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【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮限时检测52 抛物线]


课时限时检测(五十二) 抛物线
(时间:60 分钟 考查知识点及角度 抛物线的定义及应用 抛物线的方程及几何性质 直线与抛物线的位置关系 抛物线的综合应用问题 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) x2 y2 1.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 6 + 2 =1 的右焦点重合,则 p 的值为 ( ) A.-2 【解析】 B.2 C.-4 D.4 x2 y2 因为椭圆 6 + 2 =1 的右焦点为(2,0), 满分:80 分)命题报告 题号及难度 基础 4,5,7 1,2,3 8,9 6,10 11,12 中档 稍难

所以抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0),则 p=4. 【答案】 D )

2. 点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6, 那么抛物线的方程是( A.y=12x2 C.y=-36x2 【解析】 B.y=12x2 或 y=-36x2 1 1 D.y=12x2 或 y=-36x2

1 1 将 y=ax2 化为 x2=ay,当 a>0 时,准线 y=-4a,由已知得 3

1? 1 1 1 1 ? + =6,∴ =12,∴a= .当 a<0 时,准线 y=- ,由已知得?3+4a?=6, 4a a 12 4a ? ? 1 1 ∴a=-36或 a=12(舍). x2 x2 ∴抛物线方程为 y=12或 y=-36,故选 D. 【答案】 D )

3.(2013· 四川高考)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是(

A.2 3 【解析】 则 d=

B.2

C. 3

D.1

抛物线 y2=8x 的焦点为 F(2,0), =1.故选 D.

|2- 3×0| 12+?- 3?2 D

【答案】

4.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ?1 ? A.?4,-1? ? ? C.(1,2) 【解析】 ?1 ? B.?4,1? ? ? D.(1,-2) )

如图,∵点 Q(2,-1)在抛物线的内部, 由抛物线的定义,|PF|等于点 P 到准线 x=-1 的距离. 过 Q 作 x=-1 的垂线 QH 交抛物线于点 K, 则点 K 为取最小值时的所求点. 1 当 y=-1 时,由 1=4x 得 x=4. ?1 ? 所以点 P 的坐标为?4,-1?. ? ? 【答案】 A

5.(2013· 课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点, P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 【解析】 B.2 2 C.2 3 ) D.4

设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ 2=4 2,∴x0=3 2,

2 ∴y0 =4 2x0=4 2×3 2=24,∴|y0|=2 6.

1 1 ∵F( 2,0),∴S△POF=2|OF|· |y0|=2× 2×2 6=2 3. 【答案】 C

6.(2013· 大纲全国卷)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且 →· → =0,则 k=( 斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点.若MA MB 1 A.2 2 B. 2 C. 2 D.2 )

【解析】 抛物线 C 的焦点为 F(2,0),则直线方程为 y=k(x-2),与抛物线 方程联立,消去 y 化简得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 则 x1+x2=4+k2,x1x2=4. 8 所以 y1+y2=k(x1+x2)-4k= , k y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16. →· → =(x +2,y -2)· 因为MA MB (x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2- 1 1 2)=x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0, 将上面各个量代入,化简得 k2-4k+4=0,所以 k=2. 【答案】 D

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹 方程是________. 【解析】 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,

故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其 标准方程为 x2=12y. 【答案】 x2=12y

8.(2014· 济南一中月考)若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 3, 延长 P 交抛物线于 Q,若 O 为坐标原点,则 S△OPQ=________. 【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又|PF|

=3,由抛物线定义知:点 P 到准线 x=-1 的距离为 3,∴点 P 的横坐标为 2.

将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,由图知点 P 的纵坐标 y=2 2, ∴P(2,2 2),∴直线 PF 的方程为 y=2 2(x-1). ?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x, ? 1 ?x= , 解之得? 2 ? ?y=- 2 ?x=2, 或? ?y=2 2.

1 1 3 ?1 ? 由图知 Q?2,- 2?,∴S△OPQ=2|OF|· |yP-yQ|=2×1×|2 2+ 2|=2 2. ? ? 【答案】 3 2 2
2

x2 y2 9.(2013· 江西高考)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 3 - 3 =1 相交于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. p ? ?y=- , p 2 由于 x =2py(p>0)的准线为 y=-2,由? 2 2 ? ?x -y =3,
2

【解析】

解得准线与双曲线 x2-y2=3 的交点为 ? A?- ? 1 p? ? 3+4p2,-2?,B? ? ? 1 p? 3+4p2,-2?,所以 AB=2 ? 1 3+4p2.

3 由△ABF 为等边三角形,得 2 AB=p,解得 p=6. 【答案】 6

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135° 的直线,被抛物线所截得的弦长为 8,试求该抛物线的方程. 【解】 依题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则直线方程为 y=-x+ 1 2p. 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,过 A、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 C、D,则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

p p =x1+2+x2+2, 即 x1+x2+p=8.① 1 ? ?y=-x+ p, 2 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由? ? ?y2=2px, p2 得 x2-3px+ 4 =0,所以 x1+x2=3p. 将其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线方程 y2=-4x. 综上,所求抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-4x. 11.(12 分)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物 线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程. → =OA → +λOB → ,求 λ 的值. (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC 【解】 ? p? (1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x-2?,与 y2=2px 联立, ? ? 消去 y,

从而有 4x2-5px+p2=0, 5p 所以 x1+x2= 4 . 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,∴p=4, 从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4 知 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → =(x ,y )=(1,-2 2)+λ(4,4 2) 设OC 3 3
2 =(4λ+1,4 2λ-2 2),又 y3 =8x3,

所以[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2. 12.(13 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0),O 为坐标原点,F 为抛物线的焦

点,直线 y=x 与抛物线 C 相交于不同的两点 O、N,且|ON|=4 2. (1)求抛物线 C 的方程; →= (2)若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A,B,交 x 轴于点 M,且MA → ,MB → =bBF → ,对任意的直线 l,a+b 是否为定值?若是,求出 a+b 的值; aAF 否则,说明理由. ?y=x 【解】 (1)联立方程? 2 得 x2-2px=0,故 O(0,0),N(2p,2p),∴|ON| x = 2 py ? = 4p2+4p2=2 2p, 由 2 2p=4 2得 p=2,∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)显然直线 l 的斜率一定存在且不等于零,设其方程为 y=kx+1,则直线 ? 1 ? l 与 x 轴交点为 M?-k,0?, ? ? 记点 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=kx+1 由? 2 得 x2-4kx-4=0, ?x =4y ∴Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0, ∴x1+x2=4k,x1· x2=-4. 1 ? → =aAF → ,得? ?x1+k ,y1?=a(-x1,1-y1), 由MA ? ? ∴a= kx1+1 y1 =- kx , 1-y1 1

kx2+1 同理可得 b=- kx , 2 x2+x1? ?kx1+1 kx2+1? ? ?=-?2+ ?=-1, ∴a+b=-? + kx2 ? kx1x2 ? ? kx1 ? ∴对任意的直线 l,a+b 为定值-1.


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