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一元二次不等式的解法、集合及运算


2015 届高三艺术班数学学案与作业

第1课 一、一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法、集合及运算

1.基本形式:① ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ② ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 2.当不等式可十字相乘时:设 x1 ? x2 ,则

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 的解集为 [ x1 , x2 ] , ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 的解集为 (?? , x1 ] U[ x2 , ? ?)
x ? x1 x ? x1 ? 0 的解集为 (?? , x1 ] U ( x2 , ? ?) , ? 0 的解集为 [ x1 , x2 ) . x ? x2 x ? x2
【例 1】解下列不等式: ① 8 ? x 2 ? 2 x ? 0 ② 2 ? 5 x ? 3x 2 ? 0 ③ 6 x ? 1 ? 9 x 2
2 解:①原不等式可化为 x ? 2 x ? 8 ? 0 ,∴ ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,∴ x ? 4 或 x ? ?2

∴原不等式的解集为 (?? , ? 2) ? (4 , ? ?) (或写成原不等式的解集为 x x ? 4或x ? ?2 )
2 ②原不等式可化为 3x ? 5 x ? 2 ? 0 ,∴ (3x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ ?

?

?

1 ? x?2, 3

∴原不等式的解集为 [?

1 ? 1 ? , 2] . (或写成原不等式的解集为 ? x ? ? x ? 2? ) 3 3 ? ? 1 , 3

2 2 ③原不等式可化为 9 x ? 6 x ? 1 ? 0 ,∴ (3x ? 1) ? 0 ,∴ x ? R ,且 x ?

∴原不等式的解集为 ? x x ? R,且x ? ? .

? ?

1? 3?

2 2 2 【变式】① 12 ? x ? 4 x ? 0 ② 2 ? 3x ? 2 x ? 0 ③ 4 x ? 1 ? 4 x ④

x?2 ?0 x ?1

2 解:①原不等式可化为 x ? 4 x ? 12 ? 0 ,∴ ( x ? 6)( x ? 2) ? 0 ,∴ ?6 ? x ? 2

∴原不等式的解集为 [ ?6 , 2] (或写成原不等式的解集为 x ?6 ? x ? 2 )
2 ②原不等式可化为 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ,∴ (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ x ? 2 或 x ? ?

?

?

1 , 2 1 2

∴原不等式的解集为 (?? , ? ) ? (2 , ? ?) . (或原不等式的解集为 {x | x ? 2 或 x ? ? } )
2 2 ③原不等式可化为 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 , ∴ (2 x ? 1) ? 0 , ∴无实数解, ∴原不等式的解集为 ? .

1 2

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④ ?1 ? x ? 2 ,解集为 [?1 , 2) 3.当不等式不可十字相乘时,可用求根公式求出 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根:

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? ,其中 x1 ? x2 2a 2a

则① ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集为 (?? , x1 ) U ( x2 , ? ?) , ② ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) 【例 2】解下列不等式: ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 原不等式可化为 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 , ∵ ? ? 12 ? 0 ,方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的两根是

x1 ? 1? 3, x2 ? 1? 3 ,∴原不等式的解集为 x x ? 1 ? 3,或 x ? 1 ? 3 .
练习:解下列不等式: x2 ? x ? 1 ? 0 解:∵ ? ? 12 ? 4 ? (?1) ? 5 ? 0 ,方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两根是 x1 ?

?

?

1? 5 1? 5 , x2 ? 2 2

∴原不等式的解集为 ? x 二、集合的概念及运算 1.集合的含义与表示

? 1? 5 ? ? 1? 5 ? x? ? 2 2 ? ? ? ?

①集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. ②集合中元素与集合的关系:属于与不属于,分别用符号 ? 与 ? 表示 ③常用数集的表示 集合 表示 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集

N

N?

Z

Q

R

C

④集合的表示法:列举法、描述法. 2.集合间的基本关系 ①集合相等: A ? B ②子集: A ? B ,真子集:若 A ? B 且 A ? B ,则 A 叫 B 的真子集,记作: A ? B ③空集:不含任何元素的集合,记作 ? ,规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空
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集合的真子集 ④若集合 A 有 n 个元素,则 A 有 2 个子集,有 2 ? 1 个真子集,有 2 ? 2 非空真子集
n n n

【例 3】 (1)设集合 A ? {x | x ? 2k ? 1, k ? Z } ,若 x ? 11 ,则下列关系正确的是(



A. x ? A B. x ? A C. {x} ? A D. {x} ? A 【答案】B
(2)满足 {0} ? A ? {0 ,,, 1 2 3 } 的集合 A 的个数是( )

A.7

B.8

C.6

D.3

【解析】集合 A 的个数就是 {1 , 2, 3 } 的真子集的个数 23 ?1 ? 7 个,选 A 3.集合的运算 ①交集的定义: A ? B ? {x | x ? A,且x ? B} . 并集的定义:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 补集: CS A ? {x | x ? S , 且x ? A} ②性质: A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? A ? B ? A ; 【例 4】 (1)全集 U ? {x ? Z | 9 ? x2 ? 0} ,集合 A ? {x ? N |

x ? 0} , x ?3

B ? {x ? N ? | 0 ? x ? 3} ,则 A ? B ? , A ? B ? , ?U B ?
【解析】 U ? {0 , ? 1, ? 2 , ? 3}, A ? {0 ,1, 2} , B ? {1 , 2 , 3} 所以 A ? B ? {1, 2} , A ? B ? {0 ,, 1 2 , 3} , ?U B ? {0 , ?1, ? 2 , ? 3} ( 2 ) 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? {x | y ?

1 } , 集 合 B ? {y | y ? 4 ? x2 } , 则 2x ? 2

A ? B ? , A ? B ? , ?U B ?
【解析】∵ A ? {x | x ? 1} ? (1, ??) , B ? { y | 0 ? y ? 2} ? [0, 2] ,∴ A I B ? (1 , 2] .

A ? B ? [0 , ? ?) , ?U B ? (?? , 0) ? (2 , ? ?)
(3)设 A ? ( x, y ) y ? ?4 x ? 6 , B ? ( x, y ) y ? 3 x ? 8 ,则 A ? B ? (

?

?

?

?

)

A.? 2, ? 2?

B. ?(2, ? 2)?

C .?(?2, 2)?

D.?(4, ? 2)?.

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【解析】由 ?

? y ? ?4 x ? 6 ? x ? 2 得? ,所以 A ? B ??(2, ? 2)? ,选 B ? y ? ?2 ? y ? 3x ? 8
第1课 一元二次不等式的解法、集合及运算的课后作业 )

1.【2014·广东卷】已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=( A.{0,2} 【答案】B B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5}

2. 【2014·湖北卷】 已知全集 U ? {1, 集合 A ? {1,,, 则 ?U A ? 2 ,, 3 4 ,,, 5 6 7} , 3 5 6} , A.{1,3,5,6} 【答案】C 3. 【2014·辽宁卷】 已知全集 U=R , A ? {x | x ? 0} ,B ? {x | x ? 1} , 则集合 ?U ( A ? B) ? A. {x | x ? 0 } 【答案】D 4 .【2014·江西卷】设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 B. { x | x ? 1 } C. { x | 0 ? x ? 1 } D. { x | 0 ? x ? 1 } B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7}

A ? (?R B) ? (  )
A.(-3,0) 【答案】C 5.【2014·全国卷】设集合 M ? {1, 2, 4, 6, 8} , N ? {1, 2 ,,,, 3 5 6 7} ,则 M ? N 中 元素的个数为( A.2 【答案】B 6 .【2014·新课标全国卷Ⅱ】已知集合 A ? {?2 ,, 0 2} , B ? {x | x ? x ? 2 ? 0} ,则
2

B.(-3,-1)

C.(-3,-1]

D.(-3,3)

) C.5 D.7

B.3

A ? B ? (   )
A. ? B.{2} C.{0} D.{-2}

【答案】B 7. 【2014·全国卷】不等式组 ? A.{x|-2<x<-1} 【答案】C

? x( x ? 2) ? 0 的解集为( | x | ? 1 ?

) D.{x|x>1}

B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}

8.【2013·福建卷卷卷】若集合 A ? {1,2,3}, B ? {1,3,4} ,则 A ? B 的子集个数为 (
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A.2 【答案】C

B.3

C.4

D.16

9. 【2009·广东卷】已知全集 U=R,则正确表示集合 M={—1,0,1}和 N ? {x x ?1 ? 0}
2

关系的韦恩(Venn)图是(



【解析】由 N= { x|x N ? {x x2 ?1 ? 0} ? {?1,0} 得 N ? M ,选 B. 【答案】B 10. 【2011·广东卷】 已知集合 A ? 且x ?? x, y ? | x、y 为实数, ) D.1
2

? y 2 ? 1? , B ? ?? x, y ? | x、y

为实数,且 x ? y ? 1 ? ,则 A ? B 的元素个数为( A.4 【解析】∵ ? B.3 C.2

?x 2 ? y 2 ? 1 ?x ? y ? 1

,∴ ?

?x ? 1 ?x ? 0 ,或 ? . 【答案】C ?y ? 0 ?y ?1

11. 【2014·福建卷】 已知集合 {a ,, 且下列三个关系: ①a ? 2 ; ②b ? 2 ; b c} ? {0 ,, 1 2} , ③ c ? 0 有且只有一个正确,则 100a ? 10b ? c 等于________. 【答案】201
2 2 12.【2013·重庆卷卷】关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且

x2 ? x1 ? 15 ,求实数 a 的值
【答案】

5 2

2 2 解:? x ? 2ax ? 8a ? 0 ,?( x ? 4a)( x ? 2a) ? 0 ,? a ? 0 ? 4a ? ?2a ? 0

? ? 2a ? x ? 4a ,? x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 )

? x1 ? ?2a , x2 ? 4a ,? x2 ? x1 ? 15 ,? 6a ? 15 ,? a ?

5 2

13. 已知函数 f ( x) ?

2 cos( x ?

?
12

) , x?R .

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(1)求 f ( ) 的值;

?

3

(2) 若 cos ? ?

3 ? ? , ? ? (0 , ) ,求 f (? ? ) . 5 2 6

【解析】 (1) f ( ) ?

?

3

2 cos( ? ) ? 2 cos ? 1 ; 3 12 4

?

?

?

(2) ∵ cos ? ?

3 ? 4 , ? ? (0 , ) ,∴ sin ? ? , 5 2 5

? ? ? ? 3 4 7 f (? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) ? 2 cos(? ? ) ? cos ? ? sin ? ? ? ? . 6 6 12 4 5 5 5
? ?) , (选用)13. 【2012·江苏】 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, 若关于 x b ? R) 的值域为 [0 , m ? 6) ,求实数 c 的值 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m ,
【答案】9。

? ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ? 【解析】由值域为 [0 ,

a2 , 4

∴ f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?
2

a2 ? a? ??x? ? 。 4 ? 2?

2

a a a a? ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2? 2 2 2 ?
m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m ,
14.已知菱形 ABCD 中, (如图 1 所示) ,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,使点 C 翻折到 点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E , F , M 分别是 AB , DC1 , BC1 的中点. (1)证明: BD //平面 EMF ; (2)证明: AC1 ? BD ; 证明: (1)∵点 F , M 分别是 C1D, C1B 的中点, ∴ FM / / BD . 又 FM ? 平 面 EMF, BD ? 平 面 EMF, ∴ BD / / 平面 EMF . (2)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC , BD 的交点,则 AC ? BD . ∴在三棱锥 C1 - ABD 中,

a 2

a 2

C1 F
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C1O ? BD, AO ? BD .

M B

A

E

D O

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又 C1O ? AO ? O, ∴ BD ? 平面 AOC1 . 又 AC1 ? 平面 AOC1 ,∴ BD ? AC1 .

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