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第十二章选修4-4第2讲参数方程


第 2 讲 参数方程

1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 ?x=f?t?, ? ? 并且对于 t 的每一个允许值,由上述方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, ? ?y=g?t?. 则该方程叫做这条曲线的参数方程,其中变数 t 称为参数. 2.一些常见曲线的参数方程 ? ?x=

x0+tcos α (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ? (2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 ? ?x=a+rcos θ ? (θ 为参数). ?y=b+rsin θ ? x2 y2 (3)椭圆方程 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为 a b ? ?x=acos θ ? (θ 为参数). ?y=bsin θ ?
?x=2pt2 ? (4)抛物线方程 y2=2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ?y=2pt ?

1.极坐标方程与参数方程互化时,以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化. 2.在利用参数方程求解具体问题时,注意参数的几何意义和范围. 3.数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法.

?x=3-3t ? 1.(选修 4-4 P26 习题 T4(1)改编)直线 l 的参数方程为? (t 为参数),则原点到 l ?y=1+4t. ? 的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ? ?x=3-3t 解析:选 C.由? (t 为参数)消去 t 得 ?y=1+4t ? 4x+3y-15=0. |-15| ∴原点到直线 l 的距离 d= 2 =3.故选 C. 4 +32 ?x=sin θ ? 2.(选修 4-4 P26 习题 T4(2)改编)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),则曲 ? ?y=cos 2θ-1 线 C 上的点 P 到原点 O 的距离的最大值为( ) A.1 B. 2

C. 3

D. 5

?x=sin θ ? 解析:选 D.由? (θ 为参数)消去参数 θ 得 ? ?y=cos 2θ-1 y=-2x2(-1≤x≤1). 表示开口向下的一段抛物线 y=-2x2(-1≤x≤1),如图, 则当 P 点的坐标为(± 1,-2)时,

|PO|max= ?± 1?2+?-2?2= 5,故选 D.
?x=5 cos φ ? 3.(选修 4-4 P26 习题 T4(4)改编)椭圆 C 的参数方程为? (φ 表示参数),过左 ? ?y=3 sin φ 焦点 F1 的直线 l 与 C 相交于 A,B,则|AB|min=________. ?x=5 cos φ ? x2 y2 解析:由? (φ 为参数消去参数 φ 得) + =1, 25 9 ? ?y=3sin φ

当 AB⊥x 轴时,|AB|有最小值. 9 18 ∴|AB|min=2× = . 5 5 18 答案: 5
? ?x=3t 4. (选修 4-4 P22 例 1 改编)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参数), 点 M(-6, 2 ?y=2t +1 ? a)在曲线 C 上,则 a=________. ? ? ?-6=3t, ?t=-2, ? 解析:由题意得? ∴ 2 ?a=2t +1, ?a=9. ? ? 答案:9 5. (选修 4-4 P36 例 1 改编)以直角坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

直线 l

?x=2- 22t 的参数方程为 ? 2 ?y=-1+ 2 t

(t 为参数 ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρ =

tan θ cos θ

?θ≠kπ+π?, 2? ?
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和一个参数方程; 1 1 (2)直线 l 与曲线 C 有两个交点 A、B,当 t= 2时,点 P 为直线上的点,求 + 的 |PA| |PB| 值. tan θ 解:(1)由 ρ= 得 ρcos θ=tan θ. cos θ y y 将 x=ρcos θ, =tan θ 代入得 x= , x x 2 故曲线 C 的直角坐标方程为 x =y(x≠0). ? ?x=t1 取 x=t1,则 y=t2 1,可得曲线 C 的一个参数方程为? 2 (t1 为参数 t1≠0). ?y=t1 ? (2)将 t= 2代入直线 l 的参数方程得 P(1,0),设直线 l 上动点 M(x,y),令|PM|=m,得

?x=1- 22m 直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 2 m



代入 x2=y 整理得 m2-3 2m+2=0, 设|PA|=m1,|PB|=m2, 则 m1+m2=3 2,m1m2=2,且 m1 与 m2 同号, 1 1 1 1 m1+m2 ∴ + = + = |PA| |PB| m1 m2 m1m2 3 2 = . 2

参数方程化为普通方程(或极坐标方程)

?x=2+ 22t, (1)[参数方程化为普通方程]①在平面直角坐标系中, 求曲线 C: ? 2 ?y=1+ 2 t
(t 为参数)的普通方程.
? ?x=1+cos θ, ②若直线 3x+4y+m=0 与圆? (θ 为参数)相切,求实数 m 的值. ?y=-2+sin θ ? ?x=4+5cos t, ? (2)[参数方程化为极坐标方程]已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数), 以 ? ?y=5+5sin t 坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ①把 C1 的参数方程化为极坐标方程; ②求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 2 2 2 [解] (1)①因为 x=2+ t,所以 t=x-2,代入 y=1+ t,得 y=x-1,即 x-y-1 2 2 2 =0. ?x=1+cos θ, ? ②圆? 消去参数 θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1.因为直线与圆相 ? y =- 2 + sin θ ? |3+4×?-2?+m| 切,所以圆心(1,-2)到直线的距离等于半径,即 =1,解得 m=0 或 m= 5 10. ? ?x=4+5cos t, (2)①将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ?y=5+5sin t ? 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. ? ?x=ρcos θ 将? ,代入 x2+y2-8x-10y+16=0,得 ?y=ρsin θ ? ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. ②C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

2 2 ? ?x +y -8x-10y+16=0, 由? 2 2 ?x +y -2y=0, ?

? ? ?x=1, ?x=0, 解得? 或? ? ? ?y=1 ?y=2.

π π 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2, ),(2, ). 4 2 消去参数的方法一般有三种: ①利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数; ②利用三角恒等式消去参数; ③根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数.
?x=t ?x=3cos φ ? ? 1.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:? ,(t 为参数)过椭圆 C:? , ?y=t-a ?y=2sin φ ? ? (φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ? ?x=t 解析:选 C.直线 l:? ,消去参数 t 后得 y=x-a. ?y=t-a ? ?x=3cos φ ? x2 y2 椭圆 C:? ,消去参数 φ 后得 + =1. 9 4 ? ?y=2sin φ 又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y=x-a 得 a=3. ?x=cos α, ? 2.直线 3x+4y-7=0 截曲线? (α 为参数)的弦长为________. ? ?y=1+sin α |0+4-7| 3 解析:曲线可化为 x2+(y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离 d= = ,则弦长 l 9+16 5 8 =2 r2-d2= . 5 8 答案: 5 3.以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方 ? ?x=2+t 6 2 程为 C:ρ= ,直线 l:? (t 为参数), ?y=2-2t 13+5cos 2θ ? (1)求 C 的直角坐标方程与 l 的极坐标方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并求曲线 C 上的点到直线 l 的距离 d 的范围. 6 2 解:(1)由 ρ= 得 13+5cos 2θ x2 y2 ρ2(18-10sin2θ)=72,∴18x2+8y2=72,∴ + =1,即为曲线 C 的直角坐标方程. 4 9 ? x = 2 + t ? 由? 得 2x+y-6=0,即有 2ρcos θ+ ?y=2-2t ? ρsin θ-6=0,这就是直线 l 的极坐标方程. x2 y2 (2)将 y=6-2x 代入 + =1 得 4 9 25x2-96x+108=0, Δ=(-96)2-4×25×108=-1 584<0, 故直线 l 与曲线 C 没有交点,所以直线 l 与曲线 C 相离.

设曲线 C 上的点 P(2cos θ,3sin θ),且点 P 到 l 的距离为 d, |4cos θ+3sin θ-6| |5sin?θ+φ?-6| 则 d= = , 5 5 4 其中 φ 为锐角,tan φ= , 3 ∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴-11≤5sin(θ+φ)-6≤-1, 1 11 5 11 5? ∴ ≤d≤ ,即 d 的取值范围为? , . 5 ? ?5 5 5

参数方程的应用

?x=5+ 23t, 已知直线 l:? 1 ?y= 3+2t

(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|· |MB|的值. [解] (1)ρ=2cos θ 等价于 ρ2=2ρcos θ. 将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入 ρ2=2ρcos θ 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.

?x=5+ 23t, (2)将? 1 ?y= 3+2t

(t 为参数)代入 x2+y2-2x=0,

得 t2+5 3t+18=0. 设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义知,|MA|· |MB|=|t1t2|=18. (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的 互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等. (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交,交点为 M1,M2,所对应的参数分别为 t1,t2. ①弦长 l=|t1-t2|; ②弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; ③|M0M1||M0M2|=|t1t2|. 1.极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的 长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; 1 x= t, 2 (2)直线 l: (t 为参数)与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于 E,求|EA| 3 y=1+ t 2

? ? ?

+|EB|的值. 解:(1)在 ρ=2(cos θ+sin θ)中, 两边同乘 ρ,得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 则 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化简得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0,设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,

则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2= 5. 2.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

?x=-2+ 22t ρsin θ=2acos θ(a>0),过点 P(-2,-4)的直线 l:? 2 ?y=-4+ 2 t
2

(t 为参数)与曲线 C 相交

于 M,N 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数 a 的值. ?x=ρcos θ ? 解:(1)把? 代入 ρsin2θ=2acos θ,得 y2=2ax(a>0), ? y = ρ sin θ ?

?x=-2+ 22t 由? 2 ?y=-4+ 2 t ?x=-2+ 22t (2)将? 2 ?y=-4+ 2 t

(t 为参数), 消去 t 得 x-y-2=0, ∴曲线 C 的直角坐标方程和直线

l 的普通方程分别是 y2=2ax(a>0),x-y-2=0.

(t 为参数)代入 y2=2ax,

整理得 t2-2 2(4+a)t+8(4+a)=0. 设 t1,t2 是该方程的两根, 则 t1+t2=2 2(4+a),t1· t2=8(4+a), ∵|MN|2=|PM|· |PN|, ∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1· t2=t1· t2, ∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),∴a=1.

求参数方程条件下的最值

?x= 3cos φ 已知曲线 C1 的参数方程是 C1:? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x ?y=4sin φ 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=a(a>0),直线 l 的极坐标方程 π? 是 ρsin? ?θ+3?=1,曲线 C2 与直线 l 有两交点 A,B. (1)求 C2 与 l 的普通方程,并求 a 的取值范围; (2)设 P 为 C1 上任意一点,当 a=2 时,求△PAB 面积的最大值. [解] (1)由 ρ=a(a>0)得 ρ2=a2,即 C2 的普通方程为 x2+y2=a2. π? 由 ρsin? ?θ+3?=1 得 1 3 ρsin θ+ ρcos θ=1,即 l 的普通方程为 3x+y-2=0. 2 2 |-2| 因为曲线 C2 与直线 l 有两交点 A,B,所以圆心到直线的距离 d= <a,即 a ? 3?2+12 的取值范围为(1,+∞).

(2)设 P( 3cos φ,4sin φ),当 a=2 时, |3cos φ+4sin φ-2| |5sin?φ+α?-2| 7 |AB|=2 22-1=2 3,P 到直线的距离 d= = ≤ ,所 2 2 ? 3?2+12 1 1 7 7 3 以△PAB 面积的最大值 S= |AB|dmax= ×2 3× = . 2 2 2 2 求参数方程中最值问题的三个策略: ①曲线方程上的点用参数方程表示; 直线用普通方程表示; 利用相关距离公式将目标转 化为求以参数为变量的函数的最值; ②当曲线是圆时,数形结合更快捷方便; ③利用直线参数方程中参数的几何意义时,需特别注意方向性.

?x=1+2t 1.已知直线 l:? 3 ?y= 2 t

1

? ?x=cos θ (t 为参数),曲线 C1:? (θ 为参数). ?y=sin θ ?

(1)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; 1 3 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 , 纵坐标压缩为原来的 , 得到曲线 C2, 2 2 设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解:(1)l 的普通方程为 y= 3(x-1),C1 的普通方程为 x2+y2=1.

?y= 3?x-1? 1 3 联立方程? 2 2 ,解得 l 与 C1 的交点为 A(1,0),B? ,- ?,则|AB|=1. 2 2 ? ? ?x +y =1

?x=2cos θ (2)C 的参数方程为? 3 ?y= 2 sin θ
2

1

1 3 (θ 为参数).故点 P 的坐标是? cos θ, sin θ?. 2 ?2 ?

从而点 P 到直线 l 的距离 d= =

? 3cos θ- 3sin θ- 3? 2 ?2 ?
2

π π 3? 6 2sin?θ- ?+2?,当 sin?θ- ?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 ( 2-1). 4 ? ? 4? 4? 4 ?x=-t 2.已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数),当 t=1 时,曲线 C1 上的点为 A,当 ?y= 3t t=-1 时,曲线 C1 上的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 6 C2 的极坐标方程为 ρ= . 4+5sin2θ (1)求 A、B 的极坐标; (2)设 M 是曲线 C2 上的动点,求△MAB 面积 S 的最大值. ?x=-1 解:(1)当 t=1 时,? ,即 A 的直角坐标为 A(-1, 3); ?y= 3

?x=1 当 t=-1 时,? ,即 B 的直角坐标为 B(1,- 3). ?y=- 3 2π? ? 5π? ∴A 的极坐标为 A? ?2, 3 ?,B 的极坐标为 B?2, 3 ?.

6 2 2 2 ,得 ρ (4+5sin θ)=36, 4+5sin θ x2 y2 ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 + =1. 9 4 设曲线 C2 上的动点 M 的坐标为 M(3cos α,2sin α), (2)由 ρ= 由(1)知|AB|= ?1+1?2+?- 3- 3?2=4. 直线 AB 的方程为 3x+y=0. |3 3cos α+2sin α| ∴M 到 AB 的距离 d= = ? 3?2+12 | 31sin?α+φ?| 31 ,∴dmax= . 2 2 1 1 31 ∴Smax= |AB|· dmax= ×4× = 31. 2 2 2

1.(选修 4-4 P15 习题 T5 改编)以直角坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 ? ?x=2cos α π θ+ ?=2 2,曲线 C 的参数方程为? 系,直线 l:ρsin? (α 为参数). ? 4? ?y=sin α ? (1)求 l 与 C 的直角坐标方程; (2)A、B 是曲线 C 上距离最远的两点,在 l 上是否存在点 P,使 PA⊥PB,若存在,求出 P 点坐标,若不存在,说明理由. 解:(1)∵直线 l 的极坐标方程为 π? 2 2 ρsin? ?θ+4?=2 2,∴ 2 ρsin θ+ 2 ρcos θ=2 2,∴x+y-4=0 为直线 l 的直角坐标方 程. ? ?x=2cos α x2 ∵曲线 C 的参数方程为? (α 为参数),∴曲线 C 的直角坐标方程为 +y2=1. 4 ?y=sin α ? (2)由 A、B 是曲线 C 上距离最远的两点,则 A、B 为椭圆 C 长轴上的两个端点,由(1) 知,A(-2,0),B(2,0), → → 假设直线 l 上存在一点 P(x,4-x),使得 PA⊥PB,即PA=(-2-x,x-4),PB=(2-x, x-4), → → 则PA· PB=0,即-(2+x)(2-x)+(x-4)2=0, x2-4x+6=0, ∵Δ=16-24=-8<0,故方程 x2-4x+6=0 无解,即直线 l 上不存在点 P,使得 PA⊥ PB. ?x=2+tcos α, ? 2. (选修 4-4 P36 例 1 改编)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数, α 为倾 ? ?y=tsin α π x2 y2 斜角,且 α≠ ),它与曲线 + =1 交于 A,B 两点. 2 16 12 (1)写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的定点 P 的坐标; (2)求|PA|· |PB|的最大值.
?x=2+tcos α, ? 解:(1)∵? ?y=tsin α ?

?t为参数,α为倾斜角,且α≠π?, 2? ?
y tsin α = =tan α,∴直线 l 的一般方程为 xtan α-y-2tan α=0. t x-2 cos α 直线 l 通过定点 P 的坐标为(2,0). ?x=2+tcos α, ? (2)∵l 的参数方程为? ? ?y=tsin α, 2 2 x y 椭圆方程为 + =1,右焦点坐标为(2,0). 16 12 又∵3(2+tcos α)2+4(tsin α)2-48=0,即(3+sin2α)t2+12cos α· t-36=0. ∵直线 l 过椭圆的右焦点,∴直线 l 恒与椭圆有两个交点. 36 ∴|PA|· |PB|= . 3+sin2 α π ∵0≤α≤π,且 α≠ ,∴0≤sin2α<1, 2 ∴|PA|· |PB|的最大值为 12. 3.(选修 4-4 P37 例 2 改编)以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 π? 1 x2 y2 ? 0 , 系.点 M 的极坐标为( 5,θ),且 tan θ= ,θ∈? 2?,椭圆 C: + =1. 2 16 4 (1)求点 M 的直角坐标与曲线 C 的参数方程; (2)过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且 M 为线段 AB 的中点,P 是 C 上的一 个动点,求△PAB 面积的最大值. π? 1 2 5 5 解:(1)由 tan θ= ,θ∈? ?0,2?得 cos θ= 5 ,sin θ= 5 ,又 ρ= 5,∴x=ρcos θ=2, 2 y=ρsin θ=1,∴点 M 的直角坐标为(2,1). ? ? ?x=acos β ?x=4cos β 将 a=4,b=2 代入? 可得椭圆 C 的参数方程为? (β 为参数). ? ? ?y=bsin β ?y=2sin β ∴

(2)法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?x y ?16+ 4 =1
2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1 16 4



?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 相减得 + =0. 16 4 y1-y2 1 ∵M(2,1)为 AB 中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式可得 =- ,即直线 l 的 2 x1-x2 1 斜率 k=- . 2 1 ∴直线 l 的普通方程为 y=- x+2. 2 1 y=- x+2 2 由 2 , x y2 + =1 16 4

? ? ?

解得 A(0,2),B(4,0),∴|AB|=2 5, 过椭圆 C 上的动点 P 作直线 l1∥l, 则当 l1 与椭圆 C 相切时可求点 P 到直线 l 的最大值. 1 x2 y2 设 l1 的方程为:y=- x+m,代入 + =1 整理得 2x2-4mx+4m2-16=0, 2 16 4 2 2 由 Δ=16m -8(4m -16)=0,解得 m=± 2 2. 显然当 m=-2 2,P(-2 2,- 2)时,

4? 2+1? , 5 4? 2+1? 1 1 从而(S△PAB 最大)= |AB|· d= ×2 5× =4( 2+1). 2 2 5 ? ?x=2+tcos α 法二:设直线 l 的参数方程为? (t 为参数,α 为直线 l 的倾斜角), ?y=1+tsin α ? x2 y2 代入 + =1 整理得(3sin2α+1)t2+4(cos α+2sin α)t-8=0. 16 4 1 ∵M 是 AB 中点,∴t1+t2=0,即 cos α+2sin α=0,∴tan α=- . 2 5 2 5 ∴sin α= ,cos α=- . 5 5 8 ∴t1t2=- =-5, 3sin2α+1 点 P 到直线 l 距离最大为 d= ∴|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 0-4×?-5?=2 5. 又直线 l 的普通方程为 x+2y-4=0, 设 P(4cos θ,2sin θ),则 P 到直线 l 的距离 |4cos θ+4sin θ-4| d= 5 π? 4| 2sin? ?θ+4?-1| π 5π θ+ ?=-1,即 θ= +2kπ(k∈Z), = ,∴当 sin? 4 ? ? 4 5 4? 2+1? . 5 4? 2+1? 1 1 ∴(S△PAB 最大)= |AB|· dmax= ×2 5× =4( 2+1). 2 2 5 P(-2 2,- 2)时,dmax=

1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 1 x=t- , t l 的极坐标方程为 ρ(sin θ-3cos θ)=0, 曲线 C 的参数方程为 (t 为参数), l与C 1 y=t+ t

? ? ?

相交于 A,B 两点,求|AB|. [导学号 03351050] 解:由 ρ(sin θ-3cos θ)=0,得 ρsin θ=3ρcos θ,则 y=3x. 1 x=t- , t 由 得 y2-x2=4. 1 y=t+ , t

? ? ?

? ?y=3x, 由? 2 2 )可得 ?y -x =4, ?

?x= 22, ? 3 2 ?y= 2

?x=- 22, 或? 3 2 ?y=- 2 ,

不妨设 A?

2 3 2? 2 3 2? ,则 B?- ,- , 2 ? ?2, 2 ? ? 2

?- 2- 2?2+?-3 2-3 2?2=2 5. 2? ? 2 2 ? ? 2 2 2 ?x=-3+ 3t, x y 2.已知椭圆 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 3 ?y=2 3+t
故|AB|= (1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (2)设 A(1,0),若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的坐标. ?x=2cos θ, [导学号 03351051] 解:(1)椭圆 C:? (θ 为参数),直线 l:x- 3y+9=0. ?y= 3sin θ (2)设 P(2cos θ, 3sin θ), 则|AP|= ?2cos θ-1?2+? 3sin θ?2=2-cos θ, 点 P 到直线 l 的距离 |2cos θ-3sin θ+9| 2cos θ-3sin θ+9 d= = . 2 2 3 4 由|AP|=d 得 3sin θ-4cos θ=5,又 sin2θ+cos2θ=1,得 sin θ= ,cos θ=- . 5 5 8 3 3 ?. 故 P?- , ? 5 5 ? ? ?x=4cos θ, 3.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 经 ?y=4sin θ ? π 过点 P(1,2),倾斜角 α= . 6 (1)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求|PA|· |PB|的值. [导学号 03351052] 解:(1)圆 C 的标准方程为 x2+y2=16.

?x=1+tcos6, 直线 l 的参数方程为? π ?y=2+tsin 6 ?x=1+ 23t, (2)把直线 l 的参数方程? 1 ?y=2+2t
得?1+

π

?x=1+ 23t, (t 为参数),即? 1 ?y=2+2t
代入 x2+y2=16,

(t 为参数).

3 ?2 ? 1 ?2 2 |PB|=11. t + 2+2t? =16,t +( 3+2)t-11=0,所以 t1t2=-11,即|PA|· 2 ? ? ? ?x=4cos φ, 4.在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为? (φ 为参数),以坐标原点 ?y=3sin φ ? O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点,点 N 是曲线 C2 上任意一点,求|MN|的取值范围. [导学号 03351053] 解:(1)由 ρ=2cos θ,得 ρ2=2ρcos θ, 将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入上面方程,得 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1. (2)|MC2|min-1≤|MN|≤|MC2|max+1. |MC2|2=(4cos φ-1)2+9sin2φ=7cos2φ-8cos φ+10, 2 当 cos φ=-1 时,|MC2|max =25,|MC2|max=5; 4 54 3 42 当 cos φ= 时,|MC2|2 ,|MC2|min= . min= 7 7 7

?

3 42 3 42 ?. 所以 -1≤|MN|≤5+1,即|MN|的取值范围是? 7 ? 7 -1,6? ? ?x=3+2cos θ, 5.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=-4+2sin θ ? (1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(-2,0),B(0,2),圆 C 上任意一点 M(x,y),求△ABM 面积的最大值. ?x=3+2cos θ, ? [导学号 03351054] 解:(1)圆 C 的参数方程为? (θ 为参数),所以普通 ?y=-4+2sin θ ? 方程为(x-3)2+(y+4)2=4. 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0. |2cos θ-2sin θ+9| (2)点 M(x,y)到直线 AB:x-y+2=0 的距离为 d= . 2 1 ?π ? ? △ABM 的面积 S= ×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=? ?2 2sin ?4-θ?+9?, 2 所以△ABM 面积的最大值为 9+2 2. ? ?x=2+t, x2 y2 6.已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ? (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线, 交 l 于点 A, 求|PA|的最大值与最小 值. ? ?x=2cos θ, [导学号 03351055] 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=3sin θ ? 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. 5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|, 5 d 2 5 4 则|PA|= = |5sin(θ+α)-6|,其中 α 为锐角,且 tan α= . sin 30° 5 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5

?x=-1- 23t, 7.已知直线 l 的参数方程为? 1 ?y= 3+2t
(1)求圆 C 的直角坐标方程;

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的

π? 正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=4sin? ?θ-6?. π? (2)点 P(x,y)是直线 l 与圆面 ρ≤4sin? ?θ-6?的公共点,求 3x+y 的取值范围. [ 导学号 03351056] π θ- ? 4ρsin? 6 ? ? =4ρ? 3 1 ?. ? 2 sin θ-2cos θ? π? 2 解: (1) 因为圆 C 的极坐标方程为 ρ = 4sin ? ?θ-6? ,所以 ρ =

又 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 x2+y2=2 3y-2x,所以圆 C 的直角坐标方 程为 x2+y2+2x-2 3y=0.

(2)设 z= 3x+y, 由圆 C 的方程 x2+y2+2x-2 3y=0, 得(x+1)2+(y- 3)2=4, 所以圆 C 的圆心是(-1, 3),半径是 2.

?x=-1- 23t, 将? 1 ?y= 3+2t

代入 z= 3x+y,得 z=-t,又直线 l 过 C(-1, 3),圆 C 的半

径是 2,所以-2≤t≤2,所以-2≤-t≤2,即 3x+y 的取值范围是[-2,2]. ?x=cos t, ? 8.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C2 ?y=sin t ?
? ?x=acos φ, 的参数方程为? (a>b>0,φ 为参数),在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极 ?y=bsin φ ? 坐标系中,射线 l:θ=α 与曲线 C1、C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 π 2,当 α= 时,这两个交点重合. 2 (1)分别说明 C1、C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时,l 与 C1、C2 的交点分别为 A1、B1,当 α=- 时,l 与 C1、C2 的交点分 4 4 别为 A2、B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. [导学号 03351057] 解:(1)由题意可知,曲线 C1 为圆,曲线 C2 为椭圆, 当 α=0 时,射线 l 与曲线 C1、C2 交点的直角坐标分别是(1,0)、(a,0),因为这两个交点 间的距离为 2,所以 a=3, π 当 α= 时,射线 l 与曲线 C1、C2 交点的直角坐标分别是(0,1)、(0,b), 2 因为这两个交点重合,所以 b=1. x2 π (2)由(1)可得,曲线 C1、C2 的普通方程分别为 x2+y2=1, +y2=1,当 α= 时,射线 9 4 2 2 3 10 3 10? l 与曲线 C1 的交点 A1? , ?,与曲线 C2 的交点 B1? ; 2? ?2 ? 10 , 10 ? π 当 α=- 时,射线 l 与曲线 C1、C2 的两个交点 A2、B2 分别与 A1、B1 关于 x 轴对称, 4 则 四 边 形 A1A2B2B1 为 梯 形 , 所 以 四 边 形 A1A2B2B1 的 面 积 为 ?2×3 10+2× 2??3 10- 2? 10 2 ?? 10 2? 2 ? = . 2 5


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