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2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.4 垂直关系课件 理


第七章 立体几何

第四节

垂直关系

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点,认识和

理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判

定定理,并能够证明相关 性质定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的 垂直关系的简单命题。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的 任何 一条直线都垂直,那么称这条 直线和这个平面垂直。

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 如果一条直线和一个 判定 平面内的两条 相交 直 定理 线都垂直, 那么该直线 与此平面垂直 性质 定理 如果两条直线同垂直 于一个平面, 那么这两 图形语言 符号语言 a,b? α ? a∩b=O? l⊥a l⊥b α

??l⊥ ? ?

平行 条直线______

2.平面与平面垂直

(1)二面角
①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二 面角。这条直线叫作二面角的棱。这两个半平面叫作二面角的面。 如图,记作:二面角α-l-β或二面角α-AB-β。

②二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内 分别作 垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角。

(2)平面与平面垂直 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是 直二面角 ,就说这两个 平面互相垂直。 ②平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 判定 如果一个平面经过另一个平面的 定理 一条 垂线 ,那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α? ??α⊥β l? β? α⊥β ? ? l? β ?? l⊥ α∩β=a l⊥a α

性质 定理

如果两个平面互相垂直,那么在一

交线 的直 个平面内垂直于它们______
线垂直于另一个平面

? ?

基 础 自 测
[判一判] (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直,则l⊥α。(

×)

解析 错误。根据直线与平面垂直的定义可知,此结论错误。 (2) 若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线,则 α⊥β 。 ( ) × 解析 错误。α与β不一定垂直。

(3)二面角是指两个相交平面构成的图形。( × ) 解析 错误。二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 (4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个 平面。( × )

解析

错误。若平面 α⊥ 平面 β ,则平面 α 内的直线 l与 β 可平行,可相

交,也可在平面β内。

[练一练] 1. 已知直线 a, b 和平面 α, 且 a⊥b, a⊥α, 则 b 与 α 的位置关系为( A.b? α C.b? α 或 b∥α B.b∥α D.b 与 α 相交 )

解析 ∵a⊥b,a⊥α,∴b∥α 或 b? α。 答案 C

2.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题 不正确的是( )

A.若α∥β,m⊥α,则m⊥β
B.若m∥n,m⊥α,则n⊥α C.若m∥α,m⊥β,则α⊥β

D.若α∩β=m,且n与α,β所成的角相等,则m⊥n 解析
确。 答案 D

容易判定选项A、B、C都正确,对于选项D,当直线m与n平

行时,直线 n 与两平面 α , β 所成的角也相等,均为 0°,故选项 D 不正

3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直 线中与B1O垂直的是( )

A.A1D C.A1D1

B.AA1 D.A1C1

解析 易知A1C1⊥平面BB1D1D。 又B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O。 答案 D

4.已知平面 α,β 和直线 m,给出条件: ①m∥α;②m⊥α;③m? α;④α⊥β;⑤α∥β。
②⑤ 时,m⊥β。(填符合条件的序号) 当满足条件________ 解析 当m⊥α且α∥β时,m⊥β,即应当填②⑤。

5.(2016· 宁波模拟)如果正四棱锥的底面边长为 2,侧面积为 4 2,则
45° 。 它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________

解析 如图,O 为底面正方形的中心,据题意得,该正四棱锥的一个 侧面三角形 PBC 的高 PE 的长为 2, 因此正四棱锥的高 PO= PE2-OE2= 1。∵∠PEO 的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小,∴侧面与底面 所成的(锐)二面角的大小为 45° 。

R

热点命题

深度剖析

考点一 垂直关系的基本问题
【例1】 (1)(2015·安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不 )

同平面,则下列命题正确的是(

A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

【解析】

A选项α,β可能相交;B选项,m,n可能相交,也可能

异面;C选项,若α与β相交,则在α内平行于它们交线的直线一定平行于 β;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知D选项正确。 【答案】 D

(2)已知 l,m,n 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则 α⊥β 的一个充分条件是( )

A.l? α,m? β,且 l⊥m B.l? α,m? β,n? β,且 l⊥m,l⊥n C.m? α,n? β,m∥n,且 l⊥m D.l? α,l∥m,且 m⊥β

【解析】 对于 A,若 l? α,m? β,且 l⊥m。如图(1)所示虽满足条 件,但 α 与 β 不垂直。

对于 B,当 m∥n 时,也得不到平面 α 与平面 β 垂直。 对于 C,如图(2)所示条件满足,但平面 α 与平面 β 不垂直。 对于 D,由 l∥m,m⊥β 得 l⊥β,又 l? α,因此有 α⊥β。 【答案】 D

【规律方法】 解决垂直关系的基本问题的注意事项

(1)注意紧扣垂直关系的判定定理与性质定理。
(2)借助于图形去判断。 (3)会举反例排除去判断。

变式训练1

已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,

给出下列四个命题: ①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β; ②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β; ③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β; ④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n。 其中所有真命题的序号是( )

A.①④
C.①

B.②④
D.④

解析

对于①,可以得到平面 α , β互相垂直,如图 (1) 所示,故①

正确;对于②,平面 α ,β 可能垂直,如图 (2) 所示,故②不正确;对于 ③ , 平 面 α , β 可 能 垂 直 , 如 图 (3) 所 示 , 故 ③ 不 正 确 ; 对 于 ④ , 由

m⊥α,α∥β,可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如
图(4)所示,则n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n,故④正确。

答案 A

考点二

直线与平面垂直的判定与性质

【例 2】 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形,PO π 1 ⊥底面 ABCD,AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= 。 3 2

(1)证明:BC⊥平面POM;

【解】 证明:如图,因为四边形 ABCD 为菱形,O 为菱形中心,连 接 OB,AM,则 AO⊥OB。

π 因为∠BAD=3, π 故 OB=AB· sin ∠OAB=2sin 6=1,

1 π 又因为 BM=2,且∠OBM=3,在△OBM 中, OM2=OB2+BM2-2OB· BM· cos ∠OBM 1 1 π 3 =12+(2)2-2×1×2×cos 3=4。 所以 OB2=OM2+BM2,故 OM⊥BM。 又 PO⊥底面 ABCD,所以 PO⊥BC。 从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线 OM,OP 都垂直, 所以 BC⊥平面 POM。

(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积。
π 【解】 由(1)可得,OA=AB· cos ∠OAB=2×cos 6= 3。 设 PO=a,由 PO⊥底面 ABCD 知,△POA 为直角三角形, 故 PA2=PO2+OA2=a2+3。 由△POM 也是直角三角形, 3 故 PM =PO +OM =a +4。
2 2 2 2

在△ABM 中, AM2=AB2+BM2-2AB· BM· cos ∠ABM 12 1 2π 21 =2 +(2) -2×2×2×cos 3 = 4 。
2

由已知 MP⊥AP, 故△APM 为直角三角形, 则 PA2+PM2=AM2, 3 21 即 a2+3+a2+4= 4 , 3 3 3 得 a= 2 ,a=- 2 (舍去),即 PO= 2 。 此时 S 1 1 1 1 = S + S = · AO · OB + · BM · OM = × 3 × 1 + 四边形 ABMO △ AOB △ OMB 2 2 2 2

1 3 5 3 × × = 。 2 2 8 所以四棱锥 P-ABMO 的体积 1 1 5 3 3 5 VP-ABMO= 3· S 四边形 ABMO· PO=3× 8 × 2 =16。

【规律方法】 证明直线与平面垂直的常用方法

(1)利用判定定理。
(2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α?b⊥α)。 (3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β)。

(4)利用面面垂直的性质。当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交
线的直线垂直于另一个平面。

变式训练 2

如图所示,在四棱锥 P - ABCD 中, PA⊥底面 ABCD ,

AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点。

证明:(1)CD⊥AE;

证明 在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴PA⊥CD。 ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA? 平面 PAC,AC? 平面 PAC,∴CD⊥平面 PAC。 又 AE? 平面 PAC,∴CD⊥AE。

(2)PD⊥平面ABE。

证明 由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA。 ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC。 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD。 又 PD? 平面 PCD,∴AE⊥PD。 ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB。 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD? 平面 PAD, ∴AB⊥PD。又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE。

考点三

平面与平面垂直的判定与性质
如图,在三棱锥 P - ABC 中, D , E , F分别为棱 PC, AC ,

【例 3】

AB的中点。已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5。

求证:(1)直线PA∥平面DEF;

【证明】 因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点, 所以 DE∥PA。 又因为 PA 平面 DEF,DE? 平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF。

(2)平面BDE⊥平面ABC。

【证明】 因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC =8, 1 1 所以 DE∥PA,DE= PA=3,EF= BC=4。 2 2 又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90° ,即 DE⊥EF。 又 PA⊥AC,DE∥PA, 所以 DE⊥AC。 因为 AC∩EF=E,AC? 平面 ABC,EF? 平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC。 又 DE? 平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABC。

【规律方法】

(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;

②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)。 (2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作 交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。

变式训练 3

(2015·山东卷 ) 如图,三棱台 DEF - ABC中, AB=2DE ,

G,H分别为AC,BC的中点。

(1)求证:BD∥平面FGH;

证明 证法一:连接 DG,CD,设 CD∩GF=M。连接 MH。 在三棱台 DEFABC 中,AB=2DE,G 为 AC 的中点, 可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形。 则 M 为 CD 的中点。 又 H 为 BC 的中点, 所以 HM∥BD。 又 HM? 平面 FGH,BD? 平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH。

证法二:在三棱台 DEFABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 HBEF 为平行四边形,可得 BE∥HF。 在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GH∥AB。 又 GH∩HF=H, 所以平面 FGH∥平面 ABED。 因为 BD? 平面 ABED, 所以 BD∥平面 FGH。

(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH。 证明 连接 HE,GE。

因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH∥AB。 由 AB⊥BC,得 GH⊥BC。 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形。 所以 CF∥HE, 又 CF⊥BC,所以 HE⊥BC。 又 HE? 平面 EGH,GH? 平面 EGH,HE∩GH=H, 所以 BC⊥平面 EGH。 又 BC? 平面 BCD, 所以平面 BCD⊥平面 EGH。

考点四

平面图形的翻折

【例 4】 (2015· 陕西卷)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ π BAD=2,AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点, 将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图 2。

(1)证明:CD⊥平面A1OC;

【解】 证明: 在图 1 中, 因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点, π ∠BAD= ,所以 BE⊥AC, 2 即在图 2 中,BE⊥OA1,BE⊥OC, 从而 BE⊥平面 A1OC, 又 CD∥BE,所以 CD⊥平面 A1OC。

(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值。

【解】 由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC, 所以∠A1OC 为二面角 A1-BE-C 的平面角, π 所以∠A1OC=2。 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系,
因为 A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED, 2 2 2 2 2 → 所以 B ,0,0,E- ,0,0,A10,0, ,C0, ,0,得BC=- , 2 2 2 2 2 2 2 2 → → → , 0 , A C = 0 , ,- 1 2 2 2 ,CD=BE=(- 2,0,0)。

设平面 A1BC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 A1CD 的法向量 n2=(x2, y2,z2),平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角为 θ, → =0, ? ?-x1+y1=0, BC ?n1· 则? 得? 取 n1=(1,1,1); → ?y1-z1=0, ?n1· A1C=0, ? → =0, ? ?x2=0, CD ?n2· 得? 取 n2=(0,1,1), ? → ?y2-z2=0, ? A ?n2· 1C=0, 2 6 从而 cos θ=|cos 〈n1,n2〉|= = , 3× 2 3 6 即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为 3 。

【规律方法】

空间中的翻折问题,应明确在同一个平面上的性质不

发生变化,不在同一个平面上的性质可能会发生变化,解决这类问题就是
要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值,这是解 决翻折问题的主要方法。

变式训练 4 如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° ,BC=6, D,E 分别是 AC,AB 上的点,CD=BE= 2,O 为 BC 的中点。将△ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A′-BCDE,其中 A′O= 3。

(1)证明:A′O⊥平面 BCDE;

解 证明:由题意,得 OC=3,AC=3 2,AD=2 2。 如图,连接 OD,OE, 在△OCD 中, 由余弦定理可得 OD= OC2+CD2-2OC· CDcos 45° = 5。 由翻折不变性可知 A′D=2 2, 所以 A′O2+OD2=A′D2, 所以 A′O⊥OD。 同理可证 A′O⊥OE,又 OD∩OE=O, 所以 A′O⊥平面 BCDE。

(2)求二面角 A′-CD-B 的平面角的余弦值。

解 以 O 点为原点,建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示。 则 A′(0,0, 3),C(0,-3,0), D(1,-2,0), → ′=(0,3, 3),DA → ′=(-1,2, 3)。 所以CA

设 n=(x,y,z)为平面 A′CD 的法向量, → ? ? ? CA′=0, ?n· ?3y+ 3z=0, ?y=-x, 则? 即? 解得? → ? ?-x+2y+ 3z=0, ?z= 3x。 ? ? DA′=0, ?n· 令 x=1,得 n=(1,-1, 3)。 → ′=(0,0, 3)为平面 CDB 的一个法向量, 由(1)知,OA → n· OA′ 3 15 → 所以 cos 〈n,OA′〉= = = , 5 → 5 × 3 |n||OA′| 15 即二面角 A′CDB 的平面角的余弦值为 。 5

S

思想方法

感悟提升

⊙1个转化——三种垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中 不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决。如有平面垂直时,一般要

用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进
一步转化为线线垂直。

⊙2个防范——证明垂直问题应注意的两个问题 (1)在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时,考生易忽视说明平面内 的两条直线相交,而导致被扣分,这一点在证明中要注意。 (2)面面垂直的性质定理的主要作用是作一个平面的垂线,注意定理使 用的条件,在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整,同时要注意推

理论证的层次性,确定先证明什么,后证明什么。


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