1 ?x ? ? ,x ? 0 10 .设函数 f ( x) ? ? ? ,则 f [ f (? 2)]? ?2? ?log x, x ? 0 ? 2
▲ . 11.若 sin ? ? ?



;使 f (a ) ? 0 的 a 的取值范围是

? ?

?? ?? 3 ? ?? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? = ▲ ; cos ? 2? ? ? = ▲ . 6? 6? 5 ? ?3 ?

12.在数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,a3 ? 8 .若 ?an ? 为等差数列,则其前 n 项和为 ▲ ;若 ?an ? 为等比数列,则其公比为 ▲ . 13.在 ?ABC 中, tan

C A B ? tan ? 1 ,则 tan 的取值范围为 ▲ . 2 2 2
2 2

14.已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 4 , g ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? a ? 4 ,若不存在实数 x0 , 使得 ?

? ? f ? x0 ? ? 0 ,则实数 a 的取值范围为 ▲ . ? ? g ? x0 ? ? 0

15. 已知 a 、b 、c 是三个单位向量, 且 c ? a ? c ?b ? 0, 则对于任意的正实数 t , c ? ta ? b

?

?

?

? ?

? ?

?

? 1? t

的最小值为

? ? 1 ,则 a ? b ? 2

▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 14 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13,a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

cos B b ?? . cos C 2a ? c

17 . (本小题满分 15 分)如图 : A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在单位圆上且

3 4 B ( ? , ) , P 是劣弧 AB 上一点(不包括端点 A、B ) , ?AOP ? ? , ?BOP ? ? , 5 5 ???? ??? ? ??? ? OQ ? OA ? OP ,四边形 OAQP 的面积为 S .
(1)当 ? =

? 时,求 cos ? ; 6

(2)求 OA? OQ ? S 的取值范围.

18. (本题满分 15 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 an 是 Sn 与 2 的等差中项, 数列 {bn } 中,

b1 = 1 , bn ?1 ? bn ? 2 .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式 an 和 bn ; (2)设 c n ? a n ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

19.(本题满分 15 分)已知奇函数 f ? x ? ? log a (1)求 b 的值,并求出 f ? x ? 的定义域

b ? ax , 1 ? ax

(2)若存在区间 ?m, n? ,使得当 x ??m, n? 时, f ? x ? 的取值范围为 ?loga 6m,loga 6n? ,求

a 的取值范围

bn ?1 ? 20. (本题满分 15 分)已知数列 ?an ? , b1 ? 2 , an?1 ? anbn , ?bn ? 满足 a1 ? 1 ,
(1)求证:当 n ? 2 时, an?1 ? an ? bn ? bn?1 (2)设 Sn 为数列 an ? bn

an ? bn , 2

?

? 的前 n 项和,求证: S

n

?

10 . 9

2016 联考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求.

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 C

5 B

6 C

7 B

8 C

二、填空题:9-14 每题 7 分,15 题 8 分,共 50 分 9.

? ?3 , 2 ?
3 5



? ?3, ???
? 24 25



?2, ???



10.

2



? 0,1?



11.





12.

3n2 ? n 2



?2



13.

?3 ? ,1? ? ?4 ?



14.

?1 ? 1 7 ,? 1 ?

?7 . 1 ?

15.

1 7 或8 8



三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 16 分,17、18 每题 18 分,共 52 分) 16. 解: (1)

cos B b sin B ?? ?? ……………………………………3 分 cos C 2a ? c 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cos C ? 0 1 ? 2sin A cos B ? sin A ? 0 ? cos B ? ? …………………………………………6 分 2 2? ?B? ………………………………………………………………………………7 分 3

(2) cos B ? ?

1 a 2 ? c 2 ? 13 ? ……………………………………………………9 分 2 2ac
2

? a 2 ? c 2 ? ac ? 13 ? ? a ? c ? ? ac ? 13 ? ac ? 3 ……………………………………12 分

S?ABC ?

1 3 3 …………………………………………………………………14 分 ac sin B ? 2 4

17.(本小题满分 15 分) (1) cos(? ?

?

3 ? 4 ) ? ? ,sin(? ? ) ? …………………..2 分 6 5 6 5

? ? 3 ? 1 ? 4?3 3 ……..6 分 cos ? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) ? sin(? ? ) ? 6 6 2 6 2 6 10
??? ? (2) OA ? ?1,0? ???? OQ ? ? cos? ? 1,sin? ?
S ? sin ?

??? ? ???? OA ? OQ ? S ? sin? ? cos? ? 1 …………………..9 分
??? ? ???? ?? ? OA ? OQ ? S ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 …………………..10 分 4? ?

4? ? ? ? 5? 4? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? 0,? ? arcsin ? ? ? ? ? , ? arcsin ? sin ?? ? ? ? ? ,1? ……….13 分 5? 4 ?4 4 5? 4? ? 10 ? ? ? ?
??? ? ???? ?? ? ?6 OA ? OQ ? S ? 2 s i ? n ? ? ? ? ?1 ? , 4 ? ? ?5
扣 2 分) 18. 解: (1) 2an ? Sn ? 2 , Sn ? 2an ? 2 , an ? 2 ? an ? an?1 ? , an ? 2an?1 ,

6 ? 2? + 1 … .15 分 (注: 左边 未算出, 其余全对, 5 ?

a1 ? 2 ,故 an ? 2n …………………………………………………………………………4 分
bn ? 2n ? 1……………………………………………………………………………………7 分
(2) cn ? ? 2n ?1? ? 2 ,…………………………………………………………9 分
n

Tn ? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n 2Tn ? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 24 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1
n ?1 2 3 n 做差,得 Tn ? ? 2n ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 …………………………12 分

?

?

? ? 2n ? 3? 2n?1 ? 6 ……………………………………………………………………15 分
19.解: (1)由已知 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,得 b ? 1 ……………………………………3 分 故 f ? x ? ? log a

1 ? ax ? 1 1? ,定义域为 ? ? , ? ………………………………………………6 分 1 ? ax ? a a?

(2)当 0 ? a ? 1 时,

f ? x ? ? log a

1 ? ax ? 2 ? ? 1 1? ? log a ? ? 1? 在 ? ? , ? 上单调递减 1 ? ax ? 1 ? ax ? ? a a ?

1 ? am ? f ? m ? ? log a ? log a 6n ? 1 ? ax ? 2 ? ? ? 1 1? 1 ? am 故有 ? ,而 y ? ?? ? 1? 在 ? ? , ? 上单调递增 1 ? ax ? 1 ? ax ? ? a a ? ? f ? n ? ? log 1 ? an ? log 6m a a ? 1 ? an ?

?1 ? am ? 6n ? 1 ? am 1 ? an ?1 ? am ? 所以 又 6m ? 6n 与 ? 矛盾 1 ? am 1 ? an ?1 ? an ? 6m ? ?1 ? an
故 a ? 1 ………………8 分

1 ? am ? f ? m ? ? log a ? log a 6m ? ? 1 ? am 所以 ? ? f ? n ? ? log 1 ? an ? log 6n a a ? 1 ? an ?
故方程

1 ? ax ? 1 1? ? 6 x 在 ? ? , ? 上有两个不等实根, 1 ? ax ? a a?

即 6ax ? ? a ? 6? x ?1 ? 0 在 ? ?
2

? 1 1? , ? 上有两个不等实根………………10 分 ? a a?

设 g ? x ? ? 6ax ? ? a ? 6? x ? 1 ,则
2

? ? ? ? a ? 6 ?2 ? 24a ? 0 ? a?6 1 ? 1 ? ? a ? ? 12a ? a ? …………………………………………………………12 分 ? ? 1 ? 12 ?g ? ? a ? ? a ? 0 ? ? ? ? ?1? ?g ? ? ? 2 ? 0 ? ?a?

?a 2 ? 36a ? 36 ? 0 ? a ? 18 ? 12 2 ………………………………………………14 分 ?? a ? 18 ?
故 1 ? a ? 18 ? 12 2 …………………………………………………………………………15 分 20.

bn ?1 ? an ?1 a ? bn ?1 ? an ?1bn ?1 ? ?0 证明: (1)当 n ? 2 时, bn ? an ? n ?1 2 2 * 故有 bn ? an ? n ? N ? ………………………………………………………………3 分
所以 an ? an?1bn?1 ? an?1 , bn ? (2)由(1)知

?

?

2

an ?1 ? bn ?1 ? bn ?1 ………………………………6 分 2

bn b b 3 ? n ?1 ? ? ? 1 ? 2 ? ………………………………………9 分 an an ?1 a1 2
bn ? an ? 2 bn ? 3 an …………………………………12 分

?

bn ? an ?

? 1 ? 5

?

故 an ? bn ?

?

?

an?1 ? bn?1 ? an ?1bn ?1 2

? ?

bn?1 ? an?1 2
? an ?1 10

?

2

bn ?1 ? an ?1

??

bn ?1 ? an ?1

10

?? b

n ?1

故 Sn ? 1 ?

1 1 10 ? ? ? n ? …………………………………………………………15 分 10 10 9


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