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江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练:7 三角恒等变换与解三角形


常考问题 7

三角恒等变换与解三角形
(建议用时:50 分钟)

1.(2013· 济宁二模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1, B=45° ,S△ABC=2,则 b 等于________. 解析 1 1 ∵S=2acsinB=2,∴2×1×c×sin 45° =2.

∴c=4 2. ∴b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4 2×cos 45° . ∴b2=25,b=5. 答案 5

2.(2013· 北京东城区期末)在△ABC 中,A,B,C 为内角,且 sin Acos A=sin Bcos B,则△ABC 是________三角形. 解析 由 sin Acos A=sin Bcos B 得 sin 2A=sin 2B=sin(π-2B),所以 2A=2B

π 或 2A=π-2B,即 A=B 或 A+B=2,所以△ABC 为等腰或直角三角形. 答案 等腰或直角

10 3.(2013· 浙江卷改编)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α 等于________. 解析 10 ∵sin α+2cos α= 2 ,

5 ∴sin2α+4sin α· cos α+4cos2α=2. 化简,得 4sin 2α=-3cos 2α, sin 2α 3 ∴tan 2α=cos 2α=-4. 答案 3 -4

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B, 则 cos C 等于________. 解析 先用正弦定理求出角 B 的余弦值,再求解.

1

b c 由sin B=sin C,且 8b=5c,C=2B, 4 所以 5csin 2B=8csin B,所以 cos B=5. 7 所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=25. 答案 7 25

4 5 5.已知 tan β=3,sin(α+β)=13,其中 α,β∈(0,π),则 sin α 的值为________. 解析 4 3 5 依题意得 sin β=5,cos β=5;注意到 sin(α+β)=13<sin β,因此有 α

π π π +β>2(否则, 若 α+β≤2, 则有 0<β<α+β≤2, 0<sin β<sin(α+β), 这与“sin(α 12 +β)<sin β”矛盾),则 cos(α+β)=-13,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)· cos 63 β-cos(α+β)sin β=65. 答案 63 65

6.(2013· 衡水调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 a2-c2=2b,且 sin Acos C=3cos Asin A,求 b=______. 解析 在△ABC 中,sin Acos C=3cos Asin C,则由正弦定理及余弦定理有

a2+b2-c2 b2+c2-a2 a· 2ab =3· 2bc · c,化简并整理得 2(a2-c2)=b2.又由已知 a2-c2= 2b,则 4b=b2,解得 b=4 或 b=0(舍). 答案 4 1 ?α ? ?2-β?=- , 2 则 cos (α+β)=________. ? ?

π? β? 3 ? ? 7. 若 α, β∈?0,2?, cos ?α-2?= 2 , sin ? ? ? ? 解析

π? β? π β π π α π 3 ? ? ∵α,β∈?0,2?,∴-4<α-2<2,-2<2-β<4,由 cos ?α-2?= 2 和 ? ? ? ?

1 β π α π β π α π ?α ? sin ?2-β?=-2得 α-2=± , - β =- ,当 α - =- , - β =- 6 2 6 2 6 2 6时,α ? ? π? β π α π π ? +β=0,与 α,β∈?0,2?矛盾;当 α-2=6,2-β=-6时,α=β=3,此时 ? ?

2

1 cos (α+β)=-2. 答案 1 -2

8.(2013· 苏北四市模拟)在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高线,AD=BC,角 A,B, b c C 的对边为 a,b,c,则c+b的取值范围是________. 解析 1 1 因为 AD=BC=a,由2a2=2bcsin A,

b2+c2-a2 1 ?b c a2 ? 1 a2 解 得 sin A = ,再由 余弦定 理得 cos A = = ? c+b-bc? = bc 2bc 2? ? 2 ?b c ? ? c+b-sin A?, ? ? b c 得c+b=2cos A+sin A,又 A∈(0,π), b c 所以由基本不等式和辅助角公式得 c+b的取值范围是[2, 5]. 答案 [2, 5]

9.(2010· 江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高 度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组 α,β 的值,算出了 tan α= 1.24,tan β=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单 位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α-β 最大? 解 (1)由 AB= H h H ,BD= ,AD= 及 AB+ tan α tan β tan β

H h H BD=AD,得tan α+tan β=tan β, 解得 H= 4×1.24 htan α = =124. tan α-tan β 1.24-1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. H (2)由题设知 d=AB,得 tan α= d .
3

H-h tan α-tan β H h 由 AB=AD-BD=tan β-tan β, 得 tan β= d , 所以 tan(α-β)= 1+tan α tan β = H?H-h? h h ≤ ,当且仅当 d = ,即 d = H?H-h? = d ?H-h? 2 H?H-h? d+H d

125×?125-4?=55 5时,上式取等号,所以当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α<2,则 0<α-β<2,所以当 d=55 5时,α-β 最大. 故所求的 d 是 55 5m. → → → → 10.(2012· 江苏卷)在△ABC 中,已知AB· AC=3BA· BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= (1)证明 5 ,求 A 的值. 5

→· → =3BA →· → ,所以 AB· 因为AB AC BC AC· cos A=3BA· BC· cos B,

AC BC 即 AC· cos A=3BC· cos B,由正弦定理知sin B=sin A, 从而 sin Bcos A=3sin Acos B, 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A. (2)解 5 2 5 因为 cos C= 5 ,0<C<π,所以 sin C= 1-cos2C= 5 ,

从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, 亦即 tan A+tan B 4tan A 1 =-2,由(1)得 2 =-2,解得 tan A=1 或- , 3 1-tan Atan B 1-3tan A

π 因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A=4. 11.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理,得

sin A=sin Bcos C+sin Csin B,①

4

又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B=4. 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. π 由已知及余弦定理,得 4=a2+c2-2accos 4. 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ 4 , 2- 2

当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

5


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