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6.3 等比数列及其前n项和


6.3 等比数列及其前 n 项和
一、选择题 1. 2+1 与 2-1 两数的等比中项是( A.1 C.±1 解析:设等比中项为 x, 则 x2=( 2+1)( 2-1)=1,即 x=±1. 答案:C 2.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y, ) B.-1 D. 1 2

Z,则下列等式中恒成立的

是(
A.X+Z=2Y C.Y2=XY

). B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

解析 (特例法)取等比数列 1,2,4,令 n=1 得 X=1,Y=3,Z=7 代入验算,选 D. 答案 D 3.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2
2

). D.16

B.4
n

C.8

an+1an+2 2 16n+1 解析 由 anan+1=anq=16 >0 知 q>0,又 =q = n =16,∴q=4. anan+1 16
答案 B 4.等比数列{an}中,a2=3,a7·a10=36,则 a15=( A.12 B.-12 C.6 ) D.-6 36 解析 由等比数列的性质,有 a2·a15=a7·a10=36,则 a15= =12,故选 A. a2 答案 A 1 5.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·5n-2- ,则实数 t 的值为( 5 A.4 解析 B.5 C. 4 5 D. 1 5 ).

1 1 4 ∵a1=S1= t- ,a2=S2-S1= t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列 5 5 5

1? ?4 ?2 ?1 知? t? =? t- ?·4t,显然 t≠0,所以 t=5. 5 5 5? ? ? ? 答案 B 6. 已知 ?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A.7 B.5 C. ?? D.-7 )

解析 a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2

答案 D 1 7.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的等比数列, 2 则 =( 3 A. 2 2 C. 3

m n

). 3 2 B. 或 2 3 D.以上都不对

解析 设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根,不妨设 a<c 1 <d<b,则 a·b=c·d=2,a= ,故 b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1, 2

d=2,则 m=a+b= ,n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b= , m 3 m 2 则 = 或 = . n 2 n 3
答案 B 二、填空题 8.设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,

9 2

9 2

a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________.
解析 设 a2=t,则 1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3,由于 t≥1,所以 q≥max{t,

t+1, t+2}故 q 的最小值是 3.

3

3

答案

3

3

9.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公 式 an=________. 解析 由题意知 a1+4a1+16a1=21,解得 a1=1, 所以数列{an}的通项公式 an=4n-1. 答案 4n-1 10.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意的 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。 解析 由已知可得公比 q=-2,则 a1=1 可得 S5。 答案 11 11.已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a2 7+2a11=0,数列{bn}是等比数 列,且 b7=a7,则 b6b8=________.
2 解析 由题意可知,b6b8=b2 7=a7=2(a3+a11)=4a7,

都有

∵a7≠0,∴a7=4,∴b6b8=16. 答案 16 12.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+…+x100=1, 则 lg(x101+x102+…+x200)=________. 解析 由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*)得 lg xn+1-lg xn=1,∴

xn+1 =10,∴数列{xn} xn

是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn·10100,∴x101+x102+…+x200=10100(x1+x2 +x3+…+x100)=10100,∴lg(x101+x102+…+x200)=lg 10100=100. 答案 100 三、解答题 13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a1+a3+…+a2n+1. 解析 (1)∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列,∴Sn=2n-1, 又当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.

?1 ∴an=? n-2 ?2

n= n



(2)a3,a5,…,a2n+1 是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列, ∴a3+a5+…+a2n+1= -4n 1-4
n n

= =

- 3

.

∴a1+a3+…+a2n+1=1+

- 3

22n+1+1 . 3

1 1 14.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= 1-an ; 2

(2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1? 1? 1 ?1- n? 1- n 3? 3? 3 1 ?1? 1 1-an 因为 an= ×? ?n-1= n,Sn= = ,所以 Sn= . 3 ?3? 3 1 2 2 1- 3

解析 (1)证明

(2)bn=log3a1+ log3a2+…+log3an =- (1+ 2+…+n)=- 的通项公式为 bn=-

n n+
2

. 所以 {bn}

n n+
2

.

15.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且

an+Sn=n.
(1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. 解析 (1)证明 ∵an+Sn=n,①

∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴

an+1-1 1 = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2

∵首项 c1=a1-1,又 a1+a1=1. 1 1 1 ∴a1= ,∴c1=- ,公比 q= . 2 2 2

又 cn=an-1, 1 1 ∴{cn}是以- 为首项,公比为 的等比数列. 2 2 ? 1? ?1? ?1? (2)由(1)可知 cn=?- ?·? ?n-1=-? ?n, ? 2? ?2? ?2? ?1? ∴an=cn+1=1-? ?n. ?2? ?1? ? ?1? ? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-? ?n-?1-? ?n-1? ?2? ? ?2? ? ?1? ?1? ?1? =? ?n-1-? ?n=? ?n. ?2? ?2? ?2?

1 ?1? 又 b1=a1= 代入上式也符合,∴bn=? ?n. 2 ?2? 16.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,

b3-a3=3.
(1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解析 (1)设数列{an}的公比为 q, 则 b1=1+a=2, b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2 =3+q2,由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q -4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设数列{an}的公比为 q, 则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1 =0(*), 由 a>0 得 Δ =4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 1 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a= . 3
2

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