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江苏省苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2011届高三第一次调研考试数学试


届高三第一次调研考试 连云港市 2011 届高三第一次调研考试 数学试 数学试题
一.填空题 1.若复数 z1 = 1 ? i , z2 = 2 + 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 z1 z2 的虚部是 ▲ . .

2.已知集合 A = (?∞, 0] , B = {1,3, a} ,若 A I B ≠ ? ,则实数 a 的取值范围是 ▲

2 + m 为奇函数,则实数 m = ▲ . 2 +1 4.若抛物线的焦点坐标为 (2,0) ,则抛物线的标准方程
3.若函数 f ( x) =
x

开始
S ← 0, n ← 1







5.从某项综合能力测试中抽取 10 人的成绩,统计如

下表,则这 10 人成绩的方差为



.

n ≤12
Y

N

分 5 数 人 3 数
6.如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S = ▲

4

3

2

1

S ←S+n n←n+2

输出 S 结束

1

1

3

2 (第 6 题图) .

7.已知直线 l1 : ax + 3 y + 1 = 0 , l2 : 2 x + (a + 1) y + 1 = 0 ,若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是 ▲ . 8.一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有 1,2,3,4

这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是
π 3 π 9.已知 cos(θ ? ) = , θ ∈ ( , π) ,则 cos θ = 4 5 2



.





y

10.已知函数 y = f ( x) 及其导函数 y = f ′( x) 的图象如图所示,

y = f ( x) y = f ′( x)

则曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线方程是 ▲ . uuur uuur uuuu r uuu uuur r uuuu r 11.在△ABC 中, M 满足 MA + MB + MC = 0 , AB + AC + m AM = 0 , 点 若 则实数 m 的值为 ▲ .

1 O
P (2, 0)

x

12.设 m,n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,给出下

(第 10 题图)

列命题: ①若 m ? β , α ⊥ β ,则 m ⊥ α ; ②若 m// α , m ⊥ β ,则 α ⊥ β ; ③若 α ⊥ β , α ⊥ γ ,则 β ⊥ γ ; ④若 α I γ = m , β I γ = n , m//n ,则 α // β . 上面命题中,真命题的序号是 ... ▲ (写出所有真命题的序号) .
数学试题 第 1 页(共 6 页)
.w.w. k.s

13.若关于 x 的不等式 (2 x ? 1) 2 ≤ ax 2 的解集中的整数恰有 2 个,则实数 a 的取值范围 是





14.已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 = 1 , a2 = 2 , b1 = 2 ,且对任意的正整数 i , j , k , l ,当 i + j = k + l 时,都有
ai + b j = ak + bl ,则
1 2010 ∑ (ai + bi ) 的值是 2010 i =1





小题, 请在答题卡指定位置内作答,解答时应写出文字说明、 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定位置内作答,解答时应写出文字说明、证明 解答题: ....... 过程或演算步骤. 过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在△ABC 中,已知 AB = 3 , AC = 6 , BC = 7 , AD 是 ∠BAC 平分线. (1)求证: DC = 2 BD ; uuu uuur r (2)求 AB ? DC 的值.
A

B
16.(本小题满分 14 分)

D

C

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PB = PD ,且 E,F 分别是 BC, CD 的中点. 求 P 证: (1)EF∥平面 PBD ; (2)平面 PEF ⊥平面 PAC .
A F B E C

(第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分)

在各项均为正数的等比数列 {an } 中,已知 a2 = 2a1 + 3 ,且 3a2 , a4 , 5a3 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn = log 3 an ,求数列 {an bn } 的前 n 项和 Sn .

18.(本小题满分 16 分)

已知椭圆 E:

x2 y2 + = 1 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经过坐标原点 8 4

O,设 G 是圆 C 上任意一点.

(1)求圆 C 的方程; (2)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在定点 P,使得
GF 1 = ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由. GP 2

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19.(本小题满分 16 分) 如图 1,OA,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥 和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA,OB 平行的栈桥 MG,MK,且以 MG,MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK.建立如图 2 所示的直角坐标系,测得 CD 的方 (题中所涉及长 程是 x + 2 y = 20(0 ≤ x ≤ 20) ,曲线 EF 的方程是 xy = 200( x > 0) ,设点 M 的坐标为 ( s, t ) . 度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度) (1)求三角形观光平台 MGK 面积的最小值; (2)若要使 ?MGK 的面积不小于 320 平方米,求 t 的范围.

图1

图2

20.(本小题满分 16 分)

已知函数 f ( x) = e x + ax ? 1 ( a ∈ R ,且 a 为常数). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a < 0 时,若方程 f ( x) = 0 只有一解,求 a 的值; (3)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ f ( ? x) ,求 a 的取值范围.

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届高三第一次调研 第一次调研试 连云港市 2011 届高三第一次调研试卷
数学Ⅰ 数学Ⅰ答案
一填空题: 1. 2, 2. a ≤ 0 ,
10. x ? y ? 2 = 0 ,
3. ?1 , 4. y 2 = 8 x ,

5. 12 ,
5

6. 36,

7. ?3 ,
14. 2012.

8.

3 , 4

9. ?

2 , 10

11. ?3 ,

12. ②,

13. [ 9 , 25 ) ,
4 9

二、解答题
15.(1)在 ?ABD 中,由正弦定理得 AB BD = ①, sin ∠ADB sin ∠BAD

在 ?ACD 中,由正弦定理得

AC DC = ②, sin ∠ADC sin ∠CAD

………………………2 分

又 AD 平分 ∠BAC , 所以 ∠BAD = ∠CAD , sin ∠BAD = sin ∠CAD , sin ∠ADB = sin(π ? ∠ADC ) = sin ∠ADC , 由①②得
BD AB 3 = = ,所以 DC = 2 BD .………………………………………………6 分 DC AC 6

(2)因为 DC = 2 BD ,所以 DC =

2 BC . 3

AB 2 + BC 2 ? AC 2 32 + 7 2 ? 6 2 11 在△ ABC 中,因为 cos B = = = , …………10 分 2 AB ? BC 2 × 3× 7 21 uuu uuur uuu 2 uuu r r r 2 uuu uuu r r 所以 AB ? DC = AB ? ( BC ) = | AB | ? | BC | cos(π ? B ) 3 3 2 11 22 = × 3 × 7 × (? ) = ? .………………………………………………………14 分 3 21 3
16. 1)因为 E,F 分别是 BC,CD 的中点, . ( 所以 EF∥BD,……………………………2 分 因为 EF ? 平面 PBD,BD ? 平面 PBD, 所以 EF∥平面 PBD.………………………6 分 (2)设 BD 交 AC 于点 O,连结 PO, 因为 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC,O 是 BD 中点, 又 PB = PD ,所以 BD⊥PO, 又 EF∥BD,所以 EF⊥AC,EF⊥PO. ………………………10 分 又 AC I PO = O , AC ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC, 所以 EF⊥平面 PAC.……………………………………………………………………12 分 因为 EF ? 平面 PEF,所以平面 PEF⊥平面 PAC.………………………………………14 分 17. 1)设 {an } 公比为 q,由题意得 q > 0 , . ( B A O E (第 16 题图) C F D P

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且?

? a2 = 2a1 + 3, ? a1 (q ? 2) = 3, 即? 2 ?3a2 + 5a3 = 2a4 , ?2q ? 5q ? 3 = 0,

……………………………………………2 分

6 ? ?a1 = ? 5 , ?a1 = 3, ? 解之得 ? 或? (舍去) ,…………………………………………………4 分 ? q = 3, ? q = ? 1 ? ? 2
所以数列 {an } 的通项公式为 an = 3 ? 3
n ?1

= 3n , n ∈ N? .…………………………………6 分
n

(2)由(1)可得 bn = log 3 an = n ,所以 an bn = n ? 3 .…………………………………8 分 所以 S n = 1 ? 3 + 2 ? 3 + 3 ? 3 + L + n ? 3 ,
2 3

n

所以 3S n = 1 ? 3 + 2 ? 3 + 3 ? 3 + L + n ? 3
2 3 4 2 3

n +1 n


n +1

两式相减得, 2 S n = ?3 ? (3 + 3 + L + 3 ) + n ? 3

…………………………………10 分

= ?(3 + 32 + 33 + L + 3n ) + n ? 3n +1 =?

3(1 ? 3n ) 3 + (2n ? 1) ? 3n +1 + n ? 3n +1 = , 1? 3 2 3 + (2n ? 1) ? 3n +1 . ………………………………14 分 4

所以数列 {anbn } 的前 n 项和为 S n =

18. . (1)由椭圆 E:

x2 y 2 + = 1 ,得 l : x = ?4 , C (?4, 0) , F (?2, 0) , 8 4

又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 ( x + 4) 2 + y 2 = 16 .………………………………4 分 (2)由题意,得 G ( ?3, yG ) ,代入 ( x + 4) 2 + y 2 = 16 ,得 yG = ± 15 , 所以 FG 的斜率为 k = ± 15 , FG 的方程为 y = ± 15( x + 2) , (注意:若点 G 或 FG 方程只写一种情况扣 1 分) 所以 C ( ?4, 0) 到 FG 的距离为 d = …………………8 分

15 ,直线 FG 被圆 C 截得弦长为 2 16 ? ( 15 ) 2 = 7 . 2 2

故直线 FG 被圆 C 截得弦长为 7.…………………………………………………………10 分 (3)设 P ( s, t ) , G ( x0 , y0 ) ,则由
2 2 2 ( x0 + 2) 2 + y0 GF 1 1 = ,得 = , 2 2 GP 2 2 ( x0 ? s ) + ( y0 ? t ) 2 2

整理得 3( x0 + y0 ) + (16 + 2 s ) x0 + 2ty0 + 16 ? s ? t = 0 ①,…………………………12 分 又 G ( x0 , y0 ) 在圆 C: ( x + 4) 2 + y 2 = 16 上,所以 x0 + y0 + 8 x0 = 0 ②,
2 2

②代入①得 (2 s ? 8) x0 + 2ty0 + 16 ? s ? t = 0 ,
2 2

…………………………14 分

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? 2s ? 8 = 0, ? 又由 G ( x0 , y0 ) 为圆 C 上任意一点可知, ? 2t = 0, 解得 s = 4, t = 0 . 2 2 ? ?16 ? s ? t = 0,
所以在平面上存在一点 P,其坐标为 (4, 0) . 19. . (1)由题意,得 K ( s, …………………………16 分

200 200 ), G ( , t ) , ( s > 0, t > 0) , s t

又因为 M ( s, t ) 在线段 CD: x + 2 y = 20(0 ≤ x ≤ 20) 上, 所以 s + 2t = 20(0 < s < 20) ,

S ?MGK =

1 1 200 200 1 40000 ? MG ? MK = ( ? s )( ? t ) = ( st + ? 400) ……………4 分 2 2 t s 2 st

由 20 = s + 2t ≥ 2 2 st ,得 0 < st ≤ 50 ,当且仅当 s = 10 , t = 5 时等号成立. ……………………………………6 分 令 st = u ,则 f (u ) = S ?MGK = 又 f (u ) =
'

1 40000 (u + ? 400) , u ∈ (0, 50] . 2 u

1 40000 (1 ? ) < 0 ,故 f (u ) 在 (0, 50] 上单调递减, 2 u2

(注意:若 f (u ) 在 (0, 50] 上单调递减未证明扣 1 分) 所以 f (u ) min = f (50) = 225 ,此时 s = 10 , t = 5 . 所以三角形 MGK 面积的最小值为 225 平方米. ……………………………………10 分 (2)由题意得 f (u ) ≥ 320 , 当

1 40000 (u + ? 400) = 320 ,解得 u = 40 或 u = 1000 (舍去) , 2 u 由(1)知 st ≤ 40 , ……………………………………14 分
所以 t 的范围是 [5 ? 5, 5 + 5] .………………………………………………………16 分 20. . (1) f ′( x ) = e x + a ,………………………………………………………………1 分 当 a ≥ 0 时, f ′( x ) > 0 , f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上是单调增函数.…………………3 分 当 a < 0 时, 由 f ′( x ) > 0 ,得 x > ln( ? a ) , f ( x ) 在 (ln( ? a ), +∞ ) 上是单调增函数; 由 f ′( x ) < 0 ,得 x < ln( ? a ) , f ( x ) 在 ( ?∞, ln( ? a )) 上是单调减函数. 综上, a ≥ 0 时, f ( x ) 的单调增区间是 ( ?∞, +∞ ) .

即 (20 ? 2t )t ≤ 40 ,解之得 5 ? 5 ≤ t ≤ 5 + 5 .

a < 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (ln(? a ), +∞) ,单调减区间是 (?∞, ln(? a )) .…6 分
(2)由(1)知,当 a < 0 , x = ln( ? a ) 时, f ( x ) 最小,即 f ( x ) min = f (ln( ? a )) , 由方程 f ( x ) = 0 只有一解,得 f (ln( ? a )) = 0 ,又考虑到 f (0) = 0 ,
数学试题 第 6 页(共 6 页)

所以 ln( ? a ) = 0 ,解得 a = ?1 .…………………………………………………10 分 (3)当 x≥ 0 时, f ( x) ≥ f ( ? x) 恒成立, 即得 e + ax ≥ e
x ?x

? ax 恒成立,即得 e x ? e? x + 2ax ≥ 0 恒成立,

令 h( x) = e ? e
x x

?x ?x

+ 2ax ( x≥ 0 ) ,即当 x≥ 0 时, h( x) ≥ 0 恒成立. + 2a ,且 h′( x) ≥ 2 e x ? e ? x + 2a = 2 + 2a ,当 x = 0 时等号成立.

又 h′( x) = e + e

………………………………………………………………………………………12 分 ①当 a > ?1 时, h′( x) > 0 , 所以 h( x) 在 [0, +∞ ) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) = 0 恒成立. ②当 a = ?1 时,若 x = 0 , h′( x) = 0 , 若 x > 0 , h′( x) > 0 , 所以 h( x) 在 [0, +∞ ) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) = 0 恒成立.…………………14 分 ③当 a < ?1 时,方程 h′( x) = 0 的正根为 x1 = ln( ? a + a ? 1) ,
2

此时,若 x ∈ (0,x1 ) ,则 h′( x ) < 0 ,故 h( x ) 在该区间为减函数. 所以, x ∈ (0,x1 ) 时, h( x ) < h(0) = 0 ,与 x≥ 0 时, h( x ) ≥ 0 恒成立矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 [ ?1, +∞) .……………………………………16 分

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2011 届高三第一次调研考试数学命题意图与讲评建议 届高三第一次调研考试数学命题意图与讲评建议 数学命题意图与
各位老师: 各位老师: 此次数学命题是全部高中学数学学习内容,在学校做教师时,我也不赞同全部考查,认为未复习考什 此次数学命题是全部高中学数学学习内容,在学校做教师时,我也不赞同全部考查,认为未复习考什 么,考查当学意义比较在,但近几年的认识有所转变。未复习考查的是最基本的基础知识、基本方法、基 考查当学意义比较在,但近几年的认识有所转变。未复习考查的是最基本的基础知识、基本方法、 意义比较在 本思想、基本经验,是学生在头脑中留下最本源东西。大家知道, 本思想、基本经验,是学生在头脑中留下最本源东西。大家知道,高考必定有些内容是高三复习不到的内 所以我个人已接受此时考试的价值。 一是高二刚学习过的内容, 容, 所以我个人已接受此时考试的价值。 接受此时考试的价值 对于附加题主要是出于两个方面考虑, 对于附加题主要是出于两个方面考虑, 一是高二刚学习过的内容, 学生忘的不多,且高二时又没有统考,另一方面是附加题部分很多学校都在平时顺带复习的, 学生忘的不多,且高二时又没有统考,另一方面是附加题部分很多学校都在平时顺带复习的,既然是考试 总有学生看一看, 后老师讲一讲,所以附加题考虑再三还是坚持考查。但由于学生并未复习多少内容, 总有学生看一看,考后老师讲一讲,所以附加题考虑再三还是坚持考查。但由于学生并未复习多少内容, 理科主要是复习函数、导数、三角函数,三角函数复习也不多,所以命题内容侧重一点函数内容, 理科主要是复习函数、导数、三角函数,三角函数复习也不多,所以命题内容侧重一点函数内容,相对公 平,如最后两题都是函数与导数内容,填空题中也考查了三道函数题,第一题考了解三角形。其它内容重 如最后两题都是函数与导数内容,填空题中也考查了三道函数题,第一题考了解三角形。其它内容重 在基础知识、基本方法、基本思想的考查,没有涉及到解题技巧,注重考查数学的本质, 在基础知识、基本方法、基本思想的考查,没有涉及到解题技巧,注重考查数学的本质,同时对数学运算 考查数学的本质 量也作了控制,从命之初到打磨成题,对运算量一降再降,但从高考角度,运算总是回避不了的, 量也作了控制,从命之初到打磨成题,对运算量一降再降,但从高考角度,运算总是回避不了的,所以运 算能力也许依法是学生首先要解决的问题,没有运算能力数学考试无从谈起。 些试题现在的成题, 算能力也许依法是学生首先要解决的问题,没有运算能力数学考试无从谈起。有些试题现在的成题,与当 初命思想已有很大差别,现从命题的设想及试题演变角度思考,给出试题讲评建议(仅是个人考虑) ,供 初命思想已有很大差别,现从命题的设想及试题演变角度思考,给出试题讲评建议(仅是个人考虑) 供 , 大家讲评时参考,不当之处,请批评。 大家讲评时参考,不当之处,请批评。 1.若复数 z1 = 1 ? i , z2 = 2 + 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 z1 z2 的虚部是 ▲ .

的虚部形成过程,抓住解决问题的本质思维, 讲评建议:求解过程,体现复数 讲评建议:求解过程,体现复数 z1 z2 的虚部形成过程,抓住解决问题的本质思维,因此并不需要全部 乘开,引导学生做题,小题也要体现思维的简捷性,当然,两复数相除,积模,模积,其模大小,几何意 引导学生做题,小题也要体现思维的简捷性,当然,两复数相除,积模,模积,其模大小, 义,若能涉及也要涉及,扩大试题的功能,到复习复数时可以节省时间,复习本身就是一个整合的过程, 若能涉及也要涉及,扩大试题的功能,到复习复数时可以节省时间,复习本身就是一个整合的过程, 是一个联系过程,需将每一个知识点放在整个高中数学体系中思考,思考其可能出现情况。 是一个联系过程,需将每一个知识点放在整个高中数学体系中思考,思考其可能出现情况。
2.已知集合 A = (?∞, 0] , B = {1,3, a} ,若 A I B ≠ ? ,则实数 a 的取值范围是 ▲

.

讲评建议: 的范围,但又怕学生不注意“自然数”出错, 讲评建议:此题当初是求自然数 a 的范围,但又怕学生不注意“自然数”出错,背离考查集合交集概 念的初衷, 的取值范围。一种集合是区间形式,一种是集合形式,一种是连续, 念的初衷,所以改成求实数 a 的取值范围。一种集合是区间形式,一种是集合形式,一种是连续,一种是 有限三个数,放在一起有的学生可能不习惯。 有限三个数,放在一起有的学生可能不习惯。 变式思考, 求其范围,又增加难度,但更有意思。 变式思考,改成 A ∩ B = φ ,求其范围,又增加难度,但更有意思。
3.若函数 f ( x) =

2 + m 为奇函数,则实数 m = 2 +1
x

▲ .

讲评建议: 是奇函数, 有意义, 很多同学都知道, 讲评建议:函数 f (x ) 是奇函数,且在 x = 0 有意义,即有 f (0) = 0 ,很多同学都知道,讲评中要反 一定要有意义, 复强调函数 f (x ) 在 x = 0 一定要有意义, 且要讲解 f ( x ) = “

1 +m, 为奇函数, 若函数 f (x ) 为奇函数, m = ” 求 , 2 ?1
?x

同时考虑讲解“” 此题对我们教学冲击很大,也说明教学研究是无此境的,教师教学要加强研究, 。 同时考虑讲解“” 此题对我们教学冲击很大,也说明教学研究是无此境的,教师教学要加强研究,不能 停留在原有思维层次上 要研究方法不可用情况, 有思维层次上, 要研究方法不可用情况, 特殊情况, 越是定势思维, 越要注意进行全面研究。 停留在原有思维层次上, 特殊情况, 越是定势思维, 越要注意进行全面研究。 2009
数学试题 第 8 页(共 6 页)

出问题的,大家不妨查一下,对照讲解。 年南通考了一题用 f (0) = 0 出问题的,大家不妨查一下,对照讲解。 4.若抛物线的焦点坐标为 (2,0) ,则抛物线的标准方程 是 ▲ .
5.从某项综合能力测试中抽取 10 人的成绩,统计如

开始
S ← 0, n ← 1

下表,则这 10 人成绩的方差为



.

n ≤12
Y

N

分 5 数 人 3 数 1 1 3 2 4 3 2 1

S ←S+n n←n+2

输出 S 结束

(第 6 题图)

6.如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S = ▲

.

7.已知直线 l1 : ax + 3 y + 1 = 0 , l2 : 2 x + (a + 1) y + 1 = 0 ,若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是 ▲ .

讲评建议: 讲评建议:教材课后有

A1 B1 结论,对应成比例,先求后证,这与向量的平行垂直是一致的, = 结论,对应成比例,先求后证,这与向量的平行垂直是一致的,联 A2 B2

系讲解,让学生构成统一系统,易于应用时调取,容于易混时比较。 系讲解,让学生构成统一系统,易于应用时调取,容于易混时比较。
8.一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有 1,2,3,4

这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是
π 3 π 9.已知 cos(θ ? ) = , θ ∈ ( , π) ,则 cos θ = 4 5 2



.





讲评建议:此题重在变角公式的应用,当然很简单,这也是学生必须学会的解题技巧, 讲评建议:此题重在变角公式的应用,当然很简单,这也是学生必须学会的解题技巧,三角函数变 换要求在新课标中已有很大的降低,但这样的要注还是需的,若对已知展开用方程思想求解, 换要求在新课标中已有很大的降低,但这样的要注还是需的,若对已知展开用方程思想求解,也应是好 方法,也要给予鼓励,从方程角度思考,问题就是解个方程,在差的学生也能会,也许这就是通法。 方法,也要给予鼓励,从方程角度思考,问题就是解个方程,在差的学生也能会,也许这就是通法。考 试时学生可能首先想到的就是“ 方法,巧方法在那样紧张的环境下很难想出来。 试时学生可能首先想到的就是“笨”方法,巧方法在那样紧张的环境下很难想出来。
10.已知函数 y = f ( x ) 及其导函数 y = f ′( x) 的图象如图所示,

则曲线 y = f ( x ) 在点 P 处的切线方程是





y

讲评建议:此题也体现着解决问题的本质思想, 讲评建议:此题也体现着解决问题的本质思想,求一个函数在某点处 的切线方程的关键是什么,当然是某点的坐标及此点的导数值, 的切线方程的关键是什么,当然是某点的坐标及此点的导数值,有了 这样的分析此题就太简单了,也许这就是高考想要的思相方法。 这样的分析此题就太简单了,也许这就是高考想要的思相方法。此题 可能出现的问题是由于导函数是一次函数,原函数是二次函数, 可能出现的问题是由于导函数是一次函数,原函数是二次函数,学生 1 O

y = f ( x) y = f ′( x)

P (2, 0)

x

会求两个函数,再求切线方程,既走了回路。 题也正是这种用意。 会求两个函数,再求切线方程,既走了回路。放在第 10 题也正是这种用意。 (第 10 题图) uuur uuur uuuu r uuu uuur r uuuu r 11.在△ABC 中,点 M 满足 MA + MB + MC = 0 ,若 AB + AC + m AM = 0 ,则实数 m 的值为 ▲ . 讲评建议:一种思维是对已知向量向目标向量分解,一种思维是理解已知向量条件的几何意义, 讲评建议:一种思维是对已知向量向目标向量分解,一种思维是理解已知向量条件的几何意义,既点 M 的重心,再结合,三角形向量的中线形式,此问题观察即可解决,所以掌握相关结论, 是三角形 ABC 的重心,再结合,三角形向量的中线形式,此问题观察即可解决,所以掌握相关结论,
数学试题 第 9 页(共 6 页)

有了结论便利于联想。 有了结论便利于联想。 12.设 m,n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 m ? β , α ⊥ β ,则 m ⊥ α ; ②若 m// α , m ⊥ β ,则 α ⊥ β ; ③若 α ⊥ β , α ⊥ γ ,则 β ⊥ γ ; ④若 α I γ = m , β I γ = n , m//n ,则 α // β . 上面命题中,真命题的序号是 ... ▲ (写出所有真命题的序号) .
.w.w. k.s

13.若关于 x 的不等式 (2 x ? 1) 2 ≤ ax 2 的解集中的整数恰有 2 个,则实数 a 的取值范围 是 讲评建议:解决此题最好的方法是观察 故对条件两边开方, 讲评建议:解决此题最好的方法是观察 a > 0 ,故对条件两边开方,化为 | 2 x ? 1 |≤





a | x | ,再转化为函

数数形结合解决,当然其它的方法也还是有的,教学中有必要展示学生解法,以体现学生的创造性。 数数形结合解决,当然其它的方法也还是有的,教学中有必要展示学生解法,以体现学生的创造性。绝 对值函数教学中要引起重视,绝对值函数即是分段函数。从二次函数角度也可以解决, 对值函数教学中要引起重视,绝对值函数即是分段函数。从二次函数角度也可以解决,主要是让学生了 解决抛物线开口大小的是二次项系数绝对值的大小。若硬解二次不等式,会者也可解之, 解决抛物线开口大小的是二次项系数绝对值的大小。若硬解二次不等式,会者也可解之,或直接解一次 不等式,等等。 不等式,等等。
14.已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 = 1 , a2 = 2 , b1 = 2 ,且对任意的正整数 i , j , k , l ,当 i + j = k + l 时,都有
ai + b j = ak + bl ,则
1 2010 ∑ (ai + bi ) 的值是 2010 i =1





讲评建议:遇到这样一个新问题,学生首先应是先去归纳,找规律,这就是一种数学意识, 讲评建议:遇到这样一个新问题,学生首先应是先去归纳,找规律,这就是一种数学意识,解题意 识,教学中要注意培养,如什么时候类比,什么时候归纳。 教学中要注意培养,如什么时候类比,什么时候归纳。 小题, 请在答题卡指定位置内作答,解答时应写出文字说明、 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定位置内作答,解答时应写出文字说明、证明 解答题: ....... 过程或演算步骤. 过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在△ABC 中,已知 AB = 3 , AC = 6 , BC = 7 , AD 是 ∠BAC 平分线. (1)求证: DC = 2 BD ; uuu uuur r (2)求 AB ? DC 的值.
A

B

D

C

讲评建议:此题第一问题是关于角平分线性质定理内容,但又是正弦定理的下接应用, 讲评建议:此题第一问题是关于角平分线性质定理内容,但又是正弦定理的下接应用,考查时主要考虑到 学生只有及少数知道角平分线,但教材没有给出角平分线定理,而且用平面几何知识证明,也不容易, 学生只有及少数知道角平分线,但教材没有给出角平分线定理,而且用平面几何知识证明,也不容易,题 目中也没提及角平分线,主要是让大家重视教材中的例习题, (2) 目中也没提及角平分线,主要是让大家重视教材中的例习题, )要注重两向量的夹角问题,这常是学生 ( 要注重两向量的夹角问题, 易犯的错误,借此引起学生的重视。 的值, 易犯的错误,借此引起学生的重视。当初命制此题是已知 ∠BAD = α , ∠DAC = 2α ,且知 tan α 的值, 第一求
uuu uuur r uuu uuur r AB 除直接用余弦定理求夹角, ,第二求 cos ∠BAC ,第三求 AB ? DC ,这样再求 AB ? DC 时,除直接用余弦定理求夹角,还 AC

可以考虑用向量分解方法求解,而且运算比较简单,但第二问运算量又太大了,为了让学生尽可能得分, 可以考虑用向量分解方法求解,而且运算比较简单,但第二问运算量又太大了,为了让学生尽可能得分, 所以改成考试试题形式。因此此题求解给教师的教学留出了较大空间,希望各位教师尽时挖掘。 所以改成考试试题形式。因此此题求解给教师的教学留出了较大空间,希望各位教师尽时挖掘。 (刚才学生考试,我恰好看了一下,当初怕学生第一题做不好,果然很多学生不会,教师反映,复习只用 刚才学生考试,我恰好看了一下,当初怕学生第一题做不好,果然很多学生不会,教师反映, 学生考试 了一下
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教辅,不用课本,书上的题不讲,教学必将走入误区,借此因起教师的高度重视, 教辅,不用课本,书上的题不讲,教学必将走入误区,借此因起教师的高度重视,教学复习要教给学生什 ) 么,而不仅仅是做题。 而不仅仅是做题。 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PB = PD ,且 E,F 分别是 BC, CD 的中点. 求 P 证: (1)EF∥平面 PBD ; (2)平面 PEF ⊥平面 PAC .
A F B E C D F D G E C

(第 16 题图) P 讲评建议:此题当初是如图情景,最后主要是考虑辅助线太多, 讲评建议:此题当初是如图情景,最后主要是考虑辅助线太多, 而且两问题之间辅助线滑有联系,同时考虑第二问题难度较大, 而且两问题之间辅助线滑有联系,同时考虑第二问题难度较大, 所以改成现在形式,希望各位教师讲评时还原本题的原来面目, 所以改成现在形式,希望各位教师讲评时还原本题的原来面目, A 同时对第二问题要给予高度重视,主要平面几何的转化思想, 同时对第二问题要给予高度重视,主要平面几何的转化思想, 但对高一的求高复习中也要重视,高是教材中要求的。 但对高一的求高复习中也要重视,高是教材中要求的。 B

(第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分) 在各项均为正数的等比数列 {an } 中,已知 a2 = 2a1 + 3 ,且 3a2 , a4 , 5a3 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn = log 3 an ,求数列 {an bn } 的前 n 项和 Sn . 此题当初是:是考查学生最基础知识。当初是改变数字, 项的和。但考虑到分类讨论, 此题当初是:是考查学生最基础知识。当初是改变数字,求 | bn | 的前 n 项的和。但考虑到分类讨论,可能 比现在还繁,故改为现在情况,重点考查,等差数列、等比数列的基础知识。 比现在还繁,故改为现在情况,重点考查,等差数列、等比数列的基础知识。
18.(本小题满分 16 分) x2 y2 已知椭圆 E: + = 1 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经过坐标原点 8 4 O,设 G 是圆 C 上任意一点.

(1)求圆 C 的方程; (2)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在定点 P,使得
GF 1 = ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由. GP 2

讲评建议: 年江苏高考题命制, 考查两解情况, 讲评建议:对于第二问题当初是仿照 2004 年江苏高考题命制,用 | DG |= 2 | GT | ,考查两解情况,后改 但综合全题还是有一线教师认为运算量较大 后改为现在情况,改成中点后, 算量较大, 为 DG = 2GT ,但综合全题还是有一线教师认为运算量较大,后改为现在情况,改成中点后,命题思想 完全发生了变化,改成中点,学生用中点坐标公式,是代数方法,而原来思维是方程思想, 完全发生了变化,改成中点,学生用中点坐标公式,是代数方法,而原来思维是方程思想,这一点引起各 位注意,对于第三问,也是教材的习题,逆向思维,同时是对两个参量求最值,学生一般接触较少, 位注意,对于第三问,也是教材的习题,逆向思维,同时是对两个参量求最值,学生一般接触较少,当然
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此题也可转化成一个参数, 平方法,两次用圆方程消元,达到目的,建议教师讲解。同时注意到, 此题也可转化成一个参数,即对 y 平方法,两次用圆方程消元,达到目的,建议教师讲解。同时注意到, 此圆是以椭圆的左准线的与 x 轴的交点为圆心,两个定点恰是椭圆的左右焦点,三问题之间非常和谐,融 轴的交点为圆心,两个定点恰是椭圆的左右焦点,三问题之间非常和谐, 为一体。 为一体。 19.(本小题满分 16 分) 如图 1,OA,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥 和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA,OB 平行的栈桥 MG,MK,且以 MG,MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK.建立如图 2 所示的直角坐标系,测得 CD 的方 (题中所涉及长 程是 x + 2 y = 20(0 ≤ x ≤ 20) ,曲线 EF 的方程是 xy = 200( x > 0) ,设点 M 的坐标为 ( s, t ) . 度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度) (1)求三角形观光平台 MGK 面积的最小值; (2)若要使 ?MGK 的面积不小于 320 平方米,求 t 的范围.

图1

图2

讲评建议:此题当初( ) 的最小值, 讲评建议:此题当初(1)是求 TG + SK 的最小值, 但两问题过于孤单,且不好设问题,另外量太大了, 但两问题过于孤单,且不好设问题,另外量太大了, 两个模型。后只保留现在的( ) 但作为倒数第二题, ,但作为倒数第二题 两个模型。后只保留现在的(1) 但作为倒数第二题, , 份量又轻了,最后设计成现在的形式。 份量又轻了,最后设计成现在的形式。 对于( )可以解两次不等式,也可以利用( )中的单调性, 对于(2)可以解两次不等式,也可以利用(1)中的单调性, 解一次方程,解一次不等式,建议大家解一次方程,解一次不等式, 解一次方程,解一次不等式,建议大家解一次方程,解一次不等式, T 因为(1)中提供条件、得出的结论要考虑(2)是否需要。 因为( )中提供条件、得出的结论要考虑( )是否需要。 S 的最小值最好加上去。 讲评中求 TG + SK 的最小值最好加上去。
20.(本小题满分 16 分)

图2

已知函数 f ( x) = e x + ax ? 1 ( a ∈ R ,且 a 为常数). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a < 0 时,若方程 f ( x) = 0 只有一解,求 a 的值; (3)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ f ( ? x) ,求 a 的取值范围. 讲评建议:此题当初是( 只有一解, 的范围,大家感觉,作为( 起点太高, 讲评建议:此题当初是(1) f ( x) = 0 只有一解,求 a 的范围,大家感觉,作为(1)起点太高,学生 不易得分,且上来讨论,又两问题都求范围可以,但还是单调形式单调,后改为现在形式。对于( 不易得分,且上来讨论,又两问题都求范围可以,但还是单调形式单调,后改为现在形式。对于(3)主 要是想改变教学中老师不研究情况 分参法是解决参数的一种好方法,但不唯一, 改变教学中老师不研究情况, 要是想改变教学中老师不研究情况,分参法是解决参数的一种好方法,但不唯一,且有时其方法不好图象
2 是恒小于,用图象法就很快, 快,如 f ( x ) = x + mx + 1 在区间 (1.2) 是恒小于,用图象法就很快,同时也要注意到解决参数问题还有很

多求不出最值问题。如本题,分参后求不出函数的最值,而且很多参数的范围是求不出来的, 多求不出最值问题。如本题,分参后求不出函数的最值,而且很多参数的范围是求不出来的,是对关键点
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进行分类讨论求得的。 进行分类讨论求得的。

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