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山东省济南市2012届高三下学期二月考(2012济南一模) 数学(理)


数学(理工类)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 复数

1 (i 是虚数单位 ) 的实部是 1+2i 1 2 2 A. B. ? C. 5 5 5

D. ?

1 5
2

2. 已知全集 U ? R ,集合 A= {x | x ? ?2或x ? 3} ,B= {x | x ? 3x ? 4 ? 0} , 则集合

A ?B=
B. x | 3 ? x ? 4} { C. x | ?2 ? x ? ??} { D. x | ?1 ? x ? ?} {

A. x | ?2 ? x ? ?} { 3. 抛物线 y ? A. (

1 2 x 的焦点坐标是 4
B. (1, 0) C. (

1 , 0) 16

1 , 0) 16

D.(0,1 )

4. 如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长 为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是 A.
主视图

左视图

3 6

B. 4 2

3

C.

4 3 3

D. 8

3
俯视图

? x ? 1, ? 5. 已知变量 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 x ? 3 y 的最大值是 ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?
A.4 B.8 C. 12 D.13

第4题

6. 三位老师和三位学生站成一排, 要求任何两位学生都不相邻, 则不同的排法总数为 ? A.720 ? B.144 C.36 D.12 ?

7. 将函数 y ? cos( x ? 不变),再向左平移 A. x ?

?
3

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标

?
9

? 个单位,所得函数图象的一条对称轴是 6 ? ? B. x ? C. x ? ? D. x ? 8 2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. 已知 a ?R ,则“ a ? 2 ”是“ | x ? 2 | ? | x |? a 恒成立”的 A.充分不必要条件 C.充要条件

9. 已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心, 动点 P 满足 OP =

1 1 1 ( OA + OB + 2OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 3 2 2
B.AB 边中线的三等分点 (非重心) D.AB 边的中点

A.AB 边中线的中点 C.重心

x2 y 2 10. 已知点 F1 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与 a b
双曲线交于 A 、 B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A. (1, ??) B. (1, 3) C. (1,2) D. (1,1 ? 2)

11. 已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足以下三个条件:①对于任意的 x ? R ,都有

f ( x ? 4) ? f ( x );
②对于任意的 x1 , x2 ? R , 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 且 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③函数 y ? f ( x ? 2) 的图象 关于 y 轴对称,则下列结论中正确的是 A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 12.

?

2

0

(2 x ? e x )dx ?
2

.

13. 已 知 ( x ? ) 的 二 项 展 开 式 的 各 项 系 数 和 为 32 , 则 二 项 展 开 式 中 x 的 系 数 为
n

1 x

____________.

?2 x?2 ? , 14. 已知函数 f ( x) ? ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
数 k 的取值范围是 .

15. 下列结论中正确的是 ____________. ① sin 750 ?
?

3 . 2

② 如果随机变量 ? ~ B(20, ) ,那么 D(? ) 为 5. ③ 如果命题“ ?( p ? q) ”为假命题,则 p,q 均为真命题.

1 2

④ 已知圆

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关 于 直 线 2ax ? by ? 2 ? 0 ? a, b ? R ? 对 称 , 则

ab ?

1 . 4

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知公差大于零的等差数列 ?an ?



a2 ? a3 ? a4 ? 9, 且 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 8 为等比数列

?bn ? 的前三项.
(1)求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求 18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2 cos x,1), b ? (cos x, 3 sin 2 x) . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和在 ? 0, ? ? 上的单调递增区间; (2) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,且 a ? b ?c ?ab ,求 f (C ) 的取值范围.
2 2 2

1 1 1 1 ? ? ? ...... ? . S1 S 2 S3 Sn

19.(本小题满分 12 分) 将编号为 1,2,3,4 的四张同样材质的卡片,随机放入编码分别为 1,2,3,4 的四 个小盒中, 每盒仅放一张卡片,若第 k 号卡片恰好落入第 k 号小盒中,则称其为一个匹对,用 ? 表示 匹对的个数. (1)求第 2 号卡片恰好落入第 2 号小盒内的概率; (2)求匹对数 ? 的分布列和数学期望 E? .

20.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 5, AC ? 4, BC ? 3 , AA1 ? 4 ,点 D 在 AB 上. (1)若 D 是 AB 中点,求证: AC1 ∥平面 B1CD ; (2)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 5
B1

C1

A1

C B 21.(本小题满分 12 分) D 第 20 题图

A

已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的 2

最短距离为 1 ?

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P 0, , ( m)与椭圆 C 交于相异两点 A、 且 AP ? 3PB . B, 2

(1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 22(本小题满分 14 分) 已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)求函数 f ? x ? 在 ? t , t ? 2 ?

? t ? 0 ? 上的最小值;
'

(3)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

数学(理工类)参考答案
选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 B 11 D 12 A

填空题 13. 5 ? e
2

14. 10

15. 0 ? k ? 1

16. ②④

三、解答题: 17. 解 : ( 1 )

由a2 ? a3 ? a4 ? 9

? a3 ? 3

??????????????????2 分

设等差数列的首项为a1,公差为d , 且d ? o
由 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 8 成等比数列, ?36 ? (4 ? d )(11 ? d ) 即 : ???????????????????????? 8

d 2 ? 7d ? ?
?3 分 解 得



d ? 1 d ? ? 舍)

,

? an ? n


??????????????????5 分

? b1 ? 3, q ? 2
??????????????????7 分 2 ) ???????????

? bn ? 3 ? 2 n ?1


由Sn ?
?9 分

n(n ? 1) 2

?

1 1 1 1 2 2 2 2 2n ? ? ? ...... ? ? ? ? ? ...... ? = S1 S2 S3 S n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1) n ? 1

2

????

????12 分 18.



(1)? f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? 2分

?
6

) ? 1,

???????????????

?函数f ( x)的最小正周期T ?
???4 分 在 [0 , π]

2? ?? 2
上 单

?????????????????













? 2? [0, ], [ , ? ] . 6 3
(2)

??????????????????6 分

a2 ? b2 ? c2 ? ab



cos C ?

1 2

?????????????????8 分

?0 ? C ?

?
3

???????????????????????

?????9 分

由f (C ) ? 2sin(2C ? ) ? 1, 6 当C ?

?

?

6

时,f (C )max ? 3

??????????????????

????10 分 高三数学(理工类)参考答案第 1 页(共 4 页)



C=

? 3





f (C

m

?

)???????????? ?????????????11 分 2 i n
????????????????

? f (C ) ?[2,3]

????12 分 19. 解 :( 1 ) 设 A 为 “ 第 2 张 卡 片 恰 好 落 入 第 2 号 卡 片 ”, 则

p( A) ?

1 4

??????????4 分

(2) ? 的可能取值为 0,1,2,3,5 则;

1 ; 24 1 p{? ? 2} ? ; 4 1 p{? ? 1} ? ; 3 3 p{? ? 0} ? ; 8 p{? ? 4} ?
?????8 分 ∴ ? 的分布列为:

???????????????

?
p
???10 分 ∴

0

1

2

4

3 8

1 3

1 4

1 24
?????????

E? ? 1
??12 分

??????????????????????

20. 证明: (1)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,DE. ∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, ∴侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线, ∴

DE//
?????????????2 分

AC1.

因为 ∵DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD, ∴AC1∥平面 B1CD. (2) ∵ AC⊥BC, C1 B1 ?????????????4 分 z A1

所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4). 设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) , ∵点 D 在线段 AB 上,且 ???????5 分

??? 1 ??? ? ? BD 1 ? , 即 BD ? BA . AB 5 5
B x

C D

12 4 ∴a ? ???????7 分 ,b ? . 5 5 ???? ??? ? ??? ? 12 4 所以 B1C ? (?3, 0, ?4) , BA ? (?3, 4, 0) , CD ? ( , , 0) . 5 5
高三数学(理工类)参考答案第 2 页(共 4 页) 平 为. n ? ?0,0,1? 面

A

y

BCD









???????????????8 分

设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

?? ?

? ?3 x ? 4 z ? 0 ???? ?? ? ??? ?? ? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ?12 , 4 ? 5 x? 5 y ?0 ?
所 以

4 x?? ,y?4 3



?? ? 4 n2 ? (? , 4,1) . ???????????????????????10 分 3
设 二 面 角

B ? CD ? B1









?



? ? a ?b 3 cos ? ? ? ? ? . ???????????????11 分 a b 13
所 以 二 面 角

B ? CD ? B1











3 . 13
y2 x2 a b

???????????12 分
2 2 2

21. 解: 设 C: 2+ 2=1 a>b>0) 设 c>0, =a -b , (1) ( , c 由条件知 a-c= 1分 ∴a 2 2 故 = 1 ,

2 c 2 ,= , ??? 2 a 2

b



c



???????????????3 分

C











y2



x2
1 2



1 ( 2 ) 当 直 线

???????????4 分 斜 率 不 存 在 时 :

m??

1 2

?????????????????????5 分

当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) B(x2,y2) ,

? y ? kx ? m 2 2 2 得 ( k + 2 ) x + 2kmx + ( m - 1 ) = ? ? 2 2 ?2 x ? y ? 1
0 ????????????6 分
2 (2 ( ( =4 >0 ?Δ = km)-4 k2+2) m2-1) (k2-2m2+2) (*)

??????

7分

x1 m2-1 k2+2



x2



-2km k2+2



x1x2



?????????????8 分

? x1 ? x2 ? ?2 x2 → ∵ AP =3PB ∴-x1=3x2 ∴ ? 2 ? x1 x2 ? ?3 x2

-2km 2 m -1 2 消去 x2, 3 x1+x2)+4x1x2=0, ( 2 得( ∴3 )+4 2 =0?????????? k +2 k +2 9分 整理得 4k m +2m -k -2=0
2 2 2 2

2

m2= 时, 上式不成立; ≠ 时, = m2 k2
10 分

1 4

1 4

2-2m , 2 4m -1

2

???????

2-2m 1 1 2 ∴k = 2 ? 0,∴ ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 4m -1 2 2 高三数学(理工类)参考答案第 3 页(共 4 页) 2-2m 1 1 2 把 k = 2 代入(*)得 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 4m -1 2 2 ∴
2

2

?1 ? m ? ?

1 2



1 ? m ?1 2
综 上 m 的 取

??????????????11 分









?1 ? m ? ?

1 2



1 ? m ? 1 ??????????????????12 分 2
22. (1) f ( x) ? ln x ? 1, 令f
' '



: ??2 分

?x ? ? 0, 解得0 ? x ? 1 ,? f ( x)单调递减区间是? 0, 1 ?; ? ?
e ? e?

1 ?1 ? 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? ,? f ( x)单调递增区间是? ,?? ?; e ?e ?
??4 分

????????

1 , t 无 e 解 ??????????????????????5 分 1 1 ( ⅱ )0<t< <t+2 , 即 0<t< 时 , e e 1 1 ????????????7 分 f ( x) m ? f i( ) ? ? n e e 1 1 (ⅲ) ? t ? t ? 2 , t ? 时,f ( x)在[t , t ? 2]单调递增,f ( x) min ? f (t ) ? tlnt ?????? 即 e e 9分
(2) ( ⅰ )0<t<t+2<

1 ? 1 0?t ? ?e ? f ( x) min ? e , 1 ?tlnt t? ? e
?10 分 (2)由题意: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2
2

??????????????????

即 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1
2

? x ? ?0,???
可 得

a ? ln x ?


3 1 x? 2 2x

???????????????????11

设 h?x ? ? ln x ? 则

3x 1 , ? 2 2x
?????????????????

h ' ?x ? ?
12 分

?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ? ? 2 ?? x 2 2x 2x 2
1 (舍) 3
'

令 h ? x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ?
' '

当 0 ? x ? 1 时, h ? x ? ? 0 ;当 x ? 1时, h ? x ? ? 0 当 ? h ? x ? max =-2 ?a ? ?2 . ?a ?? 2,?? ?.

x ?1



,

h? x ?











,

?????????????????13 分 的 取 值 范 围 ?????????????????????14 分 是

高三数学(理工类)参考答案第 4 页(共 4 页)


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