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数学-高中必修五-解三角形-经典题目


解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
【典型题剖析】 考察点 1:利用正弦定理解三角形 例1 在 ? ABC 中,已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正 弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

/>
? A : B : C ? 1: 2 : 3, 而A ? B ? C ? ? .
解:? A ?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

,

? a : b :? sin A : sin B : sin C ? sin

?
6

: sin

?
3

: sin

?
2

?

1 3 : :1 ? 1: 3 : 2. 2 2

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。 例 2 在 ABC 中,已知 c= 2 + 6 ,C=30°,求 a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将 a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解:∵C=30°,c= 2 + 6 ,∴由正弦定理得:

a b c 2? 6 ? ? ? , sin A sin B sin C sin 30?

∴ a=2( 2 + 6 )sinA,b=2( 2 + 6 )sinB=2( 2 + 6 )sin(150°-A). ∴a+b=2( 2 + 6 )[sinA+sin(150°-A)]= 2( 2 + 6 )·2sin75°·cos(75°-A)=

?

2? 6

?

2

cos(75°-A)

① 当 75°-A=0°,即 A=75°时,a+b 取得最大值

?

2 ? 6 =8+4 3 ;

?

2

② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A<150°,∴0°<A<150°, ∴-75°<75°-A<75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1, ∴>

?

2? 6

?

2

cos75°=

?

2? 6 ×

?

2

6? 2 = 2+ 6. 4

综合①②可得 a+b 的取值范围为( 2 + 6 ,8+4 3 > 考察点 2:利用正弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC 中, a ·tanB= b ·tanA,判断三角形 ABC 的形状。
2 2

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。 解:由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得:

? 2R sin A?

2

?

sin B sin A 2 ? ? 2R sin B ? ? , cos B cos A

?sin A cos A ? sin B cos B,
即 sin 2 A ? sin 2 B ,? 2 A ? 2 B或2 A ? 2 B ? ? ,

? A ? B或A ? B ?

?

2

.

∴ ? ABC 为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC 中,由 sin 2 A ? sin 2 B 得∠A=∠B”是常犯的错误,应认真体会上述 解答过程中“∠A=∠B 或∠A+∠B= 例4 在△ABC 中,如果 lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2 ,并且 B 为锐角,试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的 形状。 解:? lg sin B ? ? lg 2,? sin B ? 又∵B 为锐角,∴B=45°. 由 lg a ? lg c ? ? lg 2, 得

? ”的导出过程。 2

2 . 2

c 2 ? . a 2

由正弦定理,得

sin A 2 ? , sin C 2

∵ A ? 180? ? 45? ? C, 代入上式得:

2 sin C ? 2sin ?135? ? C ?
? 2 ?sin135? cos C ? cos135? sin C ?
? 2 cos C ? 2 sin C,
? cos C ? 0,?C ? 90?,? A ? 45?. ? ? ABC为等腰直角三角形。
考察点 3:利用正弦定理证明三角恒等式 例5 在△ABC 中,求证

a 2 ? b2 b2 ? c 2 c2 ? a2 ? ? ? 0. cos A ? cos B cos B ? cos C cos C ? cos A

【点拨】观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将 a ,b ,c 转化 为 sin 2 A,sin 2 B,sin 2 C . 证明:由正弦定理的变式 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B 得:

2

2

2

a 2 ? b2 4 R 2 sin 2 A ? 4 R 2 sin 2 B = cos A ? cos B cos A ? cos B 4 R 2( [ 1-cos 2 A)-(1-cos 2 B)] ? cos A ? cos B ? (cos 2 B ? cos 2 A) ? 4 R 2 (cos B ? cos A) cos A ? cos B

b2 ? c2 ? 4 R 2 (cos C ? cos B), cos B ? cos C 同理 c2 ? a2 ? 4 R 2 (cos A ? cos C ). cos C ? cos A

? 左边=4 R 2 (cos B ? cos A ? cos C ? cos B ? cos A ? cos C ) ? 0 ? 右边 ? 等式成立。
【解题策略】在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边角互化,然后 利用三角知识去解决,要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C=2B,求证 c ? b ? ab .
2 2

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明:? A ? B ? C ? 180?,? B ? C ? 180? ? A.

又?C ? 2B,?C ? B ? B.
?sin( B ? C ) ? sin(180? ? A) ? sin A,

? c 2 ? b 2 ? 4 R 2 (sin 2 C ? sin 2 B) ? 4 R 2 (sin C ? sin B)(sin C ? sin B) B?C C?B B?C C?B ? 4 R 2 ? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin 2 2 2 2 2 2 ? 4 R sin(C ? B) sin(C ? B ) ? 4 R sin A sin B ? ab ? 右边. ? 等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中,要充分利用三角形本身所具有的性质。

(1) A ? B ? C ? ? , A ? B ? ? ? C , 2B ? 2? ? 2C.
? ? tan C.

A? B ? C ? ? , 2A ? 2 2 2

(2)sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C , tan( A ? B)

(3) sin cot C . 2

A? B C A? B C A? B ? cos , cos ? sin , tan ? 2 2 2 2 2

(4)sin(2 A ? 2 B) ? ? sin 2C, cos(2 A ? 2 B) ? cos 2C, tan(2 A ? 2 B) ? ? tan 2C.
考察点 4:求三角形的面积 例7 在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a ? 2, C ? 的面积 S. 【点拨】先利用三角公式求出 sinB,sinA 及边 c,再求面积。 解:由题意 cos

?
4

, cos

B 2 5 ,求△ABC ? 2 5

3 B 2 5 2 B ?1 ? , ,得 cos B ? 2 cos ? 2 5 2 5

∴B 为锐角,? sin B ? 由正弦定理得 c ?

4 3? 7 2 ,sin A ? sin(? ? B ? C ) ? sin( ? B) ? , 5 4 10

10 , 7 1 1 10 4 8 ? S ? ac sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7
【解题策略】在△ABC 中,以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到,要记准、记熟, 并能灵活应用, A ? B ? C ? ? ,sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C ;sin

cos
例8

C A? B C , cos ? sin . 2 2 2

A? B ? 2

已知△ABC 中 a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,△ABC 的外接圆半径为 12,且 C ? 求△ABC 的面积 S 的最大值。 【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。 解: S? ABC ?

?
3

,

1 1 ab sin C ? ?2 R sin A?2 R sin B? sin C 2 2

? 3R 2 sin A sin B ?

3 2 R [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2

?

3 2 1 R [cos( A ? B) ? ]. 2 2

当cos( A ? B) ? 1,即A ? B时,
( S? ABC )max ? 3 3 2 3 3 R ? ? 144 ? 108 3. 4 4

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合,通过讨论三角函数值的取值,求得面 积的最大值。 考察点 5:与正弦定理有关的综合问题 例9 已知△ABC 的内角 A,B 极其对边 a,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B, 求内角 C 【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识,考察运算能力、 分析能力和转化能力。 解法 1:

? a ? b ? a cot A ? b cot B, 且

a b ? ? 2 R (R 为△ABC 的外接圆半径) , sin A sin B

?sin A ? cos A ? cos B ? sin B,?1 ? sin 2 A ? 1 ? cos 2B.
? cos 2 A ? cos 2 B ? 0

又? sin 2 A ? sin 2 B ? 2cos( A ? B)sin( A ? B). ? cos( A ? B)sin( A ? B) ? 0, ? cos( A ? B) ? 0或 sin( A ? B) ? 0.
又∵A,B 为三角形的内角,? A ? B ?

?
2

或A ? B ,

当A ? B ?

?
2

时,C ?

?
2



当 A ? B 时,由已知得 cot A ? 1,? A ? B ? 综上可知,内角 C ?

?
4

,? C ?

?
2

.

?
2

.

解法 2: 由 a ? b ? a cot A ? b cot B 及正弦定理得, sin A ? sin B = cos A ? cos B , sin A ? cos A ? cos B ? sin B , 从而 sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

? cos B sin

?
4

? sin B cos

?
4

,

即 sin( A ?

?

) ? sin( ? B). 4 4

?

又∵0<A+B<π ,? A ?

?

?A? B ?

?
2

,? C ?

?
2

4

?

?
4

? B,

.

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法,熟练运用三角恒等变换公式是解 题的关键。 例 10 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=10,

cos A b 4 ? ? ,求 a,b 及△ABC 的内 cos B a 3

切圆半径。 【点拨】欲求边,应将已知条件中的边角统一,先求角再求边。 解:由

cos A b cos A sin B ? , 可得 = , cos B a cos B sin A

变形为 sin A cos A ? sin B cos B,?sin 2 A ? sin 2 B 又? a ? b,? 2 A ? ? ? 2 B,? A ? B ? ∴△ABC 是直角三角形。

?
2

,

?a 2 ? b 2 ? 102 ? 由 ?b 4 解得 a ? 6, b ? 8. ? ? a 3, ?
?? ABC的内切圆半径为r= a ? b ? c 6 ? 8 ? 10 ? ?2 2 2

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。

『高考真题评析』
例 1 (广 东高考 )已知 a , b , c 分别是 △ ABC 的 三个内 角 A , B , C 所对 的边, 若

a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B, 则 sin C ? _______
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质,解题的关键是确定角 C 的值。 【 点 拨 】 在 △ ABC 中 , A ? B ? C ?? , 又 A ? C ? 2 B , 故 B ?

?
3

,由正弦定理知

sin A ?

a sin B 1 B ? ? , 又 a<b,因此 A ? 从而可知 C ? ,即 sin C ? 1 。故填 1. 6 2 b 2 3, C ? 2? , 3

【名师点评】解三角形相关问题时,应灵活掌握边角关系,实现边角互化。 例 2(北京高考)如图 1-9 所示,在△ABC 中,若 b ? 1, c ? 则 a ? _________ .

【命题立意】 本题考查利用正弦定理解决三角形问题, 同时要注意利用正弦定理得到的两解 如何取舍。

【点拨】由正弦定理得,

3 1 1 ? ,? sin B ? . 2? sin B 2 sin 3

∵C 为钝角,∴B 必为锐角,

?B ?

?
6

?A?

?
6

.? a ? b ? 1.

故填 1 【名师点评】 在 ? 0, ? ? 范围内,正弦值等于 忽略角的范围而出现增解 例 3(湖北高考)在△ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60?, 则 cos B 等于(

1 的角有两个,因为角 C 为钝角,所以角 B 必为锐角,防止 2



A. ?

2 2 3

B.

2 2 3

C. ?

6 3

D.

6 3

【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式,解题的关键是确定角 B 的范 围。

15 10 10? sin 60? ? ,? sin B ? ? 【点拨】由正弦定理得 sin 60? sin B 15
2 2

10 ?

3 2 ? 3 .∵ a >b , 15 3

? 3? 6 A ? 60? ,∴B 为锐角。? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ,故选 D ? ? ? 3 ? 3 ? ?
【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角 B 的范围,从而确定角 B 的余弦值。 例4 (天津高考)在△ABC 中, (1)求证 B ? C ; (2)若 cos A ? ?

AC cos B ? . AB cos C

1 ?? ? ,求 sin ? 4 B ? ? 的值。 3 3? ?

【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、 二倍角的正弦与余弦等基础知识,同时考察基本运算能力。 证明: (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知,得

sin B cos B ? 。 sin C cos C

于是 sin B cos C ? cos B sin C ? 0, 即 sin ? B ? C ? ? 0. 因为 ?? <B-C< ? ,从而 B-C=0,所以 B=C .

cos 解: (2)由 A ? B ?C ? ? 和 (1) 得 A ? ? ? 2 B ,故 cos2 B ??

? ??2

B? ?? cos

A ?

1 3

又 0<2B< ? ,于是 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ?
2

2 2. 4 2 从而 sin 4 B ? 2sin 2 B cos 2 B ? , 3 9

7 ?? ? 4 2 ?7 3 ? cos 4 B ? cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ? 。所以 sin ? 4B ? ? ? sin 4B cos ? . 9 3? 3 18 ?
【名师点评】 (1)证角相等,故由正弦定理化边为角。 (2)在(1)的基础上找角 A 与角 B 的函数关系,在求 2B 的正弦值时要先判断 2B 的取值范围。

知能提升训练

学以致用


1、在△ABC 中,下列关系式中一定成立的是( A. a > b sin A B. a = b sin A C. a < b sin A D. a ≥ b sin A

2、 (山东模拟)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, A ? 于( A.1 ) B.2 C. 3 ? 1 D. 3

?
3

, a ? 3, b ? 1 ,则 c 等

3、 (广东模拟)在△ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 sin B 等于(



A.

3 3 6 3

B. ?

3 3 6 3


C.

D. ?

4、在△ABC 中,若 A.直角三角形 C.钝角三角形

a b c ? ? ,则△ABC 是( cos A cos B cos C
B.等边直角三角形 D.等腰直角三角形

5、在锐角△ABC 中,若 C=2B,则 A. ? 0, 2 ? C. B.

?

2, 3

?

? 2, 2 ? D. ?1, 3 ?

c 的范围是( b



6、在△ABC 中, a ? ?, b ? 3?, A ? 45? ,则,满足此条件的三角形有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 7、在△ABC 中,若 A:B:C=3:4:5,则 a : b : c 等于( A.3:4:5 B.2: 6 :





?

3 ?1

?

C. 1: 3 :2

D. 2 :

3:

3? 2 2


8、 (2011· 浙江模拟) 在△ABC 中,B ? 135?, C ? 15?, a ? 5, 则此三角形的最大边长为 ( A. 5 3 B. 4 3 C. 5 2 D. 4 2

9、在△ABC 中 A ? 75?, B ? 45?, c ? 3 2, 则 b ? ________ 。 10 、 ( 2011 · 山 东 模 拟 ) 在 △ ABC 中 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 若

a ? 2 , b ? 2 , s iB n?

cB o? s ,则角 2 A 的大小为 _______ 。

11、在△ABC 中已知 a ? x cm, b ? 2 cm, B ? 45? ,如果利用正弦定理解三角形有两解,那 么 x 的取值范围是 ______________ 13、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,求证

a 2 ? b 2 sin ? A ? B ? ? 。 c2 sin C

14、在△ABC 中, c ? 2 2, tan A ? 3, tan B ? 2, 求 a , b 及三角形的面积。

15、已知方程 x ? ?b cos A? x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和,且 A, B 为△ABC 的
2

内角, a , b 分别为 A, B 的对边,判断△ABC 的形状。

16、在△ABC 中, tan A ? (1)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(2)若△ABC 的最大边长为 17 ,求最小边的长。

1.1.2
『典型题剖析』
考察点 1: 利用余弦定理解三角形 例 1:

余弦定理

已知△ABC 中, b ? 3, c ? 3 3, B ? 30?, 求 A,C 和 a 。 【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a ,再由再由正弦 定理求角 A,角 C,也可以先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和角。 解法 1: 由正弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, 得 32 ? a 2 ? 3 3

? ?

2

? 2a ? 3 3 ? cos30? ,

? a2 ? 9a ? 18 ? 0, 解得 a ? 3 或 6.当 a ? 3 时, A ? 30?,? C ? 120?

当 a ? 6 时,由正弦定理得 sin A ? 解法 2:

a sin B ? b

6? 3

1 2 ? 1, ? A ? 90?,? C ? 60?.

由 b < c , B ? 30?, b > c sin 30? ? 3 3 ?

1 3 3 ,知本题有两解。 ? 2 2

1 3 3? c sin B 2? 3, 由正弦定理得 sin C ? ? b 3 2 ? C ? 60? 或 120? , 当 C ? 60? 时, A ? 90? ,由勾股定理得:
a ? b 2 ? c 2 ? 32 ? 3 3

?

?

2

?6

当 C ? 120? 时, A ? 30? ,∴△ABC 为等腰三角形,? a ? 3 。 【解题策略】比较两种解法,从中体会各自的优点,从而探索出适合自己思维的解题规律和 方法。三角形中已知两边和一角,有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量 关系列出方程,利用解方程的方法求出第三边的长,这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直 接运用正弦定理,先求角再求边。 例 2:△ABC 中,已知 a ? 2 6, b ? 6 ? 2 3, c ? 4 3 ,求 A,B,C

考察点 2: 利用余弦定理判断三角形的形状 例 3:

sin B ? sin C ,试判断△ABC 的形 在△ABC 中,已知 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab, 且 2 cos A?
状。 【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状,从问题的已知条出发,

找到三角形边角之间的关系,然后判断三角形的形状。

例 4:已知钝角三角形 ABC 的三边 a ? k , b ? k ? 2, c ? k ? 4, 求 k 的取值范围。 【点拨】由题意知△ABC 为钝角三角形,按三角形中大边对大角的原则,结合 a,b,c 的大小 关系,故必有 C 角最大且为钝角,于是可有余弦定力理求出 k 的取值范围。

?2ab cos C >0,? a ? b < c , 解:? c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C, ?当C为钝角时,
2 2 2

? k 2 ? ? k ? 2 ? < ? k ? 4 ? ,解得-2<k<6.而 k+k+2>k+4,∴k>2.故 2<k<6.故 k 的取
2 2

值范围是 ? 2,6? . 【解题策略】应用三角形三边关系时,应注意大边对大角。 考察点 3:利用余弦定理证明三角形中的等式问题 例 6 在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c。 (1)求证

a 2 ? b2 sin ? A ? B ? ? ; c2 sin C
a ? c cos B sin B ? b ? c cos A sin A

(2)求证

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用 证明: (1)由 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 得; 又∵

a 2 ? b2 c 2 ? 2bc cos A b ? ? 1 ? 2 ? ? cos A 。 2 2 c c c

b sin B ? , c sin C

∴ a 2 ? b2

c

2

? 1? 2 ?

sin B sin C ? 2sin B cos A ? cos A ? sin C sin C

?

sin ? A ? B ? ? 2cos A sin B sin A cos B ? cos A sin B ? sin ? A ? B ? sin C sin C ? . sin C

故原式成立。

a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 a ?c? 2ac 2a (2)左边 ? ? b2 ? c 2 ? a 2 2b2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 b?c? 2bc 2b

a 2 ? c 2 ? b2 b sin B ? 2 2a ? ? ? 右边。 2 2 b ?c ?a a sin A 2b
故原式成立。 考察点 4:正余弦定理的综合应用 例 7:在 ? ABC 中,已知 b ?

?

3 ? 1 a, C ? 30?, 求 A, B.

?

【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。 解:? b ?

?

3 ? 1 a,? c 2 ? b2 ? a 2 ? 2ab cos C
2

?

?? ?

?

3 ? 1 a ? ? a 2 ? 2a 2 ?

?

?

3 ?1 ?
3 ?1 a2

?

3 2

? 4 ? 2 3 a2 ? a2 ? 3
2

? ? ? ?2 ? 3? a .

?

?

∵a>0,c>0,

? c ? 2 ? 3 a,?

c ? 2 ? 3. a c sin C , 由正弦定理得 ? a sin A

1 2? 3 3 ?1 6? 2 2 ? sin A ? ? ? ? ? , 2 4 2 2 2? 3 2? 3 sin C
? A ? 75? 或 105? .
由b ?

?

3 ? 1 a 知 a>b,

?

若 A ? 75?, 则 B ? 180? ? ? A ? C ? ? 75?, a ? b, 与已知矛盾。

? A ? 105?, B ? 180? ? ? A ? C ? ? 45?.
【解题策略】本题边未知,已知一角,所以考虑使用余弦定理得 a,c 的关系,再结合正弦 定理求 sin A. 注意特殊角的三角函数值,如: sin 75? ?

6? 2 6? 2 ,sin15? ? . 4 4

例 8:设 ? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b2 ? c2 ? a2 ? 3bc, (1)求 A 的大小; (2)求 2sin B cos C ?sin ? B ? C ? 的值。


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