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指数不等式、对数不等式的解法·例题


指数不等式、对数不等式的解法 例题 指数不等式、对数不等式的解法·例题

例 5- 3-7

解不等式:



(1)原不等式可化为

x2-2x-1<2(指数函数的单调性) x2-2x-3<0 (x+1)(x-3)<0

所以原不等式的解为-1<x<3。 (2)原不等式可化为



函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。 解不等式 logx+1(x2-x-2)>1。 原不等式同解于

例 5- 3-8 解

[法一]

所以原不等式的解为 x>3。 [法二] 原不等式同解于

logx+1(x2-x-2)>logx+1(x+1)

所以原不等式的解为 x>3。 注 解这类对数不等式,要注意真数为正数,并须对底数的分类讨论。



原不等式可化为

22x-6×2x-16<0 令 2x=t(t>0),则得 t2-6t-16<0 (t+2)(t-8)<0 -2<t<8

又 t>0,故 0<t<8 即 0<2x<8,解得 x<3。

注 解。

解这类指数不等式,常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来



原不等式可化为

解得 t<-2 或 0<t<1,即

应先化为同底对数的不等式, 再利用对数函 注 解不同底的对数不等式, 数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。

例 5-3-11 设 a>0 且 a≠1,解不等式



原不等式可化为

令 logax=t,则得

当 0<a<1 时,由指数函数的单调性,有 4-t2<1-2t t2-2t-3>0 (t+1)(t-3)>0

t<-1,或 t>3

当 a>1 时,则有 4-t2>1-2t t2-2t-3<0 (t+1)(t-3)<0 -1<t<3

注 解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底,求单一”,即 把不同底的指数或对数化为同底的, 再通过函数的单调性将复合情形转化为只 含指数或对数的单一情形求解。 例 5-3-12 设 f(x)是定义在实数集 R 内的函数,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)·f(y);并且当 x>0 时,f(x)>1,f(1)=a。解关于 x 的不等式 f(x2+x-4)>a2。

又 f(1)=f(2), 分析 由题设条件容易联想到 f(x)是指数型函数, a2=f(1)· 2 故原不等式同解于 f(x +x-4)>f(2)。 于是, 问题归结为先确定 f(x)的单调性, 再解一个二次不等式。

=0,否则,对任意 x∈R,有 f(x)=f((x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已知矛盾,所以对任意 x∈R,有 f(x)>0。 现设 x,y∈R,且 y=x+δ(δ>0)。则 f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x) =f(x)[f(δ)-1]>0(∵δ>0,∴f(δ)>1)。 故 f(x)在 R 内是增函数。于是原不等式同解于 x2+x-4>2 注 x2+x-6>0 x<-3 或 x>2

本题的关键是确定函数 f(x)的单调性, 而不必求出它的具体表达式。


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