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5.二次函数的最值问题


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初高中数学衔接系列教材
第五讲 二次函数的最值问题 【思维导图】
(本节所包含的的相关内容知识体系,由教师授课时手写完成。 )

【知识梳理】
一、二次函数基础知识点汇总
1.定义:一般地,如果 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 y ? ax2 的性质

(a ? 0) (1)抛物线 y ? ax2 的顶点是原点,对称轴是 y 轴.
(2)函数 y ? ax2 的图像与 a 的符号关系: ①当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点;②当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点 3.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
2 2 4.二次函数 y ? ax ? bx ? c 用配方法可化成: y ? a( x ? h) ? k 的形式,其中 h ? ?

4ac ? b 2 b k ? . 2a , 4a

5.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① a 决定抛物线的开口方向: 当 a ? 0 时,开口向上;当 a ? 0 时,开口向下; a 越小,抛物线的开口越大, a 越大,抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于 y 轴(或重合)的直线,记作 x ? h .特别地, y 轴记作直线 x ? 0 .

1

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③定点是抛物线的最值点[最大值( a ? 0 时)或最小值( a ? 0 时)],坐标为 ( h , k ). 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: y ? ax2 ? bx ? c ? a? x ?

? ?

b 4ac ? b 2 b b ? 4ac ? b 2 ,∴顶点是 ,对称轴是直线 x ? ? . (? , ) ? ? 2a 2a 4a 2a ? 4a
2

2

(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 y ? a?x ? h? ? k 的形式,得到顶点为( h , k ),对称轴是 x ? h . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂 直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★ 7.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 中,系数 a, b, c 的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax2 中的 a 完全一样. (2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴是直线 x ? ? ① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;②

b ,故: 2a

b b ? 0 时,对称轴在 y 轴左侧;③ ? 0 时,对称轴在 y 轴右侧. a a

(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交点的位置. 当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ): ① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 8. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ① y ? ax2 ;② y ? ax2 ? k ;③ y ? a?x ? h? ;④ y ? a?x ? h? ? k ;⑤ y ? ax2 ? bx ? c .
2 2

b ?0. a

图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 (0,0) (0, k ) ( h ,0) (h ,k )

y ? ax2 y ? ax2 ? k
y ? a?x ? h?
2

x ? 0 ( y 轴)
当 a ? 0 时,开口向 上 当 a ? 0 时,开口向 下

x ? 0 ( y 轴) x?h x?h
x?? b 2a

y ? a?x ? h? ? k
2

y ? ax ? bx ? c
2

b 4ac ? b 2 , (? ) 2a 4a

9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y ? ax ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.
2

2

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(2)顶点式: y ? a?x ? h? ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

(3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ,通常选用交点式: y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? . 10.直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系) (1) y 轴与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 得交点为( 0, c ) (2)与 y 轴平行的直线 x ? h 与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 有且只有一个交点( h , ah 2 ? bh ? c ). (3)抛物线与 x 轴的交点 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、x2 , 是对应一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离. (4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、 2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,则 横坐标是 ax ? bx ? c ? k 的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
2

(5)一次函数 y ? kx ? n?k ? 0? 的图像 l 与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 的图像 G 的交点,由方程组

? y ? kx ? n 的解的数目来确定: ? 2 ? y ? ax ? bx ? c
①方程组有两组不同的解时 ? l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点;③方程组无解时 ? l 与 G 没有交点. (6)抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴两交点为 A?x1, 0?,B?x2, 0? ,由于 x1 、 x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,故由韦达定理知: x1 ? x 2
2

b c ? ? , x1 ? x 2 ? a a

AB ? x1 ? x 2 ?

?x1 ? x2 ?

2

?

?x1 ? x2 ?

2

b 2 ? 4ac ? ? b ? 4c ? 4 x1 x 2 ? ? ? ? ? ? ? a a a ? a?

2

11.二次函数与一元二次方程的关系:
2 (1)一元二次方程 0 ? ax ? bx ? c 就是二次函数 y ? ax ? bx ? c 当函数 y 的值为 0 时的情况.

2

(2)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函
2 2 数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y ? 0 时自变量 x 的值,即一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 的根.
(3)当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有两个交点时,则一元二次方程 y ? ax ? bx ? c 有两个不相等的实
2 2 2 数根;当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有一个交点时,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个相等

2

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的实数根;当二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴没有交点时,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 没有实数
2

根 12.二次函数的应用: (1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小) 值。一般而言,最大 (小)值会在顶点 处取得,达到最大(小)值时的 x 即为顶点横坐标值,最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 (2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.

二.二次函数的最值: (数形结合思想)
1.自变量 x 取任意实数时的最值情况 (1)当 a ? 0 时,函数在 x ? ?

4ac ? b 2 b 处取得最小值 ,无最大值; 2a 4a 4ac ? b 2 b 处取得最大值 ,无最小值. 2a 4a

(2)当 a ? 0 时,函数在 x ? ?

(3)二次函数最大值或最小值的求法. 第一步:确定 a 的符号, a ? 0 有最小值, a ? 0 有最大值; 第二步:配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 2.自变量 x 在某一范围内的最值. 如: y ? ax2 ? bx ? c 在 m ? x ? n (其中 m ? n )的最值. 第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴: x ? x0 ? ? 第二步:讨论: [1]若 a ? 0 时求最小值(或 a ? 0 时求最大值),需分三种情况讨论:(以 a ? 0 时求最小值为例)
2 ①对称轴小于 m 即 x0 ? m ,即对称轴在 m ? x ? n 的左侧,在 x ? m 处取最小值 ymin ? am ? bm ? c ; 2 ②对称轴 m ? x0 ? n ,即对称轴在 m ? x ? n 的内部,在 x ? x0 处取最小值 ymin ? ax0 ? bx0 ? c ; 2 ③对称轴大于 n 即 x0 ? n ,即对称轴在 m ? x ? n 的右侧,在 x ? n 处取最小值 ymin ? an ? bn ? c .

b ; 2a

[2] 若 a ? 0 时求最大值(或 a ? 0 时求最小值),需分两种情况讨论:(以 a ? 0 时求最小值为例)

m?n 2 ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的左侧,在 x ? n 处取最大值 ymax ? an ? bn ? c ; 2 m?n 2 ②对称轴 x0 ? ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的右侧,在 x ? m 处取最大值 ymax ? am ? bm ? c . 2
①对称轴 x0 ? 说明:求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置.

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另法: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 m ? x ? n (其中 m ? n )的最值: 求出函数的对称轴 x ? x0 ? ?

b ,在以后的数学学习中 2a

①若 m ? x0 ? n ,则分别求出 m, x0 , n 处的函数值 f ( m) , f ( x0 ) , f ( n) ,则三函数值最大者即最大值,最小者即 为最小值; ②若 x0 ? m或x0 ? n 时,则求出 m, n 处的函数值 f ( m) , f ( n) ,则两函数值中大者即为最大值,小者即为最小值。 思考:你能说明白这是为什么吗?

【经典例题】
例 1. 求下列函数的最大值或最小值. (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 5; 例 1(1) 最小值为 ? (2) y ? ? x 2 ? 3x ? 4 .

49 25 无最大值;(2)最大值为 ,无最小值. 8 4

例 2. 当1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x 2 ? x ? 1的最大值和最小值. 例 2.当 x ? 1 时, ymin ? ?1,当 x ? 2 时, ymax ? ?5

巩固练习

(1)函数 y ? ? x 2 ? 4x ? 2 在区间 [0,3] 上的最大值是_______,最小值是_______. 2, -2 (2)已知 2 x ? 3x ,求函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 的最值. 最小值为 1,最大值为
2

19 4

例 3. 当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围. 例 3.当 x ? 1 时, ymin ? ?1,无最大值.所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ?1 .

2 例 4. 如果函数 y ? x ? 2x ? 2 定义在区间 t, t ? 1 上,求 y 的最值。
2 2 (1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t ? 1 时:当 x ? t 时, ymin ? t ? 2t ? 2 , ymax ? t ? 1 ;

?

?

(2) 当对称轴在所给范围之间.即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时:

5

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当 x ? 1 时, ymin ? 1 ; ①若 0 ? t ?

1 ,当 x ? t 时, ymax ? t 2 ? 2t ? 2 2

②若

1 ? t ? 1 ,当 x ? t ? 1 时, ymax ? t 2 ? 1 2

(3) 当对称轴在所给范围右侧. 即 t ? 1 ? 1 ? t ? 0 时: 当 x ? t ? 1 时,ymin ? t 2 ? 1 ; 当 x ? t 时,ymax ? t 2 ? 2t ? 2 .

综之, ymin

?t 2 ? 1 t?0 ? ? ?1 0 ? t ?1 ?t 2 ? 2t ? 2 t ? 1 ?

ymax

1 ?2 t ? 2t ? 2 t ? ? ? 2 ?? 1 ?t 2 ? 1 t? ? ? 2

小结:对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:

当 a ? 0时 f ( x) max

b 1 ? f (m), ? ? (m ? n)(如图1) ? ? 2a 2 ?? f ( x) min b 1 ? f (n), ? ? (m ? n)(如图2) ? 2a 2 ?

b ? ? ? n(如图3) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图4) 2 a 2 a ? b ? ? ? m(如图5) ? f (m), 2a ?

当 a ? 0时 f ( x) max

b ? ? ? n(如图6) ? f (n), b 1 ? 2a f (m) , ? ? (m ? n)( 如图 9) ? ? ? 2a 2 b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图7) f ( x ) min ? ? 2a 2a ? f (n) , ? b ? 1 (m ? n)( 如图10) ? ? b ? 2a 2 ? f ( m ) , ? ? m ( 如图 8 ) ? 2a ?

某商场以每件 30 元的价格购进一种商品, 试销中发现这种商品每天的销售量 m (件)与每件的销售价 x (元)满足 一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 . (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

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解: (1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元, 那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) ,又 m ? 162 ? 3x .

? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x2 ? 252x ? 4860,30 ? x ? 54
(2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下

?当 x ? 42 时, ymax ? ?3 ? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432 ?当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.

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【强化训练】&【课后作业】
1.抛物线 y ? x2 ? (m ? 4) x ? 2m ? 3 ,当 m = 上;当 m = 时,图象过原点. 4 14 或 2, 时,图象的顶点在 y 轴上;当 m = 时,图象的顶点在 x 轴

3 2

2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为________ . 3.求下列二次函数的最值: (1) y ? 2x2 ? 4x ? 5 ; (2) y ? (1 ? x)( x ? 2) .

l2 2 m 16

(1) 有最小值 3,无最大值;(2) 有最大值

9 ,无最小值. 4

4.求二次函数 y ? 2x2 ? 3x ? 5 在 ?2 ? x ? 2 上的最大值和最小值,并求对应的 x 的值. 当x?

3 31 时, ymin ? ;当 x ? ?2 时, ymax ? 19 . 4 8
2

5.函数 y ? x ? x ? 1 在区间 [?1,1] 上的最小值和最大值分别是(

) B

( A) 1, 3

(B)

3 , 3 4

(C) ?

1 , 3 2

(D) ? )C

1 , 4

3

6.函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 在区间 [1, 4] 上的最小值是(

( A) ? 7
7.函数 y ?
2

(B) ? 4

(C ) ? 2
( ) B

( D) 2

8 的最值为 x ? 4x ? 5

( A) 最大值为 8,最小值为 0
(C)最小值为 0, 不存在最大值

( B ) 不存在最小值,最大值为 8 ( D) 不存在最小值,也不存在最大值

8.若函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x , x ? [0,4] 的取值范围是_________. 0 ? y ? 2 已知二次函数 y ? x ? 6 x ? m 的最小值为 1,那么 m 的值为
2

.10

2 9.对于函数 y ? 2 x ? 4 x ? 3 ,当 x ? 0 时,求 y 的取值范围. y ? ?5

10.求函数 y ? 3 ? 5x ? 3x2 ? 2 的最大值和最小值.当 x ?

5 2 3 时, ymin ? 3 ? ;当 x ? 或 1 时, ymax ? 3 . 6 3 6

8

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11.已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( (A) [1,??) (B) [0,2] (C) [1,2] (D) (??,2] )C

)C

12. 若函数 y ? (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立,则 a 的取值范围( A. (??,2] B. [?2,2] C. (?2, 2] D. (??, ?2)

13.已知关于 x 的函数 y ? x2 ? 2ax ? 2 在 ?5 ? x ? 5 上. (1) 当 a ? ?1时,求函数的最大值和最小值; (2) 当 a 为实数时,求函数的最大值. 13.(1) 当 x ? 1 时, ymin ? 1 ;当 x ? ?5 时, ymax ? 37 . (2) 当 a ? 0 时, ymax ? 27 ? 10a ;当 a ? 0 时, ymax ? 27 ? 10a .

14.已知关于 x 的函数 y ? x2 ? (2t ? 1) x ? t 2 ? 1,当 t 取何值时, y 的最小值为 0?当 t ? ? 15.已知函数 y ? x 2 ? 2ax ? 1 在 ?1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值. a ? ?

5 时, ymin ? 0 . 4

1 或 a ? ?1 . 4

16. 设 a ? 0 , 当 ?1 ? x ? 1 时, 函数 y ? ? x2 ? ax ? b ? 1的最小值是 ?4 , 最大值是 0, 求 a , b 的值. 3. a ? 2, b ? ?2 .

17.设 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4, x ? [t , t ? 1](t ? R), 求函数 f ( x) 的最小值.

f min

?t 2 ? 2t ? 7, t ? 1 ? ? ??8, 1? t ? 2 ?t 2 ? 4t ? 4, t ? 2 ?

18.求关于 x 的二次函数 y ? x2 ? 2tx ? 1在 ?1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常数). 18.当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? 1 ;当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? ?1 .

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