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全国中学生物理竞赛预赛试题与答案(考前刷题必备)


郭芃老师

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全国中学生物理竞赛预赛试题与答案

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2004 年第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试卷-----------------------------------------------------1 2004 年第 21 届全国中学生物理竞赛预赛答案------------------

-----------------------------------6 2005 年第 22 届全国中学生物理竞赛预赛试卷----------------------------------------------------14 2005 年第 22 届全国中学生物理竞赛预赛答案----------------------------------------------------18 2006 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试卷----------------------------------------------------26 2006 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛答案----------------------------------------------------31 2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛预赛试卷----------------------------------------------------44 2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛预赛答案----------------------------------------------------48 2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛预赛试卷----------------------------------------------------60 2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛预赛答案----------------------------------------------------70 2009 年第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷----------------------------------------------------84 2009 年第 26 届全国中学生物理竞赛预赛答案----------------------------------------------------90 2010 年第 27 届全国中学生物理竞赛预赛试卷----------------------------------------------------99 2010 年第 27 届全国中学生物理竞赛预赛答案--------------------------------------------------105 2011 年第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷--------------------------------------------------113 2011 年第 28 届全国中学生物理竞赛预赛答案--------------------------------------------------119 2012 年第 29 届全国中学生物理竞赛预赛试卷--------------------------------------------------128 2012 年第 29 届全国中学生物理竞赛预赛答案--------------------------------------------------132 2013 年第 30 届全国中学生物理竞赛预赛试卷--------------------------------------------------150 2013 年第 30 届全国中学生物理竞赛预赛答案--------------------------------------------------155 2014 年第 31 届全国中学生物理竞赛预赛试卷--------------------------------------------------162 2014 年第 31 届全国中学生物理竞赛预赛答案--------------------------------------------------168 2015 年第 32 届全国中学生物理竞赛预赛试卷--------------------------------------------------177 2015 年第 32 届全国中学生物理竞赛预赛答案--------------------------------------------------182

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第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
本卷共九题,满分140分。 一、(15分)填空 1.a.原子大小的数量级为__________m。 b.原子核大小的数量级为_________m。 c.氦原子的质量约为_________kg。 d.一个可见光光子的能量的数量级为_________J。 e.在标准状态下,1cm3 气体中的分子数约为____________。 - - (普朗克常量 h=6.63×10 34J·s 阿伏加德罗常量 NA=6.02×1023 mol 1) 2.已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80%。试判断下列说法是否正确,并简 述理由。 a. 反射光子数为入射光子数的80%; b. 每个反射光子的能量是入射光子能量的80%。

二、(15分)质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连 结,绳跨过位于倾角? =30?的光滑斜面顶端的轻滑轮, 滑轮与转轴之间的磨擦不计,斜面固定在水平桌面上, 如图所示。第一次,m1悬空,m2放在斜面上,用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面 顶端所需的时间。第二次,将m1和m2位置互换,使m2悬空,m1放在斜面上,发现m1自斜面 底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。求ml与m2之比。

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三、(15分)测定电子荷质比(电荷q与质量m之比q/m)的实验装置如图所示。真空玻璃管 内,阴极K发出的电子,经阳 极 A与阴极 K之间的高电压加 速后,形成一束很细的电子流, 电子流以平行于平板电容器 极板的速度进入两极板 C 、D 间的区域。 若两极板C、 D间无 电压,则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点;若在两极板间加上电压U,则离开极 板区域的电子将打在荧光屏上的P点;若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度 为 B 的匀强磁场,则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到 O 点。现已知极板的长度 l = 5.00cm,C、D间的距离d=l.50cm,极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L=12.50cm,U =200V,P点到O点的距离 y ? OP ? 3.0 cm;B=6.3×10 4T。试求电子的荷质比。(不计重 力影响)。


四、(15分)要使一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)能覆盖赤道上东经75.0?到东经135.0? 之间的区域,则卫星应定位在哪个经度范围内的上空?地球半径R0=6.37×106m。地球表面 处的重力加速度g=9.80m/s2。

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五、(15分)如图所示,两条平行的长直金属细 导轨KL、PQ固定于同一水平面内,它们之间的距 离为l,电阻可忽略不计;ab和cd是两根质量皆为 m的金属细杆, 杆与导轨垂直, 且与导轨良好接触, 并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R。杆 cd的中点系一轻绳,绳的另一端绕过轻的定滑轮 悬挂一质量为M 的物体,滑轮与转轴之间的摩擦 不计,滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金属细杆都处于匀强 磁场中,磁场方向垂直于导轨所在平面向上,磁感应强度的大小为B。现两杆及悬物都从静 止开始运动,当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时,两杆加速度的大小各为多少?

六、(15分)有一种高脚酒杯,如图所示。杯内底面为一凸起的球面,球心在顶点 O下方玻璃中的C点,球面的半径R=1.50cm,O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯 脚底中心处P点紧贴一张画片,P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时,若在杯口处 向杯底方向观看,看不出画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方向观 看,将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1=1.56,酒的折射率n2=1.34。试 通过分析计算与论证解释这一现象。

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七、 (15分)如图所示,B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上。 A是质为mA的细长直杆,被固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运动。碗和杆 的质量关系为:mB=2mA。初始时,A杆 被握住, 使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触 (如图) 。 然后从静止开始释放A,A、B便开始运动。设A杆的位置用? 表示, ? 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向 和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小(表示成? 的函 数)。

八、(17分)如图所示的电 路中, 各电源的内阻均为零, 其中 B 、 C 两点与其右方由 1.0? 的 电 阻 和 2.0? 的 电 阻 构成的无穷组合电路相接。 求图中10?F的电容器与E点 相接的极板上的电荷量。

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九、(18分)如图所示,定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑 轮组,各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动 滑轮D上,悬挂有砝码托盘A,跨过滑轮组的不可伸长的轻 线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线(图中穿过弹簧的 那条坚直线)拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上,弹 簧的下端与托盘底固连,上端放有砝码1(两者未粘连)。 已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m, 弹簧的劲度系数为 k ,压缩量为l0,整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住 弹簧的轻线,弹簧便伸长,并推动砝码1向上运动,直到砝 码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托 盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时 间。

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第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准

一、1. a. 10 10 - b. 10 15 - c. 6.6×10 27 -19 d. 10 e. 2.7×1019 2. a正确,b不正确。理由:反射时光频率? 不变,这表明每个光子能量h? 不变。 评分标准:本题15分,第1问10分,每一空2分。第二问5分,其中结论占2分,理由占3分。 二、第一次,小物块受力情况如图所示,设T1为绳中张力,a1为两物块加速度的大小,l为斜 面长,则有
m 1 g ? T1 ? m 1 a1 T1 ? m 2 g sin ? ? m 2 a1



( 1) ( 2) (3)

l?

1 2 a1t 2

第二次,m1与m2交换位置.设绳中张力为T2,两物块 加速度的大小为a2,则有
m 2 g ? T2 ? m 2 a 2 T2 ? m1 g sin ? ? m1 a 2

( 4) (5)

1 ?t? l ? a2 ? ? 2 ? 3?

2

(6)

由(1)、(2)式注意到? =30?得

a1 ?

2m1 ? m2 g 2(m1 ? m2 ) 2m2 ? m1 g 2(m1 ? m2 )
a2 9

(7)

由(4)、(5)式注意到? =30?得

a2 ?

( 8)

由(3)、(6)式得

a1 ?

( 9)

由(7)、(8)、(9)式可解得

m1 11 ? m2 19

(10)

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评分标准: 本题15分,(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)式各2分,求得(10)式再给3 分。 三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0,因为速度方向平行于电容器的极 板,通过长度为l的极板区域所需的时间 t1=l/v0 ( 1) 当两极板之间加上电压时,设两极板间的场强为E,作用于电子的静电力的大小为qE方向垂 直于极板由C指向D,电子的加速度

a?


qE m

( 2)

E?

U d

( 3)

因电子在垂直于极板方向的初速度为0,因而在时间t1内垂直于极板方向的位移

1 2 y1 ? at1 2
电子离开极板区域时,沿垂直于极板方向的末速度 vy=at1 设电子离开极板区域后,电子到达荧光屏上P点所需时间为t2 t2=(L-l/2)/v0 在t2时间内,电子作匀速直线运动,在垂直于极板方向的位移 y2=vyt2 P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移 y=y1+y2 由以上各式得电子的荷质比为
2 d q v0 ? y m UlL

( 4)

( 5) ( 6) ( 7) ( 8)

(9)

加上磁场B后,荧光屏上的光点重新回到O点,表示在电子通过平行板电容器的过程中电子 所受电场力与磁场力相等,即 qE=qv0B (l0) 注意到(3)式,可得电子射入平行板电容器的速度

v0 ?
代人(9)式得

U Bd

(11)

q U ? 2 y m B lLd
代入有关数据求得

(12)

q ? 1.6 ? 1011 C/kg m
评分标准:
7

(13)

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本题15分.(l)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各1分,(10) 式3分,(12)、(13)式各2分。 四、如图所示,圆为地球赤道,S为卫星所在处,用R表示卫星运动轨道的半径。由万有引 力定律、牛顿运动定律和卫星周期T(亦即地球自转周期)可得

Mm ? 2? ? G 2 ? mR ? ? R ?T ?

2

( 1)

式中M为地球质量,G为万有引力常量,m为卫星质量 另有
2 GM ? R0 g

( 2) ( 3)
1/ 3

由图可知 Rcos? =R0 由以上各式可解得
? 4? 2 R ? ? ? arccos ? 2 0 ? ? T g ?

( 4)

取T=23小时56分4秒(或近似取T=24小时),代入数值,可得 ? =81.3? ( 5) 由此可知,卫星的定位范围在东经135.0?-81.3?=53.7?到75.0?+81.3?=156.3?之间的上空。 评分标准: 本题15分.(1)、(2)、(3)式各2分,(4)、(5)式共2分,得出最后结论再给7 分。

五、用E 和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小,根据法拉第电磁感应定律 和欧姆定律可知 E =Bl(v2-v1) ( 1)

I?

E 2R

( 2)

令F表示磁场对每根杆的安培力的大小,则 F=IBl ( 3) 令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小, T表示绳中张力的大小, 由牛顿定律可知 F=ma1 ( 4) Mg-T=ma2 ( 5) T-F=ma2 ( 6) 由以上各式解得
a1 ? B 2l 2 (v2 ? v1 ) 2 Rm

(7)

a2 ?

2MgR ? B 2 l 2 (v2 ? v1 ) 2( M ? m) R

( 8)

评分标准: 本题15分. (l)式3分, (2)式2分, (3)式3分, (4)、 (5)、 (6)式各1分, (7)、 (8)式各2分。
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六、把酒杯放平,分析成像问题。

图1

1.未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0=1。在图1中,P为画片中 心,由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中;由P发出的与PO成? 角的 另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i,折射角为r,半径CA与PO的夹角为? ,由折射定 律和几何关系可得 n1sini=n0sinr (1) ? =i+? (2) 在△PAC中,由正弦定理,有
R PC ? sin ? sin i

(3)

考虑近轴光线成像,?、i、r 都是小角度,则有

r?

n1 i n0
R i PC

( 4)

??

( 5)

由(2)、(4)、(5)式、n0、nl、R的数值及 PC ? PO ? CO ? 4.8 cm可得

? =1.31i (6) r =1.56i ( 7) 由(6)、(7)式有 r>? ( 8) 由上式及图1可知, 折射线将与PO延长线相交于P?, P? 即为P点的实像. 画面将成实像于P? 处。 在△CAP? 中,由正弦定理有

R CP? ? sin ? sin r
又有 r=? +? 考虑到是近轴光线,由(9)、(l0)式可得

(9) (10)

CP ? ?
又有

r R r ??

(11)

OP ? ? CP ? ? R
9

(12)

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由以上各式并代入数据,可得
OP ? ? 7.9 cm

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(13)

由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面 的距离为8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看不出画片 上的景物。 2.斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为n1和n2,如图2所示, 考虑到近轴光线有

图2

r?

n1 i n2

(14)

代入n1和n2的值,可得 r=1.16i (15) 与(6)式比较,可知 r<? (16) 由上式及图2可知, 折射线将与OP延长线相交于P?, P? 即为P点的虚像。 画面将成虚像于P? 处。 计算可得

CP ? ?
又有

r R ? ?r

(17)

OP ? ? CP ? ? R

(18)

由以上各式并代入数据得
O P ? ? 1 3 cm

(19)

由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于P?处,距O点13cm.即距杯口21 cm。虽然该虚 像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离, 但仍然离杯口处足够远, 所以人眼在 杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像。 评分标准: 本题15分.求得(13)式给5分,说明“看不出”再给2分;求出(l9)式,给5分,说明“看 到”再给3分。

七、由题设条件知,若从地面参考系观测,则任何时刻, A沿 竖直方向运动,设其速度为vA,B沿水平方向运动,设其速度为 vB,若以B为参考系,从B观测,则A杆保持在竖直方向,它与 碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动, 速度的方向与圆周
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相切, 设其速度为VA。 杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度, 速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得
V A sin ? ? v A V A cos ? ? v B

(1) ( 2)

因而
v B ? v A cot ?

( 3)

由能量守恒

1 1 2 mA gR cos? ? mA v 2 ? mB vB A 2 2
由(3) 、 (4)两式及mB=2mA得

(4)

vA ? sin? vB ? cos?

2gR cos? 1 ? cos2 ? 2gR cos? 1 ? cos2 ?

( 5)

(6)

评分标准: 本题(15)分.(1)、(2)式各3分,(4)式5分,(5)、(6)两式各2分。 八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC,则题图中通有电流的电路可以简化为图1 中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路,其中 RB?C ? 是虚线右方电路的等效电阻。 由于B?、C?右方的电路与B、C右方的电路结构相同,而且都是无穷组合电路,故有
R B C ? R B ?C ?

(1)

由电阻串、并联公式可得

RBC ? 1 ?

2RB?C? 2 ? RB?C?

( 2)

由式(1)、(2)两式得
2 RBC ? RBC ? 2 ? 0

解得 RBC=2.0 ? ( 3) 图1所示回路中的电流为

图1

图2

I?

20 ? 10 ? 24 A=0.10 A 10 ? 30 ? 18 ? 2

( 4)

电流沿顺时针方向。 设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3,各 电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3,极性如图3所 示。由于电荷守恒,在虚线框内,三个极板上电荷的代 数和应为零,即 Q1+Q2-Q3=0 (5)
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图3

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A、E两点间的电势差

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UA ?UE ? ?
又有

Q1 Q3 ? C1 C3

(6)

U A ? U E ? (10 ? 30 ? 0.10) V = 7.0 V

( 7)

B、E两点间的电势差

UB ? U E ?
又有

Q2 Q3 ? C2 C3

(8)

U B ? U E ? (24 ? 20 ? 0.10)V=26 V

( 9)

根据(5)、(6)、(7)、(8)、(9)式并代入C1、C2和C3之值后可得 - Q3=1.3×10 4C (10) - 即电容器C3与E点相接的极板带负电,电荷量为1.3×10 4C。 评分标准: 本题17分.求得(3)式给3分,(4)式1分,(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、 (10)式各2分,指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分。

九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时 间为△t,在这段时间内,各砝码和砝码托盘 的受力情况如图1所示:图中,F表示△t 时间 内任意时刻弹簧的弹力,T 表示该时刻跨过 滑轮组的轻绳中的张力,mg为重力,T0为悬 挂托盘的绳的拉力。 因D的质量忽略不计, 有 T0=2T ( 1) 在时间△t 内任一时刻, 法码1向上运动, 图1 托盘向下运动,砝码2、3则向上升起,但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1 与弹簧分离的时刻, 砝码1的速度大小为v1, 砝码2、 3与托盘速度的大小都是v2, 由动量定理, 有

IF ? Img ? mv1 IT ? Img ? mv2 IT ? Img ? mv2 I F ? Img ? IT0 ? mv2

(2) (3) (4) (5)

式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在△t 时间内冲量的大小。注意到式(1),有 IT0=2IT ( 6) 由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得

1 v2 ? v1 3

( 7)

在弹簧伸长过程中,弹簧的上端与砝码1一起向上运动,下端与托盘一起向下运动。以
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△l1表示在△t 时间内弹簧上端向上运动的距离,△l2表示其下端向下运动的距离。由于在弹 簧伸长过程中任意时刻,托盘的速度都为砝码1的速度的1/3,故有

1 ?l2 ? ?l1 3
另有
? l1 ? ? l 2 ? l 0

(8)

( 9)

在弹簧伸长过程中, 机械能守恒, 弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加, 即有

1 2 1 2 1 2 kl0 ? mv1 ? 3 ? mv2 ? mg ?l1 ? mg ?l2 ? 2mg ?l2 2 2 2
由(7)、(8)、(9)、(10)式得
2 v1 ?

(10)

3 ?1 2 ? ? kl0 ? mgl0 ? 2m ? 2 ?

(11)

砝码1与弹簧分开后, 砝码作上抛运动, 上升到最大高度经历时间为t1,有 v1=gt1 (12) 砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示, 以a 表示加速度的大小,有 mg-T=ma (13) mg-T=ma (14) T0-mg=ma (15) T0=2T (16) 由(14)、(15)和(16)式得

图2

a?

1 g 3

(17)

托盘的加速度向上,初速度v2向下,设经历时间t2,托盘速度变为零,有 v2=at2 由(7)、(12)、(17)和(18)式,得

(18)

t1 ? t2 ?

v1 g

(19)

即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由 对称性可知, 当砝码回到分离位置时, 托盘亦回到分离位置, 即再经历t1, 砝码与弹簧相遇。 题中要求的时间

t总 ? 2t1
由(11)、(12)、(20)式得

(20)

t总 ?

2 3 ?1 2 ? ? kl0 ? mgl0 ? g 2m ? 2 ?

评分标准: 本题18分.求得(7)式给5分,求得(11)式给5分,(17)、(19)、(20)、(21) 式各2分。
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第 22 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1.在 2004 年 6 月 10 日联合国大会第 58 次会议上,鼓掌通过一项决议。决议摘录如下: 联合国大会, 承认物理学为了解自然界提供了重要基础, 注意到物理学及其应用是当今众多技术进步的基石, 确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具, 意识到 2005 年是爱因斯坦科学发现一百周年,这些发现为现代物理学奠定了基础,

i . ……; ii. ……; iii .宣告 2005 年为
年.

2.爱因斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献,试举出其中两项: ; .

二、 (17 分)现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂) ,一把匀质的长为 l 的有刻度、零点 位于端点的直尺,一个木块及质量不计的细线.试用这些器件设计一实验装置(要求画出示 意图) ,通过一次测量(弹簧测力计只准读一次数) ,求出木块的质量和尺的质量. (已知重 力加速度为 g)

三、 (18 分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为 R 的黑球,距球心为 2R 处有一 点光源 S,球心 O 和光源 S 皆在圆筒轴线上,如图所示.若使点光源向右半边发出的光最后 全被黑球吸收,则筒的内半径 r 最大为多少?

r S

2R O R

四、 (20 分)处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一系列不同频率的光,称 为氢光谱.氢光谱线的波长? 可以用下面的巴耳末—里德伯公式来表示

1 ?1 1? ? R? 2 ? 2 ? ? ?k n ?
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n , k 分 别表示 氢原子 跃迁 前后所 处状 态的量 子数 . k ? 1,2,3,? , 对于每 一个 k , 有

n ? k ? 1, k ? 2 , k ? 3,? ,R 称为里德伯常量,是一个已知量.对于 k ?1的一系列谱线其波
长处在紫外线区,称为赖曼系; k ? 2 的一系列谱线其波长处在可见光区,称为巴耳末系. 用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验,当用赖曼系波长最长的光照射时, 遏止电压的大小为 U1,当用巴耳末系波长最短的光照射时,遏止电压的大小为 U2. 已知 电子电量的大小为 e ,真空中的光速为 c ,试求:普朗克常量和该种金属的逸出功.

五、 (25 分)一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由静止开始下滑,与一质量为 km 的静止在水平 地面上的小滑块 B 发生正碰撞,如图所示.设碰撞是弹性的,且一切摩擦不计.为使二者 能且只能发生两次碰撞,则 k 的值应满足什么条件? A

B

六、 (25 分)如图所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨,处于恒定磁场中, 磁场方向与导轨所在平面垂直. 一质量为 m 的均匀导体细杆, 放在导轨上, 并与导轨垂直, 可沿导轨无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略不计.导轨的左端与一根阻值为 R0 的 电阻丝相连,电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不计.容器与一水平放置的开口细 管相通,细管内有一截面为 S 的小液柱(质量不计) ,液柱将 1mol 气体(可视为理想气体) 封闭在容器中. 已知温度升高 1K 时, 该气体的内能的增加量为 5 R 2(R 为普适气体常量) , 大气压强为 p0,现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位 移.

R0

v0

15

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七、 (25 分)三个电容器分别有不同的电容值 C1、C2、C3 .现把这三个电容器组成图示的 (a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路,试论证:是否可以通过适当选择 C1、C2、C3 的数值,使其 中某两种混联电路 A、B 间的等效电容相等. A C1 C2 B (a) C3 C1 C3 B (b) A C2 C1 C3 B (c) A C2 C1 C2 B (d) A C3

八、 (30 分)如图所示,一根长为 l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球 a 和 b,它们的质量分

1 别为 ma 和 mb. 杆可绕距 a球为 l 处的水平定轴 O 在竖直平面内转动.初始时杆处于竖直 4
位置.小球 b几乎接触桌面.在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一个质量为 m 的立方 体匀质物块,图中 ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面.现用一水平恒力 F 作用于 a 球上,使之绕 O 轴逆时针转动,求当 a 转过??角时小球 b 速度的大小.设在此过程中立 方体物块没有发生转动,且小球 b 与立方体物块始终接触没有分离.不计一切摩擦.

a O

F

B

C

b
16

A

D

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九、 (30 分)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,竖直放置的金属细圆柱(其半径 比 a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一 质量为 m,电阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑,棒的一端有一小孔套在细 轴 O 上,另一端 A 可绕轴线沿圆环作圆周运动,棒与圆环的摩擦系数为?.圆环处于磁感 应强度大小为 B ? Kr 、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大于零的常量,r 为场点到 轴线的距离.金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接.不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦,也不 计细圆柱、 圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场. 问沿垂直于棒的方向以多大的水平外 力作用于棒的 A 端才能使棒以角速度? 匀速转动. 注:

?x ? Δx?3 ? x3 ? 3x2Δx ? 3x?Δx?2 ? ?Δx?3

B

B A O a d e

17

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第 22 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准
一、 国际物理(或世界物理) . 相对论;光的量子性 评分标准:本题 10 分.第 1 小问 4 分.第 2 小问 6 分(填写任意两项爱因斯坦的成果只要 正确都给 6 分) . 二、找个地方把弹簧测力计悬挂好,取一段细线做成一环,挂在 弹簧测力计的挂钩上,让直尺穿在细环中,环与直尺的接触点就 是直尺的悬挂点,它将尺分为长短不等的两段.用细线栓住木块 挂在直尺较短的一段上,细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位 置,使直尺平衡在水平位置(为提高测量精度,尽量使二悬挂点 相距远些) ,如图所示.设木块质量为 m,直尺质量为 M.记下二 悬挂点在直尺上的读数 x1、x2,弹簧测力计读数 G.由平衡条件 和图中所设的直尺零刻度线的位置有 (m ? M ) g ? G (1)

G 0 x1 x2 m M

?l ? mg( x2 ? x1 ) ? Mg? ? x2 ? ?2 ?
(1)、(2)式联立可得

(2)

m?

G ?l ? 2x2 ? g ?l ? 2x1 ? 2G ?x2 ? x1 ? g ?l ? 2x1 ?

(3)

M?

(4)

评分标准:本题 17 分. 正确画出装置示意图给 5 分. (1)式、 (2)式各 4 分, (3)式、 (4)式各 2 分.

三、

M r S O N S R?

M r O O N

? 2R

?
2R

图1

图2

自 S 作球的切线 S?, 并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S ? , 及由 S ? 画出球面的切线 S ?
18

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N,如图 1 所示,由图可看出,只要 S ?M 和 S ?N 之间有一夹角,则筒壁对从 S 向右的光线的 反射光线就有一部分进入球的右方,不会完全落在球上被吸收. 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S ?N 与 S ?M 重合,如图 2,则 r?就是题所要求的筒 的内半径的最大值.这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r.由 图 2 可得 ????????????????????????????????

r?

R R ? cos? 1 ? sin 2 ?
由几何关系可知
sin ? ? ?R 2 R ?

( 1)

( 2)

由(1) 、 (2)式得
r? 2 3 R 3

( 3)

评分标准:本题 18 分. 给出必要的说明占 8 分,求出 r 占 10 分. 四、由巴耳末—里德伯公式 1 1 1 ? R( 2 ? 2 ) ? k n 可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n = 2→ k = 1 跃迁时发出的,其波长的倒数

1 3R ? ?12 4
对应的光子能量为

(1)

E12 ? hc

1 3Rhc ? ?12 4

(2)

式中 h 为普朗克常量.巴耳末系波长最短的光是氢原子由 n = ∞→ k = 2 跃迁时发出的,其波 长的倒数

1 R ? ?2? 4
对应的光子能量

(3)

E2 ? ?

Rhc 4

(4)

用 A 表示该金属的逸出功,则 eU 1 和 eU 2 分别为光电子的最大初动能.由爱因斯坦光
19

郭芃老师
电效应方程得

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3Rhc ? eU 1 ? A 4 Rhc ? eU 2 ? A 4
解得

(5)

(6)

A?

e (U 1 ? 3U 2 ) 2 2e(U 1 ? U 2 ) Rc

(7)

h?

(8)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 2 分, (3)式 3 分,(4)式 2 分, (5)、 (6)式各 3 分, (7)、(8)式各 2 分. 五、设 A 与 B 碰撞前 A 的速度为 v0,碰后 A 与 B 的速度分别为 v1 与 V1,由动量守恒及机 械能守恒定律有
m v 0 ? m v 1 ? kmV 1

(1)

1 1 1 2 2 mv 0 ? mv1 ? kmV12 2 2 2
由此解得

(2)

v1 ?

? (k ? 1) v0 k ?1 2 v0 k ?1

(3)

V1 ?

(4)

为使 A 能回到坡上,要求 v1<0,这导致 k>1;为使 A 从坡上滑下后再能追上 B,应有
? v 1 ? V 1 ,即 ( k ? 1) ? 2 ,这导致 k ?3,于是,为使第二次碰撞能发生,要求

k>3 (5) 对于第二次碰撞,令 v2 和 V2 分别表示碰后 A 和 B 的速度,同样由动量守恒及机械能守 恒定律有:
m ( ? v 1 ) ? kmV 1 ? m v 2 ? kmV 2

1 1 1 1 2 2 mv1 ? kmV12 ? mv 2 ? kmV22 2 2 2 2
由此解得

v2 ?

4k ? (k ? 1) 2 (k ? 1) 2

v0

(6)

20

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V2 ?

4(k ? 1) v0 (k ? 1) 2

(7)

若 v2>0,则一定不会发生第三次碰撞,若 v2<0,且 ? v 2 ? V 2 ,则会发生第三次碰撞.故 为使第三次碰撞不会发生,要求 A 第三次从坡上滑下后速度的大小 ( ? v 2 ) 不大于 B 速度的 大小 V 2 ,即
? v 2 ? V2

(8)

由(6)、 (7) 、 (8)式得
k 2 ? 10 k ? 5 ? 0

( 9) k2-10 k + 5 = 0

由 可求得
k? 10 ? 80 ?5?2 5 2

(9)式的解为
5?2 5 ?k ?5?2 5

(10)

(10)与(5)的交集即为所求:
3?k ?5?2 5

(11)

评分标准:本题 25 分. 求得(3)、(4) 式各得 3 分,求得(5)式得 4 分,求得(6) 、 (7) 、 (8) 、 (10)和(11) 式各得 3 分. 六、导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到安 培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应电 流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失.在运动过程中,电阻丝上产生的焦 耳热,全部被容器中的气体吸收. 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等 于杆的初动能,即

Q?

1 2 mv 0 2

(1)

容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高?T,则内能的增加量为

ΔU ?

5 RΔ T 2

(2)

在温度升高?T 的同时,气体体积膨胀,推动液柱克服大气压力做功.设液柱的位移为

Δl ,则气体对外做功
A ? p0 SΔ l
21

(3)

郭芃老师

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SΔl 就是气体体积的膨胀量 ΔV ? SΔl
(4)

由理想气体状态方程 pV ? RT ,注意到气体的压强始终等于大气压 p 0 ,故有
p 0 ΔV ? RΔ T

(5)

由热力学第一定律 Q ? A ? ΔU 由以上各式可解得 (6)

Δl ?

2 mv0 7 p0 S

(7)

评分标准:本题 25 分. (1)式 6 分, (2)式 4 分, (3) 、 (4) 、 (5)式各 2 分, (6)式 5 分, (7)式 4 分.

七、由电容 C ? 、 C?? 组成的串联电路的等效电容

C串 ?
由电容 C ? 、 C?? 组成的并联电路的等效电容

C ?C ?? C ? ? C ??

C并 ? C? ? C??
利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容 Ca、Cb、Cc、Cd 分别为

Ca ? Cb ? Cc ? Cd ?

C C ? C1C3 ? C2C3 C1C2 ? C3 ? 1 2 ? C3 C1 ? C2 C1 ? C2 C1C3 C C ? C1C3 ? C2C3 ? C2 ? 1 2 ? C2 C1 ? C3 C1 ? C3

( 1)

( 2)

?C1 ? C2 ?C3 C1C3 ? C2C3 ? ?C ?C1 ? C2 ? ? C3 C1 ? C2 ? C3 3 ?C1 ? C3 ?C2 C1C2 ? C2C3 ? ?C ?C1 ? C3 ? ? C2 C1 ? C2 ? C3 2
Ca ? Cc

(3)

(4)

由(1) 、 (3)式可知 ( 5)

由(2) 、 (4)式可知
C b ? Cd
22

( 6)

郭芃老师
由(1) 、 (2)式可知
Ca ? C b

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( 7)

由(3) 、 (4)式可知
Cc ? Cd

(8)

若 C a ? C d ,由(1) 、 (4)式可得

C12 ? 2C1C2 ? C1C3 ? C2C3 ? 0
因为 C 1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此
Ca ? C d

( 9)

若 C b ? C c ,由(2) 、 (3)式可得

C12 ? 2C1C3 ? C1C2 ? C2C3 ? 0
因为 C 1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此
Cb ? Cc

(10)

综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的. 评分标准:本题 25 分. ( 1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)式各 4 分,得到(5) 、 (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分,得到(9) 、 (10) 式共 5 分. 八、如图所示,用 v b 表示 a 转过 ? 角时 b球速度的大小, v表 示此时立方体速度的大小,则有
v b cos ? ? v

a O

F

( 1)

由于 b与正立方体的接触是光滑的, 相互作用力总是沿水平 方向,而且两者在水平方向的位移相同,因此相互作用的作用 力和反作用力做功大小相同,符号相反,做功的总和为 0.因此

?

B

C

b和正立方体机械能 在整个过程中推力 F 所做的功应等于球 a 、
的增量.现用 v a 表示此时 a 球速度的大小,因为 a、 b角速度相 同, Oa ? b A D

1 3 l , Ob ? l ,所以得 4 4 1 v a ? vb 3
( 2)

根据功能原理可知
23

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l 1 ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 2 F ? sin? ? ma va ? ma g? ? cos? ? ? mb vb ? mb g? ? cos? ? ? mv 2 4 2 ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
( 3) 将(1) 、 (2)式代入可得

l 1 ?1 ? ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 F ? sin ? ? ma ? vb ? ? ma g ? ? cos? ? ? mb vb ? mb g ? ? cos? ? ? m(vb cos? ) 2 4 2 ?3 ? ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
解得

2

vb ?

9l ?F sin ? ? ?m a ? 3m b ?g ?1 ? cos ? ?? 2 m a ? 18m b ? 18m cos 2 ?

( 4)

评分标准:本题 30 分. (1)式 7 分, (2)式 5 分, (3)式 15 分, (4)式 3 分. 九、 将整个导体棒分割成 n 个小线元, 小线元端点到轴线的距离分别为 r0(=0), r1, r2, ……, ri-1,ri,……,rn-1,rn(= a),第 i 个线元的长度为 Δ ri ? ri ? ri ?1 ,当 Δri 很小时,可以认为该 线元上各点的速度都为 v i ? ? ri ,该线元因切割磁感应线而产生的电动势为

ΔE ri ? K?ri2Δri i ? Bvi Δr i ? Kr i?r iΔ
整个棒上的电动势为
n n 2

(1)

E?


?
i ?1

ΔE i ? K?

?r Δr
i i ?1

i

(2)

?r ? Δr?3 ? r 3 ? 3r 2Δr ? 3r?Δr?2 ? ?Δr?3 ,
r 2 ?r ? 1 [( r ? ? r ) 3 ? r 3 ] 3

略去高阶小量(Δr)2 及(Δr)3,可得

代入(2)式,得
n 1 1 1 E ? K? (ri3 ? ri3 K?[(r13 ? r03 ) ? (r23 ? r13 ) ? ?? ? (rn3 ? rn3?1 )] ? K?a 3 ?1 ) ? 3 3 3 i ?1

?

(3)

由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为
I? E K? a 3 ? R 3R

(4)

导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反.

ri 受到的安培力为 第 i 个线元 ?
Δ f Ai ? BI Δ ri ? Kr i I Δ ri

(5)

作用于该线元的安培力对轴线的力矩
24

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2 ΔMi ? Δf Ai ? ri ? KIr ri i Δ

作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为
n

M?


?
i ?1

ΔM i ? KI

?

n 1 1 3 ri2 Δri ? KI (ri3 ? ri3 ?1 ) ? KIa 3 i?1 3 i ?1

n

?

M?

K 2 ωa 6 9R

( 6)

因棒 A 端对导体圆环的正压力为

1 1 mg,所以摩擦力为 ? mg ,对轴的摩擦力矩为 2 2 M? ? 1 ?mga 2
( 7)

其方向与安培力矩相同,均为阻力矩.为使棒在水平面内作匀角速转动,要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零,即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施加垂直于棒的外力为 f,则有

fa ? M ? M?
由(6)、(7)、 (8)式得
f ? K 2 ωa 5 1 ? μmg 9R 2

( 8)

(9)

评分标准:本题 30 分. 求得(3)式得 10 分, (4)式 2 分;求得(6)式得 8 分, (7)式 4 分, (8)式 4 分, (9) 式 2 分.

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第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试卷

一、 (20 分,每小题 10 分) 1、如图所示,弹簧 S1 的上端固定在天花板上,下端连一小球 A,球 A 与球 B 之间用 线相连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分别为 mA、mB、mC,弹簧与线 的质量均可不计,开始时它们都处在静止状态,现将 A、B 间的线突然剪断,求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。

2、两个相同的条形磁铁,放在平板 AB 上,磁铁的 N、S 极如图所示,开始时平板及 磁铁皆处于水平位置,且静止不动。 (1)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触) ,并使之停在 A'B'处, 结果发现两个条形磁铁碰在一起。 (2)如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移,并使之停在 A''B''位置处,结果发现两条 形磁铁也碰在一起。 试定性地解释上述现象。

二、 (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、老爷爷的眼睛是老花眼。 (1)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚,试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼 睛成像的光路示意图。 (2)戴了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P,试在 示意图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。 (3)300 度的老花镜的焦距 f=________m。

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2、有两个凸透镜,它们的焦距分别为 f1 和 f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为 f3 和 f4,已知,f1>f2>|f3|>|f4|,如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望 远镜, 要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像, 则应选焦距为_________的透镜作为物镜, 应选焦距为____________的透镜作为目镜。

三、 (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、如图所示,电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处,电荷量为 q2 的正点电荷 固定在 x 轴上,两电荷相距 l,已知 q2=2q1。 (1)求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 (2)若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点,试讨论它的稳定性(只考虑 q0 被限制在 沿 x 轴运动和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况) 。 2、有一静电场,其电势 U 随坐标 x 的改变而变化,变化的图线如图 1 所示,试在图 2 中画出该静电场的场强 E 随 x 变化的图线(设场强沿 x 轴正方向时取正值,场强沿 x 轴负 方向时取负值) 。

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四、 (20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封闭, 一端开口, 处在大气中。 大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等, 已知管长 L>H。 现把细管弯成 L 形,如图所示,假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以 把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成 L 形时,以 l 表示其竖直 段的长度,问 l 取值满足什么条件时,注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求出水 银量的最大值(用水银柱的长度表示) 。

五、 (20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶 素中的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动, 假定玻尔关于氢原子的理 论可用于电子偶素,电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条 件,即

mrv ? n

h 2?

式中 n 称为量子数,可取整数值 1,2,3,…;h 为普朗克常量,试求电子偶素处在各 定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差。

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六、 (25 分)如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定 的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动,O1 和 O2 相互平行,水平放置,每个金属轮由四根金属辐条 和金属环组成,A1 轮的辐条长为 a1、电阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2,连接辐条 的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起,一轻 细绳的一端固定在 D 边缘上的某点,绳在 D 上绕足够匝数后,悬挂一质量为 m 的重物 P, 当 P 下落时,通过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动,转动过程中,A1、A2 保持接触,无相对 滑动; 两轮与各自细轴之间保持良好的电接触; 两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相连, 除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计,整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行,现将 P 释放,试求 P 匀速下落时的速度。

七、图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R,圆筒的轴线在 O 处,圆筒为有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为 B,筒壁的 H 处开有 小孔,整个装置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿 筒的半径方向从小孔射入圆筒,经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是光滑的,P 与筒壁碰撞是弹性的, P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。 若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少, 问: (1)P 的速率应为多少? (2)P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?

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八、图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面,AB 是水平的,截面的边长都是 l,一根长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另一端系一质量为 m 的小球,初始时, 手持小球,将绳拉直,绕过 B 点使小球处于 C 点,现给小球一竖直向下的初速度 v0,使小 球与 CB 边无接触地向下运动,当 v02 分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处? 1、 v0
2

? 2(6 2 ? 3 3 ?1)gl

2、 v0

2

? 2(3 3 ?11)gl

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

九、从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的能量 最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体,R=6400km。已知质量为 m 的物体在 地球引力作用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

E ? ?G

Mm 2a

式中 M 为地球质量,G 为引力常量。 (1)假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发 射点 C 的连线之间的夹角表示) 。 (2)若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少?

(3)试导出 E ? ?G

Mm 。 2a

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第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准

一、参考解答: 1.线剪断前,整个系统处于平衡状态,此时弹簧 S1 的弹力

F 1 ? (mA ? m B ?m C )g
弹簧 S2 的弹力

(1)

F2 ? mC g

(2)

在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变 化,但线的拉力消失.设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC,则有

F 1 ?m Ag ? m AaA F2 ? mB g ? mBaB F2 ? mC g ? mCaC
解以上有关各式得

(3) (4) (5)

aA ? aB ?

mB ? mC g ,方向竖直向上 mA mB ? mC g ,方向竖直向下 mB

(6)

(7)

aC ? 0

(8)

2.开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩 擦力平衡. (ⅰ)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段,起初,板向下加 速移动,板与磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向 向下、速度向下的运动,在这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小, 向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小,当板的加速度大到某一数值 时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起.接着,磁铁和 板一起作加速度方向向上、速度向下的运动,直到停在 A'B'处.在这过程中,磁铁对板的正 压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹力和可能存 在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的状态不再改变. (ⅱ)从板突然竖直向上平移到停下,板和磁铁的运动也经历两个阶段,起初,板和磁铁 一起作加速度方向向上、 速度向上的运动, 在这过程中, 正压力增大, 最大静摩擦力亦增大, 作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动.接着,磁铁 和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动,直到停在 A'' B'' 处 x 在这过程中,磁铁对板的 正压力减小,最大静摩擦力亦减小,向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力 也愈小.当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板 相向运动并吸在一起. 评分标准:(本题 20 分)
31

郭芃老师

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1.10 分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分. 2.10 分,(ⅰ)5 分,(ⅱ)5 分.(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分,否则不给分). 二、参考答案 1. ( ⅰ)

( ⅱ)

(ⅲ)

1 3

2.f1,f4. 评分标准:(本题 20 分) 1.12 分.(ⅰ)4 分,(ⅱ)4 分,(ⅲ)4 分. 2.8 分,两个空格都填对,才给这 8 分,否则 0 分, 三、参考解答: 1.

(ⅰ)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间,设 P 点 的坐标为 x0,则有 已知

k

q1 q2 ? k 2 x0 (l ? x0 )2

(1)

q2 ? 2q1
由(1)、(2)两式解得

(2)

x0 ? ( 2 ?1)l

(3)

(ⅱ)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况.q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强 的大小、分别为

E10 ? k

q1 x0 2

E20 ? k
32

q2 (l ? x0 )2

郭芃老师

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且有

E10 ? E20

二者方向相反,点电荷 q0 在 P 点受到的合力为零,故 P 点是 q0 的平衡位置,在 x 轴上 P 点 右侧 x=x0+△x 处,q1、q2 产生的场强的大小分别为

E '1 ? k E '2 ? k
由于 E '2

q1 ? E10 ( x0 ? ?x)2 q2 ? E20 (l ? x0 ? ?x)2

方向沿 x 轴正方向

方向沿 x 轴负方向

? E '1 , x ? x0 ??x 处合场强沿 x 轴的负方向,即指向 P 点,在 x 轴上 P 点左侧

x ? x0 ??x 处,q1、q2 的场强的大小分别为
E "1 ? k E "2 ? k q1 ? E10 ( x0 ? ?x)2 q2 ? E20 (l ? x0 ? ?x)2
方向沿 x 轴正方向

方向沿 x 轴负方向

x ?x0 ??x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点. 由于 E"2 ? E"1,
由以上的讨论可知,在 x 轴上,在 P 点的两侧,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的 方向都指向 P 点,带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0>0 时, P 点是 q0 的稳定平衡位置,带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置. 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况,沿垂直于 x 轴的方向,在 P 点两 侧附近,点电荷 g,和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点,因而带正 电的点电荷在 P 点附近受到沿垂直 x 轴的分量的电场力都背离 P 点,所以,当 q0>0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置. 2.

评分标准:(本题 20 分) 1.12 分,
33

郭芃老师

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(ⅰ)2 分. (ⅱ)当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时,正确论证 q0>0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 3 分;正确论证 q0<0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 3 分.(未列公式,定性分析正确的同 样给分) 当 q0 被限制在垂直于 x 轴的方向运动时, 正确论证 q0>0, P 点是 q0 的不稳定平衡位置, 占 2 分;正确论证 q0<0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 2 分. 2.8 分,纵坐标标的数值或图线有错的都给 0 分,纵坐标标的数值、图线与参考解答 不同,正确的同样给分. 四、参考解答: 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位),注入少量水银后,气 柱将因水银柱压力而缩短.当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 P=(H+x),根据玻意耳 定律,此时空气柱长度

L'?
空气柱上表面与管口的距离

HL H?x

(1)

d ? L? L'?
开始时 x 很小,由于 L>H,故

L x H?x

(2)

d ?1 H ?x
即水银柱上表面低于管口, 可继续注入水银, 直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止, 何时水银柱表面与管口相平,可分下面两种情况讨论. 1.水银柱表面与管口相平时,水银柱未进入水平管 此时水银柱的长度 x≤l,由玻意耳定律有

( H ? x )( L ? x ) ? HL
由(3)式可得

(3)

x ? L?H
由此可知,当 l≥L-H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值

(4)

xmax ? L ? H
2.水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管 此时注入水银柱的长度 x>l,由玻意耳定律有

(5)

( H ? l )( L ? x ) ? HL

(6) (7)

x?

Ll H ?l Ll H ?l

l?x?
由(8)式得

(8)

x ? L ? H ,或 L ? H ? l
34

(9)

郭芃老师

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x ? L?H

L ? L?H H ?L

(10)

即当 l<L-H 时,注入水银柱的最大长度 x<xmax. 由上讨论表明,当 l≥L-H 时,可注入的水银量为最大,这时水银柱的长度为 xmax,即(5) 式. 评分标准:(本题 20 分) 正确论证 l≥L-H 时,可注入的水银量最大,占 13 分,求出最大水银量占 7 分,若论证 的方法与参考解答不同,只要正确,同样给分. 五、参考解答: 正、负电子绕它们连线的中点作半径为

r 的圆周运动,电子的电荷量为 e,正、负电子 2

间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力,即

k

e2 v2 ? m r2 (r / 2)
1 mv 2 2

(1)

正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-,有

Ek + =Ek ? ?
正、负电子间相互作用的势能

(2)

EP ? ?k
电子偶素的总能量

e2 r

(3)

E ? Ek+ +Ek? ? EP
由(1)、(2)、(3)、(4)各式得

(4)

1 e2 E?? k 2 r
根据量子化条件

(5)

mrv ? n

h 2?

n ? 1, 2, 3, …

(6)

(6)式表明,r 与量子数 n 有关,由(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为

n2h2 rn ? 2 2 2? ke m

n ? 1,2,3,…

(7)

代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为

En ? ?

? 2k 2e4m n2h2

n ? 1,2,3,…

(8)

n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态,基态的能量为

? 2k 2e4 m E1 ? ? h2
35

(9)

郭芃老师
n=2 是第一激发态,与基态的能量差

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3 ? 2 k 2 e4 m ?E ? 4 h2

(10)

评分标准:(本题 20 分) (2)式 2 分,(5)式 4 分,(7)式、(8)式各 5 分,(10)式 4 分. 六、参考解答: P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动,通过 两个轮子之间无相对运动的接触,A1 带动 A2 作顺时针的加速转动.由于两个轮子的辐条切 割磁场线,所以在 A1 产生由周边沿辐条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的 电动势,经电阻 R 构成闭合电路.A1、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流,在磁场中辐 条受到安培力,不难看出,安培力产生的电磁力矩是阻力矩,使 A1、A2 加速转动的势头减 缓.A1、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动,电流随之逐渐增大,电磁阻力矩亦逐渐增大, 直至电磁阻力矩与机械力矩相等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均作匀角速转动,此时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1,的角速度

?1 =

v a0

(1)

A1 带动 A2 转动,A2 的角速度 ω2 与 A1 的角速度 ω1 之间的关系为

?1a1=?2a2
A1 中每根辐条产生的感应电动势均为

(2)

1 ?1 = Ba12? 2

(3)

轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式 同理,A2 中,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数值为

?2 =

1 Ba2 2? 2 2

(4)

A1 中,每根辐条的电阻为 R1,轴与轮边之间的电阻是 A1 中四条辐条电阻的并联,其数值为

R A1 ?

R1 4

(5)

A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮边之间的电阻是 A2 中四条辐条电阻的并联,其数值为

RA2 ?

R2 4

(6)

A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为

I?
以(1)至(6)式代入(7)式,得

?1 ? ? 2 R ? RA1 ? RA2

(7)

? 1 ? ? ? Ba1 (a1 ? a2 )v 2a0 ? ? I? ?R ? ?R ? R ?? 1 ??? 2 ? ?4? ? 4?
36

(8)

郭芃老师

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当 P 匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即

R R ? ? mgv ? I 2 ? R ? 1 ? 2 ? 4 4? ?
以(8)式代入(9)式得

(9)

mg (4 R ? R1 ? R2 ) a0 2 v? B 2 a12 ( a1 ? a2 ) 2

(10)

评分标准:(本题 25 分) (1)、(2)式各 2 分,(3)、(4)式各 3 分,(5)、(6)、(7)式各 2 分,(9)式 6 分,(10) 式 3 分.

七、参考解答: 1.如图 1 所示,设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外,带电粒子 P 带正电,其速率为 v.P 从小孔射人圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向,若与筒壁只发生一次碰撞, 是不可能从小孔射出圆筒的.但与筒壁碰撞两次,它就有可能从小孔射出,在此情形中,P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧 HM、MN 和 NH 组成.现考察其中一段圆 弧 MN,如图 2 所示.

由于 P 沿筒的半径方向入射,OM 和 ON 均与轨道 相切,两者的夹角

2 ?= ? 3
设圆弧的圆半径为 r,则有

(1)

qvB ? m
圆弧对轨道圆心 O'所张的圆心角

v2 r

(2)

? ?
由几何关系得

? 3

(3)

r ? R cot
解(2)、(3)、(4)式得

? 2

(4)

37

郭芃老师

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v?

3qBR m

(5)

2.P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路经为

s ? ?r
经历时间为

(6)

t1 ?

s v

(7)

P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为

t ? 3t1
由以上有关各式得

(8)

t?

?m qB

(9)

评分标准:(本题 25 分) 1.17 分.(1)、(2)、(3)、(4)式各 3 分,(5)式 5 分. 2.8 分.(6)、(7)、(8)、(9)式各 2 分, 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后,由于细绳处于松弛状态,故从 C 点开始,小球沿 竖直方向作初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动.

38

郭芃老师

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当小球运动到图 1 中的 M 点时,绳刚被拉直,匀加速直线运动终止,此时绳与竖直方向的 夹角为 α=30°在这过程中,小球下落的距离

s ? l ? 2l cos? ? l(1? 3)
细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式:

(1)

v12 ? v02 ? 2gs

(2)

在细绳拉紧的瞬间, 由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的, 故小球沿细绳方向的分速度 v1cosα 变为零,而与绳垂直的分速度保持不变,以后小球将从 M 点开始以初速度

v1' = v1sin ? =

1 v1 2

(3)

在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点,如图 1 所示,由(1)、(2)、(3) 式得

v'12 =

1 2 1 v0 ? gl (1 ? 3 ) 4 2

(4)

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v, ,细绳与水平方向的夹角为 θ,由能 量关系有

1 1 mv'12 = mv 2 ? mg ( 3l ? 2 l sin ? ) 2 2
用F T 表示绳对小球的拉力,有

(5)

v2 FT ? mg sin ? ? m 2l
1. v0
2

(6)

=2(6 2 ? 3 3 ?1) gl v'12 ? u12 ? 2 g ( 2l ? 2l sin ?1 )

设在 θ=θ1,时(见图 2),绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v=u1,以此代入(5)、(6)两式得 (7)

u12 g sin ?1 ? 2l
39

(8)

郭芃老师
由(4)、(7)、(8)式和题设 v0 的数值可求得

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?1 ? 45?
u1 ? 2 gl

(9) (10)

即在 θ1=45°时,绳开始松弛.以 N1 表示此时小球在圆周上的位置,此后,小球将脱离圆轨 道从 N1 处以大小为 u1,方向与水平方向成 45°角的初速度作斜抛运动.

以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy ,x 轴水平向右,y 轴竖直向上.若以小球 从 N1 处抛出的时刻作为计时起点,小球在时刻 t 的坐标分别为

x ? u1 cos 45? t ?

2 u1t 2

(11)

1 2 1 y ? u1 sin 45? ? gt 2 ? u1t ? gt 2 2 2 2
由(11)、(12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程:

(12)

y? x?g
AD 面的横坐标为

x2 x2 ? x ? u12 2l

(13)

x ? 2 l cos 45 ? ?

2l

(14)

由(13)、(14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标

y?0

(15)

由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为

y ? ?(2l sin 45? ? l) ? ?( 2 ?1)l
把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75l 撞击点与 D 点的距离为

(16) (17)

? l ? x ? 2 l cos 45 ? ? 0.35l
40

(18)

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2. v0

2

? 2(3 3 ?11) gl
2 2 v '1 ? u2 ? 2g 3l ? 2l sin ?2

设在 θ=θ2 时,绳松弛,FT=0,小球的速度 v=u2,以此代替(5)、(6)式中的 θ1,u1,得 (19)

u22 mg sin ?2 ? m 2l
以 v0
2

(20)

? 2(3 3 ?11) gl 代入(4)式,与(19)、(20)式联立,可解得

?2 ? 90?
u2 ? 2gl

(21) (22)

(22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大,绳中 的拉力不断增加, 拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力, 小球将 绕以 D 点为圆心,l 为半径的圆周打到梁上的 C 点.

评分标准:(本题 25 分) (3)式 2 分,(5)、(6)式各 1 分,(9)、(10)式各 3 分,得出小球不可能打在 AD 边上,给 3 分, 得出小球能打在 DC 边上, 给 2 分, 正确求出小球打在 DC 边上的位置给 2 分, 求出(21)、 (22)式各占 3 分,得出小球能打在 C 点,再给 2 分. 如果学生直接从抛物线方程和 y ? ?(2l sin45 给分.不必证明不能撞击在 AD 边上.
?

? l) ? ?( 2 ?1)l (&9)求出 x=1.75l,同样

九、参考解答: 1.这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导 弹能打到 N 点,则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面(此 平面是 C 点所在的子午面)内,因此导弹的发射速度(初速度 v)必须也在此平面内,地心 O 是椭圆的一个焦点.根据对称性,注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等,故所考 察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的直线, 即图上的直线 AB, 椭圆的另一焦点必在 AB 上. 已 知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时,物体和地球构成的系统 的能量 E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴 α 的关系为

E??

GMm 2a

(1)

41

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要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短,根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两焦 点到椭圆上任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的半径 R,只要位于长轴上的另一焦点到 C 点的距离最小,该椭圆的半长轴就最小.显然,当另一 焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时,C 到该焦点的距离必最小.由几何关系可知

2a ? R ?
设发射时导弹的速度为 v,则有

2 R 2

(2)

E?

1 Mm mv 2 ? G 2 R

(3)

解(1)、(2)、(3)式得

v?


GM ( 2 ? 1) R
Mm ? mg R2

(4)

G
比较(4)、(5)两式得

(5)

v ? 2 Rg ( 2 ? 1)
代入有关数据得

(6)

v ? 7.2km/s

(7)

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切,根据解析几何知识,过椭圆上一点的切线的垂直线, 平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角

? =90 ? ?

1 ? 45? ? 67.5 ? 2

(8)

2.由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为

vC ?

2? R T

(9)

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600 s=86400 s,故

vC ? 0.46km/s
42

(10)

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C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直 的速度 vC,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7)、(8)两式的要求,导弹相对 于地面(C 点)的发射速度应有一大小等于 vC、 方向与 vC 相反的分速度, 以使导弹在此方向相 对于地心的速度为零,导弹的速度的大小为
2 v' ? v 2 ? vC

(11)

代入有关数据得

v' ?? 7.4 km/s

(12)

它在赤道面内的分速度与 v0 相反,它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式. 3.质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对 于近地点和远地点有下列关系式

1 2 GMm 1 2 GMm mv1 ? ? mv2 ? 2 r1 2 r2
1 1 r1v1 ? r2 v 2 2 2

(13)

(14)

式中 v1、 v2 分别为物体在远地点和近地点的速度, r1、 r2 为远地点和近地点到地心的距离. 将 (14)式中的 v1 代入(13)式,经整理得
2 ? GMm 1 2 ? r2 mv2 ( r2 ? r1 ) ? 2 ? 1? ? 2 r1r2 ? r1 ?

(15)

注意到

r 1 ?r 2 ? 2a


(16)

1 2 GMm r1 mv2 ? 2 2a r2


(17)

1 2 GMm E ? mv2 ? 2 r2
由(16)、(17)、(18)式得

(18)

E??

GMm 2a

(19)

评分标准:(本题 25 分) 1.14 分.(2)式 6 分,(3)式 2 分,(6)、(7)式共 4 分,(8)式 2 分. 2.6 分.(11)式 4 分,(12)式 2 分. 3.5 分.(13)、(14)式各 1 分,(19)式 3 分.

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第 24 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 阅卷 复核 本卷共八题,满分 200 分 得分 阅卷 复核 一、(25 分)填空题 1.2006 年诺贝尔物理学奖授予美国科学京约翰·马瑟和乔治·斯穆特,以表彰他们发现 了宇宙微波背景辐射的黑体辐射形式和各向异性.这一发现为有关宇宙起源的_________理 论提供了进一步的支持,使宇宙学进入了“ 精确研究”时代. 2.恒星演化到了后期,某些恒星在其内部核燃料耗尽时,会发生强烈的爆发,在短短 的几天中,亮度陡增千万倍甚至上亿倍,我国《宋史》第五十六卷中对当时观测到的上述现 象作了详细记载.2006 年 5 月是我国发现此现象一千周年,为此在杭州召开了有关的国际 学术研讨会.天文学上把演化到这一阶段的恒星称为__________,恒星演变到这—阶段,预 示着一颗恒星的终结,此后,它可能成为___________或__________. 3.2006 年 11 月 21 日,中国、欧盟、美国、日本,韩国、俄罗斯和印度七方在法国总 统府正式签署一个能源方面的联合实施协定及相关文件,该协定中的能源是指 __________ 能源. 4.潮汐是一种常见的自然现象,发生在杭州湾钱塘江入海口的“ 钱江潮”是闻名世界的 潮汐现象.在农历初一和十五的后各有一次大潮,在两次大潮之间又各有一次小潮,试把每 月中出现两次大潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面. _________________________________________________________________. 试把每月中出现两次小潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面.

5.如图所示,用双线密绕在一个长直圆柱上,形成一个螺线管线圈 aa'和 bb'(分别以 实线和应线表示) ,已知两个线圈的自感都是 L.今若把 a 与 b 两端相连,把 a'和 b'两端接 入电路,这时两个线圈的总自感等于________;若把 b 与 a'相连,把 a 和 b'两端接入电路, 这时两个线圈的总自感等于________;若把 a 与 b 两端 相连作为一端,a'与 b'连作为另一端,把这两端接入电 路,这时两个线圈的总自感等于________________. 得分 阅卷 复核 二、 (25 分)如图所示,一块光滑的平板能绕 水平固定轴 HH',调节其与水平面所成的倾角.板 上一很长为 l=1.00 的轻细绳,它的一端系住一质量 为 m 的小球 P.另一端固定在 HH'轴上的 O 点.当 平板的倾角固定在 α 时,先将轻绳沿着平轴 HH'拉 直 (绳与 HH'重合) , 然后给小球一沿着平板并与轻
44

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绳垂直的初速度 v0 ? 5.0m/s ,若小球能保持在板面内作圆周运动.倾斜角 α 的值应在什么范 围内(取图中 α 处箭头所示方向为 a 的正方向) .取重力 2 加速度 g=10m/s . 得分 阅卷 复核 三、 (25 分)如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的 稀薄气体(可视为理想气体)密封在水平放置的绝热气 缸内.活塞可在气缸内无摩擦地滑动,气缸左端的电热 丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热,气缸处在 大气中,大气压强为 p 0 ,初始时,气体的体积为 V0,压 强为 p 0 . 已知 1 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一已知恒 量 c.求以下两种过程中电热丝传给气体的热量 Q1 与 Q2 之比. 1.从初始状态出发,保持活塞 S 位置圈定,在电热丝中通 以弱电流,并持续一段时间,然后停止通电,待气体达到热平衡 时,测得气体的压强为 p 1 . 2.仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在电热丝中通过弱电流,也持续一段时 间,然后停止通电,最后测得气体的体积为 V2. 得分 阅卷 复核 四、 (25 分)如图所示,M1M2 和 M3M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直 导线紧密排列成的导线排横截面, 两导线排相 交成 120°,OO'为其角平分线.每根细导线中 部通有电流 I,两导线排中电流的方向相反, 其中 M1M2 中电流的方向垂直纸面向里.导线 排中单位长度上细导线的根数为 λ.图中的矩 形 abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导 体片的横截面,( ab ? bc ) ,长直半导体片与导线捧中的细导线平行,并在片中通有均匀电 流 I0,电流方向垂直纸面向外.已知 ab 边与 OO'垂直,bc ? l ,该半导体材料内载流子密度 为 n,每个载流子所带电荷量的大小为 q.求此半导体片的左右两个侧面之间的电势差. 已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r 处的 磁感应强度的大小为 B ? k

I ,式中 k 为已知常量. r

得分 阅卷
45

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复核 五、(25 分)如图所示,ACD 是由均匀细导线制成的边长为 d 的等边三角形线框,它以 AD 为转轴, 在磁感应强度为 B 的恒定的匀强磁场中以恒定的角速度 ? 转动 (俯视为逆时针 旋转) ,磁场方向与 AD 垂直,已知三角形每条边 的电阻都等于 R,取图示线框平面转至与磁场平 行的时刻为 t=0. 1.求任意时刻 t 线框中的电流. 2.规定 A 点的电势为 0,求 t=0 时,三角形 线框的 AC 边上任一点 P (到 A 点的距离用 x 表示) 的电势 U P ,并画出 U P 与 x 之间关系的图线. 1.当三角形薄板达到平衡时,求出碗对顶点 A、B、C 的作用力的大小各为多少. 2.当板处于上述平衡状态时,若解除对 A 点的约束,让它能在碗的内表面上从静止开 始自由滑动,求此后三角形薄板可能具有的最大动能. 得分 阅卷 复核 六、 (25 分)空间存在垂直于纸面方向的均匀磁场,其方向随时间作周期性变化,磁感 应强度 B 随时间 t 变化的图线如图 1 所示.规定 B>0 时,磁场的方向穿出纸面,现在磁场区 域中建立一与磁场方向垂直的平面坐标 Oxy ,如图 2 所示,一电荷量 q=5×10-7C ,质量 m=5×10-10kg 的带电粒子.位于原点 O 处,在 t=0 时刻以初速度 v0=πm/s 沿 x 轴正方向开始 运动.不计重力的作用,不计磁场的变化可能产生的一切其它影响.

1.试在图 2 中画出 0~20ms 时间内杖子在磁场中运动的轨迹,并标出圈 2 中纵横坐标 的标度值(评分时只按图评分,不要求写出公式或说明. ) 2 .在磁场变化 N 个( N 为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于 _____________. 得分 阅卷 复核 七、 (25 分)如图所示,L 是一焦距为 f 的薄凸透镜(F 与 F'为其焦点) .在透镜右侧焦 点 F'处放置一曲率半径大小为 R 的球圈反射镜(其顶点位于 F'处) ,透镜和球面组成一轴对 称的光学系统,在透镜 L 左侧光轴上有限远处有一发光点 P,它发出的傍轴光线经此光学系 统后,恰好成像在 P 点.试在下面第 1 和第 2 小题中填空,在第 3 小题中作图. 1.若球面镜为凹面镜,则 P 点到透镜的距离等于__________________;若球面镜为凸
46

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面镜,则 P 点到透镜的距离等于_______________. 2.若将一短细杆垂直于光轴放置,杆的下端位于 P 点,则此细杆经上述光学系统所成 的 最 后 的 像 的 大 小 与 物 的 大 小 之 比 对 凹 透 镜 等 于 __________ ; 对 凸 透 镜 等 于 _______________. 3.若球面镜子半径大小 R=2f,试按作图法的规范要求,画出第 2 问中短杆对上述光学 系统逐次成的像及成像光路图. (要求将凹面镜和凸面镜分别两个两张图上.评分时只按图 评分,不要求写出作图理由和说明,但须用已知量标出各个像在光轴上的具体位置. )

得分 阅卷 复核 八、 (25 分)如图所示,有一固定的、半径为 a、内壁光滑的半球形碗(碗门处于水平 位置) ,O 为球心.碗内搁置一质量为 m、边长为 a 的 等边三角形均匀薄板 ABC. 板的顶点 A 位于碗内最低点, 碗的量低点处对 A 有某种约束使顶点 A 不能滑动 (板只 能绕 A 点转动) .

47

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第 24 届中学生物理竞赛预赛试卷参考解答
一、参考答案: 1.大爆炸 2.超新星 中子星 黑洞 3.核聚变 4. 大潮时: 和

小潮时:



5.0,4L,L. 评分标准:本题 25 分. 第 1 小题 3 分. 第 2 小题 6 分,每一空格 2 分. 第 3 小题 3 分. 第 4 小题 6 分.第一空格中画对一个图给 2 分,画对二个图给 3 分;第二空格中画对一 个图给 2 分,画对二个图给 3 分. 第 5 小题 7 分.第一空格 2 分,第二空格 3 分,第三空格 2 分. 二、参考解答: 当光滑平板与水平面的倾角为 α 时,无论小球 P 处在斜面上什么位置,它受的重力在 斜面上的投影总是垂直于 HH',大小总是等于 mgsinα.以此作为重力的一个分力,则重力的 另一个分力即垂直于斜面的分力 mgcosα 总是与斜面对小球 P 的支持力平衡.这样,小球 P 在斜面内只受上述重力的分量 mgsinα 和细绳拉力的作用. 当小球 P 运动到圈周的最高点时,细绳垂直于 HH' 绳的拉力与小球所受重力的分量 mgsinα 沿同一直线,这时只要细绳不松弛,小球就能保持在板面内作圆周运动.设小球到 达圆周最高点时的速度为 v,绳的拉力为 T,有
T ? mg sin ? ? m v2 l

(1)

由能量关系,有

1 2 1 2 mv0 ? mv ? mgl sin ? 2 2
48

(2)

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由(1)、(2)式得

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? v2 ? T ? m ? 0 ? 3g sin ? ? ? l ?
细绳不松弛的条件是 T≥0 由(3)、(4)式得

(3)

(4)

? v2 ? ? ? arcsin ? 0 ? ? 3l g ?
代入有关数据,得
?5? ? ? arcsin ? ? ?6?

(5)

(6)

当倾角 α<0 时,经相同的分析可得
?5? ? ? ? arcsin ? ? ?6?

(7)

由(6)、(7)两式,可知 α 的取值范围为
?5? ?5? ? arcsin ? ? ? ? ? arcsin ? ? 6 ? ? ?6?

(8)

评分标准:本题 25 分. (1)式 7 分,(2)式 7 分,(4)式 5 分,(5)式或(6)式 3 分,(7)式 3 分. 三、参考解答: 以 m 表示气缸内气体的质量,μ 表示其摩尔质量.当气体处在初始状态时,已知其压强 为 p 0 、体积为 V0.设其沮度为 T0,由理想气体状态方程有
p0V0 ? m RT0 ?

(1)

在过程 1 中,对气体加热时,活塞 S 位置固定不动,气体体积保持不变,气体对外不做 功,根据热力学第一定律有
Q1 ? m c(T1 ? T0 ) ?

(2)

式中 T1 为加热后气体的温度.根据题意,这时气体的压强为 p 1 .由理想气体状态方程可知 由(1)、(2)、(3)式得
p1V0 ? m RT1 ?

(3)

在过程 2 中,对气体加热时,活塞要移动,气体的压强保持 p 0 不变,体积由 V0 变为 V2,气体对外做功.根据热力学第一定律,有

Q1 ?

c V0 ( p1 ? p0 ) R
49

(4)

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在过程 2 中, 对气体加热时, 活塞要移动, 气体的压强保持 p 0 不变, 体积由 V 0 变为 V 2 , 气体对外做功.根据热力学第一定律,有
Q2 ? m c ?T2 ? T0 ? ? p0 ?V2 ? V0 ? ?

( 5)

式中 T 2 为加热后气体的温度.由理想气体状态方程可知
p0V2 ? m RT2 ?

( 6)

由(1) 、 (5) 、 (6)式,得
Q2 ?

?c ? R ?
R

p0 ?V2 ? V0 ?

( 7)

由(4) 、 (7)式得

Q1 ? c ? ? p1 ? p0 ?V0 ?? ?? Q2 ? c ? R ? ?V2 ? V0 ? p0

( 8)

评分标准:本题 25 分. (1)式 2 分, (2)式 7 分, (3)式 2 分, (5)式 7 分, (6)式 2 分, (8)式 5 分. 四、参考解答 1.两导线排的电流产生的磁场

y轴与导线排 M1M2 考察导线排 M1M2 中的电流产生的磁场, 取 x 轴与导线排 M1M2 重合,
垂直,如图 1 所示.位于 x 和 x ? ?x ( ?x 为小量)之间的细导线可以看坐是“ 一根”通有电流

I ??x 的长直导线,它在 y轴上 P 点产生的磁感应强度的大小为
?B ? k I ??x r
( 1)

B的方向与 r 垂直,与电流构成右手螺旋. r 为 P 点到此直长导线的距离, ? B B分解成沿 x 方向和 y方向的两个分量 ?Bx 和 ? 将? y ,有
?Bx ? k I ??x cos ? r I ?? x sin ? r
( 2)

?By ? k

( 3)

根据对称性,位于 ? x 到 ? ? x ? ? x ? 之间的细导线中电流产生的磁感应强度在 y方向的分量与

?By 大小相等、 方向相反.可见整个导线排中所有电流产生的磁场在 y方向的合磁场为 0.由图
1 可看出
50

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?x cos ? ? ?? r

( 4)

把(4)式代入(2)式得
? Bx ? kI ? ? ?

( 5)

导线排上所有电流产生的磁感应强度

B ? ??Bx ? ?kI???
注意到

(6)

??? ? ? ,得
B ? k??I
(7)

即每个导线排中所有电流产生的磁场是匀强磁场,磁场的方向分别与 M1M2 和 M3M4 导线排 平行,如图 2 所示,两导线排中电流产生的磁感应强度 B(M1M2)与 B(M3M4)成 120 ? ,它们的 合磁场的磁感应强度的大小
B 0 ? 2 B cos 60 ? ? k ?? I

(8)

方向与 OO'平行,由 O 指向 O'. 2.半导体片左右两侧面间的电势差 当半导体片中通有均匀电流 I0 时, 半导体片中的载流子作定向运动, N 型半导体的载流 子带负电荷,故其速度 v 的方向与 I0 方向相反,垂直纸面向里,且有
I 0 ? nqvS

(9)

式中 S 为半导体片横截面的面积
S ? ab ? l

(10)

载流子作定向运动时要受到磁场洛伦兹力 f B 的作用,其大小为
f B ? qvB0
51

(11)

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对带负电荷的载流子此力的方向指向左侧, 于是负电荷积聚在左侧面上, 从而左侧面带负电, 右侧面带正电,两侧面间出现电势差 U ? U 右 ? U 左 .带负电荷的载流子受到静电力 fE 由左侧 面指向右侧面,达到稳定时,fE 与 fB 平衡,即
fE ? U q ? fB ab

(12)

由(8)、(9)、(10)、(11)、(12)各式得
U ?k

?? II 0 nql

(13)

评分标准:本题 25 分. (7)式 8 分,(8)式 4 分,(9)式 3 分,(12)式 5 分,(13)式 5 分, 五、参考解答: 1.在线框转动过程中,三角形的 AC、CD 两边因切割磁感应线而产生感应电动势,因 长度为 d 的 AC 边和 CD 边都不与磁场方向垂直,每条边切割磁感应线的有效长度,即垂直 于磁场方向的长度为

1 l ? d cos30? ? d 2

(1)

因 AC 边上不同部分到转轴的距离不同,它们的速度随离开转轴的距离的增大而线性增大, 故可认为 AC 边上各部分产生的总电动势,数值上等同于整条 AC 边均以 AC 边中点处的速 度 v 运动时产生的电动势,而
v?? 1 3 cos 30? = ?d 2 4

(2)

设在 t=0 至时刻 t,三角形从平行于磁场方向的位置绕轴转过角度为 θ,则

? ? ?t
'

(3)

因而边上各点速度的方向不再与磁场方向垂直, ;沿垂直磁场方向的分量

v? ? vcos?
由此得到 t 时刻 AC 边中的感应电动势

(4)

EAC ? Blv?
其方向由 A 指向 C,由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得
EAC ? 3 B? d 2 cos ?t 8

(5)

(6)

同理可得
ECD ? 3 B? d 2 cos ?t 8

(7)

其方向由 C 指向 D,三角形线框中的总电动势
E ? EAC ? ECD ? 3 B? d 2 cos ?t 4
52

(8)

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其方向沿 ACDA 回路方向,因线框中的总电阻为 3R,故 t 时刻线框中的电流
i? E 3 ? B? d 2 cos ? t 3R 12 R

(9)

2.对于 AP 来说,长度为 x,在 t=0 时刻, cos?t=1,而以 x 代替(6)式中的 d,即可得 AP 段中的感应电动势的大小
EAP ? 3 2 Bx ? 8

(10)

方向由 A 点指向 P 点,由(9)式,此时线框的电流
I? 3 Bxd 2 12 R

(11)

根据含源电路欧姆定律,P 点的电势

U P ? EAP ? I

R x d

(12)

把(10)、(11)两式代入(12)式,经整理后得

UP ?

3 ? 2 2 ? B? ? x ? xd ? 8 3 ? ?

(13)

为了画出 U P (x)图线,先求出若干特征点的电势值:(13)式右侧是一个关于 x 的二次方程, 故 U P (x)图线为一抛物线,(13)式可改写为

3 3 ? 1 ? UP ? B?d 2 ? B? ? x ? d ? 72 8 ? 3 ?
由(14)式可知,此抛物线

2

(14)

( ⅰ) x ? 0 和 x ?

2 d 3
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UP ? 0

(ⅱ)抛物线的顶点坐标为

x?

d 3 ,UP ? ? B? d 2 3 72
3 B? d 2 24

( ⅲ) x ? d , U P ?

图线如图所示. 评分标准:本题 25 分. 第 1 小题 13 分.求得(6)或(7)式 8 分,(8)式 2 分,(9)式 3 分. 第 2 小题 12 分.(10)式 4 分,(13)式 4 分,图线正确给 4 分, 六、参考解答: 1.

2. 2 2m/s 评分标准:本题 25 分. 1.图线形状正确给 10 分,横坐标标度正确给 5 分,纵坐标标度正确给 5 分. 2.求得平均速度大小给 5 分. 七、参考解答: 1.

f (R ? f ) f (R ? f ) ; R R

2. 1; 1 3.对凹面镜光路图如图 1 所示;

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对凸面镜光路图如图 2 所示,

评分标准:本题 25 分. 第 1 小题 10 分.每一空格 5 分. 第 2 小题 5 分,填对一个空格给 3 分,填对二个空格给 5 分. 第 3 小题 10 分,每图 5 分. 八、参考解答: 解法一

图1 1.因 A 点位于半球形碗的最低点,等边三角形薄板的 BC 边一定沿水平方向.作连线 OB 和 OC,因 O 为半球形碗的球心,A、B、C 均在球面上,故有
OA ? O B ? O C ? a

(1)

ABC 是等边三角形,
AB ? BC ? AC ? a

(2)

故 OABC 为正四面体,如图 1 所示.三角形薄板所受的力有:
N B ? NC
55

(3)

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(ⅰ)B、 C 处碗面对板的作用力 NB 和 NC 均垂直于碗面, 指向球心 O. 又由对称性可知, 它们的合力 NBC 沿∠COB 的角平分线 DO 的方向,其大小为

NBC ? 2NB cos30? ? 3NB
DO 的长度
DO ? OB cos 30 ? ? 3 a 2

(4)

(5)

(ⅱ)重力 FG 的大小
FG ? mg

(6)

它作用于三角形 ABC 的重心 G.G 位于 AD 上,与 A 的距离
AG ? 2 2 3 AD ?? OD ? a 3 3 3

(7)

重力的方向与 OA 平行,该力位于 OAD 平面内,与 OD 相交.用 P 表示其交点,则
OP ? 2 3 AG ? a 3 3

(8)

? 2 2 2? h ' ? a ? OG ' ? a ? OA ? AG ' ? ? ?1 ? 3 ? ?a ? ?

(15)

A 点被约束时薄板重心为 G 点,参阅图 1,可知 G 点相对碗最低点的高度
h ? AG cos ? DAO ? AG cos ?

(16)

由(7)和(9)式可得

h?

1 a 3

(17)

由(15)、(17)两式可求得薄板从 A 点约束解除到处于水平状态过程中,其重心高度减少 量的最大值,从而求出重力势能的减少量的最大值,最后即求得薄板具有的最大动能为
Ek ? mg (h ? h' ) ? 6 ?2 ? mga 3

(18)

评分标准:本题 25 分. 第 1 小题 20 分.(4)式 2 分,(10)式 7 分,(11)式 7 分,(12)式 2 分,(14)式 2 分. 第 2 小题 5 分.(15)式 1 分,(17)式 2 分,(18)式 2 分. 解法二

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图1 1.当三角形薄板处于平衡状态时,根据对称性, B C 必位于过 B、C 两点的水平圆面 内,以 O'表示此水平圆面的圆心,如图 1 所示,碗内壁球面的球心为 O,则 O'以及 A、O 三点必位于同一条竖直线上,由于 B、C 与球面接触处都是光滑的,球面对这两点的作用力 都指向球面的球心 O,令 NB 和 NC 分别表示这两个力的大小,由对称性可知
N B ? NC

(1)

因球面的半径等于等边三角形的边长,三角形 OAB 和 OBC 都是等边三角形
?AOB ? ?BOC ? ? ? 60?

(2)

把 N B 分解成沿竖直方向的分量 N B ? 和位于水平面内的分量 N B // ,则有

1 NB ? ? N B cos ? ? N B cos60? ? N B 2
N B // ? N B sin ? ? N B sin 60? ? 3 NB 2

(3)

(4)

同理有

1 NC ? ? NC cos ? ? NC cos60? ? NC 2
N C // ? N C sin ? ? N C sin 60? ? 3 NC 2

(5)

(6)

N B // 与 BO'平行, N C // 与 CO'平行,都平行于以 O'为圆心的水平圆面,可以把这两个力移到

圆心为 O'的水平四面内,如图 2 所示. N B // 和 N C // 的合力为 N // . 球面底部作用于三角形薄板的力 N A 也可分解成沿竖直方向的分量 N A ? 和位于水平面内 的分量 N A // .当三角形薄板达到平衡时,有
N A // ? N // ? 2 N B // cos ?
57

(7)

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mg ? N A ? ? N B ? ? N C ? ? 0

(8)

由图 1 可知,圆心为 O'的水平圆面的半径 R 即线段 O 'B 是等边三角形 OAB 的高,故有

R ? a sin ? ? a sin 60? ?

3 a 2

(9)

由图 2 得

?a? R2 ? ? ? O'D 6 ? 2? cos? ? ? ? R R 3
由以上有关各式,(7)、(8)两式可写成

2

(10)

NA// ? 2N
N A ? ? mg ? N B

(11) (12)

当三角形薄板达到平衡时,作用于三角形的各力对 BC 边的力矩总和等于零.NB,NC 通过 BC 边,对 BC 边无力矩作用,只有 N A // 、 N A ? 和重力 mg 对 BC 边有力矩作用.平衡 时有

a 1 N A // ? ? mg ? O ' D ? N A? O ' D ? 0 2 3
由(9)、(10)式可知
O 'D ? R 6 3 6 2 ? a? ? a 3 2 3 2

(13)

(14)

把(14)式代入(13)式,得
N A // ? 2 N A ? ? 2 mg 3
58

(15)

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由(11)、(12)和(15)及(1)式

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1 NB ? NC ? mg 3
N A // ? 2 mg 3

(16)

(17)

N A? ?

2mg 3
6 mg 3

(18)

NA ?

(19)

2.当解除对 A 点的约束,A、B、C 三顶点将在球面内从静止开始滑动,根据对称性可 知,必有一时刻薄板处于水平位置,这时板的重心最低,重力势能最小,薄板具有的动能最 大,这动能采自薄板减少的重力势能. 在图 1 中三角形 ADO'为直角三角形, 一条直角边 DO'位于水平位置, 另一条直角边 AO' 位于竖直位置,根据题意及几何关系可知,三角形薄板的重心 C 位于斜边 AD 上,离 A 点 的距离为

2 AD ,重心 G 的高度 3 h? 2 2 a 1 AO' ? ? ? a 3 3 2 3
(20)

当三角形薄板的三条边位于同一水平的圆面内时,三角形的重心 G'与其三边所在圆面 的圆心重合,如图 3 所示.
BG' ? 2 2 ?a? 3 a ?? ? ? a 3 2 3 ? ?
2

2

OG' ? OB ? BG' ?

2

a2 ?

3 2 6 a ? a 9 3

这时,三角形薄板重心 G'的高度
h' = a ? 6 3? 6 a? a 3 3
59

(21)

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薄板的最大动能
E k ? mg (h ? h' ) ? 6?2 mga 3

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(22)

评分标准:本题 25. 第 1 小题 20 分.(11)式 6 分,(12)式 6 分,(15)式 4 分,(16)式 2 分,(19)式 2 分. 第 2 小题 5 分.(20)式 1 分,(21)式 2 分,(22)式 2 分.

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第 25 届全国中学生物理竞赛预赛试卷

一、选择题.本题共 6 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项正确的,有的小题有多项正确的.把正确的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括 号内.全部选对的得 6 分,选对但不选全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1. 如图所示, 两块固连在一起的物块 a 和 b, 质量分别为 ma 和 mb, 放在水平的光滑桌面上. 现 同时施给它们方向如图所示的推力 Fa 和拉力 Fb,已知 Fa>Fb,则 a 对 b 的作用力 A.必为推力 C.可能为推力,也可能为拉力 [ ] Fb b a Fa B.必为拉力 D.可能为零

2.用光照射处在基态的氢原子,有可能使氢原子电离,下列说法中正确的是 A.只要光的光强足够大,就一定可以使氢原子电离 B.只要光的频率足够高,就一定可以使氢原子电离 C.只要光子的能量足够大,就一定可以使氢原子电离 D.只要光照的时间足够长,就一定可以使氢原子电离 [ ] 3.如图所示,一 U 形光滑导轨串有一电阻 R,放置在匀强的外磁场中,导轨平面与磁场方 向垂直.一电阻可以忽略不计但有一定质量的金属杆 ab 跨接在导轨上,可沿导轨方向平 移.现从静止开始对 ab 杆施加向右的恒力 F,若忽略杆和 U 形导轨的自感,则在杆的运动 过程中,下列哪种说法是正确的? A.外磁场对载流杆 ab 作用力对 ab 杆做功,但外磁场的能量是不变的 B.外力 F 的功总是等于电阻 R 上消耗的功 C.外磁场对载流杆 ab 作用力的功率与电阻 R 上消耗的功率两者的大小是相等的 D.电阻 R 上消耗的功率存在最大值 [ ] a R b 4.如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两根相对容器位置固定的玻璃 管 a 和 b,管的上端都是封闭的,下端都有开口的,管内被水各封有一定质量的气体.平衡 时 a 管内的水面比管个的低,b 管内的水面比管个的高.现令升降机从静止开始加速下降, 已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内,且经历的过程可视为绝热过程,则在此过程中 A.a 中的气体内能增加,b 中的气体内能减少
61

F

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B.a 中的气体内能减少,b 中的气体内能增加 C.a、b 中气体内能都增加 D.a、b 中气体内能都减少 [ ] a

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b

5. 图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管”, a、 b、 c、 d 为其中四段竖直的部分, 其中 a、 d 上端是开口的, 处在大气中, 管中的水银把一段气柱密封在 b、 c 内, 达到平衡时, 管内水银面的位置如图所示. 现缓慢地降低气柱中气体的温度, 若 c 中的水银上升了一小段 高度 Δh,则 A.b 中的水银面也上升 Δh B.b 中的水银面也上升,但上升的高度小于 Δh C.气柱中气体压强的减少量等于高为 Δh 的水银柱所产生的压强 D.气柱中气体压强的减少量等于高为 2Δh 的水银柱所产生的压强 [ ] a b c d

6.图中 L 是绕在铁心上的线圈,它与电阻 R、R0、电键和电池 E 可构成闭合回路.线圈上 的箭头表示线圈中电流的正方向,当电流的流向与箭头所示的方向相同,该电流为正,否则 为负.电键 K1 和 K2 都处于断开状态.设在 t=0 时刻,接通电键 K1,经过一段时间,在 t=t1 时刻, 再接通电键 K2, 则能较正确在表示 L 中的电流 I 随时间 t 的变化的图线是下面给出的 四个图中的哪个图? K1 E R0

K2 R

L

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I 0


I t1 t 0


I t1 t 0


I t1 t 0


t1

t

A.图 1 [ ]

B.图 2

C.图 3

D.图 4

二、填空题和作图题.把答案填在题中横线上或把图画在题指定的地方.只要给出结果,不 需要写出求得结果的过程. 7.(8 分)为了估算水库中水的体积,可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液,测得瓶内溶液 每分钟衰变 6×107 次,已知这种同位素的半衰期为 2 天.现将这瓶溶液倒入水库,8 天后可以认为已均 匀分布在水库中,这时取 1.0m3 水库中的水样,测得水样每分钟衰变 20 次.同此可知水库 中水的体积为_________m3. 8. (8 分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯 L1、 L2 和 L3, L2 与 L1 相距为 80m, L3 与 L1 相距为 120m.每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是 20s,显示红色的时间间隔都是 40s, L1 与 L3 同时显示绿色,L2 则在 L1 显示红色经历 10s 时开始显示绿色.规定车辆通过 三盏信号灯经历的时间不得超过 150s.若有一辆匀速向前行驶的汽车通过 L1 的时刻正好是 L1 刚开始显示绿色的时刻,则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是 _______m/s. 若一辆匀速向前行驶的自行车通过 L1 的时刻是 L1 显示绿色经历了 10s 的时刻, 则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是_______m/s. 9.(8 分)位于水平光滑桌面上的 n 个完全相同的小物块,沿一条直线排列,相邻小物块间都 存在一定的距离.自左向右起,第 1 个小物块标记为 P1,第 2 个小物块标记为 P2,第 3 个 小物块标记为 P3,……,最后一个小物块即最右边的小物块标记为 Pn.现设法同时给每个 小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度,其中最大的速度记作 v1,最小的速度记作 vn,介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为 v2、v3、……、vn-1.若小物块发 生碰撞时,碰撞都是弹性正碰,且碰撞时间极短,则最终小物块 P1、P2、P3、……、Pn 速 度的大小依次为________________________________________________________。

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10.(11 分)有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一块带负电,单位面积所带电荷量 的数值相等.现把两带电平面正交放置如图所示.图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正电的平 面和带负电的平面与纸面正交的交线,O 为两交线的交点. (i) 试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电势)具有对称性的特点, 并取 O 点 作为电势的零点, 在右面给的整个图上画出电场(正、 负电荷产生的总电场)中电势分别为 0V、 1V、2V、3V、?1V、?2V、?3V 的等势面与纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电 势. (ii) 若每个带电平面单独产生的电场是 E0=1.0V/m,则求出 (i) 中相邻两等势面间的距离 d=________. B2 -

+ A1

O

+ B1

A2

-

11.(10 分)一列简谐横波在 x 轴上传播(振动位移沿 y 轴).已知 x=12cm 处的质元的振动图 线如图 1 所示,x=18cm 处的质元的振动图线如图 2 所示.根据这两条振动图线,可获得关 于这列简谐横波的确定的和可能的信息(如频率、波速、波长等)是哪些? 6 4 2 0 6 4 2 0

3

6

9 图1

1

1

1

t

3

6

9 图2

1

1

1

t

_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 。 12.(8 分)一座平顶房屋,顶的面积 S=40m2.第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖直 方向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶, 假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹, 并立即流走. 第 二次气温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也下了 24 小时,全部冻雨落到屋顶便都结成 冰并留在屋顶上,测得冰层的厚度 d=25mm .已知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9×102kg/m3.由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成冰对屋顶的压力为_________N,第一 次下雨过程中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为__________N.

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13.(10 分)在示波器的 YY'偏转电极上,加电压 u1=U0sin2πνt,式中频率 ν=50Hz.同时在示 波器 XX'偏转电极上加如图 1 所示的锯齿波电压 u2,试在图 2 中画出荧光屏上显示的图线. 如果由于某种原因,此图线很缓慢地向右移动,则其原因是____________________ _______________________________________________________________________________ ___________。

u2/V

0

0.04

0.08 图1

0.12

t/s 图2

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三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方和和重要的演算步骤.只写出最后结果的不能 得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位. 14.(14 分)一电流表,其内阻 Rg=10.0Ω,如果将它与一阻值 R0=49990Ω 的定值电阻串联, 便可成为一量程 U0=50V 的电压表.现把此电流表改装成一块双量程的电压表,两个量程分 别为 U01=5V 和 U02=10V.当用此电压表的 5V 挡去测一直流电源两端的电压时,电压表的 示数为 4.50V;当用此电压表的 10V 挡去测量该电源两端的电压时,电压表的示数为 4.80V.问此电源的电动势为多少?

15.(12 分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境.在地球表 面附近, 当飞机模拟某些在重力作用下的运动时, 就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失 重状态. 现要求一架飞机在 v1=500m/s 时进入失重状态的试验, 在速率为 v2=1000m/s 时退出 失重状态试验.重力加速度 g=10m/s2 试问: (i) 在上述给定的速率要求下, 该飞机需要模拟何重运动, 方可在一定范围内任意选择失重 的时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素. (ii) 飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?

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16.(12 分)假定月球绕地球作圆周运动,地球绕太阳也作圆周运动,且轨道都在同一平面 内 . 已 知 地 球 表 面 处 的 重 力 加 速 度 g=9.80m/s2 , 地 球 半 径 Re=6.37×106m , 月 球 质 量 mm=7.3×1022kg,月球半径 Rm=1.7×106m,引力恒量 G=6.67×10-11N·m2·kg-2,月心地心间的距 离约为 rem=3.84×108m. (i) 月球的月心绕地球的地心运动一周需多少天? (ii) 地球上的观察者相继两次看到满月需多少天? (iii) 若忽略月球绕地球的运动, 设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球, 试估算火箭到 达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位数字)?

17.(12 分)如图所示,1 和 2 是放在水平地面上的两个小物块(可视为质点),与地面的滑动 摩擦系数相同,两物块间的距离 d=170.00m,它们的质量分别为 m1=2.00kg,m2=3.00kg.现 令它们分别以初速度 v1=10.00m/s 和 v2=2.00m/s 迎向运动,经过时间 t=20.0s,两物块相碰, 碰撞时间极短,碰后两者粘在一起运动.求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能. 1 2

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18.(11 分)磅秤由底座、载物平台 Q、杠杆系统及砝码组成,如示为其等效的在竖直平面内 的截面图. Q 是一块水平放置的铁板, 通过两侧的竖直铁板 H 和 K、 压在 E、 B 处的刀口上. 杠 杆系统由横杆 DEF、ABCF 和竖杆 CF、MP 以及横杆 MON 组成.另有两个位于 A、D 处的 刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 在沿垂直于纸面的方向都有一定的长 度,图中为其断面).C、F、M、N、O、P 都是是转轴,其中 O 被位于顶部并与磅秤底座固 连在支架 OL 吊住,所以转轴 O 不能发生移动.磅秤设计时,已做到当载物平台上不放任何 待称物品、游码 S 位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时,横梁 MON 处于水平状态, 这时横杆 DEF、ABCF 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的. 当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,W2 表示 E 处刀口增加的压力,由于杠杆系统的调节,横梁 MON 失去平衡,偏离水平位置.适当增 加砝码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置.待秤物品的重量 (质量)可由砝码数值及游码的位置确定.为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都 能显示出相同的结果,在设计时,AB、DE、AC、DF 之间应满足怎样的关系? M L O S N G

Q C K B F A

P H D

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19.(11 分)如图所示,一细长的圆柱形均匀玻璃棒,其一个端面是平面(垂直于轴线),另一 个端面是球面,球心位于轴线上.现有一根很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入 射.当光从平端面射入棒内时,光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为 a;当 光线从球形端面射入棒内时,光线在棒内与轴线的的交点到球面的距离为 b.试近似地求出 玻璃的折射率 n.

20.(13 分)光子不仅有能量,而且还有动量,频率为 ν 的光子能量为 hν,动量为

h? ,式 c

中 h 为普朗克常量,c 为光速.光子射到物体表面时将产生压力作用,这就是光压.设想有 一宇宙尘埃,可视为一半径 R=10.0cm 的小球,其材料与地球相同,它到太阳的距离与地球 到太阳的距离相等.试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力大小的比 值.假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收.已知:地球绕太阳运动可视为圆周运动,太 阳辐射在单位时间内射到位于地地球轨道处的、 垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐射能 S=1.37×103W·m2 , 地 球 到 太 阳 中 心 的 距 离 rec=1.5×1011m, 地 球 表 面 附 近 的 重 力 加 速 度 g=10m·s-2,地球半径 Re=6.4×106,引力恒量 G=6.67×10-11N·m2·kg-2.

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21.(16 分)设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度为 B 的匀强磁场和重力加速度为 g 的重力场. 一质量为 m、 电荷量为 q 的带正电的质点在此空间 运动,已知在运动过程中,质点速度大小恒定不变. (i) 试通过论证,说明此质点作何运动(不必求出运动的轨迹方程). 其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、磁场刚要消失时刻 该质点的速度在三个场方向的分量封存. (ii) 若在某一时刻, 电场和磁场突然全部消失, 已知此后该质点在运动过程中的最小动能为

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第 25 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准
一、选择题(36 分) 答案: 1.C、D, 6.A. 评分标准: 每小题 6 分.全都选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题及作图题答案及评分标准: 7. 1.9×105 (8 分) 8. 2 (4 分)、 2.B、C, 3.A、C、D, 4.B, 5.A、D,

12 13

(4 分)

9. vn、vn-1、…、v3、v2、v1. (8 分) 10. (i)如图所示(8 分) -3 B2 – -2

-1 0 1 2 3 B1

A1 3 2 1 0

O

2 (ii) m 2

-1

(3 分)

-2 -3 A2 –

11. (1) 振幅 A=4cm (2 分) (2) 周期 T=12s,或频率 ν=

1 -1 s 12

(2 分)

(3) 若波沿 x 轴方向转播,则此波可能的最大传播速度 vm=

2 cm·s-1,其他可能的传播 3

速度为 v n ?

2 cm ? s ?1 ,n=1,2,3,…;此波可能的最大波长为 λ=8cm,其它可能波 3 ? 4n

长为 ? n ?

24 cm,n=1,2,3,…(3 分) 3 ? 4n

(4) 若波沿负 x 轴方向传播,则此波可能的最大传播速度 vm=2cm·s-1, 其它可能的传

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播速度为 v n ?

2 cm ? s ?1 ,n=1,2,3,…;此波可能的最大波长为 λ=24cm,其它可能 1 ? 4n

波长为 ? n ? 12. 13.

24 cm,n=1,2,3,…(3 分) 1 ? 4n
(2 分) 0.058 (6 分)

9×103

(6 分) 锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的 2 倍,而是稍小一点.(4 分) 三、计算题 14. 参考解答: 设电流表的量程为 Ig,当电流表与定值电阻 R0 串联改装成电压表时,此电压表的内阻

? ? Rg ? R0 R0
由于此电压表的量程 U0=50V,故有



? ? U0 I g R0
由⑴、⑵两式得



Ig ?
即电流表的量程为 1mA.

U0 ? 1.11 ? 10 ?3 A Rg ? R0



A +

Rg

R1

R2

5V

10V

电流表改装成双量程电压表的电路如图所示, 图中 R1 和 R2 是为把电流表改装成双量程 电压表必须串联的电阻,其值待求.用 R1? 表示电压表量程 U01=5V 挡的内阻,则有

? ? Rg ? R1 R1




? ? U01 I g R1
由⑶、⑸式得



R1? ?

U 01 5 ? ?3 ? ? 5 ?103 ? I g 10
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同理得电压表量程 U02=10V 挡的内阻

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? ? Rg ? R1 ? R2 ? R2

U 02 10 ? ?3 ? 1.0 ? 104 ? I g 10



设电源电动势为 E,内阻为 r,当用电压表量程为 5V 挡测电源两端的电压时,电压表 的示数为 U1,已知 U1=4.50V,设此时通过电流表的电流为 I1,有
U 1 ? I 1r ? E U 1 ? I 1 R1?

⑻ ⑼

当用电压表的 10V 挡测量该电源两端的电压时, 电压表的示数为 U2, 已知 U2=4. 80V, 设此时通过电流表的电流为 I2,有
U 2 ? I2r ? E ? U 2 ? I 2 R2

⑽ ⑾

解⑻、⑼、⑽、⑾式,并注意到⑹、⑺式得 E=5.14V 评分标准: 本题 14 分.⑶式 3 分,⑹式 2 分,⑺式 2 分,⑻式、⑼式、⑽式、⑾式共 4 分,⑿式 3 分。 15. 参考解答: (i) 当飞机作加速度大小为重力加速度 g,加速度的方向竖直向下的运动时,座舱内的试验 者便处于完全失重状态. 这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动, 也可以是斜抛运动.当进入试验速率和退出试验的速率确定后,飞机模拟前两种运动时, 重时间长短都是一定的、不可选择的.当飞机模拟无阻力下的斜抛运动时,失重时间的长 短与抛射角有关,可在一不范围内进行选择. 考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动.设开始试 验时飞机的初速度大小为 v1,方向与水平方向成 θ 角, 起始位置为 A 点,经做抛物线运动在 B 点退出试验,如 图所示.以 t 表示试验经历的时间,在退出试验时的速 率为 v2,则有 y v1 A θ x B v2 ⑿

v2x ? v1 cos?
v2 y ? v1 sin? ? gt

2 2 2 v2 ? v2 x ? v2 y

⑴ ⑵



由⑴、⑵、⑶式得
2 g2t2 ? 2v1gtsin? ? v12 ? v2 ?0



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解⑷式得

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t?

2 v1 sin ? ? v12 sin 2 ? ? ( v 2 ? v12 ) g



由⑸式可知,当进入试验时,飞机的速度 v1 和退出飞机的速度 v2 确定以后,失重时间 的长短可通过 θ 来调节. (ii) 当 θ=90°时,失重时间最长,由⑸式可求得最长失重时间

tmax?150 s
当 θ=-90°时,失重时间最短,由⑸式可求得最短失重时间
t min ? 50 s





失重时间的调节范围在 50s 到 150s 之间. 评分标准: 本题 12 分 第(i)小问 8 分.指明斜抛运动得 2 分,求得⑸式并指出失重时间的长短可通过 θ 来调节得 6 分. 第(ii)小问 4 分.求得⑹式得 2 分,求得⑺式得 2 分. 16. 参考解答: (i) 月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动,设地球的质量为 me,月球绕地心作圆周运 动的角速度为 ωm,由万有引力定律和牛顿定律有

G
另有

me mm ? mm rem?m 2 rem me ?g Re2 2? ?m
3 rem gR e2



G
月球绕地球一周的时间



Tm ?
解⑴、⑵、⑶三式得



Tm ? 2?
代入有关数据得



Tm ? 2.37?106 s ? 27.4天



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月 A 地 月 A' 地 B

(ii) 满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的,此时地球在月球和太阳之间,即图中

? 表示 A 的位置.当第二个满月时,由于地球绕太阳的运动,地球位置已运动到 A? .若以 Tm
相继两次满月经历的时间, ?e 表示地球绕太阳运动的角速度,由于 ?e 和 ? m 的方向相同, 故有

? ? 2? ??eTm ? ?mTm




?m ? ?e ?

2? Tm 2? Te





天.由⑹、⑺、⑻三式得 式中 Te 为地球绕太阳运动的周期, T e ? 365
?? Tm
注意到⑸式,得

TeTm Te ? Tm



? ? 29.6天 Tm



(iii) 从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用,另一方面也受到月球的引力作 用.当火箭离地球较近时,地球的引力大于月球的引力;当离月球较近时,月球的引力大于 地球的引力.作地心和月心的连线,设在地月间某一点处,地球作用于火箭的引力的大小正 好等于月球作用于火箭的引力的大小.以 r 表示到月球中心的距离,则有

G

me m m m ? G m2 2 r ?rem ? r ?



式中 m 为火箭的质量.由⑾式得

? me ? 2 2 ? ? m ? 1? ? r ? 2 r em r ? rem ? 0 ? m ?
解⑿式,注意到⑵式,代入有关数据,得
75



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r ? 3 . 8 ? 10 7 m



从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达 O 点,则过 O 点后,因月球引力大于地球 引力,它便能在月球引力作用下到达月球,这样发射时火箭离开地面时的速度最小,它到 达月球时的速度也最小.设火箭刚达到月球时的最小速度为 v,则由机械能守恒定律有

?G
解得

mem mm mem mm 1 ? G m ? ?G ? G e ? mv2 rem ? r r rem ? Rm Rm 2



? 1 ? 1 1? 1 ? ? ? v ? 2Gme ? ? ? 2 Gm m ?r ?R ? ?R ?r? ? r ? r ? em m em ? ? m ?
注意到⑵式,代入有关数据得



v ? 2 . 3 ? 10 3 m ? s ? 1
评分标准: 本题 12 分. 第(i)小问 3 分.求得⑷式得 2 分,求得⑸式得 1 分. 第(ii)小问 3 分.求得⑼式得 2 分,求得⑽式得 1 分. 第(iii)小问 6 分.⑾式 2 分,⒁式 2 分,⒃式 2 分. 17. 参考解答:



因两物块与地面间的滑动摩擦系数相同, 故它们在摩擦力作用下加速度的大小是相同的, 以

a表示此加速度的大小.先假定在时间 t 内,两块始终作减速运动,都未停下.现分别以 s1
和 s2 表示它们走的路程,则有

s1 ? v1t ?

1 2 at 2 1 2 at 2



s 2 ? v2t ?

s1 ? s 2 ? d





解⑴、⑵、⑶三式并代入有关数据得

a ? 0 .175 m / s 2
经过时间 t,两物块的速度分别为
? ? v1 ? at v1





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v? 2 ? v 2 ? at



代入有关数据得
? ? 6.5 m / s v1 v? 2 ? ? 1 .5 m / s

⑺ ⑻

是负值是不合理的,因为物块在摩擦力作用下作减速运动,当速度减少至零时,摩擦力 v? 2 消失,加速度不复存在, v ? 不可以为负. v ? 为负,表明物块 2 经历的时间小于 t 时已经停 2 2 止运动,⑵式从而⑷、⑹、⑺、⑻式都不成立.在时间 t 内,物块 2 停止运动前滑行的距离 应是

s2 ?

2 v2 2a



解⑴、⑼、⑶式,代入有关数据得

a ? 0.20 m / s 2
由⑸、⑽式求得刚要发生碰撞时物块 1 的速度
v1? ? 6 . 0 m / s





而物块 2 的速度
v? 2 ? 0



设 V 为两物块相碰后的速度,由动量守恒有
m1 v1? ? ?m1 ? m 2 ?V



刚碰后到停止运动过程中损失的机械能

?E ?
由⒀、⒁式得,

1 ?m1 ? m2 ?V 2 2



?2 1 m12v1 ?E ? 2 m1 ? m2
代入有关数据得



?E ? 14.4J
评分标准:



本题 12 分.通过定量论证得到⑼式共 4 分,求得⑾式得 4 分,⒀式 1 分,⒁式 1 分,⒃式 1 分. 18. 参考解答:
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根据题意,通过通过增加砝码和调节游码的位置使磅秤恢复平衡,这时横梁 MON、横杆 ABCP、DEF 以及载物台 Q 都是水平的,竖杆 MP、CF 都是竖直的.B、E 处的刀口增加的 压力分别为 W1 和 W2,它们与待秤量的物体的重量 W 的关系为
W ? W1 ? W 2



W1 与 W2 之和是确定的,但 W1、W2 的大小与物品放置与载物台上的位置有关.对于横杆 DEF,它在 E 点受到向下作用力(为了叙述简单,下面所说的作用力皆指载物后增加的作用 力)的大小 W2,设在 F 点受到向上的作用力的大小为 W2? ,平衡时有
W 2 ? DE ? W 2? ? DF



对横杆 ABCP, 在 B 点受到向下作用力的大小为 W1, 在 C 点受到向下的作用力的大小为W2? , 设 P 点受到向上的作用力的大小为 W3,平衡时有

? W3 ? AP?W 1 ? AB?W 2 ? AC
由以上三式得



W3 ? AP ? W ? AC ?

DE DE ? ? ? W1 ? ? AB ? AC ? DF DF ? ?



要使重物在平台上的位置不影响 W3 的大小,就必需要求 W3 与 W1 无关,即有

AB ? AC
即 AB、DE、DF 应满足的关系为

DE ?0 DF



AB DE ? AC DF
评分标准: 本题 11 分.⑴式 2 分,⑵式 2 分,⑶式 2 分,⑷式 3 分,⑸式或⑹式 2 分. 19. 参考解答:



入射的两条光线如图所示.? 1 、 ? 1 是从平端面入射的光线通过球形端面时的入射角和折射 角; ? 2 、 ? 2 是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角.根据折射定律有 β1 δ1 α1 b
n sin ? 1 ? sin ? 1
78

α1 δ2 β2

a ⑴

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sin ? 2 ? n sin ? 2



由几何关系有
?1 ? ? 1 ? ? 1 ?2 ? ?2 ? ?2

⑶ ⑷

设球面的半径为 R,注意到 ? 1 、 ? 2 、 ? 1 、 ? 2 都是小角度,故有
R ? 1 ? a?1 R? 2 ? b? 2

⑸ ⑹

根据题给的条件,⑴、⑵式可近似表示成
n ? 1 ? ?1

⑺ ⑻

? 2 ? n? 2

由⑶式—⑻式得

n?
评分标准:

b a



本题 11 分.⑴式 1 分,⑵式 1 分,⑶式 1 分,⑷式 1 分,⑸式 1 分,⑺式 1 分,⑻式 1 分, ⑼式 3 分. 20. 参考解答: 设宇宙尘埃的质量为 m,太阳的质量为 M,则太阳作用于尘埃的万有引力

f ?G

Mm 2 rec



设地球的密度为 ρ,地球的质量为 me,按题意有

m?

4 3 ?R ? 3



??

me 4 3 ?Re 3



另有

G


me ?g Re2



79

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Mm e ? 2? ? G ? me ? ? rec rec ? T ?

2



式中 T 为地球绕太阳作圆周运动的周期, 由⑴、 ⑵、 T ? 365 ? 24 ? 60 ? 60 s ? 3 . 15 ? 10 7 s . ⑶、⑷、⑸式得

gR 3 ? 2? ? f ? ? ? rec GRe ? T ?

2



太阳辐射中含有各种频率的光子, 设单位时间内, 射到尘埃所在处的与太阳辐射垂直的单位 面积上频率为? i 的光子数为 Ni,根据 S 的定义有

S ? ? Ni h? i
i



光子不仅有能量,还具有动量.由题意可知频率为? i 的光子的动量

pi ?

h? i c



光子射到尘埃表面被尘埃吸收,故光子作用于尘埃的冲量

?Ii ? pi
单位时间内射到尘埃单位面积上的各种频率的光子对尘埃的总冲量



?I ? ? Ni ?Ii ? ? Ni pi
i i



?I 也就是压强.由于尘埃表面是球面,球面上各部分并不都与太阳辐射垂直,但射到球面
上的光辐射与射到与太阳辐射垂直的地球大圆表面上的光辐射是相等的, 故太阳辐射作用于 尘埃的力

F ? ?R 2? I
由⑺式—⑾式得



F?
由于⑹式和⑿式得

?R2 S c



F GRe ST 2 ? f 4?gRcrec
代入有关数据得



F ? 1.0 ? 10?6 f
80



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评分标准:

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本题 13 分.求得⑹式得 4 分,求得⑿式得 7 分,求得⒀式得 1 分,求得⒁式得 1 分. 21. 参考解答: z

E O g x (i)

B y

在空间取如图所示的直角坐标 Oxyz,Ox 轴没电场方向,Oy 沿磁场方向,Oz 轴与重力

方向相反.因为磁场作用于质点的洛伦兹力与磁场方向垂直,即在 Ozx 平面内;作用于质点 的电场力和重力也在 Oxz 平面内, 故质点在 y 方向不受力作用,其速度沿 y 方面的分速度的 大小和方面是不变的.根据题意,质点速度大小是恒定不变的,而磁场作用于质点的洛伦兹 力对质点不做功, 故质点的速度沿垂直磁场方向的大小一定是恒定不变的, 故此分速度必须 与电场力和重力的合力垂直. 由于电场力和重力的合力的方向是不变的, 故此分速度的方向 也是不变的.由此可得到结论:质点速度的方向也是不变的,即质点在给定的场中作匀速直 线运动,其轨迹是直线,在 Oxz 平面内,与电场和重力的合力垂直. (ii) 质点作匀速直线运动表明电场、 磁场和重力场对质点作用力的合力等于 0. 设存在电场、 磁场时质点的速度大小为 v0 ,它在从标系中的三个分量分别为 v0x 、 v0y 、 v0z ,这也就是电 场、磁场刚要消失时质点的速度在三个场方向的分量,以 Fx、Fy 和 Fz 分别表示 F 在坐标系 中的分量,则有

Fx ? qE? qv0zB ? 0
Fy ? 0

⑴ ⑵ ⑶

Fz ? ?mg ? qv0x B ? 0
由⑴、⑶式得

v0 x ?

E B



v0 z ?

mg qB



若知道了粒子的速度 v0,粒子速度的 y 分量为
2 2 2 2 v0 y ? v0 ? v0 x ? v0 z



因电场和磁场消失后,粒子仅在重力作用下运动,任何时刻 t 质点的速度为
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vx ? v0x
vy ? v0y

⑺ ⑻ ⑼

vz ? v0z ? gt
当 vx 等于 0 时,粒子的动能最小,这最小动能

E k min ?
根据题意有

1 2 2 m v0 x ? v0 y 2

?

?



1 ?1 2? Ek min ? m? mv0 ? 2 ?2 ?
由⑽、⑾式得
2 2 2 v0 ? 2 v0 x ? v0 y



?

?




由⑷、⑸、⑹、⑿各式得

v?
评分标准: 本题 16 分

1 qB

?qB?2 ? ?mg?2

第(i)小问 4 分.通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得 4 分. 第(ii)小问 12 分.⑷式 3 分,⑸式 3 分,求得⒀式 6 分.

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试卷答案重要勘误更正
设电流表的量程为 Ig,当电流表与定值电阻 R0 串联改装成电压表时,此电压表的内阻

? ? Rg ? R0 R0
由于此电压表的量程 U0

( 1)

? 50V,故有
? ? U0 I g R0
( 2)

由(1) 、 (2)两式得

Ig ?

U0 ? 1.11 ? 10 ?3 A Rg ? R0

( 3)

即电流表的量程为 1.11mA. 电流表改装成的双量程电压表的电路如图所示, 图中 R 1 和 R 2 是为把电流表改装成双量程电压表必须 + 串 联 的 电 阻 , 其 值 待 求 . 用 R1? 表 示 电 压 表 量 程 5V 10V

U01 ? 5V 挡的内阻,则有
? ? Rg ? R1 R1
而 (4)

? ? U 01 I g R1
由(3) 、 (5)式得

( 5)

?? R1

U 01 ? ?.50 ? ?? ? Ω Ig

( 6)

V挡的内阻 同理得电压表量程 U02 ?10
? ? Rg ? R1 ? R2 ? R2 U 02 ? 9.?? ? ?? ? ? Ig
( 7)

设电源的电动势为 E,内阻为 r,当用电压表的 5V 挡测电源两端的电压时,电压表的 示数为 U 1 ,已知 U 1 ? 4 . 50 V ,设此时通过电压表的电流为 I 1 ,有
U 1 ? I1r ? E U 1 ? I 1 R 1?

(8) ( 9)

当用电压表的 10V 挡测量该电源两端的电压时,电压表的示数为 U 2 ,己知 U 2 ? 4 . 80 V ,设 此时通过电压表的电流为 I 2 ,有
U 2 ? I2r ? E
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(10)

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? U 2 ? I 2 R2

(11)

解(8) 、 (9) 、 (10) 、 (11)式,并注意到(6) 、 (7)式得

E ? 5.14V

(12)

评分标准: 本题 14 分.(3)式 3 分, (6)式 2 分, (7)式 2 分, (8)式、 (9)式、 (10)式、 (11) 式共 4 分, (12)式 3 分.

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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷

7 8 总分 11 12 15 16 一、选择题.本题共 5 小题,每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选 项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确的.把 得分 阅卷 复核 正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的 得 7 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分. 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池, 彼此相距较远.用导线将 E 的正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电 后,去掉导线.这时已知 a 带的电荷量大于 c 带的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用 两根导线分别都从原始状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连,用 另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连,每 次连接后都随即移去导线.下面哪种说法是正确的? 1-5 9 13 6 10 14
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A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次 连接,a、b 间的电压 和 c、 d 间的电压都 下降 [ ] 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电 源两端,如图所示.已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的 摩尔质量, 杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电 子(载流子) .当电流达到稳恒时,若 a、 b 内存在电场,则该电场可视为均匀电场.下面 结论中正确的是
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A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 [ ] 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手 指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖 直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有 A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2 C . V1=V2>V0 D . V1>V0 , V2>V0 [ ] 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在 白板上.石墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为 μ.突然,使白板以恒定的速度 v0 做匀速
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直线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运 动.在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不 计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量)
2 v0 A. 2? g

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B.

v0t

1 C . v0 t ? ? gt 2 2

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2 v0 D. ?g

[ ] 5. 如图 1 所示, 一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过电键 K 连 接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的,在 t=0 时 刻,闭合电键 K,接通电路,在图 2 中给出了六种电压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、d、 e、f,现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上 1、2、3、4 四点中某两点间的电压随 时间 t 的变化,下面四个选项中正确的是

A.a、b、f B.a、e、f C.b、d、e D.c、d、e [ ] 二、 填空题和作图题. 把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方. 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程. 6. (8 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目 得分 阅卷 复核 标, 这严重影响了搜索的速度. 现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”, 它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成 的天线阵,小天线发出相干的电磁波,其初相位可通过电子计算机 调节, 从而可改变空间干涉极强的方位, 这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用. 对 下面的简单模型的研究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位的影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为 λ 的相干电磁波.Ox 轴通过 a、b 的中点且垂直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相位 差为 O 时,将在与 x 轴成 θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发出 的电磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ,结果,原来相干极强的方向将从 θ 变为 θ' ,则 θ-θ'等于
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得分
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阅卷
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复核
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7. (8 分)He 一 Ne 激光器产生的波长为 6.33×10-7m 的谱线是 Ne 原子从激发态能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的;波长为 3.39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能级 E1 向能级较低的激发态能级(用 E3 表示)跃迁时发生的.已知普朗 克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1.24×10-6m·eV. 由此可知 Ne 的激发态
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能级 E3 与 E2 的能最差为 eV. 8. (8 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s.已 得分 阅卷 复核 知位于坐标原点(x=0)处的质元的振动图线如图 1 所示.试在图 2 中画出,t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于一个波长) .
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9. (8 分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截 得分 阅卷 复核 面) .AB 为池中水面的直径,MN 为水池底面的直 径,O 为圆形池底的圆心.已知 ON 为 11.4m , AM、 BN为斜坡, 池中水深 5.00m, 水的折射率为 4 / 3. 水 的透明度极好,不考虑水的吸收.图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是 蓝色的,水面是平的.在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼 睛位于 O 处,仰视水面的最大范围的直径为 AB. (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛 的是
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三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写 出最后结果的不能得分.有数值计算的.答案中必须明确写出数值和单位. 10. (19 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验 得分 阅卷 复核 结果的影响. (i)用“ 插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖 放置在铺平的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两 条直线,在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距 离. 如果由于操作中的误差, 使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离, 问这样测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简要论证 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动, 而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期,仍用单 摆的周期公式求出重力加速度, 问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比, 哪个 大?试定量比较.
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11. (18 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略 不计.带有按钮开关 K1,按下按钮,电流表与电路接通,有电流通 过电流表, 电流表显出一定的读数) , 阻值己知为 R 的固定电阻一个, 阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ε 和内阻 r 待 测) ,单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干. 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ε 和内阻 r,又能测量待测电阻 的阻值 Rx (注意: 此电路接好后, 在测量过程中不许再拆开, 只许操作开关, 读取数据) . 具 体要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量 ε、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ε、r 和 Rx 的表达式. 得分
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阅卷
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复核
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得分
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12. (18 分)一静止的原子核 A 发生 α 衰变后变成原子核 B,已知 原子核 A、原子核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA、mB ,和 mα,光速 为c (不考虑质量与速度有关的相对论效应) , 求衰变后原子核 B 和 α 粒子的动能.
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13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子 得分 阅卷 复核 的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件,且可做 到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响.这种 特点可望有新的应用价值.图 l 所示为四端十字形.二维电子气半 导体, 当电流从 l 端进人时, 通过控制磁场的作用, 可使电流从 2, 3, 或 4 端流出.对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在 图 2 中, a、b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽 度极窄的狭缝 1、2、3、4,在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁 场,磁场方向垂直于纸面指向纸里.以 B 表示磁感应强度的大小.一个质量为 m、电荷量 为 q 的带正电的粒子,在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射人磁场内,设粒 子与圆柱表面只发生一次碰撞, 碰撞是弹性的, 碰撞时间极短, 且碰撞不改变粒子的电荷量, 也不受摩擦力作用.试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出.
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14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨,导轨中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0.导轨 的两条轨道间的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道上滑 动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨 的电阻均不计.初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一 匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为 B.现有一位于导轨平面内的与 轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间 t , PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进人磁场区域) .求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感. 得分
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15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性 细杆连结, 活塞与气缸壁的接触是光滑的、 不漏气的, M1 是导热的, M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一定质量的气 体封闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右侧为大气,大气的压强 P0 是恒定的. K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初 始时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积.现 通过 K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热,让气体重新达到平衡态,这时,活塞未被气 缸壁挡住.加热后与加热前比, L1 和 L2 中气体的压强是增大了、减小了还是未变?要求进 行定量论证. 得分
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得分
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16. (20 分)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动,在某处和一个质量为 m2=m1/9 的太空碎片发生迎 头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动.碰 撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和 卫星轨道在同一平面内. 已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,

其总能量即动能与引力势能之和 E ? ? G

Mm 2a

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,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a

为椭圆轨道的半长轴.设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体与 地球相碰处的纬度是多少?
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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
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一、选择题. (共 35 分) 答案: 1. B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多 项是正确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分.
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6.答案与评分标准:

?? (8 分) 2? d

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7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:

评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代 表玻璃砖的两个透明面, 根据题意, 实线间的距离大于虚线间的距 离,如图所示.根据实线位置定出的折射角为 γ,按实际的玻璃砖 两透明面的位置即虚线定出的折射角为 γ' ,由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆 球的质量,F 表示摆线对摆球的拉力,T 表示摆球作题图所示运动的周期.有
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F sin ? ? ml sin ? (

2? 2 ) T

(l)

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F cos ? ? mg
由(l) 、 (2)式得

(2)

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T ? 2?

l cos ? g
91

(3)

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而单摆的周期公式为

T ? ? 2?

l g

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即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在水 平面内作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出的重 力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有
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? ? I1R ? I1r
? ? I 2r ? I 2
RRx R ? Rx

(1) ( 2)

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? ? ? ? ? I3 R ? ? ? I 3 ? Rx ? RR x ? r ? ? R?R ? ? x ?
解以上三式得

( 3)

??
r? Rx ?

(I 2 ? I3 ) I1 R I 2 ? I1 (I1 ? I3 )R I2 ? I1 I3 R I 2 ? I3

(4)

( 5)

( 6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测 出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的 步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线.
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92

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(2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有
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? ? I1(R ? Rx ? r) ? ? I2 (R ? r) ? ? I3(Rx ? r)
解以上三式得

( 1) (2) (3)
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??
r?

I1I3 R I3 ? I1 I1 I2 ? I1I3 ? I 2 I3 R I 2 ( I3 ? I1 ) I3 ( I 2 ? I1 ) R I 2 ( I3 ? I1 )

( 4)

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( 5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有
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m Ac 2 ?

1 1 2 2 m? v? ? mB vB ? m? c 2 ? m B c 2 2 2

(2)

解(l) 、 (2)二式得

1 m? 2 mBvB ? (mA ? mB ? m? )c2 2 m? ? mB 1 mB 2 m? v? ? (mA ? mB ? m? )c2 2 m? ? mB

( 3)

( 4)

评分标准:本题 18 分. (1)式 4 分, (2)式 8 分, (3) 、 (4)各 3 分. 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和缝 3.粒子从缝 1 进人磁场,在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道在原点 与 x 轴相切,故其圆心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 ( 1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱面相碰于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为
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x=2R-Rsin450 y=R-R cos450 由(l) 、 (2) 、 (3)式得 r=3R
2 v0 由洛仑兹力和牛顿定律有 qv0 B ? m r

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( 2) ( 3) ( 4) ( 5)

由(4) 、 (5)式得

B?

mv0 3qR

(6)

评分标准:本题 18 分. ( 1) 、 (2) 、 (3)式各 4 分, (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两 圆圆心的连线与缝 3 的交点.从 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与圆 柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、 d 两圆圆心的直线 OP 对称, 故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点. 由 于粒子在磁场中做圆运动过 A 点,因此这个轨道的圆心必在过 A 点并 垂直于 AF 的直线 AE 上; 同时这个轨道经过 C 点, 所以轨道的圆心也 一定在 AC 的垂直平分线 DE 上. 这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的 圆心,AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点, 则

?AHC∽?EDA
有 由图可知

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r?

AC AD HC

(1)

HC ? R ? AH ? 2R ?

2 R 2 2 R 2

(2)

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(3) ( 4) (5) (6) (7)

AC ? AH 2 ?HC2
AD ?
由以上各式得 r=3R

1 AC 2

2 v0 由洛仑兹力和牛顿定律有 qv0 B ? m r

得到

B?

mv0 3qR

( 8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, (2) 、 (3) (4) 、 (5)式各 1 分, (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分. 14.参考解答:
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杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其 大小 FB=BIl,方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大 小为 Fμ,方向向左.根据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加 的动能,即有

W F ? W FB ? W

F?

?

1 mv 2 2

( 1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的 功,WFμ 为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx ( 2) 因安培力的大小是变化的, 安培力对杆做的功用初等数学无法计算, 但杆克服安培力做 的功等于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER ( 3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 WFμ=-Fμx ( 4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a ( 5) 2 而 a=2x0/t ( 6) 由(4) 、 (5) 、 (6)三式得

W F? ? ? 2 m0

x0 x t2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv ( 8) 根据题意,此时回路中的感应电流

I0 ?
由(8) 、 (9)式得

? R

(9)

v?

I0 R Bl

(10)

由(l) 、 (2) 、 (3) 、 (7) 、 (10)各式得

ER ? ( F ? 2m0

x0 1 I02 R2 ) x ? m t2 2 B2l 2

(11)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分. 15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中气 体处在平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度 相等) ,由理想气体状态方程有 p1V1=n1RT ( 1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态 时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知
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S2=2S1 由(3) 、 (4)式得 p1+p2=2p0 由(l) 、 (2) 、 (5)三式得

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( 4) ( 5)

n1 p0V2 n2 p1 ? n V1 ? 1 V2 n2 2

( 6)

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的 压强.加热前 L1 中气体的压强则为

n1 p0V20 n2 p10 ? n V10 ? 1 V20 n2 2

( 7)

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两活 塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V ( 8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是向 左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一定 律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都 将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6) 、 (7) 、 (9) 、 (10)四式得

n1 p0 (V10 ? V20 ) ?V n2 p1 ? p10 ? n n [V10 ? ?V ? 1 (V20 ? ?V )](V10 ? 1 V20 ) n2 n2 2

(11)

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦 不变;若加热前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若加 热前 V10>V20, 则 p1> p10,即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二 设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、V2 分别表示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气体 的温度是相等的,设为 T0,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两 个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 ( 2) 由(l) 、 (2)两式得 p1-p10=- (p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有
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p1V1 T ? p10V10 T0
96

( 4)

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对 L :中的气体有

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p2V2 T ? p20V20 T0
由(4) 、 (5)两式得

(5)

p1V1 pV ? 2 2 p10V10 p20V20
(6)式可改写成

( 6)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ? p20 V ?V )(1 ? 1 10 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 20 ) p10 V10 p20 V20

(7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3) 、 (8)式代入(7)式得

( 8)

(1 ?

p1 ? p10 V ?V p ?p V ?V )(1? 1 10 ) ? (1 ? 1 10 )(1 ? 1 10 ) p10 V10 p20 V20

(9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体 积,则加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的 体积,则加热后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分, 最后结论得 6 分. 16.参考解答: (i)图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1 表示碰撞前卫星 作圆周运动的速度,以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛 顿定律有
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Mm1 v12 G ? m1 ( R ? h) 2 R?h
式中 G 是引力常量.由(l)式得

( 1)

v1 ?

GM R GM ? R?h R?h R

(2)

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以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等 于卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

1 Mm 2 Mm 2 2 m2 v2 ?G ? ?G 2 R?h 2a
式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(3)

v2 ?

2GM GM 2R R GM ? ? ? R?h a R?h a R

( 4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有
97

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m1v1-m2v2=(m1+m2)v ( 5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

v?

m1v1 ? m2v2 m1 ? m2
GM R

(6)

由(2) 、 (4) 、 (6)三式并代人有关数据得

v ? 0.7520

(7)

结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R, 则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量

?G

M ( m1 ? m 2 ) 1 M ( m1 ? m 2 ) ? ( m1 ? m 2 ) v 2 ? G 2a? 2 R?h

(8)

代人有关数据得 a '=5259km ( 9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论. 取极坐标, 坐标原点在地心处, 极轴由北极指向南极, 如图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆 方程

r?

p 1 ? e cos ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有

e?

rmax ? rmin ( ? 0.3635) 2a?

(13)

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有

(14) (15)

R?

p 1 ? e cos ? p?R eR

(16)



cos ? ?

(17)

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 这是在北纬 51.320 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2) 、 (3)或(4) 、 (5)或(6)式各 2 分, (8)式 3 分,
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(10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11) 、 (12) 、 (13) 、 (14)或(15) 、 (16)或(17)式各 l 分, (19) 式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点 和远地点并由远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 a?2 b?2

(20)

式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地 心的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax-a'(=1912km) (22) 而

b? ? a?2 ? c2

(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角. 因撞击点在结合物的轨道上, 将 (24) 、 (25)式代入轨道方程(20)式,经整理得

R2(b?2 ? a?2)cos2 ? ? 2b? 2cRcos? ? a?2b?2 ? a?2R2 ? 0
引人以下符号并代人有关数据得

(27)

? ? R2 (b?2 ? a?2 )(? ?1484?1011km) ? ? 2b?2cR(? 5846?1011km)
代入(27)式得
ht

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? ? b?2c2 ? a?2b?2 ? a?2R2 (? 5465?1011km) ? cos2 ? ? ? cos? ? ? ? 0
解得

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(28) (29)

cos ? ?

? ? ? ? 2 ? 4?? 2?

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) θ=141.320 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20) 、 (21) 、 (22) 、 (23)或(24) 、 (27)式各 l 分, (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 1 分.
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第 27 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1-7 11 15 8 12 16 9 13 17 10 14 18 总分 加分人

得分

阅卷

复核

一、选择题.本题共 7 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项 是符合题意的, 有的小题有多项是符合题意的. 把符合题意的选项前面的英文字母写在每 小置后面的方括号内.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 1.若质点作直线运动的速度。随时间,变化的图线如图'所示,则该质点的位移 3(从 t=0 开始)随时间 t 变化的图线可能是图 2 中的哪一个?

[ ] 2.烧杯内盛有 0℃的水,一块 0℃的冰浮在水面上,水面正好在杯口处.最后冰全部熔解成 0℃的水.在这过程中 A.无水溢出杯口,但最后水面下降了 B.有水溢出杯口,但最后水面仍在杯口处 C.无水溢出杯口,水面始终在杯口处 D.有水溢出杯口,但最后水面低于杯口 [ ]

3.如图所示,a 和 b 是绝热气缸内的两个活塞,他们把气缸分成甲和乙两部分,两部分中 都封有等量的理想气体.a 是导热的,其热容量可不计,与气缸壁固连.b 是绝热的,可 在气缸内无摩擦滑动,但不漏气,其右方为大气.图中 k 为加热用的电炉丝,开始时,系 统处于平衡状态,两部分中气体的温度和压强皆相同,现接通电源,缓慢加热一段时间后 停止加热,系统又达到新的平衡。则 A.甲、乙中气体的温度有可能不变 B.甲、乙中气体的压强都增加了 C.甲、乙中气体的内能的增加量相等 D.电炉丝放出的总热量等于甲、乙中气体增加内能的总和 [ ] 4.一杯水放在炉上加热烧开后,水面上方有“ 白色气”;夏天一块冰放在桌面上,冰的上方 也有“ 白色气”. A.前者主要是由杯中水变来的“水的气态物质” B.前者主要是由杯中水变来的“水的液态物质” C.后者主要是由冰变来的“ 水的气态物质“ D.后者主要是由冰变来的“水的液态物质” [ ]
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5.如图所示,电容量分别为 C 和 2C 的两个电容器 a 和 b 串联接在电动势为 E 的电池两端 充电,达到稳定后,如果用多用电表的直流电压档 V 接到电容器 a 的两端(如图) ,则电 压表的指针稳定后的读数是 A.E/3 B.2E/3 C.E D .0 [ ] 6.已知频率为 v、波长为 λ 的光子的能量 E=hv,动量 P ? 速 c 可表示为 A.

h ,式中 h 为普朗克常量,则光 ?

P E

B.

E P

C. EP

D.

E2 P2
c

[
e

]

a α β ?d Y ?? ?f Z , 7.某种核 X 经过 α 衰变后变为核 Y,再经过 β 衰变后变为核 Z,即 b X ??

下列关系中正确的是 A.a=e+4 B.a=e C.d=f-1 D.b=f+2 [ ] 二、填空题.把答案填在题中的横线上或题中指定的地方,只要给出结果,不需写出求得结 果的过程. 得分 阅卷 复核 8. (12 分)选择合适的卫星发射地发射卫星,对提高运载效率、节省燃料等方面都有影响 (特别是对同步卫星的发射) . 如果在地球表面纬度为甲处发射一颗绕地球表面运行的人造卫星, 假设地球可视为质量 均匀分布的球体.已知地球自转的角速度为 ω,地球半径为 R,地球表面处的重力加速度为 g,卫星质量为 m,则至少要给卫星的能量为___________.设重力加速度 g=9.80m/s2,地球 半径 R=6.40×106m,卫星质量 m=1.00×103kg,若发射地在酒泉,其纬度为北纬 40 度 58 分, 则所需的能量为________________J;若发射地在文昌,其纬度为北纬 19 度 19 分,则所需 的能量为__________J. 得分 阅卷 复核 9. (18 分)图中所示为一球心在 O 点的不带电的固定的导体球,A、B、C 是球外三点,与 球心 O 在同一平面内,三点的位置使 OAB 和 OBC 皆为等边三角形.当把一表面均匀带正 电的塑料小球的球心放在 A 点时(如图所示) ,已知此时 A、B、C 三点的电势分别为 UA、 UB、UC.现把另外两个与放在 A 点的小球完全相同的带正电的塑料小球的球心分别放在 B 点和 C 点,已知导体球上感应电荷的分布可看作是各塑料小球单独存在时所产生感应电荷 分布的叠加.此时,BA 两点间的电势差 U' B ? U ' A =__________, BC 两点间的电势差 U ' B ? U ' C =___________, AC 两点间的电势差
U' A ? U' C =___________.如果在上面的情况下,把导体球移到电

场以外, 则 BA 两点间的电势差将 (填增大、 减小或不变) _______, BC 两点间的电势差将(填增大、减小或不变)______,AC 两点
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间的电势差将(填增大、减小或不变)__________. 得分 阅卷 复核

10. (10 分)用图示电路测得的数据可画出小灯泡的伏安 特性图线.小灯泡工的额定功率为 3.6W ,额定电压为 6V.电源 E 的电动势为 10V,内阻忽略不计,滑动电阻器 R 的全电阻约为 200Ω.通过调节滑动变阻器,可以调节通过 L 的电流,电流 I 由电流表 A 读出,灯泡两端的电压 U 由电压表 V 读出,根据测量数据可在方格纸上画出在测量范围内 小灯泡灯丝的伏安特性图线, 所画出的图线可能是下图中的哪一个?答 (用图线下面的英文 字母表示)____________.

得分

阅卷

复核

11. (12 分)图 1 中的 M、N 为处在匀强磁场中的两条位于同一水平面内的平行长导轨,一 端串接电阻 R,磁场沿竖直方向.ab 为金属杆,可在导轨上无摩擦滑动,滑动时保持与导 轨垂直,杆和导轨的电阻都不计.现于导轨平面内沿垂直于 ab 方向对杆施一恒力 F,使杆 从静止出发向右运动.在以后的过程中,杆速度的大小 v、加速度的大小 a、力 F 冲量的大 小 I、以及 R 上消耗的总能量 E 随时间 t 变化的图线,分别对应于图 2 中哪一条图线?把代 表该物理量的符号填在你所选定图线纵坐标处的方框中.

得分

阅卷

复核

12. (9 分)右图为“用双缝干涉测量光的波长”实验装置的示意图.图中 S0 为狭缝,S1、S2 为双狭缝, S 为观察屏. 当用单色光 (以 ?表示其波长) 从左方照射狭缝 S0 时, 由双狭缝 S1、 S2 射出的光是相干光,可在观察屏 S 上出现明暗相间的干涉条纹,若屏 S 上的 P 点是某一 暗 条 纹 的 中 心 , 已 知 P 点 到 S1 的 距 离 为 r1 , 则 P 点 到 缝 S2 是 的 距 离 r2 =___________________________ . 为 了 求 出 波 长 ? , 实 验 中 应 测 量 的 物 理 量 是
102

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_____________________________________________.若实验装置中单缝、双狭缝和屏的位 置都不变,只是入射光第一次为红光,第二次为蓝光,则第二次观察到的干涉 条纹与第一次比,不同之处除了条纹的颜色外,还有________________. 得分 阅卷 复核 13. (8 分) 光通过光纤长距离传输时, 因损耗而要衰减, 故必须在途中设立“中 继站”进行放大. 现代采用直接放大即全光型放大, 它可使传输速率大大提高, 其办法是在光纤中掺入饵. 饵离子的能级如图所示.其中标为 4 I13/2 的能级是亚稳态能级,粒子处在 这能级可以持续一段时间而不立即向较低能级跃迁,可用半导体激光器产生的波长为 0.98μm 激光照射, 把处于基态能级 4 I15/2 的粒子激发到标为 4 I11/2 的能级, 再通过“无辐射跃迁” 跃迁到亚稳态能级 4 I13/2 , 从而使该能级积聚粒子数远超过处于基态的粒子数, 当光纤中传输 的波长为 1.55μm 的光波传入掺铒的光纤时,能使大量处在亚稳态能级的粒子向基态跃迁, 发出波长为 1.55μm 的光波,于是输出的光便大大加强,实现了全光型中继放大.若普朗克 常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1.99×10-25J·m,则无辐射跃迁中一个铒粒子放出的能量等于 _______________J. 三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步 骤.只写出最后结果的不能得分.有数值计算的,答案中必须 明确写出数值和单位. 得分 阅卷 复核 14. (13 分)假设把地球大气等效于一个具有一定厚度和折射率均 匀的透光气体球壳,其折射率取 n=1.00028.把地球看作为圆球, 当太阳在地球某处正上方时, 该处的观察者看太阳时的视角比太阳对观察者所在处的张角相 差多少?已知太阳半径 Rs=6.96×100 m,日地距离 rE ? 1.50 ? 10 1 1 m .


得分

阅卷

复核

15. (18 分)一劲度系数为 k 的轻质弹簧,上端固定,下端连一质量为 m 的物块 A,A 放在 托盘 B 上,以 N 表示 B 对 A 的作用力,x 表示弹簧的伸长量.初始时全都静止,弹簧处于 自然状态,x=0.现设法控制 B 的运动,使 A 匀加速下降,以 a 表示其加速度,考察能保持 A 匀加速下降的整个过程. ⅰ.试求 N 随 x 的变化关系式,并画出当 a 趋近于 0 和 a 等于

1 g 时 N 随 x 变化的图 2

线(g 为重力加速度) . ⅱ.求各种能量在所考察的整个过程中的终态值和初态值之差.

103

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得分

阅卷

复核

16. (18 分)在图所示的装置中,离子源 A 可提供速度很小的正离子(其速度可视为 0) , 经加速电压加速后从 S 点进入匀强磁场,磁场方向垂直纸面指向纸 外,虚线框为磁场区域的边界线,在磁场作用下,离子沿半个圆周 运动后射出磁场,射出点 P 到 S 的距离用 x 表示. ⅰ.当离子源提供的是单一种类的第一种离子时,P 到 S 的距 离为 x1,当离子源提供的是单一种类的第二种离子时,P 到 S 的距 离为 x2,已知 比值 t1/t2.
4 ⅱ.若离子源 A 提供的是由 H +、D+、 He+ 和 H 2 + 混合而成的多种离子,又通过速度选择

x1 ? ? .试求这两种离子在磁场中运动时间 t1 和 t2 的 x2

器使各种离子的速率都为 v,当这些离子从 S 点进入匀强磁场后,从磁场射出时可分离出哪 几种离子束?若 v=2.0×106m/s, B=0.50T, 基本电量 e=1.60×10-19C, 质子质量 m P =1.68×10-27kg, 试求各种离子的射出点 P 到 S 的距离.

104

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得分 阅卷 复核

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17. (20 分)可以近似认为地球在一个半径为 R 的圆轨道上绕日公转,取日心参考系为惯性 系,地球公转周期即一年为 T=365.2564 日,地球自转周期为 t.地球上的人连续两次看见太 阳在天空中同—位置的时间间隔 tE 为一个太阳日, 简称一日, 即 24 小时. 假设有某种作用, 把地球绕日公转的圆轨道半径改变为 R',但未改变地球自转周期.设经过这样改变后,地球 公转一个周期即新的一年刚好是 360 新日,试问 ⅰ.这新的一日的时间是多少小时(按改变前的小时计)? ⅱ.这新的一年应该是多少小时,才能使得新的一年刚好是 360 新日? ⅲ.这个改变前后,系统的能量差是地球现在公转动能的百分之多少?

得分

阅卷

复核

18. (20 分)超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速,再通 过流速来确定流量的仪器. 一种超声波流量计的原理示意如图所示. 在 充满流动液体(管道横截面上各点流速相同)管道两侧外表面上 P1 和 P2 处(与管道轴线在同一平面内) ,各置一超声波脉冲发射器 T1、 T2 和接收器 R1、R2,位于 P 真处的超声波脉冲发射器 y 真向被侧液体 发射超声脉冲,当位于 P2 处的接收器 R2 接收到超声脉冲时,发射器 T2 立即向被测液体发射超声脉冲。如果知道了超声脉冲从 P1 传播到 P2 所经历的时间 t1 和超声脉冲从 Pi 传播到 P1 所经历的时间 t2,又知 道了 P1、P2 两点的距离 l 以及 l 沿管道轴线的投影 b,管道中液体的流速 u 便可求得.试求 u.

105

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第 27 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
一、选择题. 答案: 1. B 2. C 3. C 4. B 5. D 6. B 7.A,B,C 评分标准: 全题 42 分,每小题 6 分.每小题中全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有 选错或不答的得 0 分. 二、按各小题的答案和评分标准给分.
1 8. m ( Rg ? ? R cos ? ) 2 (6 分) .2.85×1010(3 分) ;2.80×1010(3 分) 2

9.UB-UC(4 分) ,UB-UC(4 分) ,0(4 分) 增大(2 分) ,增大(2 分) ,不变(2 分) . 10.答案:E(10 分) 11.

1 12. r1 ? (2k ? 1) ? , k ? 0,1, 2, 3… (3 分) .双狭缝 S1 中心岛 S2 中心的距离,观察屏到双狭 2

缝的距离,相邻两亮纹或暗纹间的距离. (3 分) .条纹间的距离变小. (3 分) 13.7.48×10-20(3 分) 三、计算题 14.参考解答:

当太阳在观察者正上方时,观察者看太阳时的视角以 2θ1 表示,太阳对观察者所在处的
106

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张角以 2θS 表示,θS 和 θ1,也就是太阳边缘发出的光线经过大气层表面时的入射角和折射 角.如图所示,这两个角度都很小,所以折射定律可以写成
n?1 ? ? S

( 1)

其中
?S =
RS rE

( 2)

所以观察者看太阳时的视角与太阳对观察者所在处张角之差为

?? 2?
由(1) 、 (2) 、 (3)式得
??

I

? 2? S

(3)

1 ? n 2 Rs n rE

(4)

代入数据得
? ? ? 2.60 ? 10 ?6

(5)

评分标准:本题 13 分. (l)式 5 分, (2)式 4 分, (4)式 2 分, (5)式 2 分. 15.参考解答: ⅰ.当 A 开始作匀加速运动后,有
mg ? N ? kx ? ma

(1)

式中 a>0.由(1)式得
N ? m ( g ? a ) ? kx

(2)

(2)式便是 N 随 x 变化的关系式,它表明 N 与 x 成线性关系,直线的斜率决定于弹簧的劲 度系数 k,截距则与加速度的大小有关.

由(2)式,当 x=0 时,N 有最大值,它就是在纵坐标轴上的截距,即
N max ? m ( g ? a )

(3)

N max 与 a 有关。当 a 趋向于 0 时, N m ax ? mg ;当 a ?

1 1 g 时, N max ? mg 。当 N=0 时,x 2 2

有最大值,它就是在横坐标轴上的截距,即

xmax ?

m ( g ? a) k
107

(4)

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x m ax 与 a 有关.当 a 趋近于 0 时, xmax =

1 1 1 mg mg ;当 a ? g 时, xmax ? .由此可得 N 与 k 2 2 k

x 的图线如图所示. ⅱ.在所考察的过程中,弹簧的弹性势能为

1 E1 ? kx2 2
整个过程中弹性势能的终态值和初态值之差
1 m2 ?E1 ? kx 2 ? ( g ? a )2 2 2k

( 5)

( 6)

取 x=0 为重力势能的 0 点,则在所考察的过程中,重力势能为
E 2 ? ? mgx

( 7)

整个过程中重力势能的终态值和初态值之差
?E2 ? ?mgxmax ? ? m2 g ( g ? a ) ( 8) k

设整个过程中物块 A 动能的终态值和初态值之差为 ?E3 ,由功能关系有
W ? ? E1 ? ? E 2 ? ? E 3

(9)

式中 W 是所考察过程中 B 对 A 的作用力 N 所傲的功,由 N~x 图线有
1 1 m 2 ( g ? a )2 W ? ? N max xmax ? ? 2 2 k

(10)

由(6) 、 (8) 、 (9) 、 (10)各式得
?E3 ? m2 a ( g ? a) k

(11)

评分标准:本题 18 分 第ⅰ小问 10 分,求得(2)式给 5 分,图线正确(正确标出每条直线在纵、横坐标轴上的截 距)给 5 分. 第ⅱ小问 8 分,求得(6)式给 2 分,求得(8)式给 2 分,求得(11)式给 4 分. 16.参考解答: ⅰ.设加速电压为 U,电荷量为 q、质量为 m 的粒子加速获得的速度为 v,由能量关系,有

1 qU ? mv2 2

( 1)

粒子进入磁场,在磁场的洛伦兹力作用下作圆周运动,设磁场的磁感应强度为 B,圆周的半 径为 R,有
qvb ? m v2 R

( 2)

由圆周运动周期的定义和(2)式可得

108

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T?

2? q B m

( 3)

设这两种离子的电荷量分别为 q 1 和 q 2 , 质量分别为 m 1 和 m 2 , 进入磁场时的速度分别为 v1 和
v 2 ,根据题意有

x1 R1 ? x2 R2 t1 T1 ? t 2 T2

( 4)

( 5)

由以上有关各式得
t1 ??2 t2

( 6)

ⅱ.离子束射出点 P 到 S 点的距离为 2R,由(2)式可知

x?

2v q B m

( 7)

x 取决于离子的电荷量与质量的比值.可以看出,氘核(D+)与氢分子离子(H2+)的电荷 量与质量的比值相同, 他们将从同一点射出磁场, 这两种离子束不能被磁场分开, 而质子 ( H+ ) 与氦离子( 4 He+ )的电荷量与质量的比值不相同,也与氘核和氢分子离子的不同,他们将从 不同点射出磁场,可以单独分离出来.故可获得质子束流、氮离子束流、氘核与氢分子离子 混合的束流,共三种束流. 把有关数据代入(7)式得

xH+ ?8.4cm
xD+ ? 17cm

(8) (9) (10) (11)

x4 He+ ? 34cm
xH+ =17cm
2

评分标准:本题 18 分. 第ⅰ小问 10 分. (l) 、 (2) 、 (3)式各 2 分,求得(6)式给 4 分. 第ⅱ小问 8 分.正确指出可分离出三种束流给 4 分, (8) 、 (9) 、 (10) 、 (11)式各 1 分. 17.参考解答: ⅰ.由于地球除自转以外还有公转,当经过时间 tE,从日心惯性系来看,地球已转过一周多 了,如图所示.t、tE、T 应有以下关系

2? 2? ? tE ? 2? ? ? tE t T
109

( 1)

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解得
t? 1 1 1 ? tE T

(2)

因 tE=24h,T=365.2564×24h,代入(2)式得

t ? 23.93450h

( 3)

当地球公转的轨道半径改变为 R'后,周期相应改变为 T',根据题意,地球在日心惯性 系中的自转周期仍为 t,而 T'=360 t' E , t' E 为新的一个太阳日,即新的一日,由(2)式得
t? T't'E T't 或t'E ? T' ? t'E T' ? t

(4)

代入有关数据得
t' E =24.00098h

( 5)


T' ? 360 t' E =8640.353h

( 6)

ⅲ.当地球绕太阳作圆周运动时有
G Mm v2 =m 2 R R

(7)

其中 G 为万有引力恒量,M 为太阳质量,m 为地球质量,v 为地球公转速率.由此可得地球 的动能

1 Mm Ek ? G 2 R
地球的引力势能

( 8)

Ep ? ?G
地球的总能量

Mm R

( 9)

1 Mm E ? Ek ? Ep ? ? G 2 R
当地球公转的轨道半径改变为 R'时,地球的总能量

(10)

1 Mm E' ? ? G 2 R'
110

(11)

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轨道半径改变前后的能量差为
E '? E ? 1 ? 1 1 ? GMm ? R ? GMm ? ? ? ? ? ? 1? 2 2R ? R ' ? ? R' R ?

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(12)

由开普勒第三定律有
T 2 R3 ? T' 2 R' 3

(13)

由(8) 、 (12) 、 (13)各式得

? T 2/3 ? E' ? E ? ? 2/3 ?1? Ek ? T' ?
代入有关数据得

(14)

E '? E ?

0.971 Ek 100

(15)

评分标准:本题 20 分. 第ⅰ小问 10 分.求得(2)式给 4 分,求得(4)式给 4 分, (5)式 2 分 第ⅱ小问 2 分. (6)式 2 分, 第ⅲ小问 8 分.求得(10)式 2 分,求得(12)式 2 分, (13)式 2 分,求得(15)式 2 分. 18.参考解答: 解法一

??
声波的传播速度是声波相对媒质的速度.以 c1 表示由发射器 T1 向管道中液体发射的超声脉

?? ? v 冲相对液体的速度,其大小为 c; u 表示液体的流速,方向沿管道向右;以 1 表示超声脉冲
相对管道的速度, 其方向沿 P1、 P2 的连线, 由 P1 指向 P2, 如图 1 所示. 根据速度叠加原理, 有

?? ?? ? v1 ? c1 ? u

(1)

以 α 表示 P1、P2 的连线与管道轴线的夹角,根据(1)式和图 1 可得
c 2 ? v12 ? u 2 ? 2 v1 u cos(? ? ? )

( 2)


v12 ? 2 uv1 cos ? ? ( c 2 ? u 2 ) ? 0

( 3)

解得
v1 ? ? 2 u cos ? ? 4 u 2 cos ? 2 +4( c 2 ? u 2 ) 2
111

( 4)

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发射器 T1 向管道中液体发射的超声脉冲传播到接收器 R2 所需的时间
t1 ? l v1

( 5)

?? ? ?? ?

?? ?

以 c2 表示由发射器 T2 向管道中液体发射的超声脉冲相对液体的速度,其大小为 c;以 u1 表 示液体的流速,方向沿管道向右;以 v2 表示超声脉冲相对管道的速度,其方向沿 P2、P1 的 连线,由 P2 指向 P1,如图 2 所示.根据速度叠加原理,有

? ? ? ? ? ? ? v2 ? c2 ?u

(6)

根据(6)式和图 2 可得
2 c 2 ? v2 ? u 2 ? 2 v 2 u cos ?

(7)


2 v2 ? 2 uv 2 u cos ? ? ( c 2 ? u 2 ) ? 0

( 8)

解(8)式得
v2 ? 2 u cos ? ? 4 u 2 cos ? 2 +4( c 2 ? u 2 ) 2

( 9)

发射器 T2 向管道中液体发射的超声脉冲传播到接收器 R1 所需的时间
t2 ? l v2

(10)

由(5) 、 (10)式有
1 1 v2 ? v1 ? ? t 2 t1 l

(11)

把(4) 、 (9)式代入(11)式,得
1 1 2u cos ? ? ? t 2 t1 l

(12)

注意到

cos ? =


b l

(13)

112

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1 ? 1 1 ? l2 u? ? ? ? 2 ? t2 t1 ? b

(14)

评分标准:本题 20 分 求得(4)式给 5 分, (5)式 1 分;求得(9)式给 5 分, (10)式 1 分; (11)式 4 分, (14)式 4 分. 解法二 由于 c ?u ,可以近似求得超声波由 P1 到 P2 的传播时间和由 P2 到 P1 的传播时间分别 为

t1 ?

l c ? u cos ? l c+u cos ?

( 1)

t2 ?

(2)

其中 α 是 P1、P2 连线与管道轴线的夹角.由(1) 、 (2)两式得
1 1 2u cos ? ? ? t 2 t1 l

(3)

注意到

cos ? =


b l

( 4)

1 ? 1 1 ? l2 u? ? ? ? 2 ? t2 t1 ? b

(5)

评分标准:本题 20 分. ( 1) 、 (2)式各 6 分, (3)式 4 分,求得(5)式 4 分.

113

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第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、选择题(本题共 5 小题,每小题 6 分) 1、如图 28 预—1 所示,常用示波器中的扫描电压 u 随时间 t 变化的图线是(
u u u u



t A B

t C

t D

t

图 28 预—1

2、下面列出的一些说法中正确的是(



A.在温度为 20?C 和压强为 1 个大气压时,一定量的水蒸发为同温度的水蒸气,在此过程 中,它所吸收的热量等于其内能的增量。 B.有人用水银和酒精制成两种温度计,他都把水的冰点定为 0 度,水的沸点定为 100 度, 并都把 0 刻度与 100 刻度之间均匀等分成同数量的刻度, 若用这两种温度计去测量同一环境 的温度(大于 0 度小于 100 度)时,两者测得的温度数值必定相同。 C.一定量的理想气体分别经过不同的过程后,压强都减小了,体积都增大了,则从每个过 程中气体与外界交换的总热量看, 在有的过程中气体可能是吸收了热量, 在有的过程中气体 可能是放出了热量,在有的过程中气体与外界交换的热量为零. D.地球表面一平方米所受的大气的压力,其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作 热运动的空气分子对它碰撞的冲量,加上这一平方米以上的大气的重量。 3、如图 28 预—2 所示,把以空气为介质的两个平行板电容器 a 和 b 串联,再与电阻 R 和电 动势为 E 的直流电源如图连接。平衡后,若把一块玻璃板插人电容器 a 中,则再达到平衡 时,有( )
b R E a

A.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压增大了 B.与玻璃板插人前比,电容器 a 两极间的电压减小了 C.与玻璃板插入前比,电容器 b 贮存的电能增大了 D.玻璃板插人过程中电源所做的功等于两电容器贮存总电能的增 加量

图 28 预—2

4、多电子原子核外电子的分布形成若干壳层,K 壳层离核最近,L 壳层次之,M 壳层更次 之,……,每一壳层中可容纳的电子数是一定的,当一个壳层中的电子填满后,余下的电子 将分布到次外的壳层。当原子的内壳层中出现空穴时,较外壳层中的电子将跃迁至空穴,并 以发射光子(X 光)的形式释放出多余的能量,但亦有一定的概率将跃迁中放出的能量传给 另一个电子,使此电子电离,这称为俄歇(Auger)效应,这样电离出来的电子叫俄歇电子。 现用一能量为 40.00keV 的光子照射 Cd(镐)原子,击出 Cd 原子中 K 层一个电子,使该壳层
114

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出现空穴,己知该 K 层电子的电离能为 26.8keV.随后,Cd 原子的 L 层中一个电子跃迁到 K 层,而由于俄歇效应,L 层中的另一个的电子从 Cd 原子射出,已知这两个电子的电离能皆为 4.02keV,则射出的俄歇电子的动能等于( A . (26.8-4.02-4.02) keV D.(40.00-26.8+4.02) keV 5、一圆弧形的槽,槽底放在水平地面上,槽的两侧与光滑斜坡 aa'、bb'相切,相切处 a、b 位于同一水平面内,槽与斜坡在竖直平面内的截面如图 28 预—3 所示。一小物块从斜坡 aa' 上距水平面 ab 的高度为 2h 处沿斜坡自由滑下,并自 a 处进人槽内,到达 b 后沿斜坡 bb'向 上滑行,已知到达的最高处距水平面 ab 的高度为 h; 接着小物块沿斜坡 bb'滑下并从 b 处进 人槽内反向运动,若不考虑空气阻力,则( A.小物块再运动到 a 处时速度变为零 B.小物块尚未运动到 a 处时,速度已变为零 C.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa'向上滑行,上升的最大 高度为 2h D.小物块不仅能再运动到 a 处,并能沿斜坡 aa'向上滑行,上升的最大 高度小于 h 二、填空题和作图题 6、 (6 分)在大气中,将一容积为 0.50m3 的一端封闭一端开口的圆筒筒底朝上筒口朝下竖直 插人水池中,然后放手,平衡时,筒内空气的体积为 0.40m3.设大气的压强与 10.0m 高的水 柱产生的压强相同,则筒内外水面的高度差为 。
h b a 图 28 预—3

) C . (26.8-4.02) keV

B . (40.00-26.8-4.02) keV


b' a' 2h

7、 (10 分)近年来,由于“ 微结构材料”的发展,研制具有负折射率的人工材料的光学性质 及其应用,已受人们关注。对正常介质,光线从真空射人折射率为 n 的介质时,人射角和折 射角满足折射定律公式, 人射光线和折射光线分布在界面法线的两侧; 若介质的折射率为负, 即 n<0,这时人射角和折射角仍满足折射定律公式,但人射光线与折射光线分布在界面法线 的同一侧。现考虑由共轴的两个薄凸透镜 L1 和 L2 构成的光学系统,两透镜的光心分别为 O1 和 O2, 它们之间的距离为 s.若要求以与主光轴成很小夹角 的光线人射到 O1 能从 O2 出射,并且出射光线与人射光线平 行, 则可以在 O1 和 O2 之间放一块具有负折射率的介质平板, 介质板的中心位于 OO'的中点,板的两个平行的侧面与主光
O1 O2

L1 图 28 预—4

L2

轴垂直,如图 28 预—4 所示。若介质的折射率 n=-1.5,则介质板的厚度即垂直于主光轴的 两个平行侧面之间的距离 d = 。

8、 (10 分)已知:规定一个 K(钾)原子与 Cl(氯)原子相距很远时,他们的相互作用势
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能为零;从一个 K 原子中移走最外层电子形成 K+离子所需的能量(称为电离能)为 EK,一 个 Cl 原子吸收一个电子形成 Cl-离子释放的能量(称为电子亲和能)为 ECl;K 离子(视为 质点)与 Cl-离子(视为质点)之间的吸引力为库仑力,电子电荷量的大小为 e,静电力常 量为 k.利用以上知识, 可知当 KCI 分子中 K+离子与 Cl-离子之间的库仑相互作用势能为零时, K+ 离子与 Cl- 离子之间的距离 rs ,可表示为 ECl=3.62eV,k=9.0×109N?m2?C-2,e=1.60×10-19C,则 rs= 。若已知 EK=4.34ev , m.


9、 (10 分)光帆是装置在太空船上的一个面积很大但很轻的帆,利用太阳光对帆的光压, 可使太空船在太空中飞行。 设想一光帆某时刻位于距离太阳为 1 天文单位 (即日地间的平均 距离)处,已 知该处单位 时间内通 过垂直于太 阳 光辐射方向的 单位面积的 辐射能量 E=1.37×103J?m-2?s-1,设平面光帆的面积为 1.0×106m2,且其平面垂直于太阳光辐射方向,又 设光帆对太阳光能全部反射(不吸收) ,则光帆所受光的压力约等于 N.

10、 (20 分)有两个电阻 1 和 2,它们的阻值随所加电压的变化而改变,从而它们的伏安特 性即电压和电流不再成正比关系(这种电阻称为非线性电阻) 。假设电阻 1 和电阻 2 的伏安 特性图线分别如图 28 预—5 所示。 现先将这两个电阻并联, 然后接在电动势 E=9.0V、内电阻 r0=2.0Ω 的电源上。试利 用题给的数据和图线在题图中用作图法读得所需的数据, 进而分别求出电阻 1 和电阻 2 上消耗的功率 P1 和 P2. 要求: i.在题图上画出所作的图线. (只按所画图线评分,不要求 写出画图的步骤及理由) ii.从图上读下所需物理量的数据(取二位有效数字) ,分 别是: iii. 求出电阻 R1 消耗的功率 P1= R2 消耗的功率 P2= 。
图 28 预—5

; , 电阻

三、计算题 11、 (17 分)宇航员从空间站(绕地球运行)上释放了一颗质量 m=500kg 的探测卫星.该卫 星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接, 稳定时卫星始终在空间站的正下方, 到空间站的距 离 l=20km.已知空间站的轨道为圆形,周期 T=92 min(分) 。 i.忽略卫星拉力对空间站轨道的影响,求卫星所受轻绳拉力的大小; ii.假设某一时刻卫星突然脱离轻绳。试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点 到地面的高度和卫星运行周期。
116

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【取地球半径 R=6.400×103km,地球同步卫星到地面的高度为 H0=3.6000×104km,地球自转 周期 T0=24 小时】

12、 (17 分)某同学选了一个倾角为 θ 的斜坡,他骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下 让自行车沿斜坡匀速向下行驶, 现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的功率, 为此他数出 在上坡过程中某一只脚蹬踩踏板的圈数 N(设不间断的匀速蹬) ,并测得所用的时间 t,再 测得下列相关数据:自行车和人的总质量 m,轮盘半径 Rl,飞轮半径 R2,车后轮半径 R3.试 导出估测功率的表达式。己知上、下坡过程中斜坡及空气作用于自行车的阻力大小相等,不 论是在上坡还是下坡过程中, 车轮与坡面接触处都无滑动。 不计自行车内部各部件之间因相 对运动而消耗的能量,自行车结构示意图如图 28 预—6 所示。

图 28 预—6

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13、 (20 分)电荷量为 q 的正电荷,均匀分布在由绝缘材料制成的质量为 m 半径为 R 的均 匀细圆环上,现设法加外力使圆环从静止开始,绕通过环心垂直于环面的轴线匀加速转动。 试求从开始转动到环的角速度达到某一值 ω0 的整个过程中外力所做的功。已知转动带电圆 环的等效电流为 I 时,等效电流产生的磁场对整个以圆环为周界的圆面的磁通量 Ф=kI,k 为 一已知常量。不计电荷作加速运动所产生的辐射效应。

14、 (20 分)如图 28 预—7 所示,一木块位于光滑的水平桌面上,木块上固连一支架,木块 与支架的总质量为 M,一摆球挂于支架上,摆球的质量为 m,m<M/2 摆线的质量不计。初 始时,整个装置处于静止状态,一质量为 m 的子弹以大小为 v0、方向垂直于图面向里的速 度射人摆球并立即停留在球内,摆球和子弹便一起开始运动。已知摆线最大的偏转角小于 90?,在小球往返运动过程中摆线始终是拉直的,木块未发生转动。 i.求摆球上升的最大高度; ii.求木块的最大速率; iii.求摆球在最低处时速度的大小和方向。

m M 图 28 预—7

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15、 (20 分)如图 28 预—8 所示,坐标原点 O(0,0)处有一带电粒子源,向 y≥0 一侧沿 Oxy 平面内的各个不同方向发射带正电的粒子,粒子的速率都是 v,质量均为 m,电荷量均 为 q.有人设计了一方向垂直于 Oxy 平面,磁感应强度的大小为 B 的均匀磁场区域,使上述 所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时, 均能沿 x 轴正方向运动。 试求出此边界线的方程, 并画出此边界线的示意图。
y

图 28 预—8

x

16、 (20 分)在海面上有三艘轮船,船 A 以速度 u 向正东方向航行,船 B 以速度 2u 向正北 方向航行,船 C 以速度 2 2u 向东偏北 45? 方向航行。在某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过 船 A 的航线并位于船 A 的前方, 船 B 到船 A 的距离为 a, 船 C 到船 A 的距离为 2a.若以此时 刻作为计算时间的零点,求在 t 时刻 B、C 两船间距离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点 转动的角速度。

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第 28 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 参考答案及评分标准
一、选择题 答案: 1. C 2. C 3. BC 4. A 5. D

评分标准: 本题共 5 分,每小题 6 分。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 二、填空题 答案与评分标准 6. 2.5m(6 分) 7.

3 S (10 分) 5
ke 2 (6 分) E k ? E e1

8.

2.0 ? 10 ?9 (2 分)

9. 9(10 分)

10. ⅰ如图所示。 (8 分) (图错不给分,图不准确酌情评分) ⅱ并联电阻两端的电压 U 0 ? 2.3V (2 分) ,通过电阻 1的电流 I10 ? 1.2A (3 分) ,通过电阻 2
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的电流 I 2 0 ? 2.2 A (3 分) (读数第一位必须正确,第二位与答案不同,可酌情评分。 ) ⅲ. 2.8W (2 分) , 4.9W (2 分) 11.参考解答: ⅰ.设空间站离地面的高度为 H ,因为同步卫星的周期和地球自转周期相同,根据开普勒第 三定律以及题意有
( R ? H )3 T2 ? ( R ? H 0 ) 3 T02

( 1)



T 3 H ? (R ? H0 )( )2 ? R T0
代入数据得

( 2)

H ? 376km
卫星的高度

( 3)

h ? H ? l ? 365km

( 4)

卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为 T的圆周运动, 有
G Mm 2? ? F ? m ( )2 ( R ? h) ( R ? h) 2 T

( 5)

式中 G 为万有引力常量, M 为地球质量,空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T的圆 周运动,故有
G Mm 2? ? m '( )2 ( R ? H ) 2 (R ? H ) T

( 6)

式中 m ' 为空间站的质量,由(5) 、 (6)两式得
F ? m( 2? 2 ( R ? H )2 ) ( R ? h )[ ? 1] T (R ? h)2

( 7)

将(3) 、 (4)式及其他有关数据代入(7)式得

F ? 38.2N

( 8)

ⅱ.细绳脱落后,卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆,在脱落的瞬间, 卫星的速度垂直于卫星与地心的连线,所以脱落点必须脱落点必是远地点(或近地点) ,由 (4)式可知,此点到地面的高度

h ? 356km
根据机械能守恒,有
121

( 9)

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1 Mm 1 ?? 2 Mm mv ' 2 ? G ? m( ) (R ? h)2 ? G 2 R ? h' 2 T R?h
联立(10) 、 (11)两式并利用(6)式得
h' ? ( R ? h)4 2( R ? H ) 3 ? ( R ? h ) 3

(11)

(12)

代入有关数据有

h ' ? 238km
由(9) 、 (13)两式可知,远地点到地面的高度为 356km ,近地点到地面的高度为 238km 。 设卫星的周期为 T ' ,根据开普勒第三定律,卫星的周期
T '?( 2R ? h ? h ' 3 )2T 2R ? 2H

(14)

代入数据得

T ' ? 90.4min

(15)

评分标准:本题 17 分。 第ⅰ小题 9 分。 (1)式 2 分, (5)式 3 分, (6)式 2 分, (8)式 2 分。 第ⅱ小题 8 分, (9) 、 (10)式各 1 分, (11)式 2 分, (12) 、 (13) 、 (14) 、 (15)式各 1 分 12.参考解答: 解法一 因为下坡时自行车匀速行驶,可知阻力大小
f ? mg sin ?

( 1)

由题意可知,自行车沿斜坡匀速向上行驶时,轮盘的角速度

??

2?N t

( 2)

设轮盘边缘的线速度为 v1 ,由线速度的定义有
v1 ? ? R1

( 3)

设飞轮边缘的线速度为 v 2 ,后车轮边缘的线速度为 v 3 ,因为轮盘与飞轮之间用链条连结, 它们边缘上的线速度相同,即
v1 ? v2

( 4)

因飞轮上与后车的转动角速度相同,故有
v 2 R2 ? v3 R3

( 5)

因车轮与坡面接触处无滑动,在车后绕其中心轴转动一周的时间 T内,车内

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