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椭圆及其标准方程:课件一(18张PPT)


椭圆及其标准方程

F1

F2

生活中的类似椭圆

生活中的类似椭圆

生活中的类似椭圆

2.1.1椭圆及其标准方程

探索新知:(1)取一条定长的细
绳,把它的两端都固定在图板的同一 点处,套上铅笔拉紧绳子,移动

笔尖, 画出的轨迹是什么曲线 (2)把细绳的两端拉开一段距离,分 别固定在图版的两点处,套上铅笔拉 紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什 么曲线?

1、椭圆的定义:
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 M 叫做椭圆的焦距。
几点说明: F F 1、F1、F2是两个不同的定点; 2、M是椭圆上任意一点,且|MF1| + |MF2| = 常数; 3、通常这个常数记为2a,焦距记为2c,且2a>2c(?); 4、如果2a = 2c,则M点的轨迹是线段F1F2.
1 2

5、如果2a < 2c,则M点的轨迹不存在.(由三角形的性质知)

应用举例
1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。

解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4,故点M的轨迹为椭圆。

(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4,故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。

(3)因|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=3,故点M的轨迹不成图形。

建式 系 列 化 设 简 点

由椭圆的定义得P(x,y)满足|PF1 | + | PF2| =2a
| PF1 |= | PF2 |=

? x + c?

y2
2

? x - c?

+y

P( 2x , y )

+ y2

2 c ,+ 0 ?y 2 = 则: ? x + c ?2F ? x 2a , 0+ + y2 c ? -c ? O? x ? F 2 1

?

? x + c?
2

2

+ y 2 = 2a -

? x - c?

2

+ y2
2

设 P( x,y )是椭圆上任意一点
? a 2 - cx = a
2 2

? ? x + c ? + y 2 = 4a 2 - 4a
2

? x - c?
2 2

+ y 2 ? ? x - c ? + y2
2

? x - c ? + y2
2 2 2

设 c(c>0),P与F1和 ? 椭圆的焦距 =1 aF a -c ? ?a - c ? x + a y|F ?2|=2 F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c)
2

y

b

x y ? 2 ?1 2 2 a a ?c

2

2

a

o

c

x

观察左图, 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗? a2-c2 有什么几何意义?

令 | OP | ? a 2 ?b 2 ? b
则方程可化为

x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

2

2

椭圆的标准方程

椭圆标准方程
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
焦点F1(-c,0),F2(c,0)在x轴上
2 2
F1

y M

x O F2

y M

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

F2 x O

F1

焦点F1(0,-c),F2(0,c)在y轴上 其中: a2-c2=b2

若椭圆焦点F1(0,-c),F2(0,c)在y轴上, 因为这时x轴与y轴交换,所以只要把方 程中的x,y互换即可得方程:

小 结:
定 义

椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a y
M

y
F 2 M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)

c2=a2-b2

应用举例
判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上, 并指明a2、b2,写出焦点坐标。

x y ? ? 1 答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0) 25 16
x y ? ?1 144 169
2 2

2

2

答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5) 答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

x y ? 2 ?1 2 m m ?1

2

2

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:

焦点在分母大的那个轴上。

例题讲解
例1、填空:

x2 y2 ? ? 1 ,则 (1)已知椭圆的方程为: 25 16 a=_____ ,b=_______ ,c=_______ ,焦点坐标 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为:____________ 若CD为过 6 20 左焦点F1的弦,则 ? F2CD的周长为________
C

F1

F2

D

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)满足a=4,b=1,焦点在X轴上的椭圆

x2 2 ? y ?1 的标准方程为__________ __ 16

(2)满足a=4,c= 15 ,焦点在Y轴上的椭圆 2 y 2 ? x ?1 的标准方程为____________ 16

例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),

椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10;

变式:两个焦点的距离等于8,椭圆上的一点P到两焦 点距离的和等于10.

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2), 并且椭圆经过点 ? ? 3 , 5 ?
? ? ? 2 2?

3 5 变式:椭圆经过两点A (? 2 , 2 )

,B ( 3, 5 )

例4:若方程4x2+ky2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围。 解:由 4x2+ky2=1,可得

因为方程表示的曲线是焦点在y轴上 的椭圆,所以

x y ? 1 1 4 k

2

2

?1

1 1 ? k 4

即:0<k<4

所以k的取值范围为0<k<4。

例5:动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离 之和为8,则动点P的轨迹为-------------( B )

A.椭圆
B.线段F1F2

C.直线F1F2
D.不能确定

1 下列方程哪些表示的是椭圆,如果是,判断它的 焦点在哪个坐标轴上?
x2 y2 (1) ? ?1 25 16

(2) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1

x2 y2 (3) ? ? 1( m ? 0) 2 2 m m ?1 (2)9x 2 ? 25y 2 ? 225? 0 分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上, 反之亦然。

注意

应用举例

x 2 y2 1.方程 ? ? 1表示焦点在x轴上的椭圆, a 3 则a的范围为( a>3 )。

x 2 y2 2.方程 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆, b 9 则b的范围为( 0<b<9)。 x y 3. 已知椭圆方程为 ? ? 1, 则两焦点坐 16 9 ( ? 7 ,0 ) 。 标为_________
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,则 (2)已知椭圆的方程为: 4 5 2 a=_____ ,c=_______ ,焦点坐 1 5 ,b=_______ (0,-1)、(0,1) 焦距等于__________; 标为:___________ 曲 2 线上一点P到左焦点F1的距离为3,则点P到 另一个焦点F2的距离等于_________ 2 5 ? 3 ,则 ? F1PF2的周长为___________ 2 5?2

变式题组一
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1,则这个椭圆的焦距为( ) 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点,且 F1 F2 = 6,动点M 满足 MF1 + MF2 = 6, 则点M 的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y 2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3,则P到另一焦点的距离为( ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)7

变式题组二
1.如果方程x2 +ky 2 =1表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是( ) (A)(0,+? ) (B)(0,2) (C)(1,+? ) (D)(0,1) x2 y 2 2.椭圆 + =1的焦距是2,则实数m的值是( m 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 x2 y 2 3.已知F1、F2是椭圆 + = 1的两个焦点,过 25 49 F1的直线与椭圆交于A、B两点,则D ABF2的 周长为( (A)8 6 ) (B)20 (C)24 (D)28 )

三、小 结:
1、椭圆的定义 2、两种标准方程的比较 3、在求椭圆方程时,要弄清焦点 在哪个轴上,是x轴还是y轴? 或者两个轴都有可能?

四、布置作业:
P96 习题8.1:1、2、3

同步作业本P57


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