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2015年高考复习高中数学向量的综合应用拔高题组(有详细答案)


2014 年高考复习高中数学向量的综合应用拔高题 组(有详细答案)
一.选择题(共 20 小题) 1. (2014?淮南二模)如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,OD=3,点 P 为△ BCD 内(含边界)的动点,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的最大值等于 ( )

A.

B.

C.

D.1

2. (2014?宜春模拟)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点 P 在以点 C 为圆心,且与 直线 BD 相切的圆内运动,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的取值范围是( )

A.

(0, ]

B.

[ , ]

C.

(1, )

D. (1, )

3. (2014?呼伦贝尔二模)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 的最大值为( A. ) B. C.

=x



=y

,x>0,y>0,且 x+y=1,则

?

D.

4. (2014?安庆三模)如图所示,设 P 为△ ABC 所在平面内的一点,并且 积之比等于( )

=

+

,则△ ABP 与△ ABC 的面

A.

B.

C.

D.

5. (2014?宜春模拟)如图,已知圆 M: (x﹣3) +(y﹣3) =4,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E,F 分别 为边 AB,AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, 的取值范围是( )

2

2

A.

B.[﹣6,6]

C.

D.[﹣4,4] )

6. (2014?洛阳二模)若 , , 均为单位向量,且 ? =﹣ , =x +y (x,y∈R) ,则 x+y 的最大值是( A .2 B. C. D.1

7. (2013?安徽) 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 两定点 A, B 满足| |λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( A. B. ) C.

|=|

|=

?

=2, 则点集{P|







D.

8. (2013?湖南)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的最大值为( A. B. C. D.



9. (2013?上海)在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 、 ?( + ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 + 、 、 、 、 .若 m、M 分别为(

、 +

、 +

、 )

)的最小值、最大值,其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5},则 m、M 满

足( ) A.m=0,M>0 10. (2013?重庆) 在平面上, A. (0, ]

B.m<0,M>0 ⊥ B. ( , | , ] |=|

C.m<0,M=0 |=1, C. = ( + , ] . 若|

D.m<0,M<0 |< , 则| D. ( |的取值范围是 ( , ] )

11. (2013?铁岭模拟)已知两点 A(1,0) ,B(1, , (λ∈R) ,则 λ 等于( A.﹣1 B.1 )

) ,O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=120°,设

C.﹣2

D.2

12. (2013?楚雄州模拟)已知点 P 为△ ABC 内一点,且 等于( ) A.9:4:1 B.1:4:9

+

+3

= ,则△ APB,△ APC,△ BPC 的面积之比

C.3:2:1

D.1:2:3

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13. (2012?广东)对任意两个非零的平面向量 ,且 ○ B.1 和 ○



,定义



=

,若平面向量 、 满足| |≥| |>0,

与 的夹角 A.

都在集合 C.

中,则 ○

=(

) D.

14. (2012?天津)在△ ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足 =﹣2,则 λ=( A. ) B. C.



,λ∈R.若

D.2

15. (2012?广东)对任意两个非零的平面向量



,定义

?

=

.若两个非零的平面向量 , 满足 与

的夹角 A.

,且 ? 和 ? 都在集合 B. C .1

中,则 ? =(

) D.

16. (2012?天津) 已知△ ABC 为等边三角形, AB=2. 设点 P, Q 满足 ﹣ ,则 λ=( A. ) B. C.



, λ∈R. 若

=

D.

17. (2012?济南二模) 已知点 P 是△ ABC 的中位线 EF 上任意一点, 且 EF∥BC, 实数 x, y 满足 △ ABC,△ PBC,△ PCA,△ PAB 的面积分别为 S,S1,S2,S3,记 大值时,2x+y 的值为( A. ) B. , ,

. 设 .则 λ2?λ3 取最

C .1

D.2

18. (2012?枣庄一模)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A,B,C 是圆 x +y =1 上相异三点,若存在正实数 λ,μ,使 得 A.(2,9) ,则(λ﹣3) +μ 的取值范围是( B.(4,10)
2 2

2

2

) C .( ) D.(2,+∞)

19. (2012?淮北一模)在△ ABC 中,已知 . ,则 的最小值为( )

,sinB=cosA?sinC,S△ ABC=6,P 为线段 AB 上的一点,且

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A.

B.

C.

D.

20. (2011?上海)设 A1, A2, A3, A4 是平面上给定的 4 个不同点, 则使 个数为( A .0 ) B.1 C .2 D.4

成立的点 M 的

二.填空题(共 10 小题) 21. (2014?和平区模拟)如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内(含边界)任 意一点,则 的最大值是 _________ .

22. (2014?河北区三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是半圆 x ﹣4x+y =0(2≤x≤4)上的一个动点,点 C 在线段 OA 的延长线上.当 时,则点 C 的纵坐标的取值范围是 _________ .

2

2

23. (2014?四川二模)已知

,则向量 与向量 的夹角是 _________ .

24. (2014?韶关模拟)已知 AD 是△ ABC 的中线, 若∠A=120°,

,则

的最小值是 _________ .

25. (2014?福建模拟) 设 A、B、C、 D 是半径为 1 的球面上的四个不同点,且满足 用 S1、S2、S3 分别表示△ ABC、△ ACD、ABD 的面积,则 S1+S2+S3 的最大值是

=0,

?

=0,

?

=0,

_________ .

26. (2014?江苏模拟)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,过正方形中心 O 的直线 MN 分别交正方形的边 AB, CD 于 M,N,则当 最小时,CN= _________ .

27. (2014?河西区三模)如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45° 则 x+y= _________ .



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28. (2013?北京)向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示,若 _________ .

,则

=

29. (2013?上海)已知正方形 ABCD 的边长为 1,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 的最小值是 _________ . ,若 i,j,k,l∈{1,2,3},且 i≠j,k≠l,则



30. (2013?山东)已知向量 数 λ= _________ .



的夹角为 120°,且



.若

,且

,则实

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2014 年高考复习高中数学向量的综合应用拔高题 组(有详细答案)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 20 小题) 1. (2014?淮南二模)如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,OD=3,点 P 为△ BCD 内(含边界)的动点,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的最大值等于 ( )

A.

B.

C.

D.1

考点: 相等向量与相反向量. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先建立以 O 为原点,以 OD 所在直线为 x 轴的直角坐标系,根据条件求出点 P 的坐标与 α,β 之间的关系; 再根据点 P 的位置,借助于可行域即可求解. 解答: 解:以 O 为原点,以 OD 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 点 P(x,y) ,则(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α) ,
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所以 因为:0≤x=3β≤3,0≤y=α≤1? 设 z=α+β,根据可行域知,



当点 P 为点 E(1,1)时,α+β=z 最大,其最大值为 , 故选 B.

点评: 本题主要考查相等向量以及线性规划的简单应用,是对知识点的综合考查,考查计算能力.

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2. (2014?宜春模拟)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点 P 在以点 C 为圆心,且与 直线 BD 相切的圆内运动,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的取值范围是( )

A.

(0, ]

B.

[ , ]

C.

(1, )

D. (1, )

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 建立直角坐标系,写出点的坐标,求出 BD 的方程,求出圆的方程;设出 P 的坐标,求出三个向量的坐标, 将 P 的坐标用 α,β 表示,代入圆内方程求出范围. 解答: 解:以 D 为坐标原点,CD 为 x 轴,DA 为 y 轴建立平面直角坐标系则 D(0,0) ,A(0,1) ,B(﹣3,1) ,C(﹣1,0) 直线 BD 的方程为 x+3y=0
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C 到 BD 的距离为 ∴以点 C 为圆心,且与直线 BD 相切的圆方程为 设 P(x,y)则 , ∴(x,y﹣1)=(﹣3β,﹣α) ∴x=﹣3β,y=1﹣α ∵P 在圆内 ∴ 解得 故选 D ,

点评: 通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式.

3. (2014?呼伦贝尔二模)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 的最大值为( )

=x



=y

,x>0,y>0,且 x+y=1,则

?

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A.

B.

C.

D.

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据 ,可得 1+ 解答: ,利用 x>0,y>0,且 x+y=1,可求

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= 的最大值.

=﹣

解:由题意, ∵ ∴ ∵x>0,y>0,且 x+y=1 ∴xy≤ ∴﹣1+ =﹣1+ ≤ = =﹣1+

当且仅当 x=y= 时,取等号 ∴当 x=y= 时, 的最大值为

故选 B 点评: 本题考查向量知识的运用,考查向量的加法,考查向量的数量积,考查基本不等式的运用,综合性强. 4. (2014?安庆三模)如图所示,设 P 为△ ABC 所在平面内的一点,并且 积之比等于( ) ,则△ ABP 与△ ABC 的面

=

+

A.

B.

C.

D.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用,及三角形面积的性质,由△ ABP 与△ ABC 为同底不等高的三角 形, 故高之比即为两个三角面积之间, 连接 CP 并延长后, 我们易得到 CP 与 CD 长度的关系, 进行得到△ ABP 的面积与△ ABC 面积之比. 解答: 解:连接 CP 并延长交 AB 于 D,
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∵P、C、D 三点共线,∴ 设 =k ,结合 =

=λ +

+μ ,得

,且 λ+μ=1 = +

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由平面向量基本定理解之,得 λ= ,k=3 且 μ= , ∴ = + ,可得 = ,

∵△ABP 的面积与△ ABC 有相同的底边 AB 高的比等于| |与| |之比

∴△ABP 的面积与△ ABC 面积之比为 , 故选:C

点评: 三角形面积性质:同(等)底同(等)高的三角形面积相等;同(等)底三角形面积这比等于高之比;同 (等)高三角形面积之比等于底之比. 5. (2014?宜春模拟)如图,已知圆 M: (x﹣3) +(y﹣3) =4,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E,F 分别 为边 AB,AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, 的取值范围是( )
2 2

A.

B.[﹣6,6]

C.

D.[﹣4,4]

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题;转化思想;平面向量及应用. 分析: 通过圆的方程求出圆的圆心与半径,求出 ME,OM,利用向量的三角形法则,化简
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,然后

利用数量积求解范围即可. 2 2 解答: 解:因为圆 M: (x﹣3) +(y﹣3) =4,圆心的坐标(3,3)半径为 2, 所以|ME|= ,|OM|= , ∵ ∴ ,∴ = , =6cos(π﹣∠OME)∈[﹣6,6], 的取值范围是[﹣6,6]. 故选 B. 点评: 本题考查向量在几何中的应用,注意向量的垂直与向量的转化,数量积的应用,考查分析问题解决问题的 能力,转化思想的应用.
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=3

, = ,

6. (2014?洛阳二模)若 , , 均为单位向量,且 ? =﹣ , =x +y (x,y∈R) ,则 x+y 的最大值是( A .2 B. C. D.1



考点: 平面向量的综合题;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 2 2 2 2 由题设知 = =x +y ﹣xy=1,设 x+y=t,y=t﹣x,得 3x ﹣3tx+t ﹣1=0,
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由方程 3x ﹣3tx+t ﹣1=0 有解,知△ =9t ﹣12(t ﹣1)≥0,由此能求出 x+y 的最大值. 解答: 解:∵ , , 均为单位向量, 且 ? =﹣ , =x +y (x,y∈R) , ∴ =
2 2

2

2

2

2

=x +y ﹣xy=1,

2

2

设 x+y=t,y=t﹣x,得:x +(t﹣x) ﹣x(t﹣x)﹣1=0, 2 2 ∴3x ﹣3tx+t ﹣1=0, 2 2 ∵方程 3x ﹣3tx+t ﹣1=0 有解, 2 2 ∴△=9t ﹣12(t ﹣1)≥0, 2 ﹣3t +12≥0, ∴﹣2≤t≤2 ∴x+y 的最大值为 2. 故选 A. 点评: 本题考查平面向量的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意平面向量的数量积和换元法的灵活运 用.本题也可用基本不等式解答

7. (2013?安徽) 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 两定点 A, B 满足| |λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( A. B. ) C.

|=|

|=

?

=2, 则点集{P|







D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义;二元一次不等式(组)与平面区域;向量的模. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 由两定点 A,B 满足 = =2,说明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等边三角形,设出两个
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定点的坐标,再设出 P 点坐标,由平面向量基本定理,把 P 的坐标用 A,B 的坐标及 λ,μ 表示,把不等式 |λ|+|μ|≤1 去绝对值后可得线性约束条件,画出可行域可求点集 P 所表示区域的面积. 解答: 解:由两定点 A,B 满足 不妨设 A( 由 ) ,B( ,得: . = =2,说明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等边三角形.

) .再设 P(x,y) .

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所以

,解得

①.

由|λ|+|μ|≤1.

所以①等价于









可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域,

则区域面积为 . 故选 D. 点评: 本题考查了平面向量的基本定理及其意义,考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域,考查了数学 转化思想方法,解答此题的关键在于读懂题意,属中档题.

8. (2013?湖南)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的最大值为( A. B. C. D.



考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出. 解答: 解:∵| |=| |=1,且 ,
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∴可设 ∴ ∵ ∴ ∴ 的最大值=

, . ,





,即(x﹣1) +(y﹣1) =1. = .

2

2

故选 C.

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点评: 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键. 9. (2013?上海)在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 、 ?( + ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 + 、 、 、 、 .若 m、M 分别为( 、 + 、 + 、 )

)的最小值、最大值,其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5},则 m、M 满

足( ) A.m=0,M>0

B.m<0,M>0

C.m<0,M=0

D.m<0,M<0

考点: 平面向量数量积的运算;进行简单的合情推理. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积公式,可知只有

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,其余数量积均小于等于 0,从而可结论. 、 、 、 、 ;以 D 为起点,其余顶

解答: 解:由题意,以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ,

∴利用向量的数量积公式,可知只有 ∵m、M 分别为( + + )?( + +

,其余数量积均小于等于 0, )的最小值、最大值,

∴m<0,M<0 故选 D. 点评: 本题考查向量的数量积运算,考查学生分析解决问题的能力,分析出向量数量积的正负是关键.

10. (2013?重庆) 在平面上, A. (0, ] B.

⊥ (

, | , ]

|=|

|=1, C.

= (

+ , ]

. 若|

|< , 则| D. (

|的取值范围是 ( , ]



考点: 专题: 分析: 解答:

向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 压轴题;平面向量及应用. 建立坐标系,将向量条件用等式与不等式表示,利用向量模的计算公式,即可得到结论.
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解:根据条件知 A,B1,P,B2 构成一个矩形 A,B1PB2,以 AB1,AB2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系, 设|AB1|=a,|AB2|=b,点 O 的坐标为(x,y) ,则点 P 的坐标为(a,b) , 由 =1,得 ,则

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∵| ∴ ∴

|< ,∴

∵(x﹣a) +y =1,∴y =1﹣(x﹣a) ≤1, 2 ∴y ≤1 2 同理 x ≤1 2 2 ∴x +y ≤2② 由①②知 ∵| |= ,∴ , <| |≤

2

2

2

2

故选 D.

点评: 本题考查向量知识的运用,考查学生转化问题的能力,考查学生的计算能力,属于难题. 11. (2013?铁岭模拟)已知两点 A(1,0) ,B(1, , (λ∈R) ,则 λ 等于( A.﹣1 B.1 ) C.﹣2 D.2 ) ,O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=120°,设

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设点 C 的坐标, 根据题意和向量的坐标运算, 分别用 λ 表示 x 和 y, 再由向量的数量积的坐标表示出∠AOC 的余弦值,再求出 λ 的值. 解答: 解:设点 C 的坐标是(x,y) ,则由 得,
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(x,y)=﹣2(1,0)+λ(1, ∴x=﹣2+λ,y= , 又∵∠AOC=120°,∴cos120°=

)=(﹣2+λ,

) ,

,即﹣ =



解得,λ=1. 故选 B. 点评: 本题考查向量的数量积和向量的坐标运算的应用,即通过条件列出关系式,利用向量相等的坐标等价条件 进行求值.

12. (2013?楚雄州模拟)已知点 P 为△ ABC 内一点,且 等于( )

+

+3

= ,则△ APB,△ APC,△ BPC 的面积之比

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A.9:4:1

B.1:4:9

C.3:2:1

D.1:2:3

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先将已知向量式化为两个向量共线的形式,再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义,三角形面 积公式确定面积之比 解答: 解:∵ + +3 = ,∴ + =﹣ + ) ,如图:
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∵ ∴



∴F、P、G 三点共线,且 PF=2PG,GF 为三角形 ABC 的中位线



=

=

=

=2

而 S△ APB= S△ ABC ∴△APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于 3:2:1 故选 C

点评: 本题考查了向量式的化简,向量加法的平行四边形法则,向量数乘运算的几何意义等向量知识,充分利用 向量共线是解决本题的关键

13. (2012?广东)对任意两个非零的平面向量 ,且 ○ B.1 和 ○



,定义



=

,若平面向量 、 满足| |≥| |>0,

与 的夹角 A.

都在集合 C.

中,则 ○

=(

) D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;压轴题;新定义. 分析: 由题意可得 ? =
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= ,同理可得

? =

= ,故有 n≥m 且 m、n∈z.再由

cos θ=

2

, 与 的夹角 θ∈(0,

) ,可得
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cos θ∈( ,1) ,即 解答: 解:由题意可得

2

∈( ,1) ,由此求得 n=3,m=1,从而得到

? =

=

的值.

? =

=

=

= .

同理可得

? =

=

=

= .

由于| |≥| |>0,∴n≥m 且 m、n∈z. ∴cos θ=
2

.再由 与 的夹角 θ∈(0,

) ,可得 cos θ∈( ,1) ,即

2

∈( ,1) .

故有 n=3,m=1,∴ ? = = , 故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,得到 n≥m 且 m、n∈z,且 档题. ∈( ,1) ,是解题的关键,属于中

14. (2012?天津)在△ ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足 =﹣2,则 λ=( A. ) B. C.



,λ∈R.若

D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可得 =0,根据
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=﹣(1﹣λ)

﹣λ

=(λ﹣1)4﹣λ×1=﹣2,求得 λ 的值.

解答:

解:由题意可得 由于 =( ﹣λ

=0, )?( )=[ ﹣ ]?[ ﹣ ]

=0﹣(1﹣λ) 解得 λ= ,

+0=(λ﹣1)4﹣λ×1=﹣2,

故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运 算,属于中档题.

15. (2012?广东)对任意两个非零的平面向量



,定义

?

=

.若两个非零的平面向量 , 满足 与

的夹角

,且 ? 和 ? 都在集合

中,则 ? =(



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A.

B.

C .1

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;压轴题;新定义. 分析: 2 先求出 ? = ,n∈N, ? = ,m∈N,再由 cos θ=
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∈( 0,

) ,故 m=n=1,从而求得

? =

的值.

解答: 解:∵ ? = = = = = ,n∈N.

同理可得

? =

=

=
2

= ,m∈N.

再由 与 的夹角 ∴ ? = = ,

,可得 cos θ=

∈( 0,

) ,故 m=n=1,

故选 D. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求得 m=n=1,是解题的关键,属于中档题. 16. (2012?天津) 已知△ ABC 为等边三角形, AB=2. 设点 P, Q 满足 ﹣ ,则 λ=( A. ) B. C. D. , λ∈R. 若



=

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据向量加法的三角形法则求出
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, =﹣ 即可求出 λ. ,λ∈R ,

进而根据数量

积的定义求出 解答: 解:∵ ∴ ,

再根据

∵△ABC 为等边三角形,AB=2 ∴ = +λ +(1﹣λ)

=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+(1﹣λ)×2×2×cos180°+λ(1﹣λ)×2×2×cos60° 2 =2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ , 2 =﹣2λ +2λ﹣2 ∵
2

=﹣

∴4λ ﹣4λ+1=0 2 ∴(2λ﹣1) =0 ∴
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故选 A 点评: 本题主要考查了平面向量数量级的计算,属常考题,较难.解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出 然后再结合数量积的定义和条件△ ABC 为等边三角形,AB=2, =﹣ 即可求解!

17. (2012?济南二模) 已知点 P 是△ ABC 的中位线 EF 上任意一点, 且 EF∥BC, 实数 x, y 满足 △ ABC,△ PBC,△ PCA,△ PAB 的面积分别为 S,S1,S2,S3,记 大值时,2x+y 的值为( A. ) B. , ,

. 设 .则 λ2?λ3 取最

C .1

D.2

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 由题设条件知

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, 时取等号,

此时点 P 为 EF 的中点,能求出 λ2?λ3 取最大值时,2x+y 的值. 解答: 解:∵△ABC,△ PBC,△ PCA,△ PAB 的面积分别为 S,S1,S2,S3, , ∴ , . ,

∵P 是△ ABC 的中位线 EF 上任意一点,且 EF∥BC, ∴ ∴ ∵实数 x,y 满足 ∴由 得到 , . , , 时取等号,此时点 P 为 EF 的中点,

故选 A. 点评: 本题考查向量在几何中的应用,综合性强,难度大,是高考的重点,计算繁琐,容易出错.解题时要认真 审题,仔细解答,注意转化思想的合理运用. 18. (2012?枣庄一模)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A,B,C 是圆 x +y =1 上相异三点,若存在正实数 λ,μ,使 得 A.(2,9) ,则(λ﹣3) +μ 的取值范围是( B.(4,10)
2 2 2 2

) C .( ) D.(2,+∞)

考点: 向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 综合题;压轴题;平面向量及应用. 分析: 2 2 2 2 2 2 由 得 μ =1+λ ﹣2λ ,从而可构建函数 f(λ)=(λ﹣3) +μ ,即可求得(λ﹣3) +μ
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的取值范围. 解答: 解:因为 A,B,C 互异,所以﹣1< 由 得 μ =1+λ ﹣2λ
2 2 2 2 2

<1,

则 f(λ)=(λ﹣3) +μ =2λ ﹣6λ﹣2λ f(λ)=(λ﹣3) +μ =2λ ﹣6λ﹣2λ
2 2 2 2 2

+10>2λ ﹣8λ+10≥2. +10<2λ ﹣4λ+10,无最大值,
2

2

∴(λ﹣3) +μ 的取值范围是(2,+∞) . 故选 D. 点评: 本题考查向量知识的运用,考查函数的最值,确定函数解析式是关键.

19. (2012?淮北一模)在△ ABC 中,已知 . A. ,则 的最小值为( B. )

,sinB=cosA?sinC,S△ ABC=6,P 为线段 AB 上的一点,且

C.

D.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: △ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b,由 sinB=cosA?sinC 结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求
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cosC=0 即 C=90°,再由

,S△ ABC=6 可得 bccosA=9,

可求得 c=5,b=3,a=4,考虑建

立以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,由 P 为线段 AB 上的一点,则存在 实数 λ 使得 =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1) ,设 则



,由

=(x,0)+(0,y)=(x,

y)可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12 而 解答: 解:△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b ∵sinB=cosA?sinC, ∴sin(A+C)=sinCcosA, 即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA, ∴sinAcosC=0, ∵sinA≠0, ∴cosC=0 C=90° ∵ ,S△ ABC=6

,利用基本不等式求解最小值.

∴bccosA=9, ∴ ,根据直角三角形可得 sinA= ,cosA= ,bc=15

∴c=5,b=3,a=4
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以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C(0,0)A(3,0)B(0,4) P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1)









=(x,0)+(0,y)=(x,y)

∴x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12 = 故所求的最小值为 故选:C

点评: 题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最 值问题,解题的关键是理解把已知所给的 是一个单位向量,从而可用 x,y 表示 ,建立 x,y 与 λ

的关系,解决本题的第二个关键点在于由 x=3λ,y=4﹣4λ 发现 4x+3y=12 为定值,从而考虑利用基本不等式 求解最小值 20. (2011?上海)设 A1, A2, A3, A4 是平面上给定的 4 个不同点, 则使 个数为( A .0 ) B.1 C .2 D.4 成立的点 M 的

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据所给的四个固定的点,和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量,根据向量加法法则,知这样的 点是一个唯一确定的点. 解答: 解:根据所给的四个向量的和是一个零向量
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, 则 ,

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即 所以

, . 也是确定的,

当 A1,A2,A3,A4 是平面上给定的 4 个不同点确定以后,则

所以满足条件的 M 只有一个, 故选 B. 点评: 本题考查向量的加法及其几何意义,考查向量的和的意义,本题是一个基础题,没有具体的运算,是一个 概念题目. 二.填空题(共 10 小题) 21. (2014?和平区模拟)如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内(含边界)任 意一点,则 的最大值是 6 .

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量数量积的运算. 计算题;压轴题;数形结合. 在平面内建立合适的坐标系,将向量的数量积用坐标表示,再利用线性规划解决问题. 解:以 A 为坐标原点,以 AD 方向为 x 轴正方向,
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以 AB 方向为 y 轴负方向建立坐标系,则 设 N 点坐标为(x,y) ,则 令 Z= =x﹣2y,

=(1,﹣2)

=(x,y) ,则 0≤x≤2,﹣2≤y≤0

将 A,B,C,D 四点坐标依次代入得: ZA=0,ZB=4,ZC=6,ZD=2 故 Z= 故答案为:6 的最大值为 6

点评: 向量的主要功能就是数形结合,将几何问题转化为代数问题,但关键是建立合适的坐标系,将向量用坐标 表示,再将数量积运算转化为方程或函数问题.

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22. (2014?河北区三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是半圆 x ﹣4x+y =0(2≤x≤4)上的一个动点,点 C 在线段 OA 的延长线上.当 时,则点 C 的纵坐标的取值范围是 [﹣5,5] .

2

2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 设点 C(a,b) ,由题意可得
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,且 λ>0,当点 A 在点 M(2,2)时,由

=20,且 a=b,

解得 b 的值.当点 A 在点 N(2,﹣2)时,由 的取值范围.
2 2 2 2

=20,且 a=﹣b,解得 b 的值,从而求得 C 的纵坐标

解答: 解:半圆 x ﹣4x+y =0(2≤x≤4)即 (x﹣2) +y =4 (2≤x≤4) , 设点 C(a,b) ,由于 与 的方向相同,故 =λ ,且 λ>0,

当点 A 在点 M(2,2)时, 当点 A 在点 N(2,﹣2)时,

=2a+2b=20,且 a=b,解得 b=5. =2a+(﹣2b)=20,且 a=﹣b,解得 b=﹣5.

综上可得,则点 C 的纵坐标的取值范围是[﹣5,5], 故答案为[﹣5,5].

点评: 本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,体现了数形结合与分类讨论的数学思想, 属于中档题

23. (2014?四川二模)已知

,则向量 与向量 的夹角是



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 据题意 可得 解答:

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,∴

=

进一步利用向量夹角的范围求出夹角.

解:设

的夹角为 θ 则

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∵ 即 ∵ ,

∴ ∴ ∵θ∈[0,π] ∴ 故答案为: 点评: 解决向量的夹角问题,一般利用向量的数量积公式进行解决.但要注意向量夹角的范围. =

24. (2014?韶关模拟)已知 AD 是△ ABC 的中线,若∠A=120°,

,则

的最小值是 1 .

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积公式,及三角形中线向量的表示,利用基本不等式,即可求
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的最小值.

解答:

解:∵ ∴| ∵ ∴|
2

=|

||

|cosA,∠A=120°,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

||

|=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) = ( + | +|
2

) , | +2
2

| = (| ||

?

)= (|

| +|

2

| ﹣4)

2

≥ (2| ∴

|﹣4)=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

故答案为:1. 点评: 本题考查向量的数量积,基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题.

25. (2014?福建模拟) 设 A、B、C、 D 是半径为 1 的球面上的四个不同点,且满足 用 S1、S2、S3 分别表示△ ABC、△ ACD、ABD 的面积,则 S1+S2+S3 的最大值是

=0, 2 .

?

=0,

?

=0,

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可知,三棱锥的顶点的三条直线 AB,AC,AD 两两垂直,可以扩展为长方体,对角线为球的直径,
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设出三度,表示出面积关系式,然后利用基本不等式,求出最大值. 解答: 解:设 AB=a,AC=b,AD=c, 因为 AB,AC,AD 两两互相垂直, 扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以 a +b +c =4R =4 S△ ABC+S△ ACD+S△ ADB = (ab+ac+bc ) ≤ (a +b +c )=2 即最大值为:2 故答案为 2. 点评: 本题是基础题,考查球的内接多面体,基本不等式求最值问题,能够把几何体扩展为长方体,推知多面体 的外接球是同一个球,是解题的关键. 26. (2014?江苏模拟)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,过正方形中心 O 的直线 MN 分别交正方形的边 AB, CD 于 M,N,则当 最小时,CN= .
2 2 2 2 2 2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

向量在几何中的应用. 压轴题;探究型;平面向量及应用. 通过三角形的全等,求出 x 的值,利用方程有解,推出 t 的范围,然后求解即可求得结论. 解:易证△ AOM≌△CON,则 AM=CN=x 设 CN=x,经过点 N 作 NE⊥AB 则四边形 NEBC 为矩形 ∴NE=BC=1,BE=CN=x 则 ME=(1﹣x)﹣x=1﹣2x(或 2x﹣1) 2 2 2 2 ∴MN =EM +EN =2﹣4x+4x 2 2 2 2 BN =BC +CN =1+x 2 2 令 2﹣4x+4x =t(1+x ) ,整理 2 ﹙t﹣4﹚x +4x+t﹣2=0 有实根 ∴16﹣4(t﹣4) (t﹣2)≧0 解得:3﹣ ≤t≤3+
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∴当

取最小值时, ,x=

即 t 取最小值 3﹣ 即 CN= 故答案为: ,

点评: 本题考查学生分析解决问题的能力,考查学生的探究能力,属于中档题.

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27. (2014?河西区三模)如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45° 则 x+y= .



考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题;平面向量及应用. 分析: 通过过 C 作 CE⊥OB 于 E,用向量
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,求出



的关系,结合

,曲线 x+y

的值即可. 解答: 解:如图过 C 作 CE⊥OB 于 E,因为 AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上的点,∠CBA=60°所以 E 为 OB 的中点,连结 OD,则 ∴ = = 又 x+y= 故答案为: . , = . , = , , =

点评: 本题考查向量在几何中的应用,利用已知向量表示所求向量是解题的难点,考查分析问题解决问题的能力.

28. (2013?北京)向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示,若 4 .

,则

=

考点: 平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 计算题;压轴题;平面向量及应用. 分析: 以向量 、 的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系,得到向量 、 、 的坐标,结合题中向量等式建 立关于 λ、μ 的方程组,解之得 λ=﹣2 且 μ=﹣ ,即可得到 解答: 解:以向量 、 的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系 可得 =(﹣1,1) , =(6,2) , =(﹣1,﹣3) ∵ 的值.



,解之得 λ=﹣2 且 μ=﹣

因此,

=

=4

故答案为:4

点评:

本题给出向量 用向量 、 线性表示,求系数 λ、μ 的比值,着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向 量基本定理及其意义等知识,属于基础题.

29. (2013?上海)已知正方形 ABCD 的边长为 1,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 的最小值是 ﹣5 . ,若 i,j,k,l∈{1,2,3},且 i≠j,k≠l,则



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 如图建立直角坐标系.不妨记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量
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分别为





,以

C 为起点,其余顶点为终点的向量 值时,利用向量的坐标运算计算 最小值. 解答: 解:不妨记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量 点为终点的向量 分别为 , ,

分别为





.再分类讨论当 i,j,k,l 取不同的 的

的值,从而得出

分别为 .如图建立坐标系.





,以 C 为起点,其余顶

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(1)当 i=1,j=2,k=1,l=2 时,则 1,﹣1)]=﹣5; (2)当 i=1,j=2,k=1,l=3 时,则 ﹣1)]=﹣3; (3)当 i=1,j=2,k=2,l=3 时,则 ﹣1)]=﹣4; (4)当 i=1,j=3,k=1,l=2 时,则 1,﹣1)]=﹣3; 同样地,当 i,j,k,l 取其它值时, 则 故答案为:﹣5. 的最小值是﹣5.

=[(1,0)+(1,1)]?[( (﹣1,0)+(﹣

=[(1,0)+(1,1)]?[( (﹣1,0)+(0,

=[(1,0)+(1,1)]?[( (﹣1,﹣1)+(0,

=[(1,0)+(0,1)]?[( (﹣1,0)+(﹣

=﹣5,﹣4,或﹣3.

点评: 本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识,考查考查分类讨论、化归以及数 形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.

30. (2013?山东)已知向量 数 λ= .



的夹角为 120°,且



.若

,且

,则实

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 计算题;压轴题;平面向量及应用. 分析: 利用 , ,表示 向量,通过数量积为 0,求出 λ 的值即可.
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解答:

解:由题意可知: 因为 所以 所以 = , ,



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= =﹣12λ+7=0 解得 λ= . .

故答案为:

点评: 本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直,考查转化数学与计算能力.

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